数的开方及二次根式
第四讲：数的开方及二次根式
数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。
教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。
注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。
2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。
而二次根式则是指包含开方的代数式。
在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。
本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。
我们来看看开方的定义。
对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。
如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。
开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。
在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。
如√2、√3等都属于二次根式。
二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。
简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。
对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。
这样就化简成了更加简洁的形式。
在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。
首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。
其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。
如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。
运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。
除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。
立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。
比如³√8=2，因为2³=8。
四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。
这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。
数的开方、二次根式复习
值范围常转化为不等式（组）.
二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且 x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
方法：分母有理化
4．二次根式的运算 a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)；
a b
a ＝__b__(a≥0，b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__， 再将__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
考点分类
一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
∵16﹤17﹤25
∴4﹤ 17 ﹤5
则 - 5﹤ 17 ﹤- 4 所以b = - 4
∴a – b = 5 - ( - 4 ) = 9 a – b的平方根为±３
知识梳理
二 次 根 式
二次根式
三个概念 最简二次根式
两个公式
两个性质 四种运算
同类二次根式
1. ab a ba 0,b 0
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2，3，5，，3 2，3 3 ,2.030030003……等。
要 5.有理数与无理数统 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
A.3
B.-3
C.1
D.-1
二 二次根式的非负性的应用
4. 若实数 x，y，m 满足等式 3x 5y 3 m +（2x+3y﹣m）2=
第2节 数的开方与二次根式
1．当 x 取何值时，二次根式有意义． (1) 3＋x ：__x_≥__－__3____；
x－1 (2) 3－x ：__x_≥__1_且__x_≠__3_____；
2．(1)8 的立方根是__2__，3 －8 ＝___－__2__；
(2)若 x 的平方根是±8，则 x 的立方根是_4___；
(3)(易错题) 16 的平方根是__±__2__，
(8) 14 × 7 ＝_7___2____．
4．若|a－1|＋(b＋2)2＋ c－3 ＝0，则 a＝_1___，b＝_－__2_，c＝_3___．
二次根式及其性质(北部湾5年3考)
例 1 (2024 南宁模拟)如果二次根式 a 有意义，那么 a 的值可以是( D ) A．－3 B．－2.5 C．－1 D．1
例 6 (2024 南宁模拟)计算：9＋(－3)＋ 4 ×(5－2). 解：原式＝9－3＋2×3＝9－3＋6＝12.
二次根式的估值(2024.14)
例 7 估算 7 的值是在( B ) A．1 到 2 之间 B．2 到 3 之间 C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间
例8
(2024 广西)写出一个比 3 大的整数，可以是
__2_(_答__案__不__唯__一__)_____．
(2020 桂林)若 x－1 ＝0，则 x 的值是( C ) A．－1 B．0 C．1 D．2
例 2 (2021 桂林)下列根式中，是最简二次根式的是( D )
A．
1 9
B． 4
C． a2
D． a＋b
(2024 钦州一模)下列二次根式中，化简后能与 2 进行合并的二次根式 是( C )
A． 4 B． 6 C． 8 D． 12 例 3 (2023 广西) 9 ＝__3__．
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
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运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
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2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
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第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
2020中考复习第02课时数的开方与二次根式
,立方根等于本身的数为±1,0.
考点聚焦
考点二 二次根式的相关概念和性质
1.二次根式:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.
2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于④
0
.
3.最简二次根式
必须同时满足以下两个条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如: 5, 2 + 1是最简二次根式,而 8,
[解析]∵9<13<16,3.52=12.25,
∴3.5< 13<4,
A.4
B.5
C.6
D.7
∴与 13最接近的整数是 4,
∴与 10- 13最接近的整数是 6,故选 C.
考点聚焦
考向五 二次根式的性质
例 7 若在数轴上表示实数 a 的点如图 2-1 所示, [答案] 3
2
则化简 (-5) + -2 的结果为
考点聚焦
例 4 下列根式中,与 3是同类二次根式的是 ( B )
A. 24
C.
3
2
B. 12
D. 18
考点聚焦
| 考向精练 |
下列各式中,哪些是同类二次根式?
0.5,2
1
7
2 3 (a≥0,x≥0), 50 2 (x≥0,y≥0).
,
12,
75,1
,
2
3
25
1
解:∵ 0.5=
2
2,2
1 2
,
12,
75是同类二次根式,
2
3
考点聚焦
考向三 二次根式的化简与计算
例 5 (1) [2019·扬州]计算:
2016初中数学基础知识讲义06—数的开方及二次根式
数的开方及二次根式1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、(2014东营( ) A.±3 B.3 C.±9 D.93、（2015=_____ 4、（2015=_____1、（2015黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±31C.3D.-3 2、（2015的值是（ ）A ．±5 B．5 C ．–5 D ． 6253、（2014菏泽）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6 B ．（π﹣3.14）0=1 C ．133-=- D 3?4、（2015南京）4的平方根是 ；4的算术平方根是 （2015山东潍坊模拟）4 的算术平方根是5、（2015（20156、（2015（2015甘肃武威）64的立方根是_____7、（2015随州）4的算术平方根是 ，9的平方根是 ，﹣27的立方根是8、（2015＝ 9、（201401)+=初中数学基础知识讲义—数的开方及二次根式考点2：二次根式概念:式子a （ ）叫做二次根式。
称为二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数.由算术平方根和二次根式的意义，只有当a≥0．．．，当a ＜0①二次根式a 必须注意a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即：a _ __o ， ②二次根式a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式考点一：二次根式有意义的条件1、（2015四川甘孜）使二次根式的有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0 B ．x ＞1 C ．x ≥1 D ． x ≠12、（2015武汉）若代数式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范为是（ ）A ．x ≥－2B ．x ＞－2C ．x ≥2D ．x ≤21、(2015南京)x 的取值范围是 ______2、（2015x 的取值范围是3、（2015四川乐山）函数y =x 的取值范围是4、（2015湖南衡阳）函数y =x 的取值范围为（ ）A ．x ≥0 B ．x ≥－1 C ．x ＞－1 D ．x ＞1考点3：二次根式的性质 ： ⑴； ⑵ ()=2a （a ≥0） ⑶ =2a ；= （0,0a b吵）；= （0,0a b?）.a ===，一般情况下二次根式除法运算过程就要进行分母有理化。
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《数的开方及二次根式（复习）》教学设计
宜良县第六中学 袁志刚
教学内容：人教版义务教育实验教科书“数与代数”（八上）第十三章、（九 上）第二十一章。
课型：复习课 课时：1课时
教学目标：
1、 能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简.
