2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=()A. {x|x<−1或1<x≤2}B. {x|1<x≤2}C. {x|x≤−1或1≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}2.已知函数的最小正周期为，则)A. 1B. 12C. −1 D. −123.条件“a>b”是条件“lga>lgb”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i5.函数f(x)=xe xe2x+1的大致图象是()A.B.C.D.6.若f(x)=cosx−sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()A. π4B. π2C. 3π4D. π7. 设2x =5y =m ，且1x +1y =2，则m 的值是( )A. ±√10B. √10C. 10D. 1008. 已知函数f(x)=|mx|−|x −n|(0<n <1+m)，若关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为( ) A. 3<m <6 B. 1<m <3 C. 0<m <1 D. −1<m <0 9. 函数f(x)=xlnx 的单调减区间是( )A. (−∞,0)B. (1e ,+∞)C. (−∞,1e )D. (0,1e ]10. 已知△ABC 中，AB =AC =4，O 为△ABC 的外心，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)，且x +2y =1，则△ABC 面积的最大值为______ ．A. 1B. √32C. 4√33D. 4√3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若向量m⃗⃗⃗ =(2,1)，n ⃗ =(−3,2λ)，且(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，则实数λ=______． 12. 在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(−√32,12)，则tanα=________13. 若函数f(x)={2x , x ≤0f(x −2),x >0，则f(log 23)= _________．14. 在△ABC 中，∠ACB = 90°，点D ，E 分别在线段BC ，AB 上，AC = BC = 3BD = 6，∠EDC = 60°，则BE = ____，cos∠CED =___．15. 曲线y =|x|−1与x 轴围成的图形的面积是 ． 16. 已知向量c ⃗ =a ⃗ −(a⃗ 2a⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则向量a⃗ 和c ⃗ 的夹角为______ ． 17. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤a −1恒成立，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知命题p:|4−x|≤6，q:(x −12m +12)(x −12m −2)≤0．(1)若p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若﹁q 是﹁p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．19.已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.∠A=2π，a=2√7，b=2．3(Ⅰ)求cos B；(Ⅱ)求c的长及△ABC的面积．20.已知二次函数f(x)=x2+bx+c，f(x)=f(3−x)，且f(x)的零点x1,x2满足|x1−x2|=3(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当x∈[1,2]时，不等式f(x)≥mx−3m恒成立，求实数m的取值范围．|x−m|21.平面向量a⃗，b⃗ 满足|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，则a⃗⋅b⃗ 的取值范围______ ．22.已知函数f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)．(1)若函数f(x)在x=1处取得极小值，求函数f(x)的极大值；(2)若x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∁U N={x|x<−1，或x>1}；∴M∩∁U N={x|x<−1，或1<x≤2}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题考查正弦函数的性质，属于基础题．由正弦函数的周期公式加以计算，即可得到ω的值，得出函数解析式，即可求出．【解答】解：的最小正周期为π，，∴ω=2，故，，故选A．3.答案：B解析：lga>lgb等价于a>b>0，lga>lgb可以推出a>b，但反之不成立，所以是必要不充分条件.故选B．本题考查充分条件、必要条件的判断，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．【解答】解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数图像的识别，属于基础题．利用函数的奇偶性排除B和D，再利用特殊值排除C．【解答】解：f(−x)=(−x)e −xe−2x+1=−xe xe2x+1=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B和D；当x>0时f(x)=xe xe2x+1>0，排除C，故选A．6.答案：C解析：【分析】考查正弦型函数的单调性，属于基础题．【解答】解：f(x)=cosx−sinx=−(sinx−cosx)=−sin(x−)，由−+2kπ≤x−≤+2kπ，k∈Z，得−+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f(x)的一个减区间为[−，]，由f(x)在[0,a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选C．7.答案：B解析：【分析】化指数式为对数式，把x，y用含有m的代数式表示，代入1x +1y=2，然后利用对数的运算性质求解m的值．本题考查了指数式和对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．【解答】解：由2x=5y=m，得x=log2m，y=log5m，由1x+1y=2，得1log2m+1log5m=2，即log m2+log m5=2，∴log m10=2，∴m=√10．故选：B．8.答案：B解析：解：∵f(x)=|mx|−|x−n|<0，即|mx|<|x−n|，∴(mx)2−(x−n)2<0，即[(m−1)x+n][(m+1)x−n]<0，由题意：m+1>0，f(x)<0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m−1>0，即m>1，(否则解集中的整数不止3个)故不等式的解为−nm−1<x<n1+m，∵0<n<1+m，∴0<n1+m<1，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当−3≤−nm−1<−2，即2(m−1)<n≤3(m−1)，又n<1+m，所以2(m−1)<n<1+m，即2(m−1)<1+m，解得m<3，从而1<m<3，故选：B．根据f(x)=|mx|−|x−n|<0，及题意得m>1，从而−nm−1<x<n1+m，再根据解集中的整数的个数可知2(m−1)<n≤3(m−1)，解之即可．本题考查函数零点的判断，灵活对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题．求出，令f′(x)⩽0，解不等式即可．【解答】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，，由f′(x)⩽0得，得，得，即函数的单调递减区间为．故选D．解析：解：取AC 的中点D ，则由题意可得DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AO⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如图所示．由AB =AC =4，O 为△ABC 的外心，可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos0=2×4=8． ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ∈R)， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠BAC +y ⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =16x ⋅cos∠BAC +16y =8， ∴2x ⋅cos∠BAC +2y =1．又x +2y =1，∴2xcos∠BAC =x ．当x ≠0时，cos∠BAC =12，∴sin∠BAC =√32，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =4√3．当x =0时，则y =12，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为AC 的中点，∴点A ，0，C 共线， ∴三角形ABC 以B 为直角的直角三角形，这不可能．综上可得△ABC 面积的为4√3， 故答案为：4√3．取AC 中点为D ，则OD ⊥AC ，把写为AO⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后用两种方法写出，由数量积相等结合x +2y =1，需要分类讨论，当x ≠0求得cos∠BAC ，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积，当x =0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决．本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是属于中档题．11.答案：−34解析：解：2m⃗⃗⃗ −n ⃗ =(7,2−2λ)，m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ =(−7,1+6λ)， ∵(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，∴7(1+6λ)+7(2−2λ)=0， 解得λ=−34． 故答案为：−34．利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出．本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：−√33解析： 【分析】本题任意角的三角函数，诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵角α的终边经过点P(−√32,12)，，，则，故答案为−√33．13.答案：34解析：【分析】本题考查了分段函数．根据自变量的取值确定相应的解析式求解．【解答】解：∵log23>0，∴f(log23)=f(log23−2)=f(log234)，，．故答案为34．14.答案：3√2+√6，√22解析：【分析】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．由题意，在ΔEBD中，由正弦定理可得BE和ED的值，在ΔEDC中，由题意得到CD=4，根据余弦定理，先求出EC的值，然后求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在线段BC，AB上，所以∠EDB=120°，∠EBD=45°，∠DEB=15°，在ΔEBD中，根据正弦定理即√6−√24=√32=√22，解得BE=3√2+√6，ED=2√3+2在ΔEDC中，因为BC=3BD=6，所以CD=4，根据余弦定理得到CE=2√6，所以故答案为3√2+√6，√2215.