2016年广东适应性考试理科数学试题(一模)
2016年广东省适应性考试2016、3、5 理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}034|{2
≥++=x x x A ，}12|{<=x
x B ，则=⋂B A （ ）
A ．}13|{-≤≤-=x x
B B ．3|{-≤x x 或}01<≤-x
C ．3|{-≤x x 或}01≤<-x
D ．}0|{<x x
2．若ai a z +-=2为纯虚数，其中∈a R ，则
=++ai
i a 17
（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ． 1-
3．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，且)1(2
3
-=
n n a S （∈n N *）
，则=n a （ ） A ．)23(3n
n
- B ．n n 23+ C ．n 3 D ．1
23-⨯n
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的100=N ，则输出的=x （ ）
A ．95.0
B ．98.0
C ．99.0
D ．00.1
5．三角函数x x y 2cos )26
sin(+-=π
的振幅和最小正周期分别为（ ）
A ．3，
2π B ．3，π C ．2，2
π
D ．2，π
6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
7．设p 、q 是两个命题，若)(q p ∨⌝
是真命题，
那么（ ）
A ．p 是真命题且q 是假命题
B ．p 是真命题且q 是真命题
C ．p 是假命题且q 是真命题
D ．p 是假命题且q 是假命题
8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．
71 B ．73 C ．74 D ．7
6 9．已知平面向量、满足1||||==，)2(-⊥，则=+||（ ）
A ．0
B ．2
C ．2
D ．3
10．6
2
)21(x x -
的展开式中，常数项是（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．16
15
11．已知双曲线的顶点为椭圆12
2
2
=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）
A ．12
2
=-y x B ．12
2
=-x y C ．22
2
=-y x D ．22
2
=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +
)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13
++-=x x y ；②
)cos sin (23x x x y --=；③1+=x e y ；④⎩⎨
⎧=≠=00
||ln x x x y ，其中“H 函数”的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(
取
正视图 2俯视图
2 1
侧视图
得最小值，则a 的取值范围是 ．
14．已知双曲线116322
2=-p
y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，
则=p ． 15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、
2
n a 成等差数列，则=n a ．
16．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且
1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．
三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 C b B c A a cos cos cos 2+=． （1）A cos 的值； （2）若42
2
=+c b ，求ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望； （3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 2
1
)()
)((ˆx x y y x x
b
i n
i i i
---=∑=，x b y a
ˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值． 19．（本小题满分12分）
如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．
（1）证明：⊥FB 面PAC ；
（2）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值．
E F
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C ：x y 42
=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P 、2P 和点3P 、4P ，线段21P P 、43P P 的中点分别为1M 、2M ．
（1）求21M FM ∆面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．
21．（本小题满分12分）
设函数mx x x x f -+=
ln 2
1)(2
（0>m ）
． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；
（2）证明：曲线)(x f y =没有经过原点的切线．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号． 22．（本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图所示，BC 是半圆O 的直径，BC AD ⊥，垂足为D ，AB 的弧长等于AF 的弧长，BF 与AD 、AO 分别交予点E 、G ．
（1）证明：FBC DAO ∠=∠； （2）证明：BE AE =．
23．（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xOy 中，过点)2,1(-P 的直线l 的倾斜角为︒45．以坐标原点为极点，x
A
B C D O F E G
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2
=，直线l 和曲线C 的交点为点A 、B ．
（1）求直线l 的参数方程；
（2）求||||PB PA ⋅的值． 24．（本小题满分10分）
选修4—5：不等式选讲
已知函数x a x x f 5||)(+-=．
（1）当1-=a 时，求不等式35)(+≤x x f 的解集； （2）若1-≥x 时，有0)(≥x f ，求a 的取值范围．
答案： 一．选择题
CDDCBC CABDBA
二．填空题
13．10- 14．11
3
- 15．120 13．32 三．解答题（略）。
广东省深圳市2016届高三数学一模试卷理(含解析)