2、 能够比较熟练进行二次根式的运算.
3、 进一步渗透化归思想、分类讨论思想及进行逆向思维训练。
教学重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算。
教学难点：二次根式的化简及灵活应用公式
教具：多媒体课件、《导学案》
教法：互动式教学法
教学过程
（教师寄语：一千个愿望，一千个计划，一千个决心，不如一个行动！）
、小试牛刀:
1. 当X _ <3__时，J 3—X 有意义。
2. 3 -8 二-2 ；
3.化简：二 _2j5 ___
5. 计算屈乂弱-屈二 _屈_ .
6. 把分母中的根号化去（分母有理化）：
丄二 迺 丄二 週 価二 迈
（1） 匸 ________ . _________ ； （ 2 、、「「 _____ . _________ ； （ 3）二」- ____ - _________ 4 •比较大小：（1） 13— 3 2 ⑵ _2命 __ 〉 __ —3^/2
7.若：r.有意义，则,'L的取值范围是x>6
匚的结果是（
&化简
D •以上答案都不对
(A
a>0—>0
D .丄■一
10.一一「的值为（B
C
l
冷-2
11.若代数式「丨有意义，则.［的取值范围是
2
A. 一且
B.
12.计算2* (3—1)2+ 1 +
解：原式= 匕注+ . 2+ 1+ 3 —2
=2—,3+ 2 + 1+ 3— 2 = 3.
5 - 8= 0则以x, y的值为两边长的等腰三角13.［2012攀枝花］已知实数x, y满
形的周长是（B
A. 20 或16 B .20 C. 16 D .以上答案均不对
二、考点聚焦:
考点1 平方根、算术平方根与立方根一个数x的平方—等于a,那么x叫做a的平方根，记作
一个正数x的平方.等于a,则x叫做a的算术平方根，记作.a , 0的算术平方根是0
一个数x的_立方等于a,那么x叫做a的立方根
考点6 二次根式的大小比较
考点2 二次根式的有关概念
⑴ 式子,a(a - 0)叫做二次根式•注意被开方数
a 只能是 非负数 .
⑵最简二次根式
同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数不含分母 (3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 相同的 几个二次根式，叫做同类二次根式.
考点3 二次根式的性质
⑴ a 0 ;
⑵■. a = _________ ( a > 0)⑶■■ a 2 = ______________
⑶...ab = ( a _ 0,b _ 0 )；
⑷ J ? = ____________ ( a X 0,b a 0 )
(1)二次根式的加减:
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方 数不变。
(2) 二次根式的乘法： J.■: 小「Ik - -'Hi
(3) 二次根式的除法：
(4) 二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运 算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
考点5
把分母中的根号化去(分母有理化) 一般常见的互为有理化因式有如下几类：
考点4
二次根式的运算［…科，网］
=(a >0, i > 0)
（1） 若 J '■ II ，则有-/-■ - ； （ 2 ）若 心- / ,则有；-.；.
说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小•注意：
（1）负号不能移到根号内；（2）根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内.
三、爱拼才会赢：
（2012 .云南）12.函数的自变量x 的取值范围是 ________________________________________________________________ （2011 .昆明）6、列各式运算中，正确的是（ ）
A 、3a?2a=6a
B 、忑-2 =2-亞
C 、V32 —晶=2
D 、（2a+b ） （2a -b ） =2a 2— b 2
（2011.昆明）10、当x ____________ 时，二次根式、、X - 5有意义.
（2011.昆明）16、计算：..12 •（丄）」-（.,2-1）0 （-1）2011.
（2010.昆明）7.下列各式运算中，正确的是 （ ）
A . (a b)^a 2 b 2
B . (3)2 =3
3 2 6
D . (—) r(a=0) a a
(2010.昆明)16.计算：(-1 )' - -3 -2010° ( 一2)2
4
四、认识自我: 3 4 12 a a a （2010.昆明）13.计算:
二次根式化简中的整体思想
教材母题：人教版九上P18第6题
已知加=何+1』=疗一I,求下列各式的值:
(1 )x + 2xy+y2；(2).v3- y.
解：因为x= /T+ l,y= /T-l, 所以x + y = 2/T,r -y =2.
则(I )x2+ 2xy + y2二(x+y)2二(2$)' = 12* (2)x2-/ = (x+y)(x-v) =4/T. 中考变式
(2012.云南)&若a2「b2= - , a —b =丄，则a + b 的值为( )
4 2
1 1
A B . C . 1 D . 2
2 2
五、课后作业：《迎考精练》。