数的开方与二次根式
数的开方与二次根式(含答案)
数的开方与二次根式【回顾与思考】【例题经典】理解二次根式的概念和性质 例1 （1）（20062x-x 取值范围是________． 【点评】从整体上看分母不为零，从局部看偶次根式被开方数为非负． （2）已知a 31a a a--【点评】要注意挖掘其隐含条件：a<0．掌握最简二次根式的条件和同类二次根式的判断方法例2（20063 ） A 324.12..182B C D 【点评】抓住最简二次根式的条件，结合同类二次根式的概念去解决问题．掌握二次根式化简求值的方法要领例3 （2006年长沙市）先化简，再求值: 若33ba aba b-+【点评】注意对求值式子进行变形化简约分，再对已知条件变形整体代入．【基础训练】116_______，-164的立方根为_______． 2．当x_______25x +1x 有意义；当x________2x -无意义．3．（2006a ．4．（2005）=_________．5．（2006年烟台市）若x+1x =5=______．6．下列叙述中正确的是（ ）A ．正数的平方根不可能是负数B ．无限小数都是无理数C ．实数和实数上的点一一对应D ．带根号的数是无理数 7．（2005年福州市）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A C8．（2006年恩施自治州）若m 的值为（ ） A ．20511315...32688B C D9．（2006=成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x>2 D ．x ≥210．（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：；105a a =；③21a a==；④=a ≠0），做错的．．．题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④11．对于实数a 、b ，则（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a ≥bD ．a ≤b12【能力提升】13．（1）若0<x<1．（2，则x 的取值范围为__________．14．（1）（2005你发现的规律，判断Q =n•为大于1的整数）的值的大小关系为（ ）A ．P<QB ．P=QC ．P>QD ．与n 的取值有关（2（a>0，b>0）分别作如下的变形：== 这两种变形过程的下列说法中，正确的是（ ）A ．甲、乙都正确B ．甲、乙都不正确C ．只有甲正确D ．只有乙正确（3）（2006年桂林市）观察下列分母有理化的计算:==== ……，从计算结果中找出规律利用规律计算:（2007++）=_________．15．化简式计算:（1）（200621)（2）（2005年山东省）已知求22[()]33x y x y x x y x +---+的值．【应用与探究】16．（2006年内江市）对于题目“化简求值：1a ，其中a=15”甲、•乙两人的解答不同．甲的解答是：1a =1a 112495a a a a a =+-=-=；乙的解答是：1a =1a 1115a a a a =+-==， 谁的解答是错误的是，为什么？答案:例题经典例1：（1）x<2 （2）（1-a 例2：B例3：a b a b+-，值为43考点精练1．±2 -14 2．x ≥-52且x ≠0，x ≤2 3．．-25．C 7．A 8．•D 9．C 10．D 11．D12．-32．（1）2x （2）4≤x ≤614．（1）A （2）D （3）200615．•92② 2 16．乙解答是错误的，∵a=15， ∴│1a -a │=1a -a ，而不是a-1a．。
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。
而二次根式则是指包含开方的代数式。
在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。
本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。
我们来看看开方的定义。
对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。
如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。
开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。
在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。
如√2、√3等都属于二次根式。
二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。
简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。
对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。
这样就化简成了更加简洁的形式。
在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。
首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。
其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。
如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。
运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。
除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。
立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。
比如³√8=2，因为2³=8。
四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。
这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。
第2节 数的开方与二次根式
1．当 x 取何值时，二次根式有意义． (1) 3＋x ：__x_≥__－__3____；
x－1 (2) 3－x ：__x_≥__1_且__x_≠__3_____；
2．(1)8 的立方根是__2__，3 －8 ＝___－__2__；
(2)若 x 的平方根是±8，则 x 的立方根是_4___；
(3)(易错题) 16 的平方根是__±__2__，
(8) 14 × 7 ＝_7___2____．
4．若|a－1|＋(b＋2)2＋ c－3 ＝0，则 a＝_1___，b＝_－__2_，c＝_3___．
二次根式及其性质(北部湾5年3考)
例 1 (2024 南宁模拟)如果二次根式 a 有意义，那么 a 的值可以是( D ) A．－3 B．－2.5 C．－1 D．1
例 6 (2024 南宁模拟)计算：9＋(－3)＋ 4 ×(5－2). 解：原式＝9－3＋2×3＝9－3＋6＝12.
