数的开方与二次根式
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。
而二次根式则是指包含开方的代数式。
在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。
本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。
我们来看看开方的定义。
对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。
如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。
开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。
在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。
如√2、√3等都属于二次根式。
二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。
简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。
对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。
这样就化简成了更加简洁的形式。
在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。
首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。
其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。
如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。
运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。
除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。
立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。
比如³√8=2，因为2³=8。
四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。
这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
2024年中考数学复习课件---第2讲+数的开方与二次根式
+
+
+…+
+
=
+ + +
+ +
−
.
4
5
6
第2讲
数的开方与二次根式— 真题试做
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命题点 3 二次根式的估值（遵义6年1考）
7.(2022·遵义5题4分)估计 的值在( C )
A.2和3之间
（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4和9
（3）对以上两个整数开方，如 = , =3
（4）确定这个二次根式的值在两个整数开方后所得的
之间,如2< <3
（1）先确定 在哪两个整数（或小数）之间，如3< <
确定与
最接
近的整
数
（2）取这两个连续整数（或小数）的平均数，如
与非负
数的性
质
平方根
ห้องสมุดไป่ตู้
算数平方根
立方根
概念
a＞0
性
质 a=0
a＜0
相反
互为①______数
（两个）
0
没有
正数（一个）
正数（一个）
0
0
没有
②_________
负数（一个）
非 负 数 的 性 质 ：（1）常见的非负数有 （ ≥ ），| a |，
（2）若几个非负数的和为, 则这几个非负数同时为,
+
=3.5
（3）将平均数进行平方,并与 a比较,确定与 最接近的整数,
如. �� = . , < . , 所以 < . ,所以与
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
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运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
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2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
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第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:
2016初中数学基础知识讲义06—数的开方及二次根式
数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。
称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。
数的开方与二次根式
数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
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温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
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a≥0 ． 是________
(2)满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
整式 ； ①被开方数的因数是_____________ ，因式是_________ 整数
开得尽方的因数或因式 ②被开方数中不含有_____________________________________ ．
二次根式的性质
0
－1
2 解：3
1 1 － － ； 4 3
3 1 －2 1 (2)(2015· 绵阳) 1－ 2 ＋(－2) － ＋ －8 ； cos45°
解：1
(3)(2015· 凉山州)－32÷ 3³
解：－ 2
1 ＋| 2－3|； tan60°
1 (4)(2015· 黔西南州)( 3－2014)0＋|－tan45°|－(2)－1＋ 8.
在哪两个整数之间．
(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式
的混合运算顺序是：先算__________ ，后算_________ 乘除 加减 ，有括号时，先
算括号内的(或先去括号)．
平方根、算术平方根与立方根
1 ±2 ；(2015· 【例 1】(1)(2015· 庆阳) 16的平方根是_______ 安顺)9的算术平方
第一章 数与式
第5节 数的开方与二次根式
数学
平方根、算术平方根
1 ． 若 x2 ＝ a ， 则 x 叫 做 a 的 ________ 平方根 ， 当 a≥0 时 ， a 是 a 的
非负 数， _____________ a是一个_______ ± b 算术平方根 ．正数 b 的平方根记作_________. 非负 数才有平方根． 只有_________
1 3 解：原式＝ ，当 x＝ 3－1 时，原式＝ 3 x＋1
12 4－x (3)(2015· 莱芜)(x－2－ )÷ ，其中 x＝－4＋ 3； x＋2 x＋2
解：原式＝－x－4，当 x＝－4＋ 3时，原式＝－ 3
5x＋3y 2x 1 (4)(2015· 襄阳)( 2 2 ＋ 2 )÷ ，其中 x＝ 3＋ 2，y＝ 3－ x －y y －x2 x2y－xy2
