倒立摆建模与控制
建模4(单级倒立摆系统建模,供参考)
②
J 1θ + f1θ1 = M 0 + M 21 + m1 gL1 sin θ1 1
③ ④
其中,M0为电机输出转矩， 0 = K m (u K eθ 1 ) M
M21为摆杆对旋臂的作用力矩，有：
M 21
图2单级旋转倒立摆的模型分析
d2 = m2 [ g + 2 ( R1 cos θ1 + L2 cos θ 2 )] R1 sin θ1 dt d2 m2 [ 2 ( R1 sin θ1 + L2 sin θ 2 )] R1 cos θ1 ] dt = m2 gR1 sin θ1 m2 R12θ m2 R1 L2θ 22 sin(θ1 θ 2 ) 1 m R L θ cos(θ θ )
单级旋转倒立摆系统结构
两个角度电位器分别安装在直流电动 机的转轴处和摆杆关节处，可以测量旋臂 与铅直线角度偏移量，摆杆与旋臂之间的 相对角度偏移量。由两个角度电位器提供 的电压信号分别定标后，作为旋转倒立摆 的两个输出量,经过A/D转换,送入计算机, 由计算机按照一定的控制算法计算出数字 量的控制信号，再经过D/A转换及功率放 大器放大后去驱动直流力矩电动机，使单 级旋转倒立摆在不稳定的平衡点处平衡。
Mlx4 ( M + m) gx3 + u (t ) = 0
小车倒立摆系统状态方程模型
于是4个一阶微分方程为：
x1 = x2 , x3 = x 4 , x2 = mg 1 x3 + u (t ) M M ( M + m) g 1 x4 = x3 u (t ) Ml Ml
0
系统状态方程为： X = AX + Bu (t )
x = [x1 x2 x3 x4 ] = y
倒立摆的动力学模型
倒立摆的动力学模型倒立摆是一个经典的物理实验，同时也是控制系统领域中的一个重要研究对象。
本文将介绍倒立摆的动力学模型以及相关的理论背景。
一、背景介绍倒立摆是由一个杆和一个连接在其上方的质点组成的，它在重力作用下呈现出不稳定的平衡状态。
倒立摆的动力学模型可以通过建立质点与杆之间的力学关系来描述。
二、质点的动力学方程假设质点质量为m，位置用x表示，杆的最低点为平衡位置，根据牛顿第二定律，可以得到质点的动力学方程：m * d^2x / dt^2 = Fg + Fc其中Fg表示质点受到的重力，Fc表示质点受到的摩擦力。
重力可以表示为：Fg = -mg * sinx摩擦力一般可以近似为：Fc = -b * dx / dt其中b为摩擦系数。
将上述方程带入质点的动力学方程中，可以得到：m * d^2x / dt^2 + b * dx / dt + mg * sinx = 0这就是质点的动力学方程。
三、杆的动力学方程杆的运动可以由转动惯量和力矩平衡来描述。
假设杆的质量为M，长度为l，转动惯量为I，杆绕其一端的转动中心转动，可以得到杆的动力学方程：I * d^2θ / dt^2 = -Mgl * sinθ其中θ表示杆的角度。
四、控制方法倒立摆的控制方法可以分为开环和闭环控制。
开环控制是通过输入外部力或力矩来控制摆的位置或角度，而闭环控制是通过测量摆的位置或角度，并根据目标位置或角度来调整输入力或力矩。
闭环控制往往使用PID控制器。
PID控制器是一种经典的控制器，可以根据目标位置与当前位置之间的差异来调整输入力或力矩，从而实现对倒立摆的控制。
五、应用领域倒立摆的研究在控制系统领域具有广泛的应用。
例如，在工业自动化中，倒立摆可以用来模拟和控制各种平衡问题。
此外，倒立摆还可以用于教育和科普领域，帮助人们更好地理解动力学和控制原理。
六、结论倒立摆的动力学模型是控制系统领域中一个重要的研究对象。
通过建立质点与杆之间的力学关系，可以得到质点和杆的动力学方程。
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告
二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告一、选题背景及意义直线倒立摆系统是一种应用广泛的控制系统，它具有复杂的非线性特性，因此对其建模、控制和仿真都具有一定的挑战性。
直线倒立摆系统广泛应用于自动驾驶、飞行器、医疗器械等领域。
本文将研究二级直线倒立摆系统的建模、仿真与实物控制，以提高对该系统的理解和掌握。
通过实验控制实际系统，验证仿真模型的正确性并提高控制策略的可靠性与性能。
二、研究内容1.二级直线倒立摆系统的建模研究系统的动力学特性，建立数学模型，包括机械、电子等方面的模型，并给出系统的描述方程。
2.仿真系统的设计与实现通过MATLAB或Simulink等工具，根据系统的动力学模型进行仿真，分析系统的动态特性，验证模型的正确性。
3.实物系统的设计与实现根据建模结果，设计实物系统，包括硬件和软件，搭建实验环境，并选取合适的控制器，使用反馈控制算法对实验数据进行处理。
4.实物控制系统的测试与优化将实验得到的数据进行分析、处理和优化，比较实物系统和仿真系统的差异并给出改进方案，从而提高系统的动态响应特性和控制性能。
三、研究方法及预期结果本文将采用系统分析、数学建模、仿真分析、控制器设计和优化等方法，通过建模、仿真、实物控制等多个方面去了解直线倒立摆系统。
预期结果是建立二级直线倒立摆系统的模型，完成仿真和实验的设计与实现，控制系统实现稳定的控制策略，并得出实物系统和仿真系统的控制性能优化方案。
四、进度安排第一阶段：文献综述和理论研究，研究直线倒立摆控制系统的基本原理和方法。
（2周）第二阶段：根据文献进行仿真研究，建立稳定的仿真模型。
（2周）第三阶段：设计实物控制系统，搭建实验环境。
（2周）第四阶段：实现控制系统与优化，得出实验数据并进行分析和优化，提高系统的控制性能。
（2周）第五阶段：撰写论文和答辩。
（4周）五、预期成果本文通过对二级直线倒立摆系统的建模、仿真和实物控制的研究，完成了对系统的深入理解和掌握，得出了系统的优化控制方案。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum deviceQuanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