答案：1解析：【分析】本题考查曲线与方程，考查面积的计算，考查学生的计算能力，比较基础．求出图象与x，y轴的交点，即可求曲线y=|x|−1与x轴围成的图形的面积．【解答】解：令x=0，可得y=−1;令y=0，可得x=±1，∴曲线y=|x|−1与x轴围成的图形的面积是12×2×1=1．故答案为：1．16.答案：π2解析：【分析】由数量积可得a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2=0.即可得出．本题考查了数量积运算，属于基础题．【解答】解：∵向量c⃗=a⃗−(a⃗2a⃗ ⋅b⃗)b⃗ ，∴a⃗⋅c⃗=a⃗2−a⃗2a⃗ ⋅b⃗×a⃗⋅b⃗ =a⃗2−a⃗2=0．∴a⃗⊥c⃗．∴向量a⃗和c⃗的夹角为π2．故答案为π2．17.答案：[e,+∞)解析：【分析】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了数学转化思想方法，以及利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．对函数f(x)求导数，利用导数判断函数f(x)在[0,1]上的单调性，把不等式|f(x 2)−f(x 1)|≤a −1恒成立化为f(x)max −f(x)min ≤a −1，再解含有a 的不等式，从而求出a 的取值范围． 【解答】解：因对任意的x 1、x 2∈[0,1]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤a −1恒成立， 所以a >1，f ′(x)=a x lna +2x −lna =(a x −1)lna +2x ，当a >1时，x ∈[0,1]时，a x ≥1，lna >0，2x ≥0，此时f ′(x)≥0； f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)min =f(0)=1，f(x)max =f(1)=a +1−lna ，而|f(x 1)−f(x 2)|≤f(x)max −f(x)min =a −lna ，由题意得，a −lna ≤a −1，解得a ≥e ， 故答案为[e,+∞)．18.答案：解：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6，解得−2≤x ≤10． 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0． 解得m−12≤x ≤m+42．∴¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵p 是¬q 充分而不必要条件， ∴m−12>10，或12m +2<−2．∴m <−8，或m >21，所以实数m 的取值范围为(−∞,−8)∪(21,+∞)． (2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2．又∵￢q 是¬p 的必要而不充分条件，∴{m−12≥−212m +2≤10，∴−3≤m ≤16..所以实数m 的取值范围为[−3,16]．解析：(1)由题意得：命题p ：由|4−x|≤6，化为：−6≤x −4≤6. 命题q ：q ：(x −12m +12)(x −12m −2)≤0.解得m−12≤x ≤m+42.可得¬q.根据p 是¬q 充分而不必要条件，可得m−12>10，或12m +2<−2.解得实数m 的取值范围．(2)由(1)知¬p ：x <−2或x >10；¬q ：x <m−12或x >12m +2.根据q 是¬p 的必要而不充分条件，可得{m−12≥−212m +2≤10，解得m 范围． 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，因为a sinA =b sinB ，∠A =2π3，a =2√7，b =2． 所以2√7sin 2π3=2sinB ．所以sinB =√2114． 因为sin 2B +cos 2B =1，∠B ∈(0,π3)，所以解得：cosB =5√714； (Ⅱ)因为a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以(2√7)2=22+c 2−2×2c ×cos2π3． 所以c =4，c =−6(舍)．所以S △ABC =12bcsinA =12×2×4×sin 2π3=2√3．解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理可求sin B ，结合范围∠B ∈(0,π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值．(Ⅱ)由余弦定理即可解得c 的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)∵f (x )=f (3−x ),∴−b 2=32,b =−3,∵|x 1−x 2|=3,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=9,c =0，∴f (x )=x 2−3x ．(Ⅱ)∵f (x )≥mx−3m |x−m |,∴x 2−3x ≥mx−3m |x−m |,即x ≤m |x−m |在x ∈[1,2]上恒成立． |x −m |≤m x 即−mx ≤x −m ≤m x ，x −m ≤m x ⇒m (1+1x )≥x,∴m ≥(x 21+x )max =43;当x ∈(1,2]时,m ≤(x 2x−1)min =4,综上所述，m 的取值范围是[43,4]．解析：本题考查函数的解析式以及函数的综合运用，考查学生的计算能力和逻辑能力，较难．(Ⅰ)根据题意找出能求出b，c的条件式即可．(Ⅱ)此问需分类讨论求解．21.答案：[−19,1]解析：解：设两个向量的夹角为θ，因为|2a⃗−b⃗ |=1，|a⃗−2b⃗ |=1，所以4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1，a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=1，所以a⃗2=b⃗ 2，a⃗⋅b⃗ =5a⃗2−14所以5a⃗2−4a⃗2cosθ=1，所以a⃗2=15−4csoθ∈[19,1]，所以5a2−1∈[−49,4]，5a2−14∈[−19,1]，所以a⃗⋅b⃗ ∈[−19,1]；故答案为：[−19,1]．设两个向量的夹角为θ，将已知的等式两边平方，求出两个向量的模相等，将所求用夹角表示，通过三角函数的值域求出向量a⃗的模的平方的范围，进一步求数量积的范围．本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．22.答案：解：(1)∵f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值，f′(x)=2x−a+1x，∴f′(1)=0，∴2−a+1=0，解得a=3，经过验证满足条件．(2)∵x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，∴a≥x+lnxx −1x=ℎ(x)．ℎ′(x)=1+1x2+1−lnxx2=x2+2−lnxx2>0，∴函数ℎ(x)在x∈(0,e]单调递增，∴x=e时，ℎ(x)取得最大值，ℎ(e)=e+1e −1e=e．∴a≥e．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值与最值，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由f(x)=x2−ax+lnx(a∈R)在x=1时取得极值，可得f′(1)=0，解出a即可得出．(2)x∈(0,e]时，函数f(x)≤1恒成立，可得a≥x+lnxx −1x=ℎ(x).利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．。
2020届浙江省杭州市杭州市第四中学高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州市杭州市第四中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则M N =I （ ） A ．()0,1 B ．[]0,1 C ．[)0,+∞ D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B.2．我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（ ） A ．离心率 B ．渐近线C ．焦点D ．顶点【答案】B【解析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标，可得答案． 【详解】解：共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =，设0a >，0b >，可得它们的焦点分别为(,0)c ±，(0,)c ±， 渐近线方程均为by x a=±， 离心率分别为c a 和c b， 它们的顶点分别为(,0)a ±，(0,)b ±， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质，属于基础题．3．设a ，G ，b ∈R ，则“G 2＝ab ”是“G 为a ，b 的等比中项”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】解：若G 是a ，b 的等比中项，则2G ab =．当0a b G ===时，满足2G ab =，但a ，G ，b 不能构成等比数列， 所以“2G ab =”是“G 是a ，b 的等比中项”的必要而不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键，属于基础题．4．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 5．设函数1()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为为无理数则下列结论错误的是 A ．D （x ）的值域为{0,1} B ．D （x ）是偶函数 C ．D （x ）不是周期函数 D ．D （x ）不是单调函数 【答案】C【解析】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性，全面掌握很关键.，C 错误6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题．7．设关于x,y 的不等式组210,{0,x y x m y m -+>+<->表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，即该平面区域和直线22x y -=有交点，而直线,{x m y m=-=的交点(),m m -在直线y x =-上移动，由,{22,y x x y =--=得交点坐标为22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23m ->即23m <-时，才会交点.【考点定位】本小题考查了线性约束条件、线性规划问题、两条直线的位置关系和数形结合的思想.8．设0＜a ＜1，已知随机变量X 的分布列是 X 0 a1P13 13 13若()16D X =，则a ＝（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】A【解析】先求出期望，利用方差公式求解可得结果． 【详解】解：1111()013333aE X a +=⨯+⨯+⨯=，222111111()()()(1)333333a a a D X a +++=⨯+-⨯+-⨯2221[(1)(21)(2)]27a a a =++-+- 22(1)9a a =-+ 16=， ∴24443a a -+=，即()2210a -=，解得12a =． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查方差的求法，考查计算能力，属于中档题．9．已知直三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱AA '上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B 'C 所成的角为β，二面角P ﹣B 'B ﹣C 的平面角为γ，则（ ） A ．α＞β＞γ B ．α＜β＜γC ．α＞γ＞βD ．