中考数学 第4节数的开方与二次根式
第四讲：数的开方及二次根式
数的开方与二次根式知识点：平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化教学目标：1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根；会求实数的平方根、算术平方根和立方根；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式；掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重难点：1.平方根、算术平方根、立方根的概念（有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题）；2.最简二次根式、同类二次根式概念（有关习题经常出现在选择题中）；3.二次根式的计算或化简求值（有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多）。
教学过程：1、知识要点：考点1 平方根、算术平方根与立方根：若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，记作a ±；正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
当0≥a 时，a 的算术平方根记作a 。
注意：1、非负数是指正数或0，常见的非负数有：(1）绝对值：0≥a ；(2)实数的平方：02≥a ；(3) 算术平方根：)0(0≥≥a a 。
2、如果a 、b 、 c 是实数，且满足02=++c b a ， 则有0=a，0=b ，0=c考点2 二次根式的有关概念：1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式（注意被开方数只能是正数或0）； 二次根式a 定义中的“a ≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式a ，就意味着a ≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a 既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：3、ab (ab ≥0)、3+x (x ≥－3)都是二次根式．2、最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式；最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．3、同类二次根式：①化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式； ②二次根式的性质： )0()(2≥=a a a ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||2a a a a a a )0;0(≥≥⋅=b a b a ab )0;0(>≥=b a ba b a 考点3 二次根式的运算：1、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；2、二次根式的乘法： 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a（二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行；两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式）；3、二次根式的除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)；把分母的根号化去，叫做分母有理化。
2020年中考数学总复习第四节数的开方与二次根式
A. 5 2 B. 2 5 C.
2 10 . D.
45
2. 【 2020 最新模拟南京 】 9 的算术平方根是
A.-3 B.3 C.
± 3 D.81
3. 【 2020 最新模拟南通 】已知 x 2 , 则化简 x2 4x 4 的结果是
A、 x 2
B、x 2
C、 x 2
D、 2 x
4. 【 2020 最新模拟泰州 】下列运算正确的是 A．a2＋ a3=a5 B ． ( －2x) 3=－ 2x3 C ． (a － b)( － a＋ b)= －
2. 【 2020 最 新 模 拟 苏 州 】 不 使 用 计 算 器 ， 计 算 ：
18 1 2 1 2
1 21
21
【解】 2 3
3.【 2020 最新模拟锦州 】
【解】
4. 【2020 最新模拟青岛 】来自【解】答案： 10
5. 【 2020 最新模拟青岛 】计算： 2 2 1 2 ．
5
2
【解】 原式＝ 2 2 1 2 ＝ 3 2 1
4
2
p ( p a)( p b )( p c )
8. 【2020 最新模拟丰台 】计算：
【解】 9. 【2020 最新模拟北京 】计算：
【解】
10. 【 2020 最新模拟漳州 】计算：
sin 45o（ 1 ）－1＋ |2 － 2 |－（ 2005 ）0 2
