Newmark-精细积分方法的选择及稳定性
固体力学中的数值方法_Newmark算法
Newmark 算法程序计算报告1.Newmark 算法理论基础在~t t t +∆的时间区域内，Newmark 积分方法采用下列的假设，即()2112t t t t t t t tt t t t t t t tδδαα+∆+∆+∆+∆=+-+∆⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+∆+-+∆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a a a a a a a a a （1.1） 其中α和δ是按积分精度和稳定性要求决定的参数。
另一方面，α和δ取不同的值则代表了不同的数值积分方案。
当1/6,1/2αδ==时，（1.1）式相应于线性加速度法，因为这时他们可以由下式得到()/ (0)t t t t t t t t ττ+∆+∆=+-∆≤≤∆a a a a （1.2）当1/4,1/2αδ==时，Newmark 算法相应于常平均加速度法这样一种无条件稳定的积分方案。
此时，t ∆内的加速度为()12t t t t t +∆+∆=+a a a （1.3） 因此，将（1.1）式可以得到()211112t t t t t t t t t ααα+∆+∆⎛⎫=---- ⎪∆∆⎝⎭a a a a a （1.4） 代入到动力学平衡方程中可以得到22111112 112t t t t t t t t t t t t t t t t δαααααδδδααα+∆+∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++-+ ⎪ ⎪⎢⎥∆∆∆∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-∆ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦K M C a Q M a a a C a a a （1.5）2.Newmark 算法计算步骤（1）形成刚度矩阵 K 、质量矩阵M 、阻尼矩阵 C 。
（2）给定0 a ，0a ，和0a（3）选择时间步长t ∆及参数α和δ，并计算积分常数。
这里要求：()20.5,0.250.5δαδ≥≥+()012324567111,,,121,2,1,2c c c c t t t t c c c t c t δααααδδδδαα====-∆∆∆∆⎛⎫=-=-=∆-=∆ ⎪⎝⎭（4）形成有效刚度矩阵01ˆˆc c + K :K =K +M C （5）三角分解ˆˆTK:K =LDL 对于每一个时间步长（1）计算时间t t +∆的有效载荷()()023145ˆt t t t t t t t t t c c c C c c c +∆+∆=++++++Q Q M a a a a a a（2）求解时间t t +∆的位移ˆT t t t t+∆+∆=LDL a Q （3）计算时间t t +∆的加速度和速度()02367t t t t t t t t t t t t tc c c c c +∆+∆+∆+∆=---=++a a a a a a a a a3.程序设计思路（1） 读入质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷列向量；读入初始状态值，如初始位移、初始速度、初始加速度；读入控制变量，如时间步长、时间步； （2） 计算8个积分常数；（3） 计算有效刚度矩阵ˆK并对有效刚度矩阵ˆK 进行LU 分解； （4） 求解时间t t +∆的有效载荷向量ˆt t+∆Q ； （5） 求解时间t t +∆的位移t t +∆a ；（6） 求解时间t t +∆的的加速度t t +∆a 和速度t t +∆a （7）计算下一时刻的有效载荷向量并循环。
Newmark-精细积分方法的选择及稳定性
