2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
合集下载
北师大高中数学选择性必修第一册3.2.2.1从平面向量到空间向量空间向量的运算 一、~ 二、【课件】
[例 1] 已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平
面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列各题中
x，y 的值.
(1) ＝ ＋ ＋；
(2)＝ ＋ ＋ .
[解]
(1)如图.
∵＝ − ＝ − (＋)＝ − − ，∴x＝y＝－ .
)＝k＋＝k(＋)＝k，∴∥ .
(3)＝＋＝＋＝k(＋)＝k.
谢谢观赏！
Thanks!
＋2yp，a≠0，若 a∥b，求实数 x，y 的值.
解：∵a∥b，∴存在实数λ使3m－2n－4p＝λ[(x＋1)m＋8n＋2yp]，
∴λ(x＋1)＝3，8λ＝－2，2yλ＝－4，
∴x＝－13，y＝8.
基础训练
达标小练
1. 设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且 ＋ ＝ ＋，则四边形
是 b 的相反向量 .
3. 空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下：
①结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
②交换律：a＋bλ 的乘积是一个向量 ，记作 λa. 满足：
①|λa|＝|λ||a|；
②当 λ＞0 时，λa 与 a 方向相同；
(2)∵＋＝2，
∴＝2 − .
又∵＋＝2，
∴＝2 − .
从而有＝2－(2 − )＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.
通法提炼
注意下面结论：设 a，b，c 是三个不共面的向量，如果 x1a＋y1b＋z1c＝x2a＋
y2b＋z2c，那么必有 x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2.
(2) ∥ ；
(3) ＝ .
2.1从平面向量到空间向量课件(北师大版高中数学选修2-1)
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
(3) MP xMA yMB P、M、A、B共面；
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一 点O， 且 ，
则x+y=1是 P、A、B三 点共线的：
OP xOA y AB
A.充分不必要 条件 B.必要不充分 条件
5.设点P在直线AB上并且
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
A
P
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP xMA yMB 或对空间任一点O,有 OP OM xMA yMB
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
2.2 空间向量的运算 课件(北师大选修2-1)
[精解详析]
∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，
∴EH ＝ AH －AE 1 1 ＝ AD － AB 2 2 1 ＝ (AD －AB ) 2 1 ＝ BD . 2
2 2 又∵CF＝2FB，CG＝2GD，∴ C F ＝ C B ，C G ＝ C D .
λa的模是a的
模的 |λ| 倍
(3)空间向量的数乘运算律：
①交换律：λa＝ aλ (λ∈R)； λa＋λb ，
②分配律：λ(a＋b)＝
(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)； ③结合律：(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ∈R)． (4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件 是存在实数λ，使得 a＝λb .
b＝0 ； ②a⊥b ⇔ a·
a· b ③cos〈a，b〉＝ |a||b| (a≠0，b≠0.)
a (4)对任意一个非零向量， |a| 叫作向量 a 的单位向量， 把
记作 a0.a0 与 a 同 方向．
与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算 有如下特点 1．空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结 果仍是一个向量． 2．空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决 于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．
设 a，b，c 是任意空间向量，类比平面向量的数量 积，回答以下问题． 问题 1：由 a· b＝0，一定能推出 a＝0 或 b＝0 吗？
π 提示：不一定，也可能〈a，b〉＝ . 2
问题 2：由 a· b＝a· 能得到 b＝c 吗？ c
提示：不一定．
问题 3：(a· b)c＝a(b· c)成立吗？
提示：不一定．
2
2020北师大版高中数学选修2-1 教师课件：第二章 空间向量运算的坐标表示
[解析] 由已知可得：A→B＝(4,5，－1)－(2，－1,2)＝(2,6，－3)，A→C＝(－2,2,3) －(2，－1,2)＝(－4,3,1)． (1)O→P＝12(A→B－A→C)＝12[(2,6，－3)－(－4,3,1)]＝(3，32，－2)，所以 P 点的坐标 为(3，32，－2)．
(2)设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为12(A→B－A→C)＝(3，32，－2)， 所以A→P＝(x－2，y＋1，z－2)＝(3，32，－2)， 解得：x＝5，y＝12，z＝0，则 P 点的坐标为(5，12，0)．
[解析] (1)∵c∥B→C， ∴c＝mB→C＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)(m∈R)， ∴|c|＝ －2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3， ∴m＝±1， ∴c＝(－2，－1,2)或 c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又|a|＝ 12＋12＋0＝ 2，|b|＝ －12＋0＋22＝ 5， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得 k＝2 或 k＝－52.