1 1 C．a>2 D．a≥2
(3)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 （a＋b）2＋a 的化简结果
－b ． 为_______
点拨： (1)依被开方数和分母满足的条件列出不等式(组)；(2)依 a2＝ |a|≥0；(3)先化成含有绝对值的式子，再结合数轴化简．
二次根式的运算与化简求值
a2－1 a2－2a＋1 1 【例 3】已知 a＝ ，求 － 的值． a＋1 a2－a 2＋ 3
忽视二次根式与绝对值综合考查时的大小关系．
【例 4】计算： 3 －( 3)2＋(π＋ 3)0－ 27＋| 3－2|. 3
解：－3 3
1．(2015· 绵阳)± 2 是 4 的( A ) A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根 x＋1 2．(2014· 潍坊)若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是( B ) （x－3）2 A．x≥－1 B．x≥－1 且 x≠3 C．x>－1 D．x>－1 且 x≠3 3．(2015· 宁夏)下列计算正确的是( B ) A. 3＋ 2＝ 5 B. 12÷ 3＝2 C．( 5)－1＝ 5 D．( 3－1≥0，b≥0)； a· b
a a ≥0，b>0)； b b＝_______(a
a ≥ (2)( a)2＝____(a_______0) ；
二次根式的运算
5 ． (1) 二次根 式的 加减： 二次 根式相 加减 ， 先把 各个 二次根 式化 成
同类二次根式 ______________________ ，再把____________________ 分别合并． 最简二次根式
5³ 15 5 ． 的结果是____ 3
2－ 3＜b＜2 ． 10． 已知 a(a－ 3)＜0， 若 b＝2－a， 则 b 的取值范围是_________________
10 ． 11．(2014· 凉山州)已知 x1＝ 3＋ 2，x2＝ 3－ 2，则 x12＋x22＝____
12．计算： (1)(2015· 宁波)π ＋2 －
ab (2)二次根式的乘法： a· b＝_________(a ≥0，b≥0)．
a a (3)二次根式的除法： ＝________(a ≥0，b>0)． b b
(4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所
相邻 在范围． 具体地说， 先对二次根式平方， 找出与平方后所得的数_________ 开方 ，即可确定这个二次根式 的两个能开得尽方的整数，对其进行_________
解： 3
8．先化简，再求值： x－2 3 (1) ÷ (x＋1－ )，其中 x＝ 3－2； x－1 x－1 1 3 解：原式＝ ，当 x＝ 3－2 时，原式＝ 3 x＋2 x＋2 x－1 x－4 (2)(2015· 绥化)( 2 － )÷ x ，其中 x＝tan60°＋2. x －2x x2－4x＋4
a2－1 a2＋1 11．(2015· 攀枝花)先化简，再求值： 2 ÷ (2＋ a )，其中 a＝ 2. a －a
1 解：原式＝ ，当 a＝ 2时，原式＝ 2－1 a＋1
12．(2015· 汕尾)已知 a＋b＝－ 2，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a 的值． 解：原式＝(a＋b)2＋1，当 a＋b＝－ 2时，原式＝3
1 根是____； 3 (2)如图，下列各数中数轴上点 A 表示的可能是( C )
A．4的算术平方根 B．4的立方根
C．8的算术平方根 D．8的立方根
二次根式的概念及性质
1 【例 2】(1)(2015· 随州)若代数式 ＋ x有意义，则实数 x 的取值范围 x－1 是( D ) A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0 且 x≠1 (2)若 （2a－1）2＝1－2a，则( B ) 1 A．a<2 1 B．a≤2
5 ． (2015· 聊城)( 2＋ 3)2－ 24＝____ 9 ． 6．若 y＝ x－3＋ 3－x＋2，则 xy＝____
7．计算： 3 (1)(2－ 3)2015²(2＋ 3)2016－2³|－ 2 |－(－ 2)0；
解：1
1 1 (2)(2)－2－6sin30°－( )0＋ 2＋| 2－ 3|. 7－ 5
立方根 立方根 2．若 x3＝a，则 x 叫做 a 的_______________ ．任一实数 a 的立方根记作
3 3 3 3 ______. a3＝____ a ，( a) ＝____ a ， a 3 3 －a____ ＝ － a.
二次根式的概念
3．(1)形如 a(__________) 的式子叫做二次根式， a为二次根式的条件 a≥0
1．(2015· 凉山州)下列根式中，不能与 3合并的是( C ) A. 1 3 2 B. 3 C. 2 3 D. 12
2．(2015· 滨州)数 5 的算术平方根为( A ) A. 5 B．25 C．±25 D．± 5
3．(2015· 重庆)计算 3 2－ 2的值是( D ) A．2 B．3 C. 2 D．2 2
4．(2015· 广州)下列计算正确的是( D ) A．ab· ab＝2ab B．(2a)3＝2a3 C．3 a－ a＝3(a≥0) D. a· b＝ ab(a≥0，b≥0) 5．(2015· 孝感)已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋ 3)x＋ 3的 值是( C ) A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3
点拨：该题中隐含条件是：由已知得 a＝2－ 3，则 a－1＝1－ 3<0， 是化简|a－1|的关键．
解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0，∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2 ＝|a－1| 2＋ 3
1 1 1 ＝1－a，∴原式＝a－1＋a，∴当 a＝ 时，原式＝ －1＋(2 2＋ 3 2＋ 3 ＋ 3)＝3
1 1 解：原式＝ ，当 x＝tan60°＋2＝ 3＋2 时，原式＝3 （x－2）2
9．计算 32³
1 2＋ 2³ 5的结果估计在( B )
A．6 和 7 之间 B．7 和 8 之间 C．8 和 9 之间 D．9 和 10 之间
－3a ． 10．已知 a<0，那么| a2－2a|可化简为_________
解：2 2
13．先化简，再求值： x－1 x2 x (1)(2015· 上海) 2 ÷ － ，其中 x＝ 2－1； x ＋4x＋4 x＋2 x＋2
1 解：原式＝ ，当 x＝ 2－1 时，原式＝ 2－1 x＋2
x2＋2x＋1 1 (2)(2015· 苏州)(1－ )÷ ，其中 x＝ 3－1； x＋2 x＋2
解：原式＝3xy，当 x＝ 3＋ 2，y＝ 3－2 时，原式＝3
2 ，9 的平方根是______ 6．(2015· 随州)4 的算术平方根是____ ±3 ，－27 的立
方根是______ －3 ．
3 1 7．(2015· 襄阳)计算：2 － 8＝____ 0 ．
－1
8．(2015· 泰州)计算： 18－2 9．(2015· 南京)计算
1 2 2 2＝_______．
4 ． (2014· 济宁 ) 如果 ab ＞ 0 ， a＋b ＜0， 那么下面各式：① ② a b · b a ＝1；③ ab÷ a B b＝－b.其中正确的是( )
a a ＝ ； b b
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
40＋ 5 2 2＋1 ； 5．计算：(2014· 青岛) ＝__________ 5