数的开方和二次根式
1-2数的开方与二次根式(解析版)
1-2数的开方与二次根式【题型目录】题型一：平方根、算术平方根、立方根题型二：二次根式有意义的条件题型三：二次根式的运算题型四：二次根式的估算【题型真题】题型一：平方根、算术平方根、立方根1. （2022甘肃）计算的结果是（）A. ±2B. 2C.D. 解：4的算术平方根是2，即=2，故选B．2．（2022桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．2解：＝2，故选：A．3. （2022杭州）计算：_________；_________．解：；．故答案为：2，44 （2022鄂州）化简：= .解：∵22=4，∴=2.5. （2022恩施）9的算术平方根是．解：∵，∴9算术平方根为3．故答案为3．6. （2022凉山州）化简：＝（）A. ±2B. －2C. 4D. 2解：，故选：D．7. （2022泸州）（）A. B. C. D. 2解：-2，故选A．8. （2022雅安）化简：= .解：∵22=4，∴=2.9. （2022宜宾）4的平方根是（）A. ±2B. 2C. ﹣2D. 16解：∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．题型二：二次根式有意义的条件1. （2022北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．解：由题意得：x-8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．2. （2022贵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3解：由题意得．解得x≥3，故选：A．3. （2022长沙）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．解：，解得，故答案为：．4. （2022云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．解：∵代数式有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．5. （2022贵港）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．解：由题意得：，解得，故答案为：．6. （2022河池）若二次根式有意义，则a的取值范围是_____．解：由题意得，a－1≥0，解得，a≥1，故答案为：7. （2022贺州）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．解：在实数范围内有意义，，解得．故答案为：．8（2022安顺）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．解：由二次根式在实数范围内有意义可得：，解得：；故答案为．9. （2022牡丹江）函数中，自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.解：由二次根式的被开方数的非负性得：，解得，故选：D．10. （2022衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：根据题意知≥0，解得，故选：B．11. （2022邵阳）若有意义，则的取值范围是_________．解：由题意可得x-2>0，解得：x>2，故答案为：x>2．12. （2022湘西）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A. x＞2B. x＜2C. x≤2D. x≥2解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．13. （2022岳阳）使有意义的的取值范围是_______．解：根据题意得，解得．故答案为：．14. （2022常州）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.解：由题意得：，，故选：A．15. （2022连云港）函数中自变量的取值范围是（）A. B. C. D.解：∵，∴．故选A．16. （2022无锡）函数y＝中自变量x的取值范围是()A. x＞4B. x＜4C. x≥4D. x≤4解：4-x≥0，解得x≤4，故选：D．17. （2022盐城）使有意义的的取值范围是_______．解：根据题意得，解得．故答案为：．18. （2022扬州）若在实数范围内有意义，则取值范围是__．解：若在实数范围内有意义，则，解得：．故答案为：．19. （2022丹东）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A. x≥3B. x≥﹣3C. x≥3且x≠0D. x≥﹣3且x≠0解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故选：D．20. （2022滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_____．解：由题意知，，解得，，故答案为：．21. （2022济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是________．解：根据题意，得，解得：；故答案为：．22. （2022日照）若二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是_______．解：根据题意，得，解得：，故答案是：．23. （2022内江）函数中，自变量的取值范围是.解：依题意，得x-3≥0，解得：x≥3．题型三：二次根式的运算1. （2022河北）下列正确的是（）A. B. C. D. 解：A.，故错误；B.，故正确；C，故错误；D.，故错误；故选：B．2. （2022哈尔滨）计算的结果是___________．解：==，故答案为：．3. （2022江西）计算：；解：原式=2+2-1，=3．4. （2022大连）下列计算正确的是（）A. B. C. D.解：A、无解，故该项错误，不符合题意；B、，故该项错误，不符合题意；C、，故该项正确，符合题意；D、，故该项错误，不符合题意；故选：C．5. （2022青岛）计算的结果是（）A. B. 1 C. D. 3解：故选：B．6.（2022山西）计算的结果是________．解：原式＝＝＝3．故答案为：3．7. （2022陕西）计算：______．解：．故答案为：-2．8．（2022仙桃）下列各式计算正确的是（）A．+＝B．4﹣3＝1C．×＝D．÷2＝解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝，不符合题意；C、原式＝＝，符合题意；D、原式＝2÷2＝，不符合题意．故选：C．9. （2022武威）计算：．解：原式.10. （2022北部湾经济区）化简：=_____．解：．故答案为：．11. （2022柳州）计算：=______．解：=；故答案为．12. （2022六盘水）计算：__________．解：==故答案为：．13. （2022衡阳）计算：＝_____．解：．故答案为：．14. （2022常州）计算：=___．解：∵23=8，∴，故答案为：2．15. （2022泰安）计算：__________．解：，故答案为：．题型四：二次根式的估算1.（2022海南）写出一个比大且比小的整数是___________．解：∵，∴即比大且比小的整数为2或3，故答案为：2或32. （2022济南）写出一个比大且比小的整数_____．解：∵＜2＜3＜4＜，∴比大且比小的整数有2，3，4.故答案为：3（答案不唯一）．3. （2022绵阳）正整数a、b分别满足，，则（）A. 4B. 8C. 9D. 16解：，，，，．故选：D．4. （2022天津）估计的值在（）A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间解：，，即在5和6之间．故选：C．5. （2022重庆A卷）估计的值应在（）A. 10和11之间B. 9和10之间C. 8和9之间D. 7和8之间解：，∵，∴，∴，故选：B．6. （2022重庆B卷）估计的值在（）A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间解：∵49<54<64，∴，∴，即的值在3到4之间，故选：D．7. （2022安顺）估计的值应在（）A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间解：原式＝，，，故选B．8. （2022遵义）估计的值在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间解：∵，即：，∴的值在4和5之间，故选C．9. （2022永州）请写出一个比大且比10小的无理数：______．解：∵5＜7＜100，∴<<10∴比大且比10小的无理数为，故答案为：（答案不唯一）．10. （2022宿迁）满足的最大整数是_______．解：满足的最大整数是3．故答案为：3．11. （2022泰州）下列判断正确的是( )A. B. C. D. 解：由题意可知：，故选：B．12. （2022广安）比较大小：__________3（填“＞”、“＜”或“＝”）解：∵，32=9，∴7＜9，∴＜3，故答案为：＜．13. （2022泸州）与最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜＜4，∴5.5＜2+＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．14. （2022宁波）写出一个大于2的无理数_____．解：∵2=，∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．15. （2022台州）估计的值应在（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之解：∵4＜6＜9，∴，∴，故选B．16. （2022舟山）估计的值在（）A. 4和5之间B. 3和4之间C. 2和3之间D. 1和2之间解：∵∴故选：C．17. （2022潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（）A. B. C. D.解：4＜5＜9，∴2＜＜3，∴1＜1＜2，∴＜＜1，故选：C．18. （2022随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．解：∵，是大于1的整数，∴．∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。
