2017年高考三角函数真题集
三角函数与三角形-决胜2017年高考全国名校试题数学第一学期分项汇编
S 三角函数专题一、填空题 1.已知4tan 3α=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 2.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________．3.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于___________．4.设ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，若,,A B C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数的取值范围是____________．5. 已知π(0,)2α∈，π(,π)2β∈，1cos 3α=，53)sin(-=+βα，则cos β= ． 6.已知||3AB =|，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，△ADC ，△BCE 均为等边三角形，则△CDE 的外接圆的半径的最小值是 ．7.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .8.已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为 ．9.若(0,)2πα∈，cos()24παα-=，则sin 2α ． 10.设a ,b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得()()f m g m =，则a b += ．11.已知函数()sin()5f x kx π=+的最小正周期是3π，则正数的值为 ． 12.已知53cos()25πα+=，02πα-<<，则sin 2α的值是 ． 13.函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ． 14.函数1πcos()26y x =+的最小正周期为 ． 15.若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ．16.若角α的终边经过点P (a ，2a )(a<0)，则cos α= ． 17.在△ABC 中，BC ＝1，B ＝3π，△ABC 的面积S，则边AC 等于 ．18.函数y ＝2sin (2)6x π-与y 轴最近的对称轴方程是 ．19.设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.则A ωϕ++= 20.已知0＜α＜β＜π，且52sin sin ,51cos cos ==αβαβ ，则tan(β－α)的值为 ． 21.函数tan 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间为__________． 22.如图所示函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像，现将函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到函数()y g x =的图像，则函数()g x 的解析式为____________． 23.已知α为锐角，若3sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．24.已知角α的终边经过点(),6P x --，且4cos 5α=，则的值为_________. 25.函数()()sin 0f x x x x π=-≤≤的单调增区间是_________. 26.已知函数()sin 0,062f x A x A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+><<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 的坐标为()2,0.若23PRQ π∠=，则()y f x =的最大值是_________.27.已知()cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()13f α=，则sin α=____________．二、解答1. 已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,3f A b c ===，求()cos A B -的值．2. 如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2BC =百米，1CD =百米，0120BCD ∠=，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），EF 将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； （2）试求的值，使路EF 的长度y 最短．3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求A 的大小；（2）若AB AC ⋅△ABC 的面积．4.已知02παβπ<<<<，且5sin()13αβ+=，1tan 22α=．（1）求cos α的值； （2）证明：5sin 13β>．5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A ，点B （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.6.已知函数2()cos cos f x x x x =-． （1）求()f x 的值域和最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值．7.在△ABC 中，，，分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a b c <<，2sin b a B =． （1）求A 的大小；（2）若2a =，b =△ABC 的面积．8.已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C ．（1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，判断△ABC 的形状；（2）设向量(2sin ,s C = ，2(cos 2,2cos1)2C t C =- ，且//s t ，若1sin 3A =，求sin()3B π-的值．9. 在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且tan 2B =，tan 3C =．（1）求角A 的大小； （2）若3c =，求的长．10. 某城市有一直角梯形绿地A B C D ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； （2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．（第18题图11. 已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+ ，(1,cos())2b x ωϕ=+ (0,0)4πωϕ><<，记函数()()(f x a b a b=+⋅- ．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ． (1)求ω的值；(2)当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．12. 如图，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(sin cos )a b C C =+． (Ⅰ)求ABC ∠； (Ⅱ)若=2A π∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值．13. 在ABC V 中，已知6C π=，向量()sin ,1m A →=，()1,cos n B →=，且m n →→⊥. (1) 求A 的值；(2) 若点D 在边BC 上，且3BD BC =uu u r uu u r，AD，求△ABC 的面积．14. 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在¼MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．(1)若3PBC π∠=，求PQ 的长度；(2)当点P 选择在何处时，才能使得修建的小路»MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．15. 在ABC ∆中，点D 为BC 边上一点，且1,BD E =为AC的中点，32,cos ADB 23AE B π==∠=．（1）求sin BAD ∠； （2）求AD 及DC 的长．PDQN BA M16. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为3,,,cos 10a b c C =． （1）若92CA CB =，求ABC ∆的面积；（2）设向量(22sin ,,cos 2,12sin 2B x B y B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且//x y，求角B 的值．17.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为、、，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==.（1）若,m n c =,求角A ；（2）若43sin ,cos 5m n b B A ==, 求cos C 的值.18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cosB b A . （1）求B ；（2）若1cos sin 4A C =，求A .。
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：三角函数 含答案 精品