【解】 原式＝ 2 2＋2－ 2－1 ＝ 1
模拟 1 D.3.2020 最新模拟 2
最新
16.【 2020 最新模拟湘潭 】下列算式中， 你认为错误的是 ( )
A ． a + b =1
B
． 1÷ b × a =1
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第4课时：数的开方及二次根式
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
先化简分式后，再将相应的 x 的值代入，最后 根据二次根式的运算法则求得结果．
思路点津
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
x－3 x －6x＋9 解：原式＝ ÷ x x x－ 3 x 1 ＝ · . 2＝ x （x － 3 ） x－ 3 1 2014 当 x＝ 2014＋3 时，原式＝ ＝ . 2014 2014
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
【知识树】
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
杭 考 探 究
探究一 二次根式的估算
3 例 1 [2012·杭州 ] 已知 m ＝ ( － )×(－ 2 21) ，则有 3 ( A )
A． 5 ＜m ＜ 6 C．－5＜m＜－4
B ． 4＜ m ＜5 D．－6＜m＜－5
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·江干模拟] 下列各式中，错误 的是 ．．
( D )
A．(－ 3)2＝3 B．－ 32＝－3 C．( 3)2＝3 D. （－3）2＝－3
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
【归纳总结】 二次 式子 a(a≥0)，即非负数 a 的算术平方根 二次 根式 根式 最简二 ①被开方数中的因数是整数，因式是整式； 相关 次根式 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式 概念 二次 a 根式 ①( a)2＝____(a≥0)； a ② a2＝|a|＝ －a 的性 a· b 质 ③ ab＝________(a≥0，b≥0)； a a b ④ ＝________(a≥0， b>0) b
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方是数学中常见的运算符号，表示一个数的平方根。
而二次根式则是指包含开方的代数式。
在学习数学过程中，掌握开方及二次根式的知识是非常重要的。
本文将就开方及二次根式的相关知识进行详细介绍。
我们来看看开方的定义。
对于一个非负实数a，如果实数b满足b 的平方等于a，即b²=a，那么b就是a的平方根，记作√a，其中√符号称为根号。
如果a是一个负数，那么它的平方根定义为复数，可以表示为±√(-a)，其中±表示取正负号。
开方的运算可以用来求解方程、计算距离等实际问题，是数学中的重要工具。
在代数中，我们经常会遇到二次根式，即含有开方的代数式。
如√2、√3等都属于二次根式。
二次根式通常可以简化，使其形式更加简洁。
简化二次根式的方法是利用数的乘法性质，将开方中的被开方数进行因式分解，找到一个完全平方数因子，然后将其提出开方符号。
对于√12，可以找到一个完全平方数的因子4，即√12=√(4*3)=2√3。
这样就化简成了更加简洁的形式。
在进行运算时，需要注意开方及二次根式的运算规则。
首先是同底数相乘的运算法则，即√a*√b=√(a*b)，这条规则适用于任意实数a、b。
其次是开方的乘法公式，即√a±√b=√(a±2√(a*b)±√b)，这个公式在计算开方时经常会用到。
如果要进行开方的除法运算，可以采用类似的方法，将被开方数分解成较小的因子，然后进行化简。
运用这些运算规则，可以更加方便地进行开方及二次根式的运算。
除了基本的开方运算，还有一些特殊的开方，如立方根、四次根等。
立方根表示一个数的三次方根，记作³√a，其运算规则与平方根类似。
比如³√8=2，因为2³=8。
四次根则表示一个数的四次方根，记作⁴√a，其运算规则也可以类似的推出。
这些特殊的开方可以在数学问题中发挥重要作用，例如求解立方程等。
第4节 数的开方与二次根式
1.（ a ）2＝a（a② ≥0
）
返回
运 算
二次根式 ab a 乘法： 除法： a ⑤
b
加减：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类
b
(a≥0,b≥0)
a b (a≥0,b＞0)
返回
2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数,如4<7<9 估 值 3.对以上两个整数开方，如 4 ＝2， 9 ＝3 4.确定这个根式的值在这两个整数之间，如2< 7 <3
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，则把这几个二次根式叫做同类二次根式. 如 8 2 2 ，所以 8 与 2 是同类二次根式 未完继续
