实物期权的定价模式

实物期权的定价模式的种类较多,理论界和实务界尚未形成通用定价模型,主要估值方法有两种:一是费雪·布莱克和梅隆·舒尔斯创立的布莱克-舒尔斯模型;二是以考克斯、罗斯、罗宾斯坦等1979年授相继提出的二叉树定价模型。

一、布莱克－斯科尔斯定价模型布莱克－斯科尔斯模型是布莱克和斯科尔斯合作完成的。

该模型为包括期权在内的金融衍生工具定价问题的研究开创了一个新的时代。

布莱克-舒尔斯模型假定期权的基础资产现货价格的变动是一种随机的“布朗运动”(Brownian Motion)，其主要特点是：每一个小区内价格变动服从正态分布，且不同的两个区间内的价格变动互相独立。

1．模型假设条件：•金融资产价格服从对数正态分布; •在期权有效期内,无风险利率和金融资产收益变量是恒定的; •市场无摩擦,即不存在税收和交易成本; •金融资产在期权有效期内无红利及其它所得； • 该期权是欧式期权。

2．布莱克－斯科尔斯期权定价方法的基本思想是，衍生资产的价格及其所依赖的标的资产价格都受同一种不确定因素的影响，二者遵循相同的维纳过程。

如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合，可以消除维纳过程，标的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消。

由这样构成的资产组合为无风险的资产组合，在不存在无风险套利机会的情况下，该资产组合的收益应等于无风险利率，由此可以得到衍生资产价格的Black-Scholes 微分方程。

看涨期权的布莱克—斯科尔斯（Black —Scholes ）模型：Black —Scholes 微分方程：C r S S C S C S r t C f f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ基于此可以得到看涨期权的Black —Scholes 定价公式：其中：其中： X — 期权的执行价格；Ｓ0 — 标的资产当前的市场价格；ｒf — 无风险连续年复利；σ — 标的资产的风险，以连续计算的年回报率的标准差来测度；∆t — 为离期满日的时间，以占一年的几分之几表示；Ｎ（·）— 正态分布变量的累积概率分布函数。

3. 正确使用布莱克－斯科尔斯公式必须注意其它几个参数的选择：(1)该模型中无风险利率必须是连续复利形式。

一个简单的或不连续的无风险利率(设为r 0)一般是一年复利一次,而ｒ要求利率连续复利。

r 0必须转化为ｒ方能代入上式计算。

两者换算关系为:ｒ=ln(1+r 0 )或r 0 =e r -1。

(2)期权有效期Ｔ应折合成年数来表示,即期权有效天数与一年365天的比值。

如果期权有效期为183天,则Ｔ=183/365=0.501。

(3)对波动率的计算。

通常通过标的资产历史价格的波动情况进行估算。

基本计算方法为：先取该标的资产过往按时间顺序排好的n+1个历史价格（价格之间的时间间隔应保持一致，如一天、一周、一月等）；利用这一组数据计算n 个连续复合收益率，计算公式为： r = ln[P(st)/P(st-1)]()()201d N e X S d N C t r f ∆-=tt r X S d f ∆∆++=σσ)5.0()/ln(201t d tt r X S d f ∆-=∆∆-+=σσσ1202)5.0()/ln(上述公式表示对时间间隔内的收益取自然对数，得到连续复合的收益率；计算上述n个收益率的样本标准差就得到了相应时间跨度的波动率，如果时间跨度为周，便称为周收益波动率，如果时间跨度为月，便称为月收益波动率，以此类推。

但是，在布莱克－斯科尔斯公式的计算中，我们需要的是年收益波动率，因此，需要将上述波动率转化为年收益波动率，转化的方法是：利用下述等式进行计算年波动率的平方= 某期限收益波动率的平方×（1年中包含的期数）。

自然，对标的资产的波动投资者可能会有自己的看法，也可以给出自己的估计值代入公式中进行计算。

4.案例应用假定有个6个月期限（T=6）的股票看涨期权需要定价。

现行的股价（S）为100美元，股票收益率的年度标准差（σ）为50%，期权的协定价格（K）为100美元，无风险收益率（r）为年率10%。

请计算出期权价格。

（1）计算过程如下：d1= [ln(100/100)+(0.1+0.5×0.25)×0.5] / (0.5×0.707)=0.318d2= 0.318-0.5×0.707= - 0.0355(2) 查表可知：N(d1)=0.6236N(d2)=0.4859(3)带入公式得到：C=100×0.6236-(100×0.4859)/(e0.1×0.5)=16.14元二、二叉树定价模型由三位教授提出的二叉树模型是一个重要的概率模型定价理论,它同Ｂ-Ｓ模型在很多方面都十分相似,运用这两个模型对期权定价的结果基本上一致。

从逻辑原理来看,二叉树定价模型可以说是Ｂ-Ｓ模型的逻辑基础,虽然Ｂ-Ｓ模型是被较早提出。

但Ｂ—Ｓ模型过于抽象,且其中包括Ｐｉｎｄｙｃｋ所提出的项目未来受益的不确定性服从几何布朗运动的假设,导致模型复杂求解困难,成为实物期权推广中的最大障碍。

而二叉树定价模型直观易懂,优点有:①适用范围广;②应用方便,仍保留ＮＰＶ法分析的外观形式;③易于理解,易列出不确定性和或有决策的各种结果。

1. 模型的基本假设二叉树方法是由Cox、Ross和Robinstein提出，其基本概念是先求得风险中立假设下未来现金流量的期望值，再以无风险利率折现而得到期权的现值。

