金融计算与建模：期权定价模型介绍
《期权定价模型》课件
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
金融期权定价模型及其应用研究
金融期权定价模型及其应用研究随着金融市场的不断发展，各种衍生品也相继出现并成为金融市场中的重要组成部分，其中期权作为一种重要的衍生品，有着越来越广泛的应用。
期权作为一种交易工具，它的存在为投资者提供了一种新的获利方式，而这种利益的获得也离不开期权定价模型的支撑。
本文将重点探讨金融期权定价模型及其应用研究。
一、金融期权概述期权是指一种金融契约，使持有者拥有权利而非义务去在未来某个时间以约定价格购买或者出售某种特定资产。
在这个定义中，资产可以是实物资产如原油、银行存款等，也可以是金融资产如股票、货币等。
根据期权是否可以提前行权的特性，可以将其分为欧式期权和美式期权两种。
欧式期权只能在合约规定的特定日期行使或到期日行使，而美式期权可以在合约的任何时候行使。
私募基金、证券公司、保险公司和银行等机构也可以使用期权进行风险管理，实现资产配置和投资套利的目的。
然而，期权的价格如何确定和计算成了关键问题，这就必须依靠期权定价模型来解决。
二、期权定价模型的基本原理期权定价模型的实质是通过一定的数学分析方法计算出期权在未来某个特定时间点的价值。
根据期权的基本原理，期权的价格由期权内在价值和期权时间价值两部分组成。
期权的内在价值取决于期权现价与行权价格之间的差距，而时间价值则反映了期权的时间价值。
期权定价模型的基本原理是建立一个假设关于期权市场的数学模型，通过一定的经验、计算、实证和数学模型方法，计算出期权价格和期权价格随各种因素的变化规律。
常见的期权定价模型主要有两种，即Black-Scholes模型和Binomial模型。
三、Black-Scholes模型Black-Scholes模型是期权定价模型的经典代表之一。
它是一种用随机微积分和偏微分方程的方法来预测股票价格和期权价格的模型。
这个模型假设了一个特殊的市场环境，成为理想市场环境。
在这种市场环境中，假设股票价格、无风险利率和波动率是已知的，采用风险中性计算的方法，可以计算出期权的现价。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型（Option Pricing Mode1）目录1 期权定价模型概述1.1 期权定价模型的前驱1.2 期权定价模型发展过程2 期权定价的方法3 期权定价模型与无套利定价4 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件4.1 (一)B-S模型有5个重要的假设4.2 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式5 期权定价的二项式模型期权定价模型概述期权定价模型的前驱1、巴施里耶（Bachelier，1900）2、斯普伦克莱（Sprenkle,1961）3、博内斯(Boness，1964）4、萨缪尔森（Samuelson,1965）期权定价模型发展过程期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。
此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。
70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。
随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
在过去的20年中，投资者通过运用布莱克——斯克尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。
第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。
B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。
不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。
现在，几乎所有从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。
《金融工程PPT》第十三章 期权定价模型
V0
e10%
e10% 1.25
0.75 0.75
25
0
16.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
6
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
（二）风险中性定价机制
在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：
1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
S0u mi d i
i 0,1,2,3m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S0 (1 )u mi d i
i 0,1,2,3m
10
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
金融工程课程
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V0 ert p*Vu (1 p* )Vd
p* e rt d ud
5
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
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将上式推广，进行递归可以得到更一般的结果，对于有n期的期权，期 权价格C满足，
C [ (
j 0
n
n! ) p j (1 p)n j MAX [0, u j d n j S K ]] r n j !(n j )!