β＞α＞γ【答案】D【解析】取BC 中点O ，以OA 、OB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量，设出点P 的坐标，求出三个角，再比较大小即可． 【详解】解：设直三棱柱ABC A B C '''-的棱长与底面边长为2，如图，取BC 中点O ， 以OA 、OB 所在直线分别为x 、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则3,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，'(0,1,2)B ，(3,0,)P t (02)t <<， ∴(3,1,)PB t u u u r =-，(3,1,0)AC =--u u u r ，(0,2,2)B C u u u u r'=--，∴cos cos ,PB AC u u u r u u u r α=<>PB AC PB AC u u u r u u u r g u u u r u u u r =223131t ==++-24t +cos cos ,PB B C u u u r u u u u rβ=<'>PB B C PB B Cu u u r u u u u r g u u u r u u u u r '=='23122t g =++2124t tg-+由题意，B B BC '⊥，B B BA '⊥，则二面角P B B C '--的平面角为ABC γ=∠，则060γ=， Q 当02t <<时，由二次函数的单调性知，22((1)1102212)t ---<-<．∴1cos cos 2βα<<，∴βαγ>>， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、二面角的求法，考查了利用角的余弦值比较角的大小，属于中档题．10．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.【考点】导数、零点、函数的图象二、填空题11．若复数z 满足()3i 2i z +=-（i 为虚数单位），则z =________；||z =________． 【答案】11i 22z =- 2【解析】∵()3i 2i z +=-，∴()()()()23255113331022i i i i z i i i i ----====-++-，22112222z ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1122i -，22.12．已知()1,13,1x x x f x x ⎧-≤=⎨>⎩ ，若f （x ）＝2，则x ＝___ 若f （x ）>2，则x 的取值范围为_____．【答案】1- (,1)(1,)-∞-+∞U【解析】当1x „时，()|1|2f x x =-=，当1x >时，()32x f x ==，由此能求出x 的值；由()2f x >，当1x „时，()|1|2f x x =->，当1x >时，()32x f x =>，由此能求出x 的取值范围． 【详解】 解：Q 1(1)()3(1)xx x f x x ⎧-=⎨>⎩„，由()2f x =，当1x „时，()|1|2f x x =-=，解得1x =-或3x =（舍)， 当1x >时，()32x f x ==，解得3log 2x =，不合题意， 综上：()2f x =时，1x =-； 由()2f x >，当1x „时，()|1|2f x x =->，解得1x <-或3x >（舍)， 当1x >时，()32x f x =>，解得3log 2x >，∴1x >， 综上：x 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U ； 故答案为：1-；(,1)(1,)-∞-+∞U ． 【点睛】本题主要考查分段函数的函数值和性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 13．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是_____，最长棱长为_____．【答案】314【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，根据体积公式建立关系，可得答案． 【详解】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2，如图：2AD =，2AB =，1BC =，PA x =，//AD BC ，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥， ∴底面的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴几何体的体积1333V x g g ==， 可得3x =，最长棱长为：22212314PC ++ 故答案为：314． 【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱锥的体积公式，属于中档题．14．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则|PF |＝_____ P 点的坐标为_____． 【答案】2 315,()2-【解析】求得椭圆的a ，b ，c ，e ，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径公式，求得P 的坐标，利用椭圆的定义求解||PF ． 【详解】解：由题意，该椭圆的长半轴长3a =，短半轴长5b =，半焦距2c =，离心率23e =，设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆， 连接AO ，可得||2||4PF AO '==，设P 的坐标为(,)m n ，由焦半径公式可得2343m -=，可得32m =-，代入到椭圆方程得15n =， 由||2||4PF AO '==得||2342PF =⨯-=， 故答案为：2；315(2-． 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、几何性质，注意运用三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题． 15．已知3cos 63απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则54cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为_____． 【答案】0【解析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得5cos()6πα+与4sin()3πα+的值，则答案可求． 【详解】解：∵3cos()6πα-=， ∴5cos()cos[()]66ππαπα+=--3cos()6πα=--=-， 4sin()sin()33ππαα+=-+sin ()26ππα⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦3cos()6πα--=-，∴54cos()sin()63ππαα+-+33()0=---=，故答案为：0． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．16．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____． 【答案】6【解析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值． 【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=， ∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x g -===+++， 依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的， 可得6x x=， 解得6x =BC 6，6． 【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．17．已知1a =r ，向量b r 满足2b a b a -=⋅r r r r ，设a r 与b r的夹角为θ，则cos θ的最小值为_____．【解析】根据条件可设(1,0),(,)a b x y ==r r，从而根据2||b a b a -=r r r r g 即可得出2224(1)4x y x -+=，且得出0x >，从而得出223214y x x =-+-，从而得出cos θ=，从而配方即可求出cos θ的最小值． 【详解】解：Q ||1a =r ，∴设(1,0),(,)a b x y ==r r， ∴(1,)b a x y -=-r r，由2||b a b a -=r r r rg得，x =，则0x >， ∴2224(1)4x y x -+=， ∴223214y x x =-+-，∴cos ||||a b a b θ==r r g rr ===∴当11x=即1x =时cos θ；． 【点睛】本题主要考查了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．三、解答题18．已知函数()263,(0)2xf x cosx ωωω=+->，该函数在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．（1）求ω的值； （2）若()035f x =，02233x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，求0(1)f x +的值．【答案】（1）4πω=；（2）65． 【解析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由ABC ∆为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则ω的值可求； （2）利用（1）的结论，结合083()f x =，求得0sin()43x ππ+与03cos()435x ππ+=，再由00(1)23sin()443f x x πππ+=++，展开两角和的正弦即可求解．【详解】解：（1）由()26332xf x cossin x ωω=-得：()3cos 3sin f x x x ωω=+23)3x πω=+，又正三角形ABC 的高为3BC ＝4， ∴函数()f x 的周期2428T πω==⨯=，4πω=；（2）由083()f x =得0832343x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 整理得04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵022,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴0,4362x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴03cos 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴00(1)23sin()443f x x πππ+=++023sin()cos 434x πππ=+0cos()sin 434x πππ++ 4232235252⎫=⨯+⨯⎪⎪⎭65=．【点睛】本题主要考查根据三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象求解析式，考查两角和的正弦公式，解答此体的关键是拆角和配角，属于中档题．19．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 【答案】（1）0.5；（2）0.1【解析】(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案4套