江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题 1、（红色七校2017届高三第二次联考）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，cosB=，则a +c 的值为2、（赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试（二））设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()220z x ny n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ） A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan 2y x =3、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知()s i n2017c o s 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π4、（赣州市2017届高三上学期期末考试）将函数()cos 2f x x ω=的图象向右平移34πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]46ππ-上为减函数，则正实数ω的最大值为（ ） A ．12 B ．1 C. 32D ．3 5、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+的值等于（ ） A ．13B．3C ．13-D．3-6、（江西省师大附中、临川一中2017届高三1月联考）已知将函数()21cos cos 2f x x x x =+-的图像向左平移512π个单位长度后得到()y g x =的图像，则()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为 （ ）A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 12⎡-⎢⎣⎦7、（新余市2017高三上学期期末考试）若函数()sin ()f x x x x R ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A.13 B.32 C.43 D.23 8、（宜春中学2017届高三2月月考）已知函数()sin()4f x x ππ=+和函数()c o s ()4g x x ππ=+在区间57[,]44-上的图像交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积是（ ）A.2B.449、（江西省重点中学协作体2017届高三下学期第一次联考）为了得到函数3cos 2y x =的图象，只需把函数3sin(2)6y x π=+的图象上所有的点 A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位 10、（九江市十校2017届高三第一次联考）︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C ．2D ．23-11、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A .6πB .4πC .3πD .2π二、解答题1、（红色七校2017届高三第二次联考）已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣3sin 2x ﹣cos 2x +3．（1）当x ∈[0，]时，求f （x ）的值域；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，=2+2cos （A +C ），求f （B ）的值．2、（赣中南五校2017届高三下学期第一次联考）已知函数，．（Ⅰ）若在上单调函数，求的取值范围；（Ⅱ）若时，在上的最小值为，求的表达式．3、（赣州市2017届高三上学期期末考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++.（1）证明：ABC ∆是正三角形；（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =sin BAD ∠的值.4、（宜春中学2017届高三2月月考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．（1）A=60°，B ；（2）已知c=2，B=150°，求边b 的长．5、（江西师范大学附属中学2017届高三12月月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c , 已知sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-（Ⅰ）求角B ； （Ⅱ）若3,cos b A ==求ABC ∆的面积.6、（南昌市八一中学2017届高三2月测试）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos 2cos C a cB b-=，且2a c +=． （1）求角B ；（2）求边长b 的最小值．7、（九江市十校2017届高三第一次联考）已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1sin sin B C R+=（其中R 为ABC ∆的外接圆的半径）且ABC ∆的面积22()S a b c =--. （1）求tan A 的值；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.参考答案一、选择、填空题1、 2、答案：C解析：作出可行域与目标函数基准线2y x n =-，由线性规划知识，可得当直线2nz x y =+过点()1 1B ，时，z 取得最大值，即122n +=，解得2n =；则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的解析式为tan 2tan 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为C.3、B4、B5、A6、B7、D8、C9、D10、A 11、D二、解答题1、解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=22、解：⑴，对称轴为． (1)分在上单调．或，····3分或．又，或．········5分⑵若，则，···6分当，即时，．···8分当，即时，．···10分综上所述：．······12分3、解：（1）由222a b c ac bc ca++=++得222()()()0a b b c c a-+-+-=…………………………………………………………3分所以0a b b c c a-=-=-=，所以a b c==………………………………………………4分即ABC∆是正三角形…………………………………………………………………………5分（2）因为ABC∆是等边三角形，2BC CD=，所以2AC CD=，120ACD∠=o…………………………………………………………7分所以在ACD∆中，由余弦定理可得：2222cosAD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，可得22744cos120CD CD CD CD=+-⋅o，解得1CD=………………………………9分在ABC∆中，33BD CD==，由正弦定理可得3sinsinBD BBADAD⋅∠===…………………………………………………12分4、解：（1）由正弦定理可知：∴b=7， 边b 的长7．5、解：（Ⅰ）因为所以ba c a cb a --=+， 所以222a b ac c -=-， 所以21cos 222a cb ac B ac ac +-===，又因为π<<B 0，所以3B π=（Ⅱ）由36cos ,3==A b 可得sin A =, 由BbA a sin sin =可得2=a ，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以ABC ∆的面积==C ab S sin 216、（I ）由已知cos 2sin sin ,cos sin C A CB B-=即()cos sin 2sin sin cos ,C B A C B =- ()sin 2sin cos ,B C A B +=7、 解：（1）由()22c b a S --=得A bc bc A bc cos 2-2sin 21= ……2分 ()412tan ,2sin 42cos 2sin ,cos 12sin 212==-=A A A A A A ……4分1582tan 12tan2tan 2=-=A A A …6分 （2）由RC B 1sin sin =+得2=+c b ……7分由158tan =A 得178sin =A ……9分1742174174sin 212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤==c b bc A bc S ……11分 当且仅当1==c b 时，取“=”号 于是，△ABC 的面积S 最大值为174.……12分。
2017年高考三角函数试题
2017年高考三角函数试题D5：答案：25解析：∵f (x )＝sin x －2cos x 5x －φ)，其中sin φ＝55，cos φ＝55.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝55-.6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cosx |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确． 7：（16年新课标3，文7）若tanθ=31，则cos2θ=( D ) （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）458：(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.8：答案：5π6解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位得，πcos 22y x ϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos(2x －π＋φ)＝ππsin 2π++=sin 222x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而它与函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ， 得5π+2π6k ϕ=，k ∈Z. 又－π≤φ＜π，∴5π6ϕ=.9：（16年新课标3，文科14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移___3π___个单位长度得到. 9：答案：5π610：（16年新课标2，文科3）函数的部分图像如图所示，则 ( A )=sin()y A x ωϕ+（A ）（B ） （C ） （D ） 11：(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．