期权定价模型
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
第9章 期权,第10章 期权定价模型
第9章 期 权9.1 期权的概念期货无选择权：买入期货合约，即使交割时的现货价格低于期货价格，也必须买入而亏损；出售期货合约，即使交割时的现货价格高于期货价格，也必须卖出而亏损。
看涨买权（call option ）：到期时的现货价格低于执行价格，持有者可选择不执行合约，以避免亏损；到期时的现货价格高于执行价格，持有者可选择 执行合约，以获得盈利。
看跌卖权（put option ）：到期时的现货价格低于执行价格，持有者可选择 执行合约，以获得盈利；到期时的现货价格高于执行价格，持有者可选择不执行合约，以避免亏损。
期权价格（option price ）：购买选择权支付的单位成本。
9.2 到期股票期权定价1. 到期期权的价值： 标的资产：股票标的变量：股价 S 也就是 S 元∕股 执行价格： E 或X 比如 100元∕股 到期时间： T 比如 3个月到期时股价： T S 比如 120元∕股，或80元∕股 股票现价： 0S看涨买权到期价值： C T = =)0,max(E S T -例：C T =)0,max(E S T -=)0,100120max(-=20 C T =)0,max(E S T -=)0,10080max(-=0 注：到期价值C T 随到期股价T S 的不同而变化，T S 是自变量，C T 是因变量或函数，并且C T 是T S 的分段函数。
看涨买权到期价值看跌卖权到期价值：)0,max(T T S E P -=看跌卖权到期价值2. 到期期权的盈亏设期初买权价为0C 、期初卖权价为0P ，则到期期权的盈亏为),max(),max(000000P P S E P P C C E S C C T T P T T C ---=-=---=-=ππ（1）购入买权（2）购入卖权例如：购入买权，E =100,100=C , 到期时T S 为115和90的两种情况的盈亏分别为：;10)10,1010090max()90(;5)10,10100115max()115(-=---==---=C C ππ注意： 买权是一个产品，设售出买权的盈亏为C π，则有0=+C C ππ或C πC π-=，即售出和购入买权的盈亏是零和的，原因是，售出买权的一方看跌，售出卖权的一方看涨。
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
期权定价模型
:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
19
1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
当股票价格服从几何布朗运动 dS Sdt Sdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
dG ( G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于 以后推导衍数G将遵循如
下过程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
12
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
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e - r 0 maxST - X ,0 g ST dST
e - r X ST - X g ST dST ,
g ST 由下式给出
1 g S T e 2
1 ln S T / S - r - 2
2
进行一些简单的代数运算就可以得到Black-Scholes公 式
估计历史波动率
在间隔为 年的期间观测到 S0 , S1 , S2 , , Sn 计算连续复利 St rt ln St -1 估计波动率 (标准差)
ˆ 每年的波动率：
1 n 2 ˆ rt - r n - 1 t 1
隐含波动率
S0u B0e rT c u S0 d B0 e rT c d
解方程组得到： cu - cd ucd - dcu -rT ，和 B0 u - d e S0u - S0 d 无套利要求：
e rT - d c V0 e -rT cu 1 - cd , 其中 u-d
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现 － 任意互不重叠的两期的 z 的取值相互独 立
Wiener过程的特征
zT - zt的均值为0 zT - zt的方差为T-t
zT - zt的标准差为 T - t zT - zt ~ n0, T - t
股票收益率的特征
不同的衍生证券，其价值取决于上述微分方 程的边界条件 对于欧式看涨期权，边界条件为 cT max0, ST - X 对欧式期权解上述偏微分方程，就得到BlackScholes期权定价模型
Black-Scholes 公式
c SN d1 - Xe N d 2 - r p Xe N - d 2 - SN - d1
c S0 B0 S0 - c - B0
- B0 的符号为正，意味着投资
cu - cd 由 股股票和一个看涨期权空头构成 S0u - S0 d
的组合等价于无风险投资 该组合经常被称为无风险对冲组合， (delta) 被称为 套头比（hedge ratio）
Black-Scholes期权定价模型
0.2
T -t
0 0 20
对数正态分布
Black-Scholes 偏微分方程 的导出
S St Sz
f f 1 2 2 2 f f f S 2 S t Sz 2 t S S S
构造一个组合 ，该组合的构成如下：
公司负债与股东权益
股东权益相当于拥有一个以D为执行价格的对 于公司价值V的看涨期权
E
D
V
公司负债与股东权益
公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权