2019学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高三年级数学学科试题一、选择题： 1、已知全集,{|}UR M x x ==-<<11，{|}N y y =<0，则()U M C N =（ ）A 、(,)-10 B 、(,]-10 C 、(,)01 D 、[,)01 2、若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是（ ）A 、12 B 、1 C 、2 D 、43、已知,a b 都是实数，那么“log log a b >22>”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4、欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ie 2表示的复数在复平面中位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、函数()x xe ef x x --=2的图像大致是（ ）6、若函数()sin cos f x x x =+在[,]a a -上是增函数，则正数a 的最大值是（ ）A 、π4 B 、π2C 、π34 D 、π7、已知函数()xf x a x b =+-的零点(,)()x n n n Z ∈+∈01，其中常数,a b 满足a =20192020，b =20202019，则整数n 的值是（ ） A 、-2 B 、-1 C 、1 D 、28、若关于x 的不等式||x x m x -+++≥-221的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A 、m -≤<21B 、m -<≤21C 、m -≤<11D 、m -<≤119、设,ln ,ea ebc e e πππ=-=-=-1，则（ ）A 、a b c <<B 、b c a <<C 、c b a <<D 、b ac <<10、设O 是ABC ∆的外心，满足(),()CO tCA t CB t R =+-∈1324，若||AB =4，则ABC∆面积的最大值是（ ）A 、4 B、 C 、8 D 、16二、填空题11、已知向量(,),(,)a b λ=-=121，则||a =_________，若//a b ，则λ=_________.12、已知角α的终边经过点(P -1，则t a n α=___________，sin()()con ππαα+-=2_________.13、已知函数log ,(),xx x f x x >⎧=⎨≤⎩3020，则(l og )f -=23_________，若()f x =2，则实数x 的值是_________.14、如右图，四边形ABCD 中，,ABD BCD ∆∆分别是以AD 和BD为底的等腰三角形，其中,,AD BC ADB CDB ==∠=∠14，则cos CDB ∠=_________，AC =_________.15、设a >1，曲线()xf x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是_________. 16、设向量,,,a b c e 是单位向量且a b c ++=0，则()()()(a e b e b e c e c e a e -⋅-+-⋅-+-⋅-=_________. 17、若a 为实数，对任意[,]k ∈-11，当(,]x ∈04时，不等式ln x x x a kx +-+≤269恒成立，则a 的最大值是_________. 三、解答题：18、设:||p x x -≤12，:()q x m x m ---<23130. （1）解不等式：||x x -≤12；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围.19、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边的长.cos cos a B b A =4且cos A =17.（1）求角B 的值；（2）若a =8，求ABC ∆的面积.20、已知函数()f x x x =+-12.（1）若不等式()x k f k -⋅≥220在[,]-11上有解，求k 的取值范围；（2）若方程(||)||x x kf k -+-=-2213021有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.21、已知平面向量,a b ，且a b ⋅=0. （1）若||||a b ==2，平面向量c 满足||c a b ++=1，求||c 的最大值；（2）若平面向量c 满足||c a -=3，||c b -=1，||c ≤≤15，求||c a b --的取值范围.22、设,a b R ∈，已知函数()ln ,()f x a x g x x bx b ==++2. （1）设()()xf x F x a =2，求()F x 在[,]a a 2上的最大值()M a ；（2）设()()()G x f x g x =+，若()g x 的极大值恒小于0，求证：a b e +≤4.杭州学军中学2019学年第一学期期中考试高三数学试卷命题人：王 馥 审题人：纪向胜一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，集合2{|1},{|1}M x x P x x =>=>则下列关系中正确的是（ ） A.P M = B.M P M = C.MP M = D.()U C M P =∅2.设纯虚数z 满足 11iai z-=+（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A.1B.－1C.2D.－23.若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A.[]6,0B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞4.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A.1a b >- B.1a b >+ C.a b > D.22ab> 5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A B C D 6.已知函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则（ ）A.(())1D D x =,0是()D x 的一个周期B.(())1D D x =,1是()D x 的一个周期C.(())0D D x =,1是()D x 的一个周期D.(())0D D x =,()D x 最小正周期不存在7.若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A.1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.(],0-∞C.(],1-∞D.(],5-∞ 8．若O 是ABC ∆垂心，6A π∠=且sin cos sin cos 2sin sin B C AB C BAC m B C AO +=，则m =（ ） A.12B.2C.3D.69.已知二次函数2()(2)f x ax bx b a =+≤，定义{}1()max ()11f x f t t x =-≤≤≤，{}2()min ()11f x f t t x =-≤≤≤，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者，{}min ,a b表示b a ,中的较小者，下列命题正确的是（ ）A.若11(1)(1)f f -=，则(1)>(1)f f -B.若22(1)(1)f f -=，则(1)(1)f f ->C.若21(1)(1)f f =-，则11(1)(1)f f -<D.若21(1)(1)f f =-，则22(1)(1)f f -> 10.已知数列{}n a 满足2111,312n n n a a a a +=-=++，若12n n b a =+，设数列{}n b 的前项和为n S ，则使得2019S k -最小的整数k 的值为（ ）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11. ()512x -展开式中3x 的系数为 ，所有项的系数和为 ．12.等比数列{}n a中，12a a ==2201382019a a a a +=+ ，1234a a a a = ．13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知s i n c o s c A a C =，则C =，若c =，ABC ∆的面积为2，则a b += ． 14.已知函数222,0()2(1),0x x x f x f x x -⎧+-≥=⎨+<⎩，则3()2f -= ，若函数()()g x f x k =-有无穷多个零点，则k 的取值范围是 ．15.已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为 ．16.已知平面向量,,a b c 满足,,015a b c a c b c ⋅==-=-=，则a b -的最大值 为 ．17.当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18.(本题满分14分)已知函数()2sin cos()3f x x x π=+ （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及最小值.19.(本题满分15分)已知在ABC ∆中，1AB =，2AC =．（Ⅰ）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-uuu r uu u r uuu r；（Ⅱ）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+uu u r uu u r的最小值．20.(本题满分15分)已知正项等差数列{}n a 满足：233312n n S a a a =+++，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令()()()1412121n n n n nb a a -=--+，证明：122221n n b b b n ++++≤+.21.(本题满分15分)设函数(),xf x e ax a a R =-+∈，其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12.x x <（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：0f '<.22.(本题满分15分)已知函数2()ln 2,.f x x ax bx a R =---∈ （Ⅰ）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的3(,)b e∈-∞-，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.杭州学军中学2019学年第一学期期中考试高三数学答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分,单空题每题4分,共36分． 11. -80 ， -1 12.98 ， 2913.3π， 7 14.， 0≥k 15. 45-16. 8 17. []8,4- 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（Ⅰ）3()sin(2),2223232f x x k x k ππππππ=+∴+≤+≤+所以单调减区间为32,2,;22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭（Ⅱ）42max 1,min 333x f f πππ≤+≤∴== 19.（1）()()21220;33AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+⋅-= ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r（2）()22224210AE BC AB AC+=+=Q()22222211111941010AE BC AE BC AE BC ⎛⎫∴+= +⎪+≥ ⎪⎝⎭20.（Ⅰ）2311123322121;2n a S a a n a S a a =⎧=⎧∴∴=⎨⎨==+⎩⎩ （Ⅱ）()()()()()1141111*********n n nn n b n n n n --=-=----+-+ ()121122111.212121nn n b b b n n n +∴+++=--≤+=+++L 21.22.（Ⅰ）2122(),0x ax f x x x--'=>()2210,()0,,+;44在递增递减a f x a a ⎛⎫⎛⎫-->∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()112=0,()0,,,+;22在递增递减a f x ⎛⎫⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()130,(),,2在递增递减a f x ⎛-<< ⎝⎭⎝⎭2;4递增a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()()14,()0,;2在递增a f x ≤-+∞（2）问题等价于ln 2x ax b x-=+有两解 令ln 2(),0x g x x x-=>有23ln (),0x g x x x -'=> ()()233()0;()0,,,;0,();,()0;在递增递减g e g x e e x g x x g x ∴=+∞→→-∞→+∞→ 30,0,,有图象知过作切线时斜率最大a a e ⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭()00000020003ln 2ln 52ln 53,设切点为有x x x x y y x x e x x x e---=+∴=-∴= 22220.此时斜率取到最大a a e e ∴<≤长征中学19学年第一学期高三期中考试数学问卷选择题部分一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。