11： 答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.2sin(2)6y x π=-2sin(2)3y x π=-2sin(2+)6y x π=2sin(2+)3y x π=令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 12：（16年新课标1：文科6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( B ) （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) 两角和与差的正弦、余弦、正切1：（2014·新课标2，文科14）函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．[解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.2：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科2） 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos2α＞0答案：C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 3：(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )．A ．16B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++- ⎪-⎝⎭===.4：（16年新课标3，文科11）函数的最大值为( B )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75：(16年新课标1，文科14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. 5： 答案：54-解三角形17．(2012课标全国1，文17) 中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边满足，求．【命题意图】： 本试题主要考查了解三角形的运用。
2017年三角函数高考真题
8【. 2017年新课标Ⅲ卷，17】ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin A a 2 7 ，b2．
（1）求c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 △ABD 的面积．
3 cos A 0 ，
A． f (x) 的一个周期为 2π
B． y f (x) 的图像关于直线 x 8π 对称 3
C．
f
(x
)
的一个零点为
x
π 6
D．
f
(x)
在
(π 2
,
π)
单调递减
3.【2017 年新课标Ⅱ卷，14】函数 f x sin2 x
3
cos
x
3 4
（
x
0,
2
）的最大值
是
．
4. 【2017 年新课标Ⅱ卷，文 13】函数 f (x) 2 cos x sin x 的最大值为
.
5. （【 2017 年 新 课 标 Ⅱ 卷 ， 文 16 】 △ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ， 若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B= 6.【2017 年新课标Ⅰ卷，17】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC
2017 年 高考真题（三角）
2π
1.【2017 年新课标Ⅰ卷，9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结正确的
3
是（ ）
π A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6
最新-高考三角函数大题
2017-2018高考三角函数大题一．解答题（共14小题）2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．3．（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．6．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．10．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．11．（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．2017-2018高考三角函数大题参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．3．（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣6．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S=acsinB=，△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，∵S=ac•sinB=2，△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，故c=4．（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，∴cosC=，∴CD===∴CD=BC∵S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=×4×2×=2，∴S△ABD =S△ABC=10．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．11．（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．。
专题09 三角函数-三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编 Word版含解析
姓名，年级：时间：专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+,得()f x 是奇函数,其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B,C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数,排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f （x ）是偶函数 ②f （x )在区间（2π，π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f （x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数,故①正确．2sin cos ++x xx x当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =,它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2,故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象(如下图）,由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f （x )=｜cos2x ｜B ．f (x ）=|sin2x ｜C ．f (x )=cos ｜x ｜D ．f (x ）=sin|x ｜【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D; 因为cos cos y x x ==，周期为2π,排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知,其周期为π2，在区间（4π，2π)单调递增,A 正确；作出sin2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间（4π,2π）单调递减，排除B ， 故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数。
三角函数的图象与性质-2017年高考数学(理)母题题源系列(新课标2专版)含解析
【母题原题1】【2017新课标卷II ，理14】函数23()sin 34f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是 ____________． 【答案】1 【解析】化简得()22311cos 3cos 344f x x x x x =-+-=-+=23(cos 12x --+,由 [0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当3cos x =时,函数()f x 取得最大值1．【考点】 三角变换、复合型二次函数的最值【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置;③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．【母题原题2】【2016新课标卷II,理7】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图像的对称轴为(A ）x =26k ππ-（k ∈Z ) （B ）x =26k ππ+（k ∈Z )（C ）x =212k ππ-（k ∈Z ） （D)x =212k ππ+(k ∈Z ）【答案】B【考点】三角函数图像的变换与对称性【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值．【命题意图】 三角函数的图象与性质,高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想.【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等以下，热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定，且常常与三角变换结合在一起考查.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：把所给函数化为最简 化简的思路一般是化分式为整式,化高次为低次，且是项数尽可能的少,配方与辅助角公式是常用的2种方法。