倒立摆拉格朗日建模方法
倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种常见的动力学系统，具有广泛的应用。
倒立摆借助控制算法可以实现平衡控制，因此在工业机器人、机械臂、自行车等控制系统中具有重要的意义。
而拉格朗日建模方法是研究动力学系统的常用方法之一，下面将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法。
倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日动力学原理进行的。
拉格朗日原理主要包括两部分：拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程。
其中，拉格朗日第一方程是关于系统广义力的方程，而拉格朗日第二方程是关于系统的广义力的运动方程。
首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标。
对于倒立摆来说，可以选择摆杆的倾斜角度和摆杆的角速度作为广义坐标。
假设摆杆的倾斜角度为θ，摆杆的角速度为ω，那么可以得到广义坐标集合{θ,ω}。
接下来，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。
拉格朗日函数是广义坐标的函数，它描述了系统的动能和势能之间的关系。
倒立摆的拉格朗日函数可以表示为L=T-U，其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。
同时，我们还需要确定系统的动能和势能。
对于倒立摆来说，系统的动能可以表示为T = 1/2 * m * l^2 * ω^2，其中m表示摆杆的质量，l表示摆杆的长度，ω表示摆杆的角速度。
系统的势能可以表示为U = m * g * l * (1 - cosθ)，其中g表示重力加速度，θ表示摆杆的倾斜角度。
通过上述步骤，我们可以得到倒立摆的拉格朗日函数为L = 1/2 * m * l^2 * ω^2 - m * g * l * (1 - cosθ)。
然后，我们可以使用拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程来得到倒立摆的运动方程。
拉格朗日第一方程可以表示为∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') =Q，其中q表示广义坐标集合，q'表示广义坐标的导数，∂表示偏导数，d/dt表示对时间的导数，Q表示系统的广义力。
拉格朗日第二方程可以表示为d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0。
倒立摆_精品文档
倒立摆1. 引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。
倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。
在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。
2. 基本原理倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。
倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述：ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ'其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。
3. 数学建模方法为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。
首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。
然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。
对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为：mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ)对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为：ml^2θ'' = u - bθ'将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。
4. 控制策略为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。
常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。
PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。
在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。
模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。
在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。
倒立摆的控制算法研究
倒立摆的控制算法研究倒立摆是一种常见的控制系统，它由一个垂直的柱子和一个连接在柱子上的摆组成，摆的长度和重量可以不同。
倒立摆的目的是通过控制柱子上的电机来保持摆的平衡。