【100所名校】浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020届上学期期中考试高三数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集1，2，3，，集合2，，集合，则A. B.C. 1，D. 1，2，3，2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于A. iB.C.D.3.设，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的图象大致是A. B. C. D.5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为A. B. 9 C. D. 276.已知，，则的值为（）A. B. C. D.7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A. B. C. D.9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A. 对任意，恰有一解B. 对任意，恰有两个不同解C. 存在，有三个不同解D. 存在，无解10.设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．12.已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．13.已知，则______，又，则______．14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，______．15.已知实数a，b满足，则的取值范围是______．16.已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数1求函数的最小正周期和单调递增区间；2当时，求函数的值域．19.已知等差数列满足：，，1求数列的通项公式；2若，试求数列的前n项和．20.已知函数，其中．1当时，求在上的值域；2若在上为单调函数其中e为自然对数的底数，求实数m的取值范围．21.已知数列满足，1求数列的通项公式；2数列满足，数列的前n项和，设，证明：．22.已知函数．1若函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；2若是的极大值点，求的取值范围．浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020届上学期期中考试高三数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集1，2，3，，集合2，，集合，则A. B.C. 1，D. 1，2，3，【答案】C【解析】【分析】进行补集、并集的运算即可．【详解】；1，．故选：C．【点睛】本题考查并集和补集的运算，是基础题.2.已知复数z满足为虚数单位，则z等于A. iB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件可得，再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果．【详解】解：复数z满足，，故选：B．【点睛】本题主要考查复数的除法，属于基础题．3.设，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，但，故是的必要不充分条件.考点：充要条件．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，排除B、C，又因为时，，此时，所以排除D，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为A. B. 9 C. D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差，可得等差数列的通项公式，再设等比数列公比为q，运用等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：等差数列的公差设为d，前n项和为，，，可得，，解得，，即有；设为公比为q的等比数列，且，，可得，，故选：C．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将已知条件两边平方，判断和的符号，将已知条件和联立，解方程组求得的值.【详解】由两边平方并化简得，而，故.由解得.故选A.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数值正负的判断，还考查了方程的思想，属于属于基础题.三角函数值的正负是由角所在的终边所在的象限来确定的，本题中题目给定角的取值范围，结合已知条件可以判断出正弦值和余弦值的符号，同时也可得到本小题解是唯一的.7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.8.设单位向量，对任意实数都有，则向量，的夹角为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可设的夹角为，根据为单位向量，对两边平方可得，，整理可得，，而该不等式对于任意的恒成立，从而得出，从而得出，这样即可求出．【详解】解：是单位向量，设的夹角为；对两边平方得，；整理得，，该不等式对任意实数恒成立；；；；又；．故选：D．【点睛】本题考查单向量数量积的运算，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角，是综合题，注意平方后转化为9.已知定义在R上的奇函数，满足当时，则关于x的方程满足A. 对任意，恰有一解B. 对任意，恰有两个不同解C. 存在，有三个不同解D. 存在，无解【答案】A【解析】【分析】先通过导数研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选A．【详解】当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，函数的单调性，属难题．10.设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围．【详解】，，令，，，，，，，y，z能组成一个三角形的三条边长，可得，即为，设，可得，可令，即有，即为，由，当且仅当上式取得等号，但，可得，则，即；又设，可得，由的导数为，由可得，即函数y为增函数，可得，即有，即有，可得，故选：C．【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由题意可知z，y，z依次成公比为的等比数列，根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案．【详解】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则，解得，则，羊的主人应赔偿斗粟；牛主人比羊主人多赔偿斗粟．故答案为：；．【点睛】本题考查等比数列的性质与前n项和，属于基础题．12.已知函数，则______，若，则实数x的取值范围是______．【答案】 (1). 2 (2). 或【解析】【分析】先求，再求；分和两种情况代的解析式，解方程即可．【详解】因为，，当时，由得；当时，由3，得，故答案为：2，或【点睛】本题考查分段函数,解不等式属基础题．13.已知，则______，又，则______．【答案】 (1). (2). 3【解析】【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得的值；再利用两角差的正切公式求得的值．【详解】解：已知，则．，则，故答案为：；3．【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于基础题，注意配凑角的应用.14.在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且，，，则角______，______．【答案】 (1). (2). 6【解析】【分析】由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得：，结合，可求，结合范围，可求C的值，进而由余弦定理可求，解得a 的值．【详解】，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，，又，，由余弦定理，可得：，即，解得：，或舍去．故答案为：，6．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.已知实数a，b满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】变形，由利用基本不等式解得ab的范围即可求解.【详解】，又-ab,当且仅当a=b取等；即-ab，解得0≤ab≤2或 -≤ab<0,∴或,所以的取值范围是故答案为：．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，换元法，将变形为ab的函数是关键，确定ab的范围是难点，属于中档题型．16.已知平面向量，，满足，，的夹角为，，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】题意可设，，，结合已知可得，结合点到直线的距离公式及圆的性质可求【详解】，，的夹角为，由题意可设，，，，，即，由圆的性质可知，上的点到直线的距离的最大值为：，则的最大值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质的应用，圆的性质的灵活应用是求解本题的关键．17.已知函数，对于任意的，，都存在使得成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过讨论b的范围求出m的范围即可．【详解】的定义域为，，，，函数在上单调递增，，，存在使得成立，存在使的或成立，或，成立;当b<1-a时，只能成立，即先对任意b成立，故只需，即,对任意成立故lnm≥2，故答案为：．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数1求函数的最小正周期和单调递增区间；2当时，求函数的值域．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．2当时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．【详解】1求函数的最小正周期为．令，求得，故函数的单调增区间为，．2当时，，，，故函数的值域为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.已知等差数列满足：，，1求数列的通项公式；2若，试求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1直接利用已知条件求出数列的通项公式．2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和．