2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．34．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．25．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．1706．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．558．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．49．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f （1）的值为．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．2016年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|y=}，B={x|log2x≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣3≤x≤2}D．{x|x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1﹣x）（x+3）≥0，即（x﹣1）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤1，即A={x|﹣3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．复数z满足z•i=3+4i，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】将z=化为：4﹣3i，从而求出所在的象限．【解答】解：因为z==4﹣3i，所以z在复平面内对应的点为（4，﹣3），在第四象限．故选：D．3．已知平面向量、满足||=2，||=1，与的夹角为120°，且（+）⊥（2﹣），则实数λ的值为（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，根据向量垂直得出（+）•（2﹣）=0，解方程得出λ．【解答】解： =||||cos120°=﹣1．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=0，即2+（2λ﹣1）﹣=0．∴8+1﹣2λ﹣λ=0，解得λ=3．故选：D．4．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出不等式组约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（0，2）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2．故选：C．5．公差为1的等差数列{a n}中，a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前10项和为（）A．65 B．80 C．85 D．170【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：在公差为1的等差数列{a n}中，由a1，a3，a6成等比数列，得：，即a1=4．∴．故选：C．6．若函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），则该函数图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的φ=﹣，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（，1），可得2sin（+φ）=1，即 sin（+φ）=，再根据+φ∈（﹣，），可得φ+=，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），令2x﹣=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的一条对称轴方程为x=，故选：D．7．（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣25 C．25 D．55【考点】二项式定理的应用．【分析】（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r即可得出．【解答】解：（x﹣）6的通项公式T r+1==（﹣1）r x6﹣2r，（r=0，1，2，…，6）．令6﹣2r=0或﹣2，解得r=3或4．∴（x2+2）（x﹣）6的展开式中常数项=+2=15﹣2×20=﹣25．故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，由题意解答．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故答案为：．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n，再求出每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数，由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率．【解答】解：∵4名同学参加3项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中的一项，∴基本事件总数n=34=81，每项活动至少有一名同学参加，包含的基本事件个数m==36，∴每项活动至少有一名同学参加的概率p==．故选：A．10．点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中心的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的方程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．12．函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，）D．（0，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，转化为函数g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交点的问题；讨论a≤0时不满足题意，a＞0时，求得（a）max=1，当x→+∞时，a→0，从而可得答案．或a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，由＞1求出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，将零点问题转化为两个函数交点的问题；又函数h（x）=x（ax﹣1），当a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，不满足题意；当a＞0时，由lnx﹣ax2+x=0，得a=；令r（x）=，则r′（x）==，当0＜x＜1时，r'（x）＞0，r（x）是单调增函数，当x＞1时，r'（x）＜0，r（x）是单调减函数，且＞0，∴0＜a＜1；或当a＞0时，作出两函数g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的图象，如图所示；g（x）=lnx交x轴于点（1，0），h（x）=ax2﹣x交x轴于点（0，0）和点（，0）；要使方程有两个零点，应满足两函数有两个交点，即＞1，解得0＜a＜1；∴a的取值范围是（0，1）．故选：A．二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知f（x），g（x）分别是定义域为R的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=3x．则f（1）的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件可以得到﹣f（x）+g（x）=3﹣x，该式联立f（x）+g（x）=3x便可解出f （x），从而可求出f（1）的值．【解答】解：f（x）+g（x）=3x①；∴f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x；又f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）；∴﹣f（x）+g（x）=3﹣x②；①②联立得，；∴．故答案为：．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24 ．