2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值 、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法 。直接积分方法包括传统的中心差分 方法 、W ilson法 、Newmark法 等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵 的精细算法能够获得高度精确的结果 。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度 数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍 。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构 中 ,则存在矩阵尺度太大的困难 。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微 分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变 。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法 。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数 。 然后通过以下方式得到 :
基于Newmark法的一种新精细直接积分法
方 程 （ ） ｔ 时刻 的解 并经 过 数值 离散 化 为： ６在
川 ： ＋
ｆ ｘＤ 一）（ｄ， ｅ（（ ｓ．） ｐ ）ｓｓ 厂
（ ７ ）
精 细积分 法 中指 数 矩阵 １＝ ｘ （ ）的计算 步骤 为 ’ ｅｐ Ｄｈ （ ） 指数矩 阵 ｅｐ Ｄ叼） 开 为泰勒 级数 （ ｈ ２ 一般 Ｎ＝２ ） １将 ｘ（ 展 叼＝ ／ ， ０：
＝ 一
（） ３
（） ４
（
＋ｃ Ｋ 川 ＋（ ｘ
＋ｃ （
ｉ ＋
＋ １ ）’
（） ５
收稿 日期 ：０ ６—１ ｏ ２０ １一 ３ 构分析与设计。
基金项 目： 国家 自然科学 基金项 目（０ ７ １７ 。 １５ ２ ０ ）
作者简介 ： 郭泽英 （９４ ）女 ， 临汾人 ， 师范大学讲师 ， １７一 ， 山西 山西 西安建 筑科技大学博士生 ， 主要研究 方向为高层建筑结
维普资讯
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学
报
第２ ３卷
将式（） ５ 写成状 态 方程 的一 般形 式 ， ： 即
：Ｄ ＋ ｘ ｆ
， ＇
（） ６
其 中 ： Ｄ： 一（ Ｍ ＋ｃ） ～Ｋ．
．＝（ Ｍ ＋ｃ） （ Ｍ ． Ｍ ， Ｆ ）－ 厂 ＋ ＋
Ｉ＝ ｔ １ ４ ・ｈ ， 。＋ ／
， ，
） ，
Ｔ ： ｘ （ ・ 一） ２ ｅｐ Ｄ ，
２： ｔ ＋ Ｉ ２ ・ｈ， ／
。
７ ：ｅｐ Ｄ ・ ＂ ｘ（ ３
［ 中图分类号 ］ Ｔ ３ １３ Ｕ ｌ．
离散系统的动力微分方程一般表示为 ： Ｍｘ＋ＣFra bibliotekｘ＋Ｋ ＝Ｆ ｘ
matlab newmark法
matlab newmark法Matlab Newmark法是一种非线性动力学分析方法，主要用于求解动力学系统的时间响应。
该方法由Newmark在20世纪50年代提出，在工程结构领域得到了广泛应用。
本文将分步骤回答关于Matlab Newmark法的问题，包括算法原理、计算步骤、优缺点以及实际案例的应用。
一、算法原理1.1 基本原理Matlab Newmark法是一种基于离散时间步长的计算方法。
其基本原理是通过将系统的运动方程转化为等效的一阶微分方程组，然后使用步进法进行数值求解。
该方法采用了二阶精度的数值积分公式，具有较高的计算精度和稳定性。
1.2 新马克法公式Matlab Newmark法的核心公式为：δu(t+Δt) = u(t) + Δt * v(t) + Δt^2 * (0.5 - β) * a(t)δv(t+Δt) = v(t) + Δt * (1 - γ) * a(t)δa(t+Δt) = (1 - γ) * a(t) + γ* a(t+Δt)其中，δ表示增量，u(t)、v(t)和a(t)分别表示位移、速度和加速度在时间t的值，β和γ为Newmark法的两个参数。
二、计算步骤2.1 确定系统参数首先，需要确定系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，以及外部激励载荷等参数。
2.2 确定时间步长根据求解精度和计算效率的要求，选择合适的时间步长Δt。
2.3 初始化位移、速度和加速度给定初始位移、速度和加速度的值。
2.4 进行时间循环使用Newmark法的公式，根据当前时刻的位移、速度和加速度的值，计算下一时刻的位移、速度和加速度。
2.5 判断收敛条件在每个时间步长内，判断计算结果是否满足收敛要求。
如果满足要求，则继续计算下一个时间步长；如果不满足要求，则重新选择适当的步长，并重新进行计算。
2.6 输出结果将每个时间步长内计算得到的位移、速度和加速度的值保存起来，以获取系统的时间响应曲线。
三、优缺点3.1 优点Matlab Newmark法具有以下优点：- 可以处理复杂的非线性动力学系统。