【详解】1设首项为，公差为d的等差数列满足：，，所以：，解得：，故：．2由1得：，，．则：，，．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.已知函数，其中．1当时，求在上的值域；2若在上为单调函数其中e为自然对数的底数，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1将代入函数的解析式，利用导数判断函数的单调性，从而求出函数在区间上的最大值和最小值，从而求出值域；2由函数在区间上单调递增，得出函数在区间上为增函数，从而转化为导数在区间上恒成立，且有，从而求出m的取值范围．【详解】1当且当时，，则，-3＜x＜-1, -1＜x＜1,此时，函数在单调递减，在区间上单调递增，又则，．因此，函数在上的值域为；2由于函数在区间上单调递增，且函数在上为单调函数，所以，函数在上为单调递增函数，且，得．另一方面，当时，，二次函数图象对称轴为直线．当时，即当时，二次函数在区间上单调递减，则，解得，此时，m不存在；当时，即当时，则有，解得，此时，．综上所述，实数m的取值范围是．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查利用导数来研究函数的基本性质，熟练讨论二次函数的对称轴与区间的关系是关键，属于中等题．21.已知数列满足，1求数列的通项公式；2数列满足，数列的前n项和，设，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】1直接利用递推关系式求出数列的通项公式．2利用1的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：1数列满足，则：，得：，整理得：，所以：．当时，首项符合通项，故：．证明：2数列满足，则：，数列的前n项和，，，则：，所以：．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，第二问关键是的变形.22.已知函数．1若函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；2若是的极大值点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】1求出函数的导数，解关于导函数的不等式，结合函数的极值点的个数求出a的范围即可；2求出，得到，记，，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】解：1，记，，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增，又且时恒成立，有2个变号零点得：；2由1知且，故，故记，，则，故在递减，在递增且，，，故．【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
2020届浙江省杭州市第四中学高三年级上学期期中考试数学试题(解析版)
绝密★启用前浙江省杭州市第四中学2020届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题(解析版)2019年11月一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则MN =（ ） A. ()0,1B. []0,1C. [)0,+∞D. [)1,+∞ 【答案】B【解析】 ∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B. 2.我们把方程分别为：22221x y a b -=和22221y x b a-=的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同（ ）A. 离心率B. 渐近线C. 焦点D. 顶点【答案】B【解析】【分析】分别求得共轭双曲线的离心率、渐近线方程和焦点坐标、顶点坐标,可得答案．【详解】解：共轭双曲线22221x y a b-=和22221y x b a -=的c =,设0a >,0b >, 可得它们的焦点分别为(,0)c ±,(0,)c ±, 渐近线方程均为b y x a=±, 离心率分别为c a 和c b,它们的顶点分别为(,0)a ±,(0,)b ±,故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质,属于基础题．3.设a ,G ,b ∈R ,则“G 2＝ab ”是“G 为a ,b 的等比中项”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】结合等比中项的定义,利用充分条件和必要条件的定义判断．【详解】解：若G 是a ,b 的等比中项,则2G ab =．当0a b G ===时,满足2G ab =,但a ,G ,b 不能构成等比数列,所以“2G ab =”是“G 是a ,b 的等比中项”的必要而不充分条件,故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键,属于基础题．4.若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++,则9a =（ ） A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D【解析】 ()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++,()10101a x += 019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++,根据已知条件得9x 系数为0,10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D.。
浙江省杭州市长征中学2020届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
长征中学19学年第一学期高三期中考试数学问卷选择题部分一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x y ，则A∩B ＝ A.{－1，1} B.{0} C.{－1，0，1} D.{－1，0，1，2}2.已知i 为虚数单位，设21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A.22144x y -= B.22188x y -=C.22148x y -=D.22184x y -=4. 已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他罚球2次的得分η的数学期望为（ ） A 、1.3 B 、1.5 C 、1.4 D 、1.66.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） （A ）−7（B ）1 （C ）5 （D ）77.函数sin ln()sin x xy x x-=+的图象大致是（ ）8．已知函数)1,0(3)1(log ≠>+-=a a x y a 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{n a }的第二项与第三项，若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前项和为n T ，则10T = （ ） A ．911B ．1011C ．1D ．11129.在平面上，1e ，2e 是方向相反的单位向量，|a |＝2 ，(b -1e ) •(b -2e ) ＝0 ，则|a -b |的最大值为（ ） A. 1B. 2C. 2D. 310. 设R x ∈，函数)(x f 单调递增，且对任意实数x ，有[]1)(+=-e e x f f x，（其中e 为自然对数），求)2(ln f = （ ）A ．1+eB ．1C ．3+eD ．3非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题4分，共36分。
浙江省杭州市2020高三数学上学期期中试题
浙江省杭州市2020届高三数学上学期期中试题一、选择题： 1、已知全集,{|}UR M x x ==-<<11，{|}N y y =<0，则()U M C N =I （ ）A 、(,)-10B 、(,]-10C 、(,)01D 、[,)012、若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是（ ）A 、12B 、1C 、2D 、4 3、已知,a b 都是实数，那么“log log ab >22”是“a b >”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4、欧拉公式cos sin (ixe x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ie 2表示的复数在复平面中位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、函数()x xe ef x x--=2的图像大致是（ ）6、若函数()sin cos f x x x =+在[,]a a -上是增函数，则正数a 的最大值是（ ）A 、π4B 、π2C 、π34D 、π7、已知函数()xf x a x b =+-的零点(,)()x n n n Z ∈+∈01，其中常数,a b 满足a =20192020，b =20202019，则整数n 的值是（ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2 8、若关于x 的不等式||x x m x -+++≥-221的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A 、m -≤<21B 、m -<≤21C 、m -≤<11D 、m -<≤119、设,ln ,ea ebc e e πππ=-=-=-1，则（ ）A 、a b c <<B 、b c a <<C 、c b a <<D 、b a c <<10、设O 是ABC ∆的外心，满足(),()CO tCA t CB t R =+-∈1324u u u r u u u r u u u r ，若||AB =4u u u r，则ABC ∆面积的最大值是（ ）A 、4 B、、8 D 、16二、填空题11、已知向量(,),(,)a b λ=-=121r r ，则||a =r_________，若//a b r r ，则λ=_________.12、已知角α的终边经过点(P -1，则tan α=___________，sin()()con ππαα+-=2_________.13、已知函数log ,(),x x x f x x >⎧=⎨≤⎩3020，则(log )f -=23_________，若()f x =2，则实数x 的值是_________.14、如右图，四边形ABCD 中，,ABD BCD ∆∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中,,AD BCADB CDB ==∠=∠14，则cos CDB ∠=_________，AC =_________.15、设a>1，曲线()x f x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是_________. 16、设向量,,,a b c er r r r 是单位向量且a b c ++=0r r r r ，则()()()()()()a e b e b e c e c e a e -⋅-+-⋅-+-⋅-=r r r r r r r r r r r r_________.17、若a 为实数，对任意[,]k ∈-11，当(,]x ∈04时，不等式ln x x x a kx +-+≤269恒成立，则a 的最大值是_________.三、解答题：18、设:||p x x -≤12，:()q x m x m ---<23130.（1）解不等式：||x x -≤12；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围.19、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边的长.cos cos a B b A =4且cos A =17. （1）求角B 的值；（2）若a =8，求ABC ∆的面积.20、已知函数()f x x x=+-12. （1）若不等式()x k f k -⋅≥220在[,]-11上有解，求k 的取值范围； （2）若方程(||)||x x kf k -+-=-2213021有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.21、已知平面向量,a b r r，且a b ⋅=0r r .（1）若||||a b ==2r r ，平面向量c r 满足||c a b ++=1r r r ，求||c r的最大值；（2）若平面向量c r 满足||c a -=3r r ，||c b -=1r r ，||c ≤1r ，求||c a b --r r r的取值范围.22、设,a b R ∈，已知函数()ln ,()f x a x g x x bx b ==++2. （1）设()()xf x F x a =2，求()F x 在[,]a a 2上的最大值()M a ； （2）设()()()G x f x g x =+，若()g x 的极大值恒小于0，求证：a b e +≤4.。