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出AB的点斜式方程，与抛物线方程联立消元，利用根与系数的关系求出AB的中点坐标，利用直线垂直与斜率的关系列方程解出p．【解答】解：F（，0），∴直线AB的方程为：y=x﹣．联立方程组，消元得：x2﹣3px+=0，设AB的中点坐标为（x0，y0），则x0==，y0=x0﹣=p．∴AB的垂直平分线经过点（0，2），∴=﹣1，即=﹣1．解得p=．故答案为：．16．数列{a n}满足a n=（n≥2），若{a n}为等比数列，则a1的取值范围是{a1|a1≥} ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】对a1分类讨论，利用已知及其等比数列的通项公式性质即可得出．【解答】解：①当时，a2=4．由于，因此a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴42=9a1，解得a1=．而a4=42=16，不满足{a n}为等比数列，舍去．②当a1≥22时，a2=2a1，∴a2≥8．当8≤a2＜9时，a3=32=9．∵{a n}为等比数列，∴=a1a3，∴=9a1，解得a1=，舍去．当a2≥9时，a3=2a2．可得{a n}为等比数列，公比为2．此时a1．综上可得：a1的取值范围是{a1|a1≥}．三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在△ABC中，∠C=60°，D是BC上一点，AB=31，BD=20，AD=21．（1）求cos∠B的值；（2）求sin∠BAC的值和边BC的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理可得cosB=．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，可得sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）．在△ABC中，由正弦定理可得： =，即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，cosB===．（2）0°＜B＜180°，由（1）可得：sinB==，∴sin∠BAC=sin[180°﹣（B+60°）]=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°=+=．在△ABC中，由正弦定理可得： =，∴BC===35．18．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【考点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．【解答】解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为：P=•+••=，所以在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为；（2）由题意知，P（23≤X＜27）=0.74，P（27≤X＜31）=0.25，P（31≤X≤35）=0.01；用X1、X2、X3分别表示采取方案一、二、三的损失，，X2的分布列如下；23因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中点O，连接AC，CO，PO，运用菱形和等边三角形的性质，以及线面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）由面面垂直的性质定理，可得直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，分别求得O，A，P，B，C，D，，，的坐标，设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），运用向量垂直的条件：数量积为0，求得一个法向量，再由向量的夹角公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连接AC，CO，PO，由ABCD是边长为2的菱形，可得AB=BC=2，又∠ABC=60°，可得△ABC为等边三角形，即有CO⊥AB，OC=，由PA⊥PB，可得OP=AB=1，而PC=2，由OP2+OC2=12+（）2=22=PC2，可得CO⊥OP，而AB，OP为相交二直线，可得CO⊥平面PAB，又OC⊂平面ABCD，即有平面PAB⊥平面ABCD；（2）由PA=PB，可得PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD，直线OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，0，0），D（，2，0），可得=（，0，﹣1），=（0，1，1），=（0，2，0），设平面APC的一个法向量为=（x1，y1，z1），平面DPC的一个法向量为=（x2，y2，z2），由可得，取z1=，可得=（1，﹣，），由，可得，取x2=，可得=（，0，3），由题意可得二面角A﹣PC﹣D为锐角二面角，记为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y+=0与椭圆E仅有一个公共点．（1）求椭圆E的方程；（2）直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△ABO面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率可得a2=2b2，得到椭圆方程x2+2y2﹣2b2=0，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得b2，则椭圆方程可求；（2）由直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，得到坐标原点到直线l的距离为，然后分直线l的斜率存在和不存在两种情况求△ABO面积，当直线l的斜率不存在时，直接求解，当直线l的斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，由原点到直线的距离列式，把m用含有k的代数式表示，然后再由弦长公式求得弦长，换元后利用判别式法求得弦长的最大值，求出斜率存在时△ABO面积的最大值，最后比较得答案．【解答】解：（1）由，得，即，∴a2=2b2，则椭圆方程为x2+2y2﹣2b2=0．联立，消去y得，，由，解得：b2=1．∴椭圆方程为：；（2）∵直线l被圆O：x2+y2=3所截得的弦长为3，∴原点O到直线l的距离为．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±，代入椭圆，得y=，不妨设A（），B（），则；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0，由，得4m2=3k2+3．联立，消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．，∴|AB|===．设k2=t，令y=，则（4y﹣5）t2+（4y﹣6）t+y﹣1=0，当y=时，可得t=，符合题意；当y时，由△=（4y﹣6）2﹣（4y﹣5）（4y﹣4）≥0，得y且y．综上，y．∴当斜率存在时，．综①②可知，△ABO面积的最大值为．21．已知函数f（x）=（x+1）e x和函数g（x）=（e x﹣a）（x﹣1）2（a＞0）（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）若函数g（x）存在极值为2a2，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系即可判断函数g（x）的极值点的个数，并说明理由；（3）根据函数的极值，建立方程关系进行求解即可求a的值．