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形 解答题全集 (学生版+解析版)
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．3．（2021•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C ＝2：1：√2，b=√2．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C−π6）的值．4．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x−π4）在[0，π2]上的最大值．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A ＝2sin B ，求b 、c ； （2）若cos （A −π4）=45，求c ．8．（2020•天津）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin （2A +π4）的值．9．（2020•北京）在△ABC 中，a +b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A =−17； 条件②：cos A =18，cos B =916． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ； （2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．21．（2019•浙江）设函数f （x ）＝sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数y ＝[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域． 22．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ．（1）求A；（2）若√2a+b＝2c，求sin C．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2√2，求BC．27．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．28．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．29．（2018•北京）在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=43，cos（α+β）=−√55．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（−35，−45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．32．（2018•北京）已知函数f（x）＝sin2x+√3sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[−π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．33．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）＝a sin2x+2cos2x．（1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin （2B ﹣A ）的值．37．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B =35． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin （2A +π4）的值．38．（2017•山东）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．39．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．40．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A +C ）＝8sin 2B2．（1）求cos B ；（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ．41．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x −π3）﹣2sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x ∈[−π4，π4]时，f （x ）≥−12．42．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +√3cos A ＝0，a ＝2√7，b ＝2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．43．（2017•江苏）已知向量a →=（cos x ，sin x ），b →=（3，−√3），x ∈[0，π]． （1）若a →∥b →，求x 的值；（2）记f （x ）=a →⋅b →，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值． 44．（2017•北京）在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积．45．（2017•浙江）已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求f （2π3）的值．（Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．【解答】解：（1）∵c＝2b cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin2B，∵C=2π3，∴当C＝2B时，B=π3，即C+B＝π，不符合题意，舍去，∴C+2B＝π，∴2B=π3，即B=π6．（2）选①c=√2b，由正弦定理可得c b =sinCsinB=√3212=√3，与已知条件c=√2b矛盾，故△ABC不存在，选②周长为4+2√3，∵C=2π3，B=π6，∴A=π6，由正弦定理可得asinA =bsinB=csinC=2R，即a12=b12=√32=2R，∴a=R，b=R，c=√3R，∴a+b+c＝（2+√3）R＝4+2√3，∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2√3，∴△ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D，∴CD＝1，在△ACD中，运用余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即AD2=4+1−2×2×1×(−12)=7，AD=√7，∴BC边上的中线的长度√7．选③面积为S△ABC=3√3 4，∵A=B=π6，∴a＝b，∴S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos 2π3=3+34+√3×√32=214，AD=√212．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵2sin C＝3sin A，∴根据正弦定理可得2c＝3a，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=42+52−622×4×5=18，∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C=√1−cos2C=√1−(18)2=3√78，∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3√78=15√74．（II）∵c＞b＞a，∴△ABC 为钝角三角形时，角C 必为钝角，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)＜0， ∴a 2﹣2a ﹣3＜0， ∵a ＞0， ∴0＜a ＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴a +b ＞c ，即a +a +1＞a +2，即a ＞1， ∴1＜a ＜3， ∵a 为正整数， ∴a ＝2．3．（2021•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，b =√2． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值； （3）求sin （2C −π6）的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，∴a ：b ：c ＝2：1：√2， ∵b =√2，∴a ＝2b ＝2√2，c =√2b ＝2．（2）△ABC 中，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =2×2√2×√2=34．（3）由（2）可得sin C =√1−cos 2C =√74，∴sin2C ＝2sin C cos C =3√78，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=18， sin （2C −π6）＝sin2C cos π6−cos2C sinπ6=3√21−116． 4．（2021•浙江）设函数f （x ）＝sin x +cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求函数y ＝[f （x +π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）f （x −π4）在[0，π2]上的最大值．【解答】解：函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin(x +π4)，（Ⅰ）函数y ＝[f （x +π2）]2＝[√2sin(x +π2+π4)]2＝2cos 2（x +π4）＝1+cos[2（x+π4）]＝1+cos（2x+π2）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x−π4）=√2sin(x+π4)⋅√2sin(x−π4+π4)＝（√2(sin x+cos x）sin x=√2(sin2x+sinxcosx)=√2(1−cos2x2+12sin2x)=sin（2x−π4）+√22，因为x∈[0，π2]，所以2x−π4∈[−π4，3π4]，所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，f（x）max＝1+√22．