浙江省杭州市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷(I)卷
浙江省杭州市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·集宁月考) 设复数满足 ,则（）A .B .C .D .2. （2分）对于a>0，，下列命题中，正确命题的个数是（）①若M=N，则；②若，则M=N；③若，则M=N；④若M=N，则A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）已知不等式组表示的平面区域记为M，不等式所表示的区域记为N。
若往M 区域随机地撒芝麻，则芝麻落在区域N的概率为（）A . 1B .C .D .4. （2分）(2018·泉州模拟) 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的值为33，则输出的的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分） (2018高一上·大连期末) 一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， tmin后剩余的细沙量为，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.A . 8B . 16C . 24D . 326. （2分） (2018高二上·中山期末) 空间四点的位置关系式（）A . 共线B . 共面C . 不共面D . 无法确定7. （2分）下列函数中，既是奇函数，又是增函数是（）A . f（x）=x|x|B . f（x）=﹣x3C . f（x）=D . f（x）=8. （2分） (2019高二下·南充月考) 已知命题；命题若 ,则．下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·泉州模拟) 已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，若△OMF为等腰直角三角形，则C的离心率等于（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·丹东模拟) 函数在的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）已知数列{an}满足a1=1，an﹣an﹣1=2（n≥2），则数列的通项an=（）A . 2n+1B . 2nC . 2n﹣1D . 2（n﹣1）12. （2分） (2018·全国Ⅲ卷理) 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·淮北模拟) 在中，三顶点的坐标分别为，，，为以为直角顶点的直角三角形，则 ________．14. （1分） (2019高二上·上海月考) 等差数列中，其公差，且满足，则该数列的通项公式为________.15. （1分）已知x∈[0，1]，则函数y= 的值域是________．16. （1分） (2018高二下·泰州月考) 函数的单调递增区间为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2018·全国Ⅱ卷文) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15.（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值。
2020-2021学年杭州高级中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年杭州高级中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x≤a}，B={x|1≤x<2且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是()A. (∞,1]B. (−∞,1)C. [2,+∞)D. (2,+∞)2.已知a，b∈R，则“a>b>1”是“log2a>log2b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列的前项和，第项满足，则k=()A. 9B. 8C. 7D. 64.已知函数f(x)=|mx|−|x−l|(m>0)，若关于x的不等式f(x)≥0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为()A. (0,1]B. [23,34) C. [43,32) D. [23,2)5.用max{a,b}表示a，b两个数中的较大值，设f(x)=max{2x−1,1x}(x>0)，则f(x)的最小值为()A. −1B. 1C. 0D. 不存在6.某农户计划种植黄瓜和冬瓜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜与冬瓜的产量、成本和售价如表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元冬瓜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入−总种植成本)最大，那么黄瓜与冬瓜的种植面积(单位：亩)分别为()A. 50，0B. 30，20C. 20，30D. 0，507. 已知函数f(x)=cos2x⋅cosφ−sin(2x+π)⋅sinφ在x=π3处取得最小值，则函数f(x)的一个单减区间为()A. (π3,4π3) B. (−2π3,π3) C. (π3,5π6) D. (−π6,π3)8. 已知正整数n ≥4，p ∈(0,1)，随机变量X 的分布列是( )X 1 pp 2 ⋯ p n−2 p n−1 Ppp 2p 3⋯p n−1p n则当n 在[4,100]内增大时，( )A. E(X)<1B. E(X)=1C. E(X)>1D. E(X)与1没有确定的大小关系9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.10. 数列的前项n 和则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 某停车场有6个停车位，现停进了4辆不同的轿车，考虑到进出方便，要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有______种停法．(用数字作答)．12. 在边长为2的正三角形ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,x >0,y >0,x +y =1，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．13. 函数f(x)=x 2−2x +2在区间[0,m]上的最大值为2，最小值为1，则m 的取值范围是______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 若(1−2x)4(1+ax)3展开式中各项系数和为8，则a = (1) ，展开式中x 2项的系数为 (2) ． 15. 若将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π6个单位，则得到的图象对应的解析式为g(x)= ，g(x)的单调递增区间是 ．16. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形则此三棱锥的体积为： (1) cm 3，此三棱锥的外接球表面积为： (2) cm 2．17. 在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (Ⅰ)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是 (1) ；(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为 (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=2√3sin 2x −sin(2x −π3) (Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期及单调增区间； (Ⅱ) 设α∈(0,π)，f(α2)=12+√3，求sinα的值； (Ⅲ)若x ∈[−π2,0]，函数f(x)的最大值．19. 如图，在三棱锥A −BCD 中，底面BCD 是边长为2的等边三角形，侧棱AB =AD =√2，AC =2，O 、E 、F 分别是BD 、BC 、AC 的中点． (1)求证：EF//平面ABD ； (2)求证：AO ⊥平面BCD ；(3)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．20. 设不等式组{x <0y <0y ≥−nx −3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n ∈N ∗). (1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；(2)记数列{f(n)}的前n 项和为S n ，若S n >λn 对任意正整数n 恒成立，求λ的取值范围．21. 已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F(2,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是2(1)求曲线C的方程；(2)一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，求证：AB的垂直平分线恒过定点．22. 已知函数g(x)=(2−a)lnx，ℎ(x)=lnx+ax2(a∈R)，令f(x)=g(x)+ℎ′(x)．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当a<0时，求f(x)的单调区间；(Ⅲ)当−3<a<−2时，若存在λ1，λ2∈[1,3]，使得|f(λ1)−f(λ2)|<(m+ln3)a−2ln3成立，求m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：因为B={x|1≤x<2}，所以∁B={x|x<1或x≥2}，R由A={x|x≤a}，且A⊆∁R B，得a<1，故选：B．由B={x|1≤x<2}，得∁B={x|x<1或x≥2}，由A⊆∁R B，得a<1，得解．R本题考查了集合的包含关系及其运算，补集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：由log2a>log2b解得：a>b>0，∴“a>b>1”是“log2a>log2b”的充分不必要条件，故选：A．由log2a>log2b”解出a>b>0，再结合充分必要条件的定义从而得到答案．本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．3.答案：B解析：解析：试题分析：因为，，所以，；当=2n−10，所以，。
2020-- 浙江省 杭州地区(含周边)重点中学高三上学期 期中考试 数学试题--(附解析答案)
【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到 ，取特殊值得到 ，从而得到“ ”是“ ”的充分不必要条件.