二次根式的估值(2024.14)
例 7 估算 7 的值是在( B ) A．1 到 2 之间 B．2 到 3 之间 C．3 到 4 之间 D．4 到 5 之间
例8
(2024 广西)写出一个比 3 大的整数，可以是
__2_(_答__案__不__唯__一__)_____．
(2020 桂林)若 x－1 ＝0，则 x 的值是( C ) A．－1 B．0 C．1 D．2
例 2 (2021 桂林)下列根式中，是最简二次根式的是( D )
A．
1 9
B． 4
C． a2
D． a＋b
(2024 钦州一模)下列二次根式中，化简后能与 2 进行合并的二次根式 是( C )
A． 4 B． 6 C． 8 D． 12 例 3 (2023 广西) 9 ＝__3__．
数的开方与二次根式
数的开方及二次根式
哎，说起数的开方跟二次根式，这事儿咱们得扯扯清楚。
在数学里头，数的开方，就好比是把一个数儿，咔嚓一下，劈成好多相等的部分，看能劈成几份儿，每份儿是多少。
比如说，9的开方，那就是3嘛，因为3乘3等于9，简单得很。
二次根式呢，听起来有点儿玄乎，其实也不难。
就是把个平方根摆在那儿，再跟其他数儿一起搅和搅和，搞出些新花样来。
比如说，根号下面有个4，再加上个5，写成式子就是√4+5，结果就是2+5，等于7。
当然，这只是个简单的例子，实际运用起来，可能要复杂得多。
在计算二次根式的时候，咱们得注意点儿，根号下面的数儿得是非负的，要不然就没得解了。
还有啊，根号跟根号之间不能直接相加，得想办法把它们变成同类项，才能相加或者相减。
比如说，√2跟√8，看着不一样，其实√8可以变成2√2，这样一来，它们就能相加了。
总的来说，数的开方跟二次根式，都是数学里头挺重要的东西。
虽然刚开始接触的时候，可能会觉得有点儿难，但是只要多练练，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
毕竟，数学这东西，还是得靠多练，才能熟能生巧嘛。
所以，大家伙儿，要是遇到了数的开方或者二次根式的问题，别怕，大胆地去做，相信你们一定能行的！。
2024年中考数学复习课件---第2讲+数的开方与二次根式
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第2讲
数的开方与二次根式— 真题试做
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命题点 3 二次根式的估值（遵义6年1考）
7.(2022·遵义5题4分)估计 的值在( C )
A.2和3之间
（2）找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4和9
（3）对以上两个整数开方，如 = , =3
（4）确定这个二次根式的值在两个整数开方后所得的
之间,如2< <3
（1）先确定 在哪两个整数（或小数）之间，如3< <
确定与
最接
近的整
数
（2）取这两个连续整数（或小数）的平均数，如
与非负
数的性
质
平方根
ห้องสมุดไป่ตู้
算数平方根
立方根
概念
a＞0
性
质 a=0
a＜0
相反
互为①______数
（两个）
0
没有
正数（一个）
正数（一个）
0
0
没有
②_________
负数（一个）
非 负 数 的 性 质 ：（1）常见的非负数有 （ ≥ ），| a |，
（2）若几个非负数的和为, 则这几个非负数同时为,
+
=3.5
（3）将平均数进行平方,并与 a比较,确定与 最接近的整数,
如. �� = . , < . , 所以 < . ,所以与
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
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运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
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2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
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第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
中考数学第一轮复习(第4讲--数的开方与二次根式)
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )． A．a6÷a2＝a3 B．(a3)2＝a5
解析 根据同底数幂的除法，幂的乘方，算术平方根，立方根运算
法则逐一计算作出判断：
A．a6÷a2＝a6－2＝a4≠a3，故本选项错误； B．(a3)2＝a3×2＝a6≠a5，故本选项错误；
第三十五 ，共44 。
【预测1】 下列计算：
答案 C
第三十六 ，共44 。
【预测2】 下列运算正确的是
( )．
答案 C
第三十七 ，共44 。
易 错防 范
第三十八 ，共44 。
数的开方、二次根式常见错误
第三十九 ，共44 。
【典型例题】
第四十 ，共44 。
第四十一 ，共44 。
第二十八 ，共44 。
A．a≠0
C．a＞－2或a≠0
B．a＞－2且a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案 D
第二十九 ，共44 。
【预测3】 下列二次根式中，最简二次根式是( )．
答案 B
第三十 ，共44 。
答案 C
第三十一 ，共44 。
解析 考查二次根式和绝对值等非负数的性质，由已知得，x＝ －3，y＝2 013，所以x＋y＝－3＋2 013＝2 010.