【解答】解：（1）∵函数y=（x+1）e x，∴f′（x）=e x+（x+1）e x=（x+2）e x，由f′（x）＞0得（x+2）e x＞0，即x+2＞0，得x＞﹣2，即函数的单调增区间为（﹣2，+∞）．由f′（x）＜0得x＜﹣2，即函数的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）．（2）g′（x）=e x（x﹣1）2+（e x﹣a）（2x﹣2）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2a）=（x﹣1）（f（x）﹣2a），当x＜﹣1时，f（x）=（x+1）e x≤0，①当0＜a＜e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（﹣1）﹣2a＜0，f （1）﹣2a=2e﹣2a＞0，则∃唯一x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（x0，1）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极大值，当x=1时，函数g（x）取得极小值．②当a=e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，此时函数g（x）无极值．③当a＞e时，由（1）得f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且f（1）﹣2a=2e﹣2a＜0，f（lna）﹣2a=a（lna+1）﹣2a=a（lna﹣1）＞0，则∃唯一x0∈（1，lna），使f（x0）=0，当x∈（﹣∞，1）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＞0，当x∈（1，x0）时，f（x）﹣2a＜0，故g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f（x）﹣2a＞0，故g′（x）＞0，故当x=x0时，函数g（x）取得极小值，当x=1时，函数g（x）取得极大值．综上当a∈（0，e）∪（e，+∞）时，g（x）有两个极值点，当a=e时，g（x）无极值点．（3）由（2）知当0＜a＜e时，∵g（1）=0≠，故g（x0）=（e﹣a）（x0﹣1）2=2a2，①（x0﹣1）2=2[]2，由f（x0）=0得a=，代入①得（e﹣）整理得（1﹣x0）3﹣（1+x0）2e﹣=0，设h（x）=（1﹣x）3﹣（1+x）2e x，﹣1＜x＜1，∵h′（x）=﹣3（1﹣x）2﹣（x+3）（1+x）e x，∴当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣1，1）上单调递减，∵h（0）=0，∴x0=0，a==∈（0，e）符号题意，当a＞e时，∵g（x0）＜g（1）=0＜a2，∴不存在符号题意的a，综上当a=时，g（x）存在极值等于a2．选修4-1：几何证明选讲22．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）连结EF，BE，说明AB是⊙O是直径，推出∠ABE=∠C，然后证明C，E，F，D 四点共圆．（Ⅱ）利用切割线定理求解BD，利用C、E、F、D四点共圆，得到AE•AC=AF•AD，然后求解AE．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，BE，则∠ABE=∠AFE，因为AB是⊙O是直径，所以，AE⊥BE，又因为AB⊥BC，∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠C，即∠EFD+∠C=180°，∴C，E，F，D四点共圆．（Ⅱ）解：因为AB⊥BC，AB是直径，所以，BC是圆的切线，DB2=DF•DA=4，即BD=2，所以，AB==2，因为D为BC的中点，所以BC=4，AC==2，因为C、E、F、D四点共圆，所以AE•AC=AF•AD，即2AE=12，即AE=．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=（p＞0）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别用x，y表示t，消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；（2）联立方程组解出A，B坐标，代入两点间的距离公式得出|OA|，|OB|，再进行化简计算．【解答】解：（I）由得，∴直线l的普通方程为﹣=0，即sinαx﹣cosαy=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0．∵ρ=，∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x，∴ρ=p+x，两边平方得ρ2=x2+2px+p2，∴x2+y2=x2+2px+p2，即y2﹣2px﹣p2=0．（II）联立方程组，解得或．21 ∴|OA|2=（）2+（）2=，|OB|2=（）2+（）2=，∴|OA|=，|OB|=．∴+=+=（+）=．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|（a ∈R ）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为5，求a 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，不等式即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8，分类讨论去掉绝对值，分别求得它的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式求得f （x ）的最小值，再根据f （x ）的最小值为5，求得a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，求不等式f （x ）≥x+8，即|x+1|+|x ﹣3|≥x+8， 若x ＜﹣1，则有﹣x ﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．若﹣1≤x≤3，则有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不满足要求．若x ＞3，则有x+1+x ﹣3≥x+8，求得x≥10．综上可得，x 的范围是{x|x≤﹣2或x≥10}．（Ⅱ）∵f （x ）=|x+a|+|x ﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，∴函数f （x ）的最小值为|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，解得a=2，或a=﹣8．。
2016年广州一模理科数学答案
教
3 ， OA1 AA12 OA2 1．………………6 分
则 B 1,0,0 ， C 0, 3, 0 ， A 0, 3, 0 ， A 1 0,0,1 ，
州
所以 BB1 AA1 0, 3,1 ，OB1 OB + BB1 1, 3,1 ．………………………7 分 设平面 OBB1 的法向量为 n x, y, z ，
教
tr .e
所以 AD 的长为 5 . …………………………………………………………………6 分
研
解得 x 5 ．
du
.c n
/
AB 2 BC 2 AC 2 13x 2 100 ．…………4 分 2 AB BC 6 x 4 x 2 25
解法三：因为 AD 的长为 5 ， 所以 cosCDB = 所以 S ADC
6 5
．…………………………………………9 分
tr .e
du
.c n
C
/
所以 cos CKH
KH CK
6 4
．……………………………………………………11 分
所以二面角 B OB1 C 的余弦值为
6 4
．……………………………………12 分
（20） （Ⅰ）解法一：设椭圆 C 的方程为
A1
tp :/
x 0, x 3 y z 0.