a (a≥0) a | a | 2. -a a≤0) ③ _____( 性 3. ab a b （a≥0,b≥0） 质 a a（a≥0,b④ ＞0 ） 4. b b 5.双重非负性：
1.先对根式平方,如（ 7 ）2=7
返回
第一章
数与式
第4节 数的开方运算 二次根式 估值
定 义 及 其 性 质
定义：形如 a （a≥0）的式子，其中a叫被开方数
有意义的条件：被开方数大于或等于零 最简二次根式同时满足两个“不含”条件 ： 1.被开方数不含① 分母 ，分母中也不含二次根式
中考数学课件(第4讲)数的开方及二次根式(29页)
第4讲┃ 数的开方及二次根式
[中考点金] 一般采用“夹逼法”来估计二次根式的值，具体操
作过程如下：先找出与被开方数相邻的两个能开得尽方 的整数，再求这两个整数的算术平方根，由此来确定原 二次根式的取值范围．
第4讲┃ 数的开方及二次根式
变式题 设 m＝ 41－3，若 m 在相邻的两个整数之间，
则这两个整数是 A．2 和 3 C．4 和 5
a 的符号．根据各数在数轴上的相对位置确定代数式的正 负时，常用各数的大小关系和各数的绝对值关系来判断．
第4讲┃ 数的开方及二次根式
变式题 实数 a，b 在数轴上的位置如图 4－2 所示，且
a>b， C．b
B．－2a＋b D．2a－b
2．正数的平方根有__两____个，它们互为__相__反__数____， 0 的平方根是____0____，负数__没__有____平方根．
3．任意实数都有立方根，正数的立方根是__正__数____， 0 的立方根是___0_____，负数的立方根是___负__数___．
第4讲┃ 数的开方及二次根式
由数轴可知 5＜a＜10，所以 a－4>0，a－11<0，所以 （a－4）2＝|a－4|＝a－4， （a－11）2＝|a－11|＝11－a， 因此 （a－4）2＋ （a－11）2＝a－4＋11－a＝7.故选 A.
第4讲┃ 数的开方及二次根式
[中考点金] 运用二次根式的性质化简形如 a2的式子，关键是确定
第4讲┃ 数的开方及二次根式
探究三 二次根式的化简和计算
例3
化简：
a(
a＋2)－
a2b .
b
[解析] 用乘法对加法的分配律来计算“－”号前边的部
分，根据二次根式的除法法则计算“－”号后边的部分，然
开方及二次根式知识点
开方及二次根式知识点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：开方及二次根式是高中数学中常见的一个知识点，也是数学中的基础概念之一。
在学习代数学时，开方及二次根式是必须要掌握的重要内容。
本文将对开方及二次根式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
让我们从最基础的概念开始。
所谓开方，就是对一个数进行开方运算，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
如果一个数是另一个数的平方，那么这个数就是这个数的平方根。
开方也可以用符号√来表示，如√4表示对4进行开方运算，结果为2，因为2的平方等于4。
二次根式是由一个数与它的二次根号组成的一个式子，例如√2、√3、√5等。
这些数都是无理数，也就是不能用有限位小数表示的数。
在数轴上，二次根式对应的数是不完全平方数，即无法整除的数。
在计算开方及二次根式时，有一些基本规则需要遵循。
对于整数n，如果n>0，则√n是一个正数；如果n<0，则√n是一个虚数。
开方运算是一个单调递增的函数，即当x<y时，√x < √y。
开方运算不满足交换律和结合律，即√xy≠√x·√y，(√x)²≠x。
在开方运算中，常见的性质有：1.开方运算的运算性质：√a ± √b ≠ √(a ± b)，√a · √b ≠√(a · b)。
3.二次根式的乘法运算：√a · √b = √(a · b)。
还有一些常见的运算法则需要注意。
如何计算复合二次根式呢？如何计算√(√2 + √3)呢？我们可以用代数的方法将其化简。
设x = √2 + √3，则x² = (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6，即x² - 5 = 2√6。
所以√(√2 + √3) = √(x) = √(x² - 5) = √(2√6) = √2 · √3 = √6。
新人教初中数学中考复习数的开方与二次根式【精品】
知 识
1.判断正误:
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
巩
固
(1)36 的平方根是 6; ( )
(5)× (6)×
高 频
(2)±9 的平方根是±3; ( )
考
向 (3) 4=±2; ( )
探
究
(4)0.01 是 0.1 的平方根; ( )
[解析](1)36 的平方根是±6,故错误; (2)-9 没有平方根,故错误; (3) 4=2,故错误; (4)0.1 是 0.01 的算术平方根,故错误;
(1)
1 ������
=
������
������ ·
������
=
������ ������
;
(2)
1 ������ -
������ =(
������ -
������+ ������ ������)( ������+
������
=
)
������ + ������-������
������ .