结构动力学newmark法程序
用matlab编程实现Newmark-β法计算多自由度体系的动力响应姓名：***学号：**************专业：结构工程用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
newmark法程序法计算多自由度体系地动力响应
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。
Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。
当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。
研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。
由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。
Newmark
多自由度系统的振动——Newmark-β数值积分方法要求：（1）计算程序可以求出多自由度系统在任意荷载作用下的响应；（2）编写程序流程图；（3）做示例验算；（4）总结分析算法的稳定性及精度。
算例：计算图示结构的响应。
阻尼采用Rayleigh阻尼，α、β值自拟。
答：（1）程序流程图：是否（2）程序代码：%Newmark-β法求多自由度结构的响应dt=0.001; %计算时间间隔a=0.0452; b=0.0463; %计算阻力矩阵的α，β(Rayleigh阻尼) A=0.5;B=0.25; %Newmark-β法中的α，βa0=1/(A*dt^2); a1=B/(A*dt); a2=1/(A*dt); a3=1/(2*A)-1;a4=B/A-1; a5=dt/2*(B/A-2); a6=dt*(1-B); a7=B*dt;%计算所需数据T=30; %计算终点时刻n=T/dt+1;t=0:dt:T; %时间向量m=3; %质点个数M=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]; %质量矩阵y=ones(m,n); %位移矩阵v=ones(m,n); %速度矩阵ac=ones(m,n); %加速度矩阵%确定初始位移、初速，计算初始加速度y(:,1)=[0;0;0];v(:,1)=[0;0;0];%K=[t(1)+1,0,0;0,t(1)+1,0;0,0,t(1)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵K=[1,-1,0;-1,3,-2;0,-2,5];%常量刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(1));0;0]; %t0时刻荷载向量ac(:,1)=M\(F-C*v(:,1)-K*y(:,1)); %t0时刻加速度%计算等效刚度矩阵、位移向量、加速度向量、速度向量fori=2:n%K=[t(i)+1,0,0;0,t(i)+1,0;0,0,t(i)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(i));0;0];F1=F+M*(a0*y(:,i-1)+a2*v(:,i-1)+a3*ac(:,i-1))...+C*(a1*y(:,i-1)+a4*v(:,i-1)+a5*ac(:,i-1)); %等效力K1=K+a0*M+a1*C; %等效刚度矩阵y(:,i)=K1\F1; %计算位移向量ac(:,i)=a0*(y(:,i)-y(:,i-1))-a2*v(:,i-1)-a3*ac(:,i-1);%计算加速度向量v(:,i)=v(:,i-1)+a6*ac(:,i-1)+a7*ac(:,i);%计算速度向量end%提取某些指点的位移、速度、加速度向量，绘制响应图plot(t,y(1,:),':b',t,y(2,:),'-r',t,y(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('位移y');figure(2)plot(t,v(1,:),':b',t,v(2,:),'-r',t,v(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('速度v');figure(3)plot(t,ac(1,:),':b',t,ac(2,:),'-r',t,ac(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('加速度ac');程序运行结果：（3）算法稳定性及精度Newmark-β法基于泰勒公式将t(k+1)时刻的速度、位移在t(k)时刻展开，并将未知项做近似替换。