新设变量
a 使得 a 满足 u a d na S K
，则，
买权与卖权概述
买权，又称看涨期权（Call Option），是指期权的出 售者给予期权的持有者在到期日或之前、以确定的价 格（执行价格）向期权出售者购买一定数量资产的权 力。 卖权，又称看跌期权（Put Option），是指期权的出售 者给予期权的持有者在到期日或之前、以确定的价格 （执行价格）向期权出售者卖出一定数量资产的权力。
头寸情况 策略一 从现货市场上购入1单位铜 一份看跌期权 策略二 即期现金流
(S0 P)
未来到期现金流
St MAX (0, X St )
St
MAX (0, X St )
X MAX (0, St X )
S0
P
[ X *(1 rf )T C]
从资本市场上买入面值为X的国库券
uS rB
以概率q
S B
dS rB
以概率1-q
图19.5投资组合收益二叉树图
适当选择 和B使得该组合的期末价值与期权的期末价值相等， 也就是 和B满足，
uS rB Cu dS rB Cd
即，
Cu Cd uC dCu ,B d (u d ) S (u d )r
一份看涨期权
X *(1 rf )T
C
X
MAX (0, St X )
期权定价模型
期权定价理论的核心原理是动态无套利均衡原理， 即用一组头寸不断调整的衍生工具证券组合来复制 期权，保持时刻无套利的均衡状态。 目前，最经典的两个期权定价模型是Black-Scholes 期权定价模型和二叉树（Binomial Theory）期权定 价公式。
u2SBiblioteka uSudSS
dS
d 2S
图19.3 资产价格的二叉树图
下面来分析一下以上述资产为标的物的期权的二叉树情况。 在0时刻，期权价格为C；时间为 t 时，期权价格有两种可 Cu 和Cd ；时间为 2t 时，期权价格有三种可能 能： Cuu，Cdu 和Cdd 。以此类推，图19.4中给出了期权价格的完整树 图。在时刻 i t ，期权价格有i+1种可能：
二叉树期权定价模型
衍生证券的有效期可分为n段时间间隔t，假设在每一个时间段 内资产价格从开始的S运动到两个新值uS和dS中的一个。其中 u>1,d<1，设价格上升的概率是p，下降的概率则为1-p。在0时 刻，股票价格为S；时间为t 时，股票价格有两种可能：uS和 dS；时间为 2t 时，股票价格有三种可能： u 2 S , udS和d 2 S ， 以此类推
根据无套利均衡原理可以得出该组合和期权的期初价值也应该 一样，即，
C S B Cu Cd uCd dCu r d ur [( )Cu ( )Cd ] r ud ud ud (u d )r
定义，
p
r d ur ,1 p ud ud
上式就可以简化成, C [ pCu (1 p)Cd ] r 很容易得到，
Cu [ pCuu (1 p)Cud ] r Cd [ pCud (1 p)Cdd ] r
C [ p 2Cuu 2 p(1 p)Cud (1 p)2 Cdd ] r 2 [ p 2 MAX [0, u 2 S K ] 2 p(1 p)MAX [0, duS K ] (1 p) 2 MAX [0, d 2 S K ]] r 2
期权定价模型介绍
期权的概念
期权（option）是一种选择权，期权交易实质上是一种 权利的买卖。期权的买方在向卖方支付一定数额的货 币后，即拥有在一定的时间内以一定价格向对方购买 或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不 负必须买进或卖出的义务。 按期权所包含的选择权的不同，期权可分为看涨期权 和看跌期权；按期权合约对执行时间的限制，期权可 分为欧式期权和美式期权。
Cuu MAX [0, u 2 S K ]
Cu
C
Cd
Cdu MAX [0, udS K ]
Cdd MAX [0, d 2 S K ]
图19.4 期权收益的二叉树图
假设有一个投资组合包含了 份股票和价值为B的无风险债券，那 么在期末，这个组合的价值会变成（r为无风险利率），
有关期权的专用术语： 执行价（X）：预先商定的期权执行时的交易价格。 到期日（T）：期权到达一定日期便会失效，这一日期被 称为到期日。 交易数量（N）：期权执行时，标的物品的交易数目。 期权价格（P）：为得到期权所赋予权力而支付的价格。 欧式期权是只有在到期日才能执行的期权；美式期权是在 到期日之前都可以执行的期权。
对于所有，. j a，MAX [0, u j d n j S K ] 0 对于所有，
j a，MAX [0, u j d n j S K ] u j d n j S K
n
从而
C [ (
j a
n! ) p j (1 p)n j [u j d n j S K ]] r n j !(n j )!
或（更便于实证计算的形式），
a 1 n! n! j n j j n j n C [ ( ) p (1 p) [u d S K ]] r [ ( ) p j (1 p) n j [u j d n j S K ]] r n j 0 j !( n j )! j 0 j !( n j )! n j n j j n j a 1 n! n! j n j u d j n j u d S{[ ( ) p (1 p) ( n )] [ ( ) p (1 p) ( n )]} j !( n j )! r j !( n j )! r j 0 j 0 n a 1 n! n! j n j Kr {[ ( ) p (1 p) ] [ ( ) p j (1 p) n j ]} j 0 j !( n j )! j 0 j !( n j )! n n
A B
100美元
x
图19.1 看涨期权的收益曲线
100美元
C x D
100美元
图19.2 看跌期权的收益曲线
买权与卖权的平价关系
X C S0 P T (1 rf )
考虑一下这样两个策略： 策略一：在零时刻从现货市场上购入1单位铜，同时购入一份看跌期 权。 策略二：在零时刻从资本市场上买入面值为X的国库券，同时购入一 份看涨期权。 设时刻T铜的现货价格为 St 。