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．【解答】解：（1）由余弦定理得cos A=−12=b2+c2−a22bc=5c2−94c2，解得c2=9 7，∴S△ABC=12bcsinA=√34×2c2=9√314；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sin B＝2sin C，又∵2sin B﹣sin C＝1，∴sin C=13，sin B=23，∴sin C＜sin B，∴C＜B，∴C为锐角，∴cos C=√1−(13)2=2√23．由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又∵a＝3，b＝2c，∴c2＝9+4c2﹣8√2c，得：3c2﹣8√2c+9＝0，解得：c=4√2±√53．当c=4√2+√53时，b=8√2+2√53，∴C△ABC＝3+4√2+√5；当c=4√2−√53时，b=8√2−2√53，∴C△ABC＝3+4√2−√5．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=c sin∠ACB=2R ，∴b ＝2R sin ∠ABC ，c ＝2R sin ∠ACB ，∵b 2＝ac ，∴b •2R sin ∠ABC ＝a •2R sin ∠ACB ， 即b sin ∠ABC ＝a sin C ， ∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ， ∴BD ＝b ；（2）法一：由（1）知BD ＝b ， ∵AD ＝2DC ，∴AD =23b ，DC =13b ，在△ABD 中，由余弦定理知，cos ∠BDA =BD 2+AD 2−AB 22BD⋅AD =b 2+(23b)2−c 22b⋅23b =13b 2−9c 212b 2， 在△CBD 中，由余弦定理知，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD =b 2+(13b)2−a 22b⋅13b =10b 2−9a 26b 2， ∵∠BDA +∠BDC ＝π， ∴cos ∠BDA +cos ∠BDC ＝0， 即13b 2−9c 212b 2+10b 2−9a 26b 2=0，得11b 2＝3c 2+6a 2， ∵b 2＝ac ，∴3c 2﹣11ac +6a 2＝0， ∴c ＝3a 或c =23a ，在△ABC 中，由余弦定理知，cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac2ac， 当c ＝3a 时，cos ∠ABC =76＞1（舍）； 当c =23a 时，cos ∠ABC =712； 综上所述，cos ∠ABC =712．法二：∵点D 在边AC 上且AD ＝2DC ， ∴BD →=13BA →+23BC →，∴BD →2=13BA →⋅BD →+23BC →⋅BD →，而由（1）知BD＝b，∴b2=13bc⋅cos∠ABD+23ab⋅cos∠CBD，即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，∴11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c=23 a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，当c＝3a时，cos∠ABC=76＞1（舍）；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=7 12．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A−π4）=45，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C=a2+b2−c22ab=22+12−c22×2×1=−14，可得c=√6．（2）因为cos（A−π4）=√22（cos A+sin A）=45，可得cos A+sin A=4√2 5，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A=7√210，sin A=√210，或sin A=7√210，cos A=√210，因为cos C=−14，可得sin C=√154，tan C=−√15，可得C为钝角，若sin A=7√210，cos A=√210，可得tan A＝7，可得tan B＝﹣tan（A+C）=tanA+tanCtanAtanC−1=7−√157×(−√15)−10，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，所以sin A=√210，由正弦定理2sinA=csinC，可得c=5√302．8．（2020•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2√2，b＝5，c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a＝2√2，b＝5，c=√13，则cos C=a2+b2−c22ab=2×2√2×5=√22，∵C∈（0，π），∴C=π4；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=π4，a＝2√2，c=√13，可得sin A=asinCc=2√2×√22√13=2√1313；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=2√1313，可得cos A=√1−sin2A=3√1313，则sin2A＝2sin A cos A＝2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A＝2cos2A﹣1=5 13，∴sin（2A+π4）=√22（sin2A+cos2A）=√22（1213+513）=17√226．9．（2020•北京）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−1 7；条件②：cos A=18，cos B=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2﹣b2＝49﹣14b×（−17）＝49+2b ， ∴（a +b ）（a ﹣b ）＝49+2b ， ∵a +b ＝11， ∴11a ﹣11b ＝49+2b ， 即11a ﹣13b ＝49，联立{a +b =1111a −13b =49，解得a ＝8，b ＝3，故a ＝8．（Ⅱ）在△ABC 中，sin A ＞0， ∴sin A =√1−cos 2A =4√37， 由正弦定理可得a sinA=c sinC，∴sin C =csinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12ab sin C =12×8×3×√32=6√3．选择条件②（Ⅰ）在△ABC 中，sin A ＞0，sin B ＞0，C ＝π﹣（A +B ）， ∵cos A =18，cos B =916， ∴sin A =√1−cos 2A =3√78，sin B =√1−cos 2B =5√716， 由正弦定理可得a sinA=b sinB，∴ab =sinA sinB=65，∵a +b ＝11， ∴a ＝6，b ＝5， 故a ＝6；（Ⅱ）在△ABC 中，C ＝π﹣（A +B ），∴sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√78×916+5√716×18=√74， ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×5×√74=15√7410．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．【解答】解：（1）由于f （x ）的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f （x ）＝sin 12x ．令sin 12x =12，故12x =2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3． 故解集为{x |x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3，k ∈Z }． （2）由于ω＝1， 所以f （x ）＝sin x ．所以g （x ）=sin 2x +√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x 2−√32sin2x =−√32sin2x −12cos2x +12=12−sin （2x +π6）． 由于x ∈[0，π4]，所以π6≤2x +π6≤2π3．12≤sin(2x +π6)≤1，故−1≤−sin(2x +π6)≤−12， 故−12≤g(x)≤0．所以函数g （x ）的值域为[−12，0]．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．【解答】解：（1）△ABC 中，B ＝150°，a =√3c ，b ＝2√7，cos B =a 2+c 2−b 22ac =222√3c 2=−√32，∴c ＝2（负值舍去），a ＝2√3， ∴S △ABC =12acsinB =12⋅2√3⋅2⋅12=√3． （2）sin A +√3sin C =√22，即sin （180°﹣150°﹣C ）+√3sinC =√22，化简得12cosC +√32sinC =√22， sin （C +30°）=√22， ∵0°＜C ＜30°， ∴30°＜C +30°＜60°， ∴C +30°＝45°， ∴C ＝15°．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：①ac =√3．△ABC 中，sin A =√3sin B ，即b =√33a ， ac =√3，∴c =√3a ， cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+a 23−3a22√3a 23=√32，∴a =√3，b ＝1，c ＝1． ②c sin A ＝3．△ABC 中，c sin A ＝a sin C ＝a sinπ6=3，∴a ＝6．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ，∴b =2√3．cos C =a 2+b 2−c 22ab =36+12−c 22×6×2√3=√32， ∴c =2√3． ③c =√3b ．