CRR模型的基本假设有：1、标的资产的未来价格只有上涨或下跌两种情况。

2、标的资产的未来价格上涨或下跌的报酬率己知，且投资人能利用现货市场及资金借贷市场，建立与期权报酬变动完全相同之对冲资产组合。

3、无摩擦之市场，亦即无交易成本、税负等，且证券可以无限分割.4、借贷利率均相等，皆为无风险利率。

5、每一期之借贷利率(r)、上涨报酬率〔u)及下跌报酬率(d)均为己知，且存在以下关系，否则将出现无风险套利机会。

u> 1且d<1u>R>d，其中R= l +r2. 模型的概念假设目前市场上有一家Z公司，其价值(股价)为V，执行成本(投资成本)为X，而Z公司的价值在一年之后有P的概率上升为V u，相对有(1-p)的概率下跌为V d，如图所示:V uPV1-PV d其次，假设以Z公司价值为标的资产的期权的期初价值为C0，如在一年后当Z公司的价值增长至V u时，则看涨期权的价值为C u.当Z公司价值下跌到V d时，看涨期权的价值为C d(如图所示):C u=max[V u-X，0]PV1-PC d=max[V d-X，0]这样，便可根据上述条件，并在风险中立假设下求解期权的价值，也就是说可以建立一投资组合，其中包含m单位Z公司股票以及B元的无风险债券〔无风险利率为r)，这个投资组合的价值可表述为:mV u+（1+r）BPmV+B1-PmV d+（1+r）B此时可通过调整m与B的比率形成一个复制投资组合，并使该投资组合的报酬与每期可能的看涨期权的价值相同(如下式)，即形成了无风险对冲资产组合mVu+(1+r)B=C umV d+(1+r)B=C d求解该联立方程可得C u-C dm=V u-V du C d-dC uB=(u-d)(1+r)而当市场无套利机会时，C0= mV十B应成立，所以整理可求出C0基于此,本部分将在实物期权的理论框架下,建立了二叉树期权定价模型,并对该模型进行了实例分析。

3. 二叉树定价模型估值方法（1）.动态复制技术动态复制技术是期权定价的核心思想,关键是寻找一个与所要评价的实际资产或项目有相同风险特征的可交易证券,并用该证券与无风险债券的组合复制出相应的实物期权的收益特征。

动态复制技术就是把该项资产或项目看作一项金融资产,用△份该资产或项目和价值为ｙ的无风险债券来复制实物期权,设ｖ0为项目的当前的现金流入价值,ｖ+是项目成功的期望现金流入价值,ｖ-是项目失败的期望现金流入价值,ｃ是项目的期权价值,ｃ+是项目成功时的期权价值,ｃ-是项目失败时的期权价值,ｒ表示无风险利率。

具体如下:ｖ0Δ+ｙ=ｃｖ+Δ+(1+ｒ)ｙ=ｃ+ｖ-Δ+(1+ｒ)ｙ=ｃ-（2）.风险中性假设。

风险中性假设假定管理者对不确定性持风险中性态度,其核心环节是构造出风险中性概率。

期权定价属于无套利均衡分析,适合于风险中性假。

风险中性假设的核心环节是构造出风险中性概率ｐ和(1-ｐ),然后由公式ｃ=[ｐｃ+(1-ｐ)ｃ-]/(1+ｒ)得出期权的当前价值,风险中性概率为:ｐ=[(1+ｒ)ｖ0-ｖ-]/(ｖ+-ｖ-)和(1-ｐ),显然ｐ和(1-ｐ)并不是真实的概率。

由于期权定价属于无套利均衡分析,参与者的风险偏好不影响定价结果,所以可用风险中性概率替代真实概率。

4. 实例分析（1）.假设一种股票当前价格为$20，三个月后的价格将可能为$22或$18。

假设股票三个月内不付红利。

有效期为3个月的欧式看涨期权执行价格为$21。

如何对该期权进行估值？a. 动态复制技术如果能够用这种股票和期权构造一个组合，使得在三个月末该组合的价值是确定的，那么，根据该组合的收益率等于无风险收益率（无套利假设），可以得到构造该组合所需成本（现值），而组合中股票的价格是已知的，于是可以得出期权的价格。

构造一个证券组合，该组合包含一个Δ股股票多头头寸和一个看涨期权的空头头寸。

当股票价格从$20上升到$22时，该证券组合的总价值为22Δ-1；当股票价格从$20下降到$18时，该证券组合的总价值为18Δ。

完全可以选取某个Δ值，使得该组合的终值对在上述两种情况下是相等的。

这样，该组合就是一个无风险组合。

由22Δ—1=18Δ得Δ=0.25因此，一个无风险的组合由0.25股股票和一个期权空头构成。

通过计算可知，无论股票价格是上升还是下降，在期权有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。

在无套利假设下，无风险证券组合的盈利必定为无风险利率。

假设无风险利率为年率12％。

则该组合的现值应为：4.5e-0.12×0.25=4.3674股票现在的价格已知为$20。

用f表示期权的价格。

组合现在的价值=有效期结束时的价值按无风险利率贴现因此，由20×0.25－f=4.3674得f=0.633如果期权价格偏离0.633，则将存在套利机会b. 风险中性估值股票的预期收益率一定等于无风险利率12％则有：22p+18(1-p)=20e0.12×0.25即4p=20e0.12×0.25-18得p=0.6523在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率为0.6523，价值为零的概率为0.3477。

因此，看涨期权的期望值为：0.6523×1+0.3477×0=$0.6523按无风险利率贴现得期权现在的价值：f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633（2）. 某公司研制出一项新技术,并获得专利,现准备将此技术应用于公司一项新产品的生产,预计建立生产该新产品的设备需要投入Ｉ=300万元,产品投入市场后每年可以产生税后现金流量100万元,项目可以在无竞争条件下持续进行4年,经市场部门调研,该项目最大的不确定性来源于市场对新产品的反应,估计产品未来现金流量波动率为45%。