基 础
固
A.x≥4
高
B.x>4
4-x>0,解得 x<4,故选 D.
频
C.x≤4
D.x<4
考
向
探
究
基 础
考向三 二次根式的化简与计算
知 识
9.[2019·常德]下列运算正确的是 ( D )
巩
固
A. 3 + 4= 7
B. 12=3 2
高 频
C. (-2)2=-2
考
向
探
究
D.
164 =
21 3
基 础
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4节数的开方与二次根式命题点一二次根式的概念及性质
1. 下列二次根式中，最简二次根式是()
A. － 2
B. 12
C. 1
5 D. a
2
2. 下列二次根式中，与3是同类二次根式的是()
A. 18
B. 1
3 C. 2
4 D. 0.3
3. 下列各式化简后的结果为32的是()
A. 6
B. 12
C. 18
D. 36
命题点二二次根式有意义的条件
4. 要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A. x＞2
B. x≥2
C. x＜2
D. x＝2
5. 式子
a＋1
a－2
有意义，则实数a的取值范围是______________.
6. 使代数式
1
x＋3
＋4－3x有意义的整数x有________个．
命题点三平方根、算术平方根、立方根
7. 4的平方根是()
A. 16
B. 2
C. ±2
D. ± 2
8. 计算36的结果为()
A. 6
B. －6
C. 18
D. －18
命题点四二次根式的估值
9. 估计38的值在()
A. 4和5之间
B. 5和6之间
C. 6和7之间
D. 7和8之间
10. 下列实数，介于5和6之间的是()
A. 21
B. 35
C. 42
D. 3
64
11. 已知M＝2×8＋5，则M的取值范围是()
A. 8＜M＜9
B. 7＜M＜8
C. 6＜M＜7
D. 5＜M＜6
12. 估计7＋3的值在哪两个连续整数之间()
A. 3和4
B. 4和5
C. 5和6
D. 6和7
13.若3＜a＜10，则下列结论中正确的是()
A. 1＜a＜3
B. 1＜a＜4
C. 2＜a＜3
D. 2＜a＜4
14. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在()
第14题图
A. 段①
B. 段②
C. 段③
D. 段④
15. 关于8的叙述正确的是()
A. 在数轴上不存在表示8的点
B. 8＝2＋ 6
C. 8＝±2 2
D. 与8最接近的整数是3
命题点五二次根式的运算
16.下列运算正确的是()
A. 2＋3＝ 5
B. 22×32＝6 2
C. 8÷2＝2
D. 32－2＝3
17.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是()
A. －2a＋b
B. 2a－b
C. －b
D. b
第17题图
18. 计算27－61
3的结果是________．
19. 计算：418－92＝________.
20. 计算12＋8×6的结果是________．
21. 计算：(24＋1
6)×6＝________.
22. 计算：|2－5|－2(1
8－
10
2)＋
3
2
答案
1. A
2. B
3. C
4. B
5. a≥－1，且a≠2
6. 4
7. C
8. A
9. C10. B 11. C【解析】∵M＝16＋5＝4＋5，∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴6＜M＜7.
12. B【解析】∵ 6.25＜7＜9，∴2.5＜7＜3，∵ 2.25＜3＜4，∴1.5＜3＜2，∴4＜7＋3＜5，∴7＋3的值在4和5之间．
13. B
14.C【解析】∵32＝9，2.92＝8.41，2.82＝7.84，∴7.84＜8＜8.41，∴8应介于2.8与2.9之间．
15. D【解析】
16. C
17. A【解析】由题图可知：a＜0，a－b＜0，则|a|＋（a－b）2＝－a－(a－b)＝－2a＋b.
18. 319. 3220. 6321. 13
22. 解：原式＝5－2－1
2＋5＋
3
2
＝25－1.。