有理数基本概念

有理数的概念
知识点一、有理数的概念及分类
1、正数与负数：
正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数；
负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。

正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。

“0”既不是正数，也不是负数。

在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：
向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。

盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？
水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？
2、有理数：整数与分数统称为有理数
注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；
（2）无限不循环小数不是有理数，如π ；
（3）正数和零统称为非负数；
注意：0 既不是正数，也不是负
数，是唯一的中性数
（4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。

3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。

例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。

4、有理数“0”的作用：
随堂练习
1、气温下降2度记−2°C，那么上升3度表示为°C .
2、用+20米表示前进20米，那么−15米表示.
3、如果向北走10 m记作+10 m，那么−6 m表示（）.
A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m
4、有理数包括（）.
A 、整数、分数和零
B 、正有理数、负有理数和零
C 、正数和负数D、正数和分数
5、下列说法中，正确的是（）.
A 、在有理数中，零的意义表示没有
B 、一个数不是正数就是负数
C 、正有理数和负有理数组成全体有理数
D、零是整数
6、0 属于（）.
A 、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是
7、既是分数，又是正数的是（）.
A、+3
B、−513 C 、0 D、2.2
8、下列说法中错误的是（）.
A、−2是负有理数
B、零不是整数
C 、34是正分数D、−0.26是负分数
9、已知下列各数：−8，2.1，19，3，0，−2.5，10，−1，其中非负数的个数有（）.
A 、2 个B、3 个C、4 个D、5 个
10、把下列各数填入相应的括号里.
正整数集合{ … }
分数集合{ … }
整数集合{ … }
负数集合{ … }
数轴
1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。

数轴的画法：
▪ 画一条水平的直线；
▪ 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
▪ 确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
▪ 选取适当的长度作为单位长度，用细短线画出，并对应标出各数，同时
要注意同一数轴的单位长度要一致.
2、有理数与数轴的关系
▪ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；
▪ 正有理数在原点的右边，负有理数在原点的左边，原点表示0；
▪ 在数轴上，右边的点所对应的数总是比左边的点所对应的数大。

☞ 注意：数轴上的点不都是有理数，如π 。

相反数
1、相反数定义：
如果两个数只有符号不同，则称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

注意：0 的相反数是0.
几何意义：在数轴上到原点的距离相等，并且分别位于原点两侧的两个数，是一对相反数，这两点必须关于原点对称。

2、相反数的性质：
互为相反数的两个数的和为零。

若a与b互为相反数，则a + b=0；若a + b=0，则a与b互为相反数.。

3、求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可.
一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，
也可以是任意一个代数式，注意-a不一定是负数.
☞ 注意：当a > 0时，-a < 0 （正数的相反数是负数）；
当a =0时，-a = 0 （0的相反数是0）；
当a < 0时，-a > 0 （负数的相反数是正数）.
4、多重符号的化简：“奇负偶正”
一个有理数前面不管有多少个“+”号，都可以去掉；
一个有理数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”，即“奇负偶正”。

☞ 注意：负负得正，正负得负。

（最常用）
绝对值
1、绝对值的几何意义及代数意义：
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 数a的绝对值记做|a|.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
2、倒数，负倒数
乘积为1 的两个数互为倒数。

特别的，0 没有倒数
a,b互为倒数，则有ab =1，反之亦成立；
倒数是它本身的数是±1
乘积为－1 的两个数互为负倒数，特别的，0 没有负倒数，
a,b互为负倒数，则有ab = −1，反之亦成立；
随堂练习
1、判断下列各图中，没出现错误的是（）
2、如图所示，数轴上的点M 和N 分别表示有理数m 和n ，那么以下结论正确
的是（）.
A、m > 0 , n > 0
B、m > 0 , n < 0
C、m< 0 , n > 0
D、m< 0 , n < 0
3、如图所示，根据有理数a ，b ，c 在数轴上的位置，比较a ，b ，c 的大小，有（）.
A、a < b < c
B、a < c < b
C、b < a < c
D、b < c < a
4、如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含的整数
为 .
5、一个数从数轴上的原点出发，向左移动3 个单位长度，再向右移动2 个单位长度到达点P ，则点P 表示的数是（）.
A、2
B、−2
C、1
D、−1
6、在数轴上距离原点4 个单位长度的点所表示的数是（）.
A、4
B、−4
C、4或−4
D、2或−2
7、−34的相反数是，4与互为相反数；0 的相反数是；
8、如果一个数的相反数是它本身，则这个数是.
9、一个数的相反数是非负数，这个数一定是（）.
A 、正数与零B、非零有理数C、负数或零D、零
10、化简下列各数的符号
（1）+(+6) = ；（1）−(−11) = ；
（1）−(+8) = ；（1）+(−9) = ；
（1）+[−(+6)] = ；（1）−[+(−7)] = 。

11、−13的绝对值是 .
12、− |−2| 等于（）
A 、2
B 、12C、−12D、-2
13、绝对值最小的数是.
14、绝对值是9的数是.
15、若x = 5，则x = .
16、5 的倒数是；−35的倒数是；113的负倒数是 .。