newmarkbeta法 -回复
newmarkbeta法-回复什么是newmarkbeta法？Newmarkbeta法，也被称为Wilson-Newmark法，是一种数值积分方法，用于求解结构动力学问题。
它是基于普通微分方程的数值求解方法之一，适用于求解线性和非线性、自由和强迫响应的结构动力学问题。
该方法基于Newmark积分方法，考虑了质量矩阵和刚度矩阵对结构响应的影响，通过引入一个积分参数beta，使得在不同的参数设定下可以得到不同阶数的数值积分方法。
注意事项：在使用Newmarkbeta法时，需要明确一些注意事项：1. 时间步长的选择：时间步长需要根据所研究的问题和模型的特性来进行选择。
通常情况下，较小的时间步长可以提高精度，但也增加了计算量。
如果时间步长选择过大，可能会导致数值解的不稳定性。
2. 弛豫因子的选择：在Newmarkbeta法中，引入了一个松弛因子gamma来平衡速度和加速度的权重。
gamma为0.5时，等效于中点积分法。
gamma为0时，等效于显式向前差分法。
根据所研究问题的稳定性和精度要求，可以选择不同的gamma值。
3. 初始条件的设定：在数值解求解之前，需要设定初始条件，即结构的初始位移和速度。
这些初始条件将影响数值解的准确性和稳定性。
通常情况下，可以根据结构的静态平衡状态设定初始条件。
数值解求解步骤：下面将一步一步介绍使用Newmarkbeta法求解结构动力学问题的步骤：步骤1：建立结构模型首先，需要根据所研究的结构问题建立相应的有限元模型。
这包括定义结构的几何形状、材料性质和边界条件等。
步骤2：离散化将结构模型离散化，将结构划分成一系列有限元单元。
对于每个有限元单元，可以根据其几何形状和材料性质计算出相应的刚度矩阵和质量矩阵。
步骤3：时间积分将时间划分成一系列离散时间步长。
通过使用Newmarkbeta法中的数值积分公式，可以迭代计算每个时间步长内的结构响应。
步骤4：计算每个时间步长内的位移和速度根据Newmarkbeta法的数值积分公式，可以计算出每个时间步长内的位移和速度。
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1 Newma rk2精细直接积分法
1. 1 基本原理
离散结构模型的动力方程为 :
M x¨+ Cx + Kx = F
(1)
式中 : x, x, x¨分别为体系的水平位移 、速度和加速度向量 ; F 为外力列向量 ; M , C, K分别为体系的质量 、阻尼
和刚度矩阵 。
在 Newmark2β法中 ,当控制参数 α = 1 ,β= 1时 , 即平均常加速度法 , 具有二阶精度 , 是无条件稳定的 。
T0
= Dτ + (Dτ) 2 2!
+ … + (Dτ) l
l!
(8)
其中 l表示保留项数 。 然后通过以下方式得到 :
Tk = 2Tk - 1 + Tk - 1 ·Tk - 1
T = I + TN ( k = 1, 2, 3, …, N )
(9)
对式 ( 7)中第 2项的非齐次项分别采用辛浦生积分 (代数精度为 3) 、柯特斯积分 (代数精度为 5) 、三节
(1. 西安建筑科技大学 土木工程学院 ,陕西 西安 710055; 2. 山西师范大学 工程学院 ,山西 临汾 041000)
摘要 : :针对 Newmark2精细直接积分法 ,对其非齐次项的积分方法进行了讨论 ,并分析了该逐步积分 方法的稳定性 。通过理论推导和数值验证 ,此方法的非齐次项采用高斯积分公式 ,其计算误差均比采 用柯特斯积分公式和辛浦生积分公式的误差小 ,且其计算工作量比原方法的少 ,因此 Newmark2精细 直接积分法得到了改进 。通过稳定性的分析得知 ,改进的 Newmark2精细直接积分法虽是条件稳定 的 ,但是其稳定性条件极易满足 。综合分析 ,此方法可推广应用于实际结构的动力反应分析中 。 关键词 : : Newmark2精细直接积分法 ;直接积分 ;稳定性分析
( 1. School of Civil Engineering, Xi’an University of A rchitecture and Technology, Xi’an 710055, China; 2. School of Engineering, Shanxi Normal University, L infen 041000, China)
根据稳定性分析理论 ,直接积分法的稳定性分析只需要研究一个典型的单自由度体系的运动方程 : m x¨