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同．
状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并；
(2)乘除运算：可先乘除，后化简．
第十四 ，共44 。
对 接中 考
第十五 ，共44 。
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度
1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
数的开方与二次根式
数的开方与二次根式1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。
用数学语言表达即为：若a x =2，则x 叫做a 的平方根。
a 的平方根记作: ,读作“根号a ”（2）平方根的性质： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，它是0本身。
③负数没有平方根。
（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方的运算。
+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算。
（4）平方根的表示方法： a 表示正数a 的正的平方根 -a 表示正数a 的负的平方根 练习：求169的平方根 将1.44开平方2、算术平方根（1）算术平方根的定义：正数a 有两个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根， 记作 “a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数。
（2）算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是一个正数。
②0的算术平方根是0。
③负数没有算术平方根 。
（3）重要性质： 练习：求25的算术平方根 求的算术平方根3、立方根（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。
用数学语言表达即为：若a x =3,则x 叫做a 的立方根。
记作： ,读作“三次根号a ” 。
（2）立方根的性质：①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0。
（3）重要性质： （4）求一个数的立方根的运算，叫做开立方运算。
立方运算与开立方运算互为逆运算。
练习：求81-的立方根 求64的立方根a 2±±或a ())0(2≥=a a a aa =23a x =33-aa -=a ±⎭⎬⎫记作4．二次根式的有关概念(1) a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意： 在二次根式a 中，字母a 的取值范围，必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数。
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数与式
第 2 讲 数的开方与二次根式
内容 索引
备考基础 重点突破
温故知新，明确考向 分类讲练，以例求法
易错防范
辨析错因，提升考能
备考基础
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考点梳理
平方根、算术平方根与立方根
1.平方根： 一个数 x 的 平方等于 a， 那么 x 叫做 a 的平方根， 记做 x＝± a. 2.算术平方根：如果一个正数 x 的平方 等于 a，那么 x 叫做 a 的算术平 方根，记做 x＝ a.0 的算术平方根是 0. 3.立方根：如果一个数 x 的 立方等于 a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做 x＝ a.
解
答案
类型三
二次根式的计算
【例 3】 (1)(2017· 滨州)下列计算： ①( 2)2＝2， ② －22＝2， ③(－2 3)2 ＝12，④( 2＋ 3)( 2－ 3)＝－1，其中结果正确的个数为( D )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
点拨
根据二次根式的性质可得①、②、③正确；根据平方差公
式可得④正确．
点拨
答案
9 (2)(2017· 天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果等于________ ． 点拨 根据平方差公式计算即可．
解
答案
【变式 3】
(1)(2017· 黄冈)计算： 27－6
1 3 ． 的结果是 ________ 3
解
3 原式＝3 3－6× ＝3 3－2 3＝ 3. 3
3
特别提醒
(1)± a表示 a 的平方根， a表示 a 的算术平方根，－ a表示 a 的算术 平方根的相反数， a表示 a 的立方根． 3
(2)开平方运算与平方运算是互为逆运算的关系．常用平方运算来检
验一个数是否为另一个数的平方根．
(3)开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系．负数(在实数范围内)
不能开平方，但可以进行开立方运算．
二次根式的有关概念 1.二次根式：表示算术平方根的代数式叫做二次根式．为了方便起见，把
一个非负数的算术平方根也称为二次根式．
特别提醒 二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等
于零. 2.最简二次根式：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含开得尽方的因数或因式；
a－12＝|a－1|＝1－a，而不是 a－1；应注重分析能力的培养，提高 解题的正确性．
剖析
正确解答
分析与反思
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剖析
正确解答
分析与反思
剖析
挖掘题目中的隐含条件， 是解决数学问题的关键之一， 上题中的
2 2
1 隐含条件为 a －2a＋1＝ a－1 ＝|a－1|，而 a＝ ＝2－ 3<1， 2＋ 3 所以|a－1|＝1－a 是进行二次根式化简的依据． 1 正确解答 解：∵a＝ <1，∴a－1<0， 2＋ 3
解
答案
(2)(2017· 河北)如图为张小亮的答卷，他的得分应是( B ) A. 100分 B. 80分
B. C. 60分 解题要领
D. 40分 根据平方根、算术平方根、立方
根的概念进行答题，并可用平方运算、立方
运算来检验一个数是否为另一个数的平方根、
立方根.
答案
类型二
二次根式的概念
a≥2 ． (2017· 衢州)二次根式 a－2中字母 a 的取值范围是________ 由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a－2≥0，解之
解
由 6－3m ＋(n－5)2＝3m－6－ m－3n2，
得 6－3m ＋(n－5)2＋ m－3n2＝3m－6，
6－3m ＋(n－5)2＋|n|· m－3＝3m－6，
∴m－3＝0 且 n－5＝0， ∴m＝3，n＝5， 即 m－n＝3－5＝－2.