VD
D
V
认股权证筹资
• 认股权证（warrants）：股份公司发行的，持有者有 权购买该公司股票的一种权利证书。认股权证的持有 者没有投票权，也不享受股利分配，但认股权证规定 的施权价随股票股利的分配而自动调整 • 认股权证的价值：认股权证具有期权的性质，它相当 于一个股票看涨期权。因此其价值可由期权定价公式 确定
风险中性定价
很自然可以被解释为是股票价格上涨的概率 (风险中性概率或等价鞅测度)
cu 1 - cd 可以被解释为是该看涨期权在 到期日的收益
该期权的价值是它在到期日的期望收益按无 风险利率折成的现值 在 下, E ST S0 e rT
Delta对冲组合
$40
p
1- p
S0 d 32 cd 0
组合(合成看涨期权) = 股票+ 无风险资产
V0 S0 B0
组合复制了该期权在到期日的收益
48 B 0 1.10 8
32 B0 1.10 0
1.10 = 今天的$1投资在1年后的财富
解方程组得到 0.5, B0 -14.55
期权价格的决定因素
正的变化 股票价格, S 执行价格, X
看涨期权
看跌期权
波动率,
距离到期日的时间,
无风险利率, r
现金股利, d
Black-Scholes公式的应用
S 50 , X 45 , i.e. T - t 0.25 年, 20% pa r 6% （按连续复利计息） ln S / X r 2 d1
- r
式中，
d 2 d1 -
d1
ln S / X r
2
2
N .是标准正态分布的累积概率分布函数
Black-Scholes 模型 在风险中性定价下的导出
利用风险中性概率算出期权在到期日的期望收 益
用无风险利率对期望收益进行折现
欧式看涨期权的价值由下式给出： c e - r Et cT
2
ln 50 / 45 0.06 0.2 0.25
0. 2 2 2
0.25 1.2536
以及 d 2 d1 - 1.1536
那么
N d1 0.8950 N d 2 0.8757 - r c SN d1 - Xe N d 2
可转换债券的价值评估
• 看成纯债券与看涨期权 • 北京燕京啤酒股份有限公司2002年10月发行7亿 元可转换债券:
–该债券票面利率1.2%，期限5年，每年支付一次利息 –转债期在发行之日起12个月后至到期日 –转股价格按照公告募集说明书前三十个交易日“燕京 啤酒”股票收盘价的算术平均值9.63元为基准，上浮 10%确定 ,转股价格为10.59元
认股权证的价值
• N股发行在外的流通股股票
• M份认股权证；每股认股权证可以以每股为X的执行 价格购买 股股票
• 股东权益的价值V=NS+MW
VT MX • 认股权证执行后的股票价格为： N M
• 认股权证持有者的收益为： VT MX N VT max( - X ,0)或 max( - X ,0) N M N M N
可转换债券的价值评估
以目前五年期国债利率2.59%计算，燕京转 债纯粹价值约为93.56元
计算公式如下：
1.2 100 VB 93.56 t 5 ) (1.0259 ) t 1 (1.0259
式中，S是股票价格；W是认股权证价格
认股权证的价值
VT MX • 认股权证的价值是 N M 或基于V/N的看涨期权
的价值 • 使用Black－Scholes期权定价模型时
- S0 改为 S o N MW
N
– 波动率 是所有股东权益的波动率 - 最后乘以
N N M
无套利原则与 对衍生证券的定价
今日
交易的 衍生证券
到期日
收益相同
合成的 衍生证券 交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
二项式期权定价模型
要对期权进行定价，我们需要知道标的资产价格如何 变动 简单但非常有力的一个模型是二项式模型 - 在每个（很短）的时间间隔期末，股票价格只能 有两个可能的取值 - 当时间间隔足够短，这是很好的近似 - 有利于解释期权定价模型背后所包含的原理 - 可以用于对象美式期权这样的衍生证券进行定价
期权的隐含波动率是指让根据公式计算得到的期权价 格与市场价格相等的波动率，即
imp f S , X , r, , cM
-1
期权价格与隐含波动率之间存在着一一对应 在柜台市场（OTC），交易者和经纪商经常不是报货 币价格而是报隐含的收益率 隐含波动率给出了市场总体对未来标的股票在期权有 效期内的平价波动率的一致估计（预期） 隐含波动率是前瞻性的
－ 1单位衍生证券的空头 f － 股股票多头 S
组合的价值为： f -f S S 在跨度为 t 的短期内，它的价值的变动为：
f - f S S f 1 2 2 2 f - 2 S t 2 S t
因为该组合的收益率没有不确定性，所有它 必须等于无风险利率。因此
ห้องสมุดไป่ตู้
期权价格和股票价格依赖于同一种不确定性 来源
无风险的对冲组合可以用股票和期权来构造
无风险组合必然获得无风险利率
这导致了Black-Scholes偏微分方程 (PDE)
Black-Scholes模型的假设
完美的资本市场，没有套利机会 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布 朗运动 短期利率已知，并且不随时间发生变化
50 0.8950 - 45 e - 0.06 0.25 0.8757 5.93
p c Xe - r - S 5.93 45 e - 0.06 0.25 - 50 0.26
Delta对冲
Delta ()：期权价格对标的资产价格的变化比 率
对于欧式看涨期权 c N d1 , 0 c 1 S 对于欧式看跌期权 p N d1 - 1 , - 1 p 0 S
单期二项式模型
今日 1年 $140 $100 $80
收益率被定义为价格的相对数
期望收益率= 1.1 期望方差 = 0.09
概率
1 2 1 2
单期：给欧式看涨期权定价
欧式看涨期权： T 1, S0 40, X 40, u 1.2, d 0.8
今日 1年 概率
S0u 48 cu 8
Chapter 9:
期权定价模型
1
期权定价中的难点
债券和股票的估价：贴现现金流 期权的估价