而二次根式则是指包含开方的代数式。
在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。
本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。
我们来看看开方的定义。
对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。
如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。
开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。
在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。
如√2、√3等都属于二次根式。
二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。
简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。
对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。
这样就化简成了更加简洁的形式。
在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。
首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。
其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。
如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。
运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。
除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。
立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。
比如³√8=2，因为2³=8。
四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。
这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
返回
运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
返回
2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
返回
第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:
2016初中数学基础知识讲义06—数的开方及二次根式
数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。
称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。
数的开方与二次根式
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
返回
考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数的开方和二次根式
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.平方根与立方根
(1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。
一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。
（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。
一个正数有一个 的立方根；一个负数有
一个 的立方根；零的立方根是 ；
2.二次根式
（1）
（2）
（3）
（4）二次根式的性质
①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥
②2()()a
a a a ⎧==⎨-⎩；④(0,0)a a a
b b b =≥
（5）二次根式的运算
①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；
②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥；
③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥
④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
（二）：【课前练习】
1.填空题
2. 判断题
3. 那么x 取值范围是（）
A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2
4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A
5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
二：【经典考题剖析】
1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状．
2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义
（1； （2
（3
3.找出下列二次根式中的最简二次根式：
2
2x y + 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
0),3b b -
5. 化简与计算
2)x ； ； 7)2m -
⑤22-； ⑥(+ 三：【课后训练】
1. 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A 、()222x x -=-
B 、()233x x -=-
C 、 ()()2323x x x x --=-⋅-
D 、3322x x x x --=--
2. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（）
A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2
3. 当a 为实数时，2a =-a 则实数a 在数轴上的对应点在（ ）
A ．原点的右侧
B ．原点的左侧
C ．原点或原点的右侧
D ．原点或原点的左侧
4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17是17的平方根，其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5. 计算321a +a a
所得结果是______． 6. 当a ≥0时，化简23a =
7.计算
（1）、2259259x x x +-； （2）、()()200320045252-+
（3）、()22332-； （4）、548627123
-+ 8. 已知：22x -4+4-x +1x y y=x-2
、为实数，，求3x+4y 的值。
9. 实数P 在数轴上的位置如图所示：化简22(1)(2)p P -+-
10. 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+21-2a+a 其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：
原式= a+21-2a+a = a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a －1)=2a －1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________
四：【课后小结】。