由于其简单的结构和容易理解的物理规律，倒立摆被广泛应用于控制系统的研究和教学领域。
本文将对倒立摆的控制算法进行研究和讨论。
一、倒立摆的动力学模型在控制倒立摆之前，我们需要了解倒立摆的动力学模型。
可以将倒立摆的动力学模型建模为一个非线性系统。
其中，摆的角度相当于系统的状态，而摆的角度速度则是系统的输入。
通过运用牛顿第二定律和动量守恒原理，可以得出如下的倒立摆动力学模型：$\begin{cases} \dot \theta = \omega \\ \dot \omega = -\dfrac{g}{l} \sin(\theta) -\dfrac{c}{Ml^2} \omega + \dfrac{u}{Ml^2} \end{cases}$其中，$\theta$表示摆的角度，$\omega$表示摆的角速度，$u$表示电机输出的控制力，$g$表示重力加速度，$l$表示摆的长度，$M$表示摆的质量，$c$表示阻尼系数。
二、经典的PID控制算法经典的PID控制算法是控制倒立摆的一种常见方法。
它由比例控制器、积分控制器和微分控制器组成。
这三种控制器的作用分别是输出和输入的误差乘以比例系数、积分系数和微分系数的和，并将这个和作为电机输出的控制力。
以比例控制器为例，假设倒立摆的目标位置为$\theta_d$，当前位置为$\theta$，比例系数为$K_p$。
则比例控制器的输出为：$u = K_p(\theta_d - \theta)$将其代入倒立摆的动力学模型中，则可以进行模拟计算，以求出控制器的性能指标。
三、模型预测控制算法模型预测控制是一种先进的控制算法，它不仅考虑到当前状态的误差，还考虑到未来状态的误差。
由于倒立摆是一个非线性系统，经典的PID控制算法无法很好地解决这个问题。
倒立摆拉格朗日建模方法
倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一个经典的力学系统，它由一个固定于垂直支点上并能够绕该支点自由旋转的杆和一个固定在杆上的质点构成。
通过对倒立摆进行建模，可以研究其动力学特性以及控制方法。
本文将介绍一种常用的倒立摆拉格朗日建模方法。
倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日力学原理。
首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标和其相关约束。
对于一个简单的倒立摆，可以选择摆杆与竖直方向的夹角作为广义坐标，记为θ。
同时，倒立摆存在一个约束条件，即摆杆与支点之间的距离为常数L。
接下来，我们需要确定倒立摆的动能和势能函数。
倒立摆的动能函数由摆杆和质点的动能之和构成。
摆杆的动能可以表示为Its(th)+⋯+Its(ph)+⋯+Itgph+⋯+Itgkh+⋯），(0)其中，I表示质量矩阵，ts表示杆的转动惯量，qs表示杆的角速度，g表示重力加速度，kh表示摆杆的质心距离支点的垂直距离。
质点的动能可以表示为(1)其中，ms表示质点的质量，ps表示质点的速度。
倒立摆的势能函数由质点重力势能和杆的重力势能之和构成。
质点的重力势能可以表示为(2)其中，zs表示质点的垂直位置。
杆的重力势能可以表示为(3)其中，zs表示杆的质心位置的垂直距离。
然后，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。
拉格朗日函数可以表示为动能减去势能。
拉格朗日函数可以表示为(4)接下来，我们需要计算拉格朗日方程。
拉格朗日方程描述了系统的运动方程。
其中，q表示广义坐标，L表示拉格朗日函数，t表示时间，λ表示拉格朗日乘子。
最后，我们对拉格朗日方程进行求解，得到倒立摆的运动方程。
根据拉格朗日方程我们可以得到(6)通过求解这个方程，我们可以得到倒立摆的运动方程。
综上所述，倒立摆的拉格朗日建模方法主要包括确定广义坐标和约束、计算动能和势能函数、确定拉格朗日函数、计算拉格朗日方程、求解运动方程。
这种建模方法能够描述倒立摆的动力学特性，并为后续的控制方法提供基础。
总结：本文介绍了倒立摆的拉格朗日建模方法。
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2 倒立摆系统的模型建立 2.1 倒立摆特性 非线性 倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。 不确定性 模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。 耦合性 倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。 开环不稳定性 倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。 约束限制 由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。 2.2 一阶倒立摆数学模型 倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。 2.2.1 一级倒立摆物理模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示： 摆杆皮带 导轨
皮带轮 图2.1 单级倒立摆系统物理模型
2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值： 表2.1 一级倒立摆参数表 参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*m f 加到小车上的力 x 小车位置 摆杆与竖直向上方向的夹角
通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程： 2()cossinFMmxbxmlml (2.1)