方根．即16的算术平方根是16正的平方根． －2 ． (2)(2017· 宁波)实数－8的立方根是________
点拨 利用立方根定义计算即可得到结果．
点拨
答案
【变式1】 (1)(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ17· 武威)4的平方根是( C )
A. 16
B. 2
C. ± 2
D. ± 2
解 一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．
【例 2】
点拨
即可得出结论．
点拨
答案
【变式 2】
(2017· 南京)若 3<a< 10，则下列结论中正确的是( B )
A. 1<a<3 C. 2<a<3
解
B. 1<a<4 D. 2<a<4
根据二次根式的近似值可知：1< 3< 4＝2,3＝ 9< 10<4，
即可得出 a 的取值范围．
解题要领 二次根式 a－2 中的“a－2≥0”是定义的一个重 要组成部分，不可以省略.
∴ a2－2a＋1＝ a－12＝|a－1|＝1－a， a＋1a－1 1－a 1 ∴原式＝ － ＝a－1＋ ， a a＋1 aa－1 1 1 ∴当 a＝ 时，原式＝ －1＋(2＋ 3)＝3. 2＋ 3 2＋ 3
剖析 正确解答 分析与反思
分析与反思
1 题目中的隐含条件为 a ＝ <1 ，所以 a2－2a＋1 ＝ 2＋ 3
A. 15 B. 12 C. 8 D. 0.5
5.计算 2· 3的结果是( B ) A. 5 B. 6 C. 2 3 D. 3 2
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重点突破
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类型一
平方根、算术平方根与立方根的概念
4 【例1】 (1)(2017· 黄冈)16的算术平方根是________ ． 点拨 算术平方根的定义：一个正数的算术平方根就是其正的平
解
类型六
二次根式的创新应用
求比( 6＋ 5)6 大的最小整数．
【例 6】
点拨
注意到 6＋ 5， 根据根式的有理数因式的特征， 构造 a＝ 6＋
5，b＝ 6－ 5，使问题得以转化解决．
解
设 a＝ 6＋ 5，b＝ 6－ 5，则有 a＋b＝2 6，ab＝1.
此时 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2 6)2－2×1＝22， a4＋b4＝(a2＋b2)－2a2b2＝222－2×1＝482. ∴a6＋b6＝(a2＋b2)(a4＋b4)－a2b2(a2＋b2)＝22×482－12×22＝10582， ∵0< 6－ 5<1，∴0<( 6－ 5)6<1， ∴比( 6＋ 5)6 大的最小整数是 10582.
有理数中的运算律及多项式乘法、乘法公式等在二次根式的运算中仍然
适用．
特别提醒
1合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”
相加减，被开方数与根指数不变.
2乘、除法法则是由积、商的算术平方根的性质反过来得到的.
3把分母中的根号化去的常见方法：
1 a ① ＝a； a a＋ b a＋ b 1 ② ＝ ＝ . a－ b a－ b a＋ b a－b
解
答案
(2)(2017· 青岛)计算：
24＋
1 13 × 6＝________. 6
解
原式＝ 24× 6＋
1 × 6 6
＝ 144＋ 1＝12＋1＝13.
解题要领 根据二次根式的性质及乘法公式进行二次根式的混合运算.
解
答案
类型四
二次根式的化简
【例 4】 (2017· 枣庄)实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 |a|＋ a－b2的结果是( A )
二次根式的运算 1.加减法：先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2.乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)． a 3.除法： ＝ b a ( a ≥ 0 ， b >0) ． b
4.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，
先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，
基础诊断
±2 ；4的算术平方根是________ 2 1.4的平方根是________ ．
2. x＋1中 x 的取值范围为( B ) A. x≥0 C. x>－1 B. x≥－1 D. x>1
3.64的立方根是( A )
A. 4
B. ±4
C. 8
D. ±8
4.下列二次根式中最简二次根式的是( A )
解 答案
解题要领 从二次根式有意义的条件入手，可以确定二次根式中所含
字母的值或取值范围，从而使复杂问题简单化，进而得出问题的答案.
类型五
二次根式的非负性
(2017· 济宁)若 2x－1＋ 1－2x＋1 在实数范围内有意义，则
【例 5】
x 满足的条件是( C ) 1 A. x≥2 1 B. x≤2 1 C. x＝2 1 D. x≠2
试题
2 2 a － 1 a －2a＋1 1 已知：a＝ ，求 － 的值． 2 2＋ 3 a＋1 a －a
错误答案展示
a＋1a－1 a－12 解：原式＝ － a ＋1 aa－1
a－1 1 ＝a－1－ ＝ a －1 －a . aa－1 1 1 当 a＝ 时，原式＝ －1－(2＋ 3)＝－1－2 3. 2＋ 3 2＋ 3
(2)被开方数不含分母(包括小数)．
二次根式的性质
1.( a)2＝a(a≥0)．
a a≥0， 2. a2＝|a|＝ －a a<0.
3. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)． 4. a a b＝ b(a≥0，b>0)．
特别提醒 对于 a2＝a 与 a2＝|a|，需要注意的是 a2 的运算中本身隐含着 a≥0， 而 a2的运算中 a 可以取全体实数.