3＋y－2z＝0
z＝1
∴向量 a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)． (2)∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝ 22＋22＋32＝ 17，|b＋c|＝ 42＋02＋－12＝ 17， ∴a＋c 与 b＋c 所成角的余弦值为a|a＋＋cc|·|bb＋＋cc|＝157.
解析：(1)以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知，得 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C1(0，0,2)，P12，12，2， Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，A1(1,0,2)． ∴B→Q＝(1，－1,1)，C→B1＝(0,1,2)，B→A1＝(1，－1,2)，A→B1＝(－ 1,1,2)，C→1P＝12，12，0， ∴|B→Q|＝ 12＋－12＋12＝ 3.
2-1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)空间中，若一个向量所在直线 平行于 一个平面，则称这个 向量平行于该平面． (4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，
不平行于同一个平面 的一组向量称为不共面向量．
(5)平行于一个平面的向量 垂直 该平面的法向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
：空间两个向量能否异面？空间两个向量是否确定唯一 的平面？ 提示 空间两个向量不能异面，是因为空间任意两个向量都可 转化为共面向量；空间两个向量不能确定唯一的平面，因为同 向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 因此，空间两向量可以平移到以空间任意点 O 为起点的同一个 平面内，所以空间两向量确定的平面不是一个，而是一组互相 平行的平面的集合．但在研究解决具体问题时，一般只要在其 中一个平面内考虑即可．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训练
解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不 能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的 模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两 个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两 → → 个向量相等却不一定有相同的起点和终点． (4)真命题， 与AB BA 仅是方向相反，它们的长度是相等的．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模， → 用 |AB| 或 |a| 表示． (5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b， → → 在空间中任取点 O，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． (6)向量夹角的范围：规定 0≤〈a，b〉≤π ． π (7)特殊角： 〈a， ＝ 2 时， 当 b〉 向量 a 与 b 垂直 ， 记作 a⊥b ； 当〈a，b〉＝0 或π 时，向量 a 与 b 平行 ，记作 a∥b ．
2.1《从平面向量到空间向量》课件(北师大版选修2-1)
一、选择题（每题5分，共15分）
1.在空间向量中，下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等 的向量是_______；与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与 BC′方向相同的向量
答案：CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的中点，所
以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由
两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂
1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形
ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点， 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形 ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为
垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE， ∵AC=BC，∴CF⊥AB. 又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE， ∴CD⊥平面ABE， ∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
1.在空间向量中，下列说法正确的是(
)
(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 (B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 (C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相 等 (D)同向且等长的有向线段表示同一向量
3.(5分)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等 的向量是_______；与BC′平行的向量是_______. 【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与 BC′方向相同的向量
答案：CD
AD′(答案不唯一)
4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体
被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的中点，所
以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.
2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直 对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由
两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂
1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形
ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点， 则过点A作平面CDE的一个法向量是( )
【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形 ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面
两条不共线的向量都垂直的向量.
【解析】
7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为
垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.
【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE， ∵AC=BC，∴CF⊥AB. 又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF. 又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE， ∴CD⊥平面ABE， ∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故 AH是平面BCD的一个法向量.
高中数学课件-2.1从平面向量到空间向量 课件(北师大版选修2-1)
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
平面 BB1D1D 的法向量可以是A→C，C→A，A→1C1，C→1A1中的任 一个．
第二章 2.1
名师辩误作答
第二章 2.1
[例5] 下列命题中正确的是( ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb [误解] A(或B或D) [正解] C
(1)举出图中与向量A→F相等的向量； (2)向量E→C是否与H→G平行？ (3)举出图中与向量B→G相反的向量． [分析] 两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相 同．向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致．两空间向量 平行与否与向量的方向无关．
第二章 2.1
[解析] (1)与向量A→F相等的向量有向量M→H和向量D→E. (2)由于点 H、M、G 分别为线段 EF、AD、BC 的中点，所 以 HG∥EC，即向量E→C与H→G平行． (3)与向量B→G相反的向量有G→B、C→G、M→A、D→M、E→H和H→F.
第二章 2.1
[解析] (1)直线 AA1 的方向向量可以是A→A1，B→B1，C→C1， D→D1，A→1A，B→1B，C→1C，D→1D中的任一个；
直线 BD 的方向向量可以是B→D，B→1D1，D→B，D→1B1中的任一 个．
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直 线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量， 只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何 问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
平面 BB1D1D 的法向量可以是A→C，C→A，A→1C1，C→1A1中的任 一个．
第二章 2.1
名师辩误作答
第二章 2.1
[例5] 下列命题中正确的是( ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb [误解] A(或B或D) [正解] C
(1)举出图中与向量A→F相等的向量； (2)向量E→C是否与H→G平行？ (3)举出图中与向量B→G相反的向量． [分析] 两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相 同．向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致．两空间向量 平行与否与向量的方向无关．
第二章 2.1
[解析] (1)与向量A→F相等的向量有向量M→H和向量D→E. (2)由于点 H、M、G 分别为线段 EF、AD、BC 的中点，所 以 HG∥EC，即向量E→C与H→G平行． (3)与向量B→G相反的向量有G→B、C→G、M→A、D→M、E→H和H→F.