/w
D O A B x
C
y
令 y 1，
得 n 0,1, 3 ．…………………………………………………………9 分
ht
同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m 1,0, 1 ．………………………………10 分 所以 cos n, m
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
【选修 4-1：几何，△ABC 内接于⊙O，直线 AD 与⊙O 相切于点 A，交 BC 的延长线于点 D，过点 D 作 DE∥CA 交 BA 的延长线于点 E． （I）求证：DE2=AE•BE； （Ⅱ）若直线 EF 与⊙O 相切于点 F，且 EF=4，EA=2，求线段 AC 的长．
2．（5 分）（2016•广州一模）已知复数，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复 数所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出． 【解答】解：∵复数===1+2i，复数 z 的共轭复数=1 2i 所对应的点在第四象 限． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序
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平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是 ． 14．（5 分）已知双曲线 C：（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B （0，b），且，则双曲线 C 的离心率为 ． 15．（5 分）（x2 x 2）4 的展开式中，x3 16．（ 5 分 ） 已 知 函 数 f（ x） =， 则 函的系数数g（为 x） =（2|用x|f数（字x）填写2 答的案零）点 个 数 为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12 分）如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD⊥BC，AC=5，CD=5， BD=2AD． （Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
2016年广州市一模试题及答案(理科数学)
2016年广州市一模试题及答案(理科数学) 2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2.回答第Ⅰ卷时，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一。
选择题：共12小题，每小题5分。
1.已知集合 $A=\{x|x<1\}$，$B=\{x|x-x\leq0\}$，则 $A\cap B$ 等于A) $x-1\leq x\leq1$ (B) $x\leq x\leq1$ (C) $x<x\leq1$ (D) $x\leq x<1$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{1-i}$，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 所对应的点在A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3.执行如图所示的程序框图，如果输入 $x=3$，则输出$k$ 的值为开始输入 $x$是 $x>100$。
$k=k+2$，$x=2x+3$ 输出 $k$否结束A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 124.如果函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})$ 的相邻两个零点之间的距离为 $6$，则 $\omega$ 的值为A) 3 (B) 6 (C) 12 (D) 245.设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且$a_2+a_7+a_{12}=24$，则 $S_{13}$ 等于A) 52 (B) 78 (C) 104 (D) 2086.在直线 $y=4x$ 上的点，它们的横坐标依次为$x_1,x_2,\dots,x_n$，如果 $P$ 是抛物线 $C$ 的焦点，若$x_1+x_2+\dots+x_n=10$，则 $PF+P_2F+\dots+P_nF$ 等于A) $n+10$ (B) $n+20$ (C) $2n+10$ (D) $2n+20$7.在梯形$ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，已知$AD=4$，$BC=6$，若 $CD=mBA+n$，则 $m+n$ 等于A) $-3$ (B) $0$ (C) $3$ (D) $33$8.设实数 $x$，$y$ 满足约束条件 $x+y-1\leq0$，则$x+(y+2)^2$ 的取值范围是A) $x\leq -1$，$y\leq -2$ (B) $x\leq -1$，$y\geq 1$ (C)$x\geq 0$，$y\leq -2$ (D) $x\geq 0$，$y\geq 1$9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上。
2016广一模数学理科(解析版)
绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则A B =（A ）{}11x x -≤≤ （B ）{}01x x ≤≤ （C ）{}01x x <≤ （D ）{}01x x ≤< 答案：D解析：集合A ＝{}11x x <－＜，集合B ＝{}1x x ≤≤0，所以，A B = {}01x x ≤<。
（2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D解析：(3)(1)122i i z i ++==+，共轭复数为12i -，在第四象限。
（3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答案：C解析：第一步：x ＝9，k ＝2；第二步：x ＝21，k ＝4；第三步：x ＝45，k ＝6； 第四步：x ＝93，k ＝8；第五步：x ＝189，k ＝10；退出循环，故k ＝10。
（4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）24 答案：B解析：依题意，得：周期T ＝3π，23ππω=，所以，ω＝6。
广东省揭阳市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试卷(扫描版)
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：C D C A B C A D B C C B 解析：11.由，又得或 或，即点, 故. 12. 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即， 【或由，因直线与圆有两个不同的交点， 所以，】 由得----① 如图，又由得 因,所以,故----② 综①②得. 二、填空题：13.；14.1；15. ；16.2. 解析：14. 由函数是周期为的奇函数得 ， 故 15. 依题意知，该几何体是上面长方体下接半圆柱的组合体，故其体积 为：. 16. ∵A、B、C成等差数列，∴，又，∴， 由得，∵， 及，∴，，∴b的最小值为2. 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）当时，（），-------------------------------------------------------------3分 当时，由得，时上式也适合， ∴.--------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）------------------------------------6分 ∴-------------------------------------7分 ---------------------9分 ---------------------------------------------------------11分 -------------------------------------------------------12分 18．解：（Ⅰ） 不满意满意合计男 3 4 7 女11 2 13 合计14 6 20 -------------------------------2分 ∵0，∴f(x)在上单调递增， 同理f(x)在上单调递减，在上单调递增， 又极大值，所以曲线f(x) 满足题意；---------------------------------------8分 ③当a>1时，， ∴，，即，得， 可得f(x) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，若要曲线f(x) 满足题意，只需，即， 所以，由知，且在[1,+∞)上单调递增， 由，得，因为在[1,+∞)上单调递增， 所以；----------------------------------------------------------------11分 综上知，。