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ， 又∵c =√3b ，cos C =a 2+b 2−c 22ab =√36≠cos π6，与已知条件C =π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．【解答】解：（1）因为a ＝3，c =√2，B ＝45°．，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC=b sinB，所以sin C =c b•sin45°=√2√5√22=√55，所以sin C =√55；（2）因为cos ∠ADC =−45，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC ＝sin （∠ADC +∠C ）＝sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 所以tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ；（2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解答】解：（1）∵cos 2（π+A ）+cos A ＝sin 2A +cos A ＝1﹣cos 2A +cos A =54，∴cos 2A ﹣cos A +14=0，解得cos A =12， ∵A ∈（0，π）， ∴A =π3；（2）证明：∵b ﹣c =√33a ，A =π3， ∴由正弦定理可得sin B ﹣sin C =√33sin A =12，∴sin B ﹣sin （2π3−B ）＝sin B −√32cos B −12sin B =12sin B −√32cos B ＝sin （B −π3）=12， ∵B ∈(0，2π3)，B −π3∈（−π3，π3）， ∴B −π3=π6，可得B =π2，可得△ABC 是直角三角形，得证．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵2b sin A =√3a ， ∴2sin B sin A =√3sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =√32，∵△ABC 为锐角三角形， ∴B =π3，（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形，B =π3， ∴C =2π3−A ，∴cos A +cos B +cos C ＝cos A +cos （2π3−A ）+cosπ3=cos A −12cos A +√32sin A +12=12cos A +√32sin A +12=sin （A +π6）+12， △ABC 为锐角三角形，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2， 解得π6＜A ＜π2，∴π3＜A +π6＜2π3， ∴√32＜sin （A +π6）≤1， ∴√32+12＜sin （A +π6）+12≤32，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为（√3+12，32]． 16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．【解答】解：（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ， 由正弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝bc ， 即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， 由0＜A ＜π，可得A =2π3； （2）由题意可得a ＝3， 又B +C =π3，可设B =π6−d ，C =π6+d ，−π6＜d ＜π6， 由正弦定理可得3sin 2π3=b sinB=c sinC=2√3，可得b ＝2√3sin （π6−d ），c ＝2√3sin （π6+d ）， 则△ABC 周长为a +b +c ＝3+2√3[sin （π6−d ）+sin （π6+d ）]＝3+2√3（12cos d −√32sin d +12cos d +√32sin d ），＝3+2√3cos d ，当d ＝0，即B ＝C =π6时，△ABC 的周长取得最大值3+2√3． 另解：a ＝3，A =2π3，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴9＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ≥（b +c ）2−14（b +c ）2， 由b +c ＞3，则b +c ≤2√3（当且仅当b ＝c 时，“＝”成立）， 则△ABC 周长的最大值为3+2√3．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．【解答】解：f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1＝1﹣cos2x ﹣2（1+cos2x ）+1＝﹣3cos2x ． （1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π；（2）g （x ）＝f （x2）=−3cos(2⋅x2)=−3cosx ，∵x ∈[0，π3]，∴﹣3cos x ∈[﹣3，−32]．即g （x ）在区间[0，π3]的最大值为−32，最小值为﹣3．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）【解答】解：（1）由题意可得，BC ＝BD sin22°，弧BC 所在的圆的半径R ＝BC sin π4=√22BC ， 弧BC 的长度为12πR =12π⋅BC ⋅√22=√24×3.141×39.2×sin22°=16.310km ； （2）根据正弦定理可得，BD sinA=AB sin58°，∴sin A =39.240×sin58°=0.831，A ＝56.2°， ∴∠ABD ＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°， ∴DH ＝BD ×sin ∠ABD ＝35.750km ＜CD ＝36.346km ∴D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离为35.750km19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解答】解：（1）a sin A+C 2=b sin A ，即为a sinπ−B 2=a cosB 2=b sin A ，可得sin A cosB 2=sin B sin A ＝2sin B 2cos B 2sin A ，∵sin A ＞0， ∴cosB 2=2sin B 2cos B2，若cos B 2=0，可得B ＝（2k +1）π，k ∈Z 不成立，∴sinB 2=12，由0＜B ＜π，可得B =π3；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，由余弦定理可得b =√a 2+1−2a ⋅1⋅cos π3=√a 2−a +1，由三角形ABC 为锐角三角形，可得a 2+a 2﹣a +1＞1且1+a 2﹣a +1＞a 2，且1+a 2＞a 2﹣a +1， 解得12＜a ＜2，可得△ABC 面积S =12a •sinπ3=√34a ∈（√38，√32）． 20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理bsinB=c sinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ．又因为b +c ＝2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a =−14．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B =√1−cos 2B =√154，从而sin2B ＝2sin B cos B =−√158，cos2B＝cos2B﹣sin2B=−7 8，故sin（2B+π6）＝sin2B cosπ6+cos2B sinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．21．（2019•浙江）设函数f（x）＝sin x，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．【解答】解：（1）由f（x）＝sin x，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2＝sin2（x+π12）+sin2（x+π4）=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2＝1−12(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6−sin2x)=34sin2x−√34cos2x+1 =√32sin(2x−π6)+1，∵x∈R，∴sin(2x−π6)∈[−1，1]，∴y=√32sin(2x−π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．22．（2019•北京）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32，由正弦定理有：csinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C =√32×1114−(−12)×5√314 =4√37．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． a ＝3c ，b =√2，cos B =23， ∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =10c 2−26c 2=23， 解得c =√33． （2）∵sinA a=cosB 2b， ∴由正弦定理得：sinA a=sinB b=cosB 2b，∴2sin B ＝cos B ，∵sin 2B +cos 2B ＝1， ∴sin B =√55，cos B =2√55， ∴sin （B +π2）＝cos B =2√55．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【解答】解：（1）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（2）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：a sinA=b sinB，∴sin A =asinB b =3×√327=3√314，∴sin （B +C ）＝sin （π−A ）＝sin A =3√314． 