22()sincos2sin(sincos)Imlmglmlxml (2.2)
22222
cossincos2sinsin2sincosMmmlxFbxmlmlmlImlmglml
(2.3)
2.3 二阶倒立摆数学模型 2.3.1 二级倒立摆物理模型 如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型 摆杆皮带 导轨
皮带轮 图2.3二级倒立摆系统的物理模型 倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。摆体与摆体之间，摆体与小车之间由转轴连接，在连接处有两个光电编码器分别用来测量两个摆杆的角度，在轨道一端有伺服电机，并装有用来测量小车位移的光电编码器。小车由伺服电机，皮带，皮带轮带动可以沿导轨左右运动，从而使两摆体稳定在竖直位置。并且可以定位跟踪在导轨的某一特定位置。 2.3.2 二级倒立摆数学模型 表2.2 二级倒立摆参数表 参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m1 摆杆1质量 0.13Kg m2 摆杆2质量 0.05Kg m3 摆杆3质量 0.236kg J1 摆杆1转动惯量 0.0002Kg*m*m J2 摆杆2转动惯量 0.0034Kg*m*m l1 摆杆1中心到转动中心的距离 0.0775m l2 摆杆1中心到转动中心的距离 0.25m
1 摆杆1与竖直方向的夹角
2 摆杆2与竖直方向的夹角
F 作用在系统上的力 利用拉格朗日方程推导运动学方程： 拉格朗日方程为： (,)(,)(,)LqqTqqVqq (2.4)
其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标。T为系统的动能，V为系统的势能。 iii
dLLfdtqq
(2.5)
其中1,2,3......in，if为系统在第i个广义坐标上的外力，在直线型二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个，分别是12,,x。 首先计算系统的动能： 123MmmmTTTTT (2.6) 其中123,,,MmmmTTTT分别为小车动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量快的动能。 小车的动能： 212MTMx (2.7)
而摆杆1和摆杆2的动能又由两部分组成： '''111mmmTTT (2.8)
其中'''11,mmTT分别为摆杆1的平均动能和转动动能。 '''222mmmTTT (2.9)
其中'''22,mmTT分别为摆杆2的平均动能和转动动能。 对于二级倒立摆系统，我们设以下变量： 1xp 为摆杆1质心横坐标；1yp 为摆杆1质心纵坐标； 2xp 为摆杆2质心横坐标；2yp 为摆杆2质心纵坐标； xm 为质量快质心横坐标；ym 为质量快质心纵坐标； 又有： 1111112211221111
1sin()1cos()22sin()sin()22cos()cos()2sin()2cos()xpxlyplxpxllypllxmxlyml
(2.10) 则有： '2211''2221111111(1)(1)(()())21126m
mp
dxpdypTmdtdtTJml
(2.11)
同理得到： '2222''2222222221(2)(2)(()())21126m
mp
dxpdypTmdtdtTJml
(2.12)
'22331()()(()())2m
dxmdymTmdtdt (2.13)
于是得到系统的总动能： 123MmmmTTTTT (2.14)
222221111
11(1)(1)1(()())226dxpdypMxmmldtdt
22222222
1(2)(2)1(()())26dxpdypmmldtdt
223
1()()(()())2dxmdymmdtdt
系统的势能为： 123mmmVVVV (2.15)
12312mgypmgypmgym
11121122311cos(2coscos)2cosmglmgllmgl 由于系统在12,广义坐标下没有外力作用，所以有：
110dLLdt
220dLLdt (2.16)
dLLudtxx
展开得到 212311123121221
22222122122
12311222
4(22)cos(44)2cos()34cos2cos()3123(22)coscosmmmlmmmlmllmlmllmlMmmmmmmlml
12
x
12311222222221231
(2)sinsinsin(22)cosmmmglmglumlmmml
(2.17)
它可以表现成以下形式的非线性方程： 11212121212231212
(,,,,)(,,,,)(,,,,)xfufufu
(2.18)
3 基于T-S模糊模型的模糊控制 3.1 模糊控制理论概述 模糊控制是以模糊集合理论、模糊语言变量及模糊推理为基础的一类控制方法。模糊控制的基本思想是用机器去模拟人对系统的控制，而不是依赖控制对象的模型。因此，模糊控制主要研究那些在现实生活中广泛存在的、定性的、模糊的、非精确的信息系统控制问题。所以将模糊控制应用于倒立摆这种高度非线性的被控对象中。本章主要应用模糊控制理论思想，研究了倒立摆系统的模糊控制方法问题。 模糊控制是以模糊集理论，模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种智能控制方法，它从行为上模仿人的模糊推理和决策过程。该方法首先将操作人员或专家经验转化成模糊规则，然后将来自传感器的实时信号模糊化，将模糊化后的实时信号，作为模糊规则的输入，完成模糊推理，将推理后的得到的输出量加到执行器上。 模糊控制的基本原理如图3.1所示：
A/D 计算控制量 模糊量化处理 模糊控制规则 模糊决策 非模糊化处理 D/A 执行机构 被控对象
传感器