2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
]
D．[
，
]
9． （5 分） 一个六棱柱的底面是正六边形， 侧棱垂直于底面， 所有棱的长都为 1， 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10． （5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x） ； p3：若 ，则∃x0∈（0，+∞） ，f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之 和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序 平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量 为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码 是 ． （a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 ，则双曲线 C 的离心率为 ．
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19． （12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2． （I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D； （Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20． （12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦 点为 F1（﹣2，0） ，点 B（2， ）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C
广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题(含详细答案)
1 / 17广东省广州市2016年普通高中毕业班模拟考试理科数学试题2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合124xAx ，10B x x ，则U A B I e ＝（A ）12x x （B ）01x x（C ）01x x（D ）12x x （2）已知,a bR ，i 是虚数单位，若i a 与2i b 互为共轭复数，则2i=a b （A ）3+4i （B ）5+4i（C ）34i （D ）54i（3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f ”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若20:,10p x xx R ，则2:,10p x xx R （C ）若p q 为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6，则1sin2”的否命题是“若6，则1sin2”（4）已知f x 在R 上是奇函数,且满足4f xf x,当0,2x 时,22f xx ，则7f （A ）2（B ）2（C ）98（D ）98（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）22，（B ）40，（C ）44，（D ）08，（6）各项均为正数的等差数列n a 中，3694a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60（D ）72开始x=1，y=1，k=0s =x -y ，t=x+yx=s ，y=tk=k+1k ≥3输出(x ，y)结束是否。
广东省广州市2016届高三1月模拟考试数学(理)试卷
2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.1注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则U A B I ð＝（A ）{}12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-， （B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78（B ）48（C ）60 （D ）72（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A（B（C（D（8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45（9）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,2（10）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A（B（C ）2 （D（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种（12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r ，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r的最小值是（A1- （B1 （C1 （D1+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=a b ． （14）已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ． （15）102a x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项为180，则a = ．（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ,求证：112n T ≤<.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．ABCDPM N A 1B 1C 1D 1（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率e =，且椭圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1016A ⎛⎫⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2e x x <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e x x c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)． （Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案。
广东省揭阳市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
揭阳市2016年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2x y xA ==-，{}220x xx B =-<，则（ ）A ．AB =∅B ．R A B =C ．B ⊆AD ．A ⊆B2.设复数z 满足()12i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -4.()842xx --展开式中含2x项的系数是（ )A ．56-B ．28-C ．28D ．565。
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验,收集数据如右所示:根据右表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9.4，据此可估计加工零件数为6时加工时间大约为（）A ．63.6minB ．65.5minC ．67.7minD ．72.0min6.已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x =( )A ．35-B ．105C ．35D ．17。
执行如图1的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．12- D ．138.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线6x y +=下方的概率是（ )A ．718B ．13C ．16D ．5189。
若x ，y 满足1x y +≤，则2z x y =-的取值范围是( ） A ．(],2-∞- B ．[]2,2- C ．[]1,1-D ．[)1,+∞10.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M 点，若2F M 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．12+D ．13+11.已知函数()sin f x x π=和函数()cos g x x π=在区间[]1,2-上的图象交于A 、B 、C 三点，则C ∆AB 的面积是（)A ．22B ．324C ．2 D ．52412。