25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． （1）求A ；（2）若√2a +b ＝2c ，求sin C ．【解答】解：（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． ∴sin 2B +sin 2C ﹣2sin B sin C ＝sin 2A ﹣sin B sin C ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0＜A ＜π，∴A =π3． （2）∵√2a +b ＝2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC 解得sin （C −π6）=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sin C ＝sin （π4+π6）＝sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．（1）求cos ∠ADB ； （2）若DC ＝2√2，求BC ．【解答】解：（1）∵∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． ∴由正弦定理得：AB sin∠ADB=BD sin∠A，即2sin∠ADB=5sin45°，∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB ＜BD ，∴∠ADB ＜∠A ， ∴cos ∠ADB =1−(√25)2=√235．（2）∵∠ADC ＝90°，∴cos ∠BDC ＝sin ∠ADB =√25， ∵DC ＝2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8−2×5×2√2×√25=5．27．（2018•全国）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）证明a 2+b 2﹣c 2＝ab ； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）∵在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1， ∴由正弦定理得：a sinA=b sinB =c sinC=2R ＝2，∴sin A =a2，sin B =b 2，sin C =c2， ∵2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ， ∴2（a 24−c 24）＝（a ﹣b ）•b2，化简，得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ， 故a 2+b 2﹣c 2＝ab ． 解：（2）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，解得C =π3， ∴c ＝2sin C ＝2•√32=√3．28．（2018•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA=b sinB，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sinB ，∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√7，由b sin A ＝a cos （B −π6），得sin A =√3√7，∵a ＜c ，∴cos A =√7， ∴sin2A ＝2sin A cos A =4√37， cos2A ＝2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）＝sin2A cos B ﹣cos2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 29．（2018•北京）在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB得sin A =asinB b =7×4√378=√32，则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tan α=43，cos （α+β）=−√55．（1）求cos2α的值； （2）求tan （α﹣β）的值．【解答】解：（1）由{sinαcosα=43sin 2α+cos 2α=1α为锐角，解得{sinα=45cosα=35，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=−725；（2）由（1）得，sin2α=2sinαcosα=2425，则tan2α=sin2αcos2α=−247． ∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），∴sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=2√55． 则tan （α+β）=sin(α+β)cos(α+β)=−2．∴tan （α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （−35，−45）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （−35，−45）．∴x =−35，y =−45，r ＝|OP |=√(−35)2+(−45)2=1， ∴sin （α+π）＝﹣sin α=−yr =45； （Ⅱ）由x =−35，y =−45，r ＝|OP |＝1， 得sinα=−45，cosα=−35， 又由sin （α+β）=513， 得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±√1−(513)2=±1213， 则cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=1213×(−35)+513×(−45)=−5665， 或cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1213×(−35)+513×(−45)=1665． ∴cos β的值为−5665或1665． 32．（2018•北京）已知函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：（I ）函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x =1−cos2x 2+√32sin2x ＝sin （2x −π6）+12， f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6，2m −π6]， 即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．33．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ． （1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）＝﹣a sin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），∴﹣a sin2x +2cos 2x ＝a sin2x +2cos 2x ， ∴2a sin2x ＝0， ∴a ＝0；（2）∵f （π4）=√3+1，∴a sin π2+2cos 2（π4）＝a +1=√3+1，∴a =√3，∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1＝2sin （2x +π6）+1， ∵f （x ）＝1−√2，∴2sin （2x +π6）+1＝1−√2， ∴sin （2x +π6）=−√22，∴2x +π6=−π4+2k π，或2x +π6=54π+2k π，k ∈Z ， ∴x =−5π24π+k π，或x =1324π+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[﹣π，π]，∴x =13π24或x =19π24或x =−5π24或x =−11π24 34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值 【解答】解：（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]， 则cos α=13，则sin α=√1−(13)2=√89=2√23， 则f(α−π3)=cos （α−π3）＝cos αcos π3+sin αsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．（2）函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）＝cos2x ﹣2cos x ＝2cos 2x ﹣2cos x ﹣1＝2（cos x −12）2−32， ∵﹣1≤cos x ≤1，∴当cos x =12时，函数取得最小值，最小值为−32．35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12 ＝cos2x +12，x ∈（0，π），由2k π﹣π≤2x ≤2k π，解得k π−12π≤x ≤k π，k ∈Z ， k ＝1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5， 若f （A ）＝0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6＝0， 解得c ＝2或3， 若c ＝2，则cos B =19+4−252×√19×20，即有B 为钝角，c ＝2不成立， 则c ＝3，△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×5×3×√32=15√34． 36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由asinA =bsinB，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：a4b =ba，∴a＝2b．由ac=√5(a2−b2−c2)，得b2+c2−a2=−√55 ac，由余弦定理，得cosA=b2+c2−a22bc=−√55acac=−√55；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sinA=2√55，代入a sin A＝4b sin B，得sinB=asinA4b=√55．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=2√5 5．于是sin2B=2sinBcosB=45，cos2B=1−2sin2B=35，故sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A=sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA= 45×(−√55)−35×2√55=−2√55．37．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B=3 5．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B=35，可得cos B=45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sin A=asinBb=3√1313．∴b=√13，sin A=3√13 13；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A=2√1313，∴sin2A＝2sin A cos A=1213，cos2A＝1﹣2sin2A=−5 13．。