【详解】
因为 ，所以
根据不等式的性质得到：
即
反过来，因为当 时， 的值没有意义，所以
则“ ”是“ ”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.
4．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()
【详解】
当 时， ，解得
当 时， ，解得： （舍）
故答案为： ；
【点睛】
本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及已知函数值求自变量，属于基础题.
14．如图，四边形 中， 、 分别是以 和 为底的等腰三角形，其中 ， ， ，则 __________， ____________.
【答案】
【解析】由余弦定理得出 ， ，由 建立等量关系，得出 的长，代入 得到 的值，利用二倍角公式得到 ，根据余弦定理即可求出 .
【详解】
，
，
因为函数 与函数 在 上都为增函数，所以函数 在 上是增函数
因为 ，
所以
函数 的零点 ，即
故选：B
【点睛】
本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题.
8．若关于x的不等式 的解集中有2个整数则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】去掉绝对值，令 ， ， ，画出函数 与 的草图，结合图像即可得到实数m的取值范围.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上是增函数
因为 f (1) 1 (1) 1 1 0 ， f (0) a0 0 1 1 1 0
a
a
aa
所以 f (1) f (0) 0
函数 f (x) ax x b 的零点 x0 (1, 0) ，即 n 1
第 4 页 共 19 页
故选：B 【点睛】 本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题.
以及零点存在性定理，即可得出整数 n 的值.
【详解】
2019a 2020 ， 2020b 2019
a log2019 2020 1
，b
log 2020
2019
log 2019 log 2019
2019 2020
1 log2019 2020
1 a
因为函数 y ax 与函数 y x b 在 R 上都为增函数，所以函数 f (x) ax x b 在 R
7．已知函数 f (x) ax x b 的零点 x0 (n, n 1)(n Z) ，其中常数 a，b 满足
2019a 2020 ， 2020b 2019 ，则整数 n 的值是（ ）
A． 2 【答案】B
B． 1
C．1
D．2
【解析】利用指数与对数之间的转化求出 a ， b ，结合函数 f (x) ax x b 的单调性
2
sin
x
4
由正弦函数的单调递增区间可知,
f (x)
2
sin
x
4
的单调递增区间为
2k x 2k , k Z
2
42
解得 3 2k x 2k , k Z
4
4
因为在[a, a] 是增函数
所以 a 的最大值是 4
故选:A 【点睛】 本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.
详解： x 0,
f (x)
ex ex x2
f
(x)
f (x) 为奇函数，舍去 A,
f (1) e e1 0舍去 D;
f (x) (ex ex )x2 (ex ex )2x (x 2)ex (x 2)ex x 2, f (x) 0 ，
x4
x3
所以舍去 C；因此选 B.
因为 log2 a log2 b ，所以 a b 0
根据不等式的性质得到： a b
即 log2 a log2 b a b
反过来，因为当 a 1, b 0 时， log2 b 的值没有意义，所以 a b log2 a log2 b
则“ log2 a log2 b ”是“ a b ”的充分不必要条件
故选:A 【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.
4．欧拉公式 eix＝cos x＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非
常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i 表示的复数在复平面中对应
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象
左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的
变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的
循环往复．
6．若 f (x) sin x cos x 在[a, a] 是增函数，则 a 的最大值是（ ）
D．4
【解析】根据周期公式求解即可.
【详解】
因为函数 f (x) sin x 的最小正周期为 π
所以 2 2 2 T
故选：C 【点睛】
本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.
3．已知 a，b 都是实数，那么“ log2 a log2 b ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第 1 页 共 19 页
【答案】A
【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到 log2 a log2 b a b ，取特殊值 得到 a b log2 a log2 b ，从而得到“ log2 a log2 b ”是“ a b ”的充分不
必要条件. 【详解】
2020 届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中 考试数学试题
一、单选题
1．已知全集U R ， M {x | 1 x 1}， N {y | y 0} ，则 M (U N )
（）
A． (1, 0)
B． (1, 0]
C． (0,1)
D． [0,1)
【答案】D 【解析】求出集合 N 的补集，再进行交集运算. 【详解】
∵2∈
，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)， ∴e2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选 B. 【点睛】
第 2 页 共 19 页
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
5．函数
f
x
ex
ex x2
的图像大致为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
A．
4
B．
2
3
C．
4
D．
【答案】A 【解析】根据辅助角公式,将函数 f (x) 化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函
数 f (x) 的单调递增区间.根据闭区间[a, a] 内单调递增,即可求得 a 的最大值.
第 3 页 共 19 页
【详解】
函数 f (x) sin x cos x
所以 f (x)
因为 N {y | y 0} ，所以 U N {y | y 0}
所以 M (U N ) {x | 0 x 1}
ห้องสมุดไป่ตู้
故选：D 【点睛】
本题主要考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.
2．若函数 f (x) sin x 的最小正周期为 π ，则正数 的值是（ ）
1
A．
2
【答案】C
B．1
C．2
的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意得 e2i cos 2 i sin 2 ，得到复数在复平面内对应的点 (cos 2, sin 2) ，
即可作出解答. 【详解】 由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2， ∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．