+ cx + kx = f ( t) ,在无阻尼的情况下 ,使其积分传递算子的谱半径小于或等于 1,即 ρ(A )
= m ax
λ i
≤1 (A 为
积分传递算子 ;λi 为传递算子 A 的第 i个特征值 ) 。
中图分类号 : P315. 96; TU311. 3 文献标志码 : A
In tegra tion form ula selection and stab ility for Newmark2prec ision d irect in tegra l m ethod
GUO Zeying1, 2 , L I Q ingning1
x i+1 = Txi + exp (D ( ti+1 - τ) ) r (τ) dτ
(7)
ti
其中第一项中的矩阵 T可用数值方法精细算得 ,即 :
T = exp (D ·d t) = [ exp (D ·d t / n) ]n ,η = d t / n, n = 2N
由泰勒级数有 :
T (η) = eDη = I + T0
第 24卷 ,第 3期 2008年 9月
世 界 地 震 工 程
WORLD EARTHQUAKE ENGINEER ING
文章编号 : 100726069 (2008) 0320107205
Vol. 24, No. 3 Sep. 2008
N ewm a rk2精细积分方法的选择及稳定性
郭泽英 1, 2 , 李青宁 1
引言
结构动力响应的求解方法一般有直接积分方法和振型叠加方法 。直接积分方法包括传统的中心差分 方法 、W ilson法 、Newmark法 等 [1 ] 。文献 [ 2～4 ]提出了结构动力方程求解的精细时程积分法 ,结合指数矩阵 的精细算法能够获得高度精确的结果 。然而 ,精细时程法在将二阶微分方程降为一阶的同时 ,系统的自由度 数翻倍 ,矩阵的阶数和方程的个数将增加一倍 。如果将精细积分法直接应用于自由度数目较多的工程结构 中 ,则存在矩阵尺度太大的困难 。文献 [ 5 ]将 Newmark - β法中平均常加速度法的基本假定引入结构动力微 分方程 ,在实现方程降阶时 ,方程的个数保持不变 。然后运用精细指数运算和柯特斯积分 ,提出了 Newmark2 精细直接积分法 。
由式 ( 2)得 :
x¨i + 1
=
2 dt
(
xi+1
-
xi )
-
x¨i
(4)
将 ( 4)代入 ti + 1时刻的方程 ( 1)中得到 :
xi+1 = -
2M dt
+C
-1
Kxi + 1
+
2M + C -1 dt
2M dt
xi
+ M x¨i +
F i+1
(5)
将式 ( 5)写成精细积分法一般形式 ,即 :
xi +1
=
T xi
+ dt 2
8 9
T1
r (τ1
)
+
5 9
T2 r (τ2 )
+
5 9
T3
r (τ3 )
( 10 )
xi+1 = D xi+1 + r ( ti+1 )
x¨i+1 = M - 1 ( - C xi+1 - Kxi+1 + F i+1 )
( 11 ) ( 12 )
2 Newma rk2精细直接积分法的稳定性分析
由式 ( 10) ～式 ( 12)可以得到单自由度体系下相应的表达式 ,经过整理化简得到以下关系式 :
其中 : A = a11 a12 a21 a22
xi+1 = A xi + L f ( t)
xi +1
xi
a11 = T - d2tD0 dk, a12 = D0 nd
a21
= DT
-
DD0
dtdk 2
2
4
因此 ,基于平均常加速度的基本假定 ,即 :
x¨i+1 + x¨i = xi+1 - xi
(2)
2
dt
xi +1
= xi
+ d txi
+
1 4
d t2
( x¨i+1
+ x¨i)
(3)
其中 : x¨i , xi , xi 分别为 ti 时刻的加速度值 、速度值和位移值 ; x¨i + 1 , xi + 1 , xi + 1分别为 ti + 1时刻的各项值 ; ti + 1 = ti + d t, d t为时间步长 , i = 0, 1, 2, …。
110
世 界 地 震 工 程 第 24卷
当 l→∞时 , T = exp
πΩ η - 1 +ξωd tTn
由于任一积分方法的稳定性仅依赖于积分传递算子 A 的特征值 ,因此未具体列出荷载矢量算子 L 的表
达式 。ω, Tn 分别是体系振动的圆频率 、结构的固有周期 ,采样频率 Ω =ωΔt,阻尼比 ξ= 2MCω。
ti
柯特斯公式的积分格式 :
∫ti+1 exp (D ( ti+1
ti
- τ) ) r (τ) dτ = d t /90· 7exp (D ·d t) ·r( ti )