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2017年高考三角函数真题集1701、（17全国Ⅰ理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ D ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 21702、（17全国Ⅰ理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.解：（1）32sin sin =C B （2）ABC ∆的周长333+ 1703、（17全国Ⅰ文8）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ C ）A B C C1704、（17全国Ⅰ文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =（ B ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π31705、（17全国Ⅰ文14）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=______10103____。
1706、（17全国Ⅱ理14）函数()23sin 34f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 1 ． 1707、（17全国Ⅱ理17）ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin 2BA C +=，（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．解：（1）15cosB=cosB 171（舍去），=（2）∴2=b1708、（17全国Ⅱ文3）函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为（ C ）A.4πB.2πC. πD.2π 1709、（17全国Ⅱ文13）函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为5 .1710、（17全国Ⅱ文16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 3π 1711、（17全国Ⅲ理6）．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是（ D ） A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减1712、（17全国Ⅲ理17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =0，a =27,b =2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求ABD ∆的面积．解： （1）4=c （2）⨯⨯∠=∆142sin 23，所以的面积为 3.2BAC ABD 1713、（17全国Ⅲ文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ A ）A ．79-B ．29-C ． 29D ．791714、（17全国Ⅲ文6）函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为（ A ） A ．65 B ．1 C ．35 D ．151715、（17全国Ⅲ文7）函数y =1+x +2sin xx的部分图像大致为（ D ）A B C D ． 1716、（17北京理12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=______79-_____. 1717、（17北京理15）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.答案（1）1433 （2）1139S =sin =733322144△=⨯⨯⨯⨯ABC ac B 1718、（17北京文9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=____31_____．1719、（17北京文16）已知函数()3cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 解：（Ⅰ）2ππ2T ==. （Ⅱ）1()2f x ≥-.1720、（17山东理9）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（ A ）（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A1721、（17山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ B ）（A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C ）()0,223,⎤⎡+∞⎦⎣（D ）([)0,23,⎤+∞⎦1722、（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.解：2=ω 最小值23-1723、（17山东文4）已知cosx=，则cos2x=（ D ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．1724、（17山东文17）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b=3，6-=•AC AB ，3=∆ABC S ，求A 和a ．解：A=135°， a=1725、（17天津理4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的( A ) （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件1726、（17天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( A )（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=-（C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=1727、（17天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 解：b 的值为13，sin A 的值为31313. πππ72sin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A +=+=πππ72sin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+= 1728、（17天津文7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则( A )（A ）2π,312ωϕ== （B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==- （D ）17π,324ωϕ==1729、（17天津文15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.解：(1)55-(2)255-1730、（17江苏5）若61)4tan(=-πα，则tanα= 57． 1731、（17江苏12）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，，OA 与OC 的夹角为α，且tanα=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OB n OA m OC +=),(R n m ∈，则=+n m 31732、（17江苏16）已知向量)sin ,(cos x x a =，)3,3(-=b ，],0[π∈x 。
（1）若∥，求x 的值； （2）记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：（1）x=，（2）当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当65π=x 时，f （x ）有最小值，最大值﹣2．1733、(17年浙江7)函数y=f (x )的导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ D ）（第7题图）【解析】原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内.故选D.1734、(17年浙江14)已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC的面积是____152_______，cos ∠BDC =_____104______.1735、(17年浙江18)已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23sin x cos x （x ∈R ）．（1）求f （2π3）的值．（2）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．解：（1）f （2π3）=2．（2）f （x ）的单调递增区间是[π6+kπ，3π2+2kπ]，k ∈Z ．。