第二章 2.1
[解析] (1)直线 AA1 的方向向量可以是A→A1，B→B1，C→C1， D→D1，A→1A，B→1B，C→1C，D→1D中的任一个；
直线 BD 的方向向量可以是B→D，B→1D1，D→B，D→1B1中的任一 个．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A E
H D F C G
B
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面
3.共面向量的概念。
4.共面向量定理。
AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证： OA OB OP 1
二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
O
a
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任 意三个向量就不一定共面的了。
A E B C
D
(1) AC x( AB BC CC )
' '
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D (2) AE AA x AB y AD
E C
B
A
D C
B
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的有
P
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
a
B A
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2
O
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且
OP OA OB ，求
的值.
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间四 边形各边中点所得的四边形为平行四边形。
空间四点P、M、A、B共面 （ ） 存在唯一实数对 x , y , 使得 MP x MA yMB OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
D.空间的任意三个向量都共面
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 B.若 C.若
OP OA t AB ，则P是AB的中点 3OP OA AB ，则P、A、B不共线 OP OA t AB
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一 点O， 且 ，
则x+y=1是 P、A、B三 点共线的：
OP xOA y AB
A.充Hale Waihona Puke 不必要 条件 B.必要不充分 条件
5.设点P在直线AB上并且
从平面向量到空间向量
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下 列各式中的x,y. D (1) AC ' x( AB BC CC ' ) E
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习 在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
或对空间任一点O,有 OP OM x MA y MB
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中
x y z ）的四点P、A、B、 1
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
2.共线向量定理:对空间任意两个向
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在 直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 l a OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM 注意：
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP x MA yMB
H D F C G
B
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：
A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面
C.空间的任意两个向量都共面
3.共面向量的概念。
4.共面向量定理。
AP PB( 1)
，O为空间任意一点，求证： OA OB OP 1
二.共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
O
a
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任 意三个向量就不一定共面的了。
A E B C
D
(1) AC x( AB BC CC )
' '
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习2
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. ' D (2) AE AA x AB y AD
E C
B
A
D C
B
一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的有
P
推论:如果 l为经过已知点A且平行已
a
B A
若P为A,B中点, 则 1 OP OA OB 2
O
例1 已知A、B、P三点共线，O为空间任
意一点，且
OP OA OB ，求
的值.
例2 用向量的方法证明：顺次连结空间四 边形各边中点所得的四边形为平行四边形。
空间四点P、M、A、B共面 （ ） 存在唯一实数对 x , y , 使得 MP x MA yMB OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例5 如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O
D.空间的任意三个向量都共面
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是： A.若 B.若 C.若
OP OA t AB ，则P是AB的中点 3OP OA AB ，则P、A、B不共线 OP OA t AB
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
三、课堂小结：
1.共线向量的概念。 2.共线向量定理。
OP OA AB
，则P、A、B共线
D.若
，则P、A、B共线
4.若对任意一 点O， 且 ，
则x+y=1是 P、A、B三 点共线的：
OP xOA y AB
A.充Hale Waihona Puke 不必要 条件 B.必要不充分 条件
5.设点P在直线AB上并且
从平面向量到空间向量
练习
A
在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下 列各式中的x,y. D (1) AC ' x( AB BC CC ' ) E
C
B
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D C
B
练习 在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下列
各式中的x,y.
或对空间任一点O,有 OP OM x MA y MB
例3 对空间任意一点O和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式 OP xOA yOB zOC （其中
x y z ）的四点P、A、B、 1
向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 量 使 的充要条件是存在实数λ a, b(b o), a // b a b
2.共线向量定理:对空间任意两个向
a 知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在 直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 l a OP=OA+t 其中向量a叫做直线的方向向量.
C是否共面？
例4
已知A、B、M三点不共线，对于平面
ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM 注意：
OE OF OG OH k OA OB OC OD
求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC。
D' A' A
D B
C
C' B'
1.下列命题中正确的有：
(1) p xa yb p 与 a 、 共面 ; b (2) p 与 a 、 共面 p xa yb b ；
2.共面向量定理:如果两个向量
p与向量 不共线,则向量
a ,b
a , 共面的充要 b 条件是存在实数对 x, y使 P xa yb
B b M a A
p
P
A
O
推论:空间一点P位于平面MAB内的充要
条件是存在有序实数对x,y使 MP x MA yMB