2013届高考数学压轴题预测：2、数列

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2013年高考数学压轴题训练详细及解析

2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，特别精选了其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1．（本小题满分14分）已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2，方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一：g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（本小题满分12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ， ∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)，方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0). 方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +，得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)，则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ，∴x 1=－01x ，将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=21x 2 由消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2b b k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2；当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>bb b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +=1|21|21x x -+1|21|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（本小题满分12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分.解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；2 2④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列（I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n n n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围. 本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→ .24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n n n n n n n （III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a a b 得令 .,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(kk b k k n ≤≥=k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+ 故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k .212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a a a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn 5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得12x =+. 综上，所求解集为{}0112+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-.因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-.②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-.22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数，由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数；当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时． 6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+= ，，，，，其中A B ，为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)证明：不等式51mn m n a a a ->对任何正整数m n ，都成立.本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 解：（Ⅰ）由已知，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=.由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，，即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，，解得 20A =-，8B =-.（Ⅱ）方法1由（Ⅰ），得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ① 所以 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 所以 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，所以 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，所以 32120n n n a a a +++-+=，即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 所以数列{}n a 为等差数列.方法2由已知，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠，所以数列{}n S 是唯一确定的，因而数列{}n a 是唯一确定的. 设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.于是 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--，由唯一性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，15(1)54n a n n =+-=-. 要证 51mn m n a a a ->，只要证 512mn m n m n a a a a a >++. 因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()162m n mn mn m n a a ->+-+++，即只要证 2020372m n m n a a +->. 因为 2558m n m n a a a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，所以命题得证.。

2013年高考数学压轴题训练及详细的解析

2013年高考数学压轴题训练注:试题均为历年高考试题，精选其中有代表性的题目。

非常适合2013年参加高考的学生和老师复习及冲刺使用。

1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x ac a P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x ac a xab bc x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x ac a a x 知，所以 .||1x ac a P F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a c a r P F cx r r a r r +===-=+得证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a c a由椭圆第二定义得ac cax P F =+||||21，即.||||||21x ac a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x ac a a x 知，所以.||1x ac a P F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a yx =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20cby ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cba 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，③ ④22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20cby ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=cba cba cb a x于是，当cba 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cba2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记cx y k k cx y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan212121=+-=∠k k k k MF F (14)分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分（Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.③ ④0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y=相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='ax x a x 得φ当30-<<ax 时;0)(<'x φ当3->ax 时，0)(>'x φ，所以，当3-=ax 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤- ①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++ 从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)nn n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦① 当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-；当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nnn nn n nn C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线O A 和O B 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线A B 恒过定点，并求出该定点的坐标.yA xoB,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭MN2p x =-解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：M F M N =即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02pF ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线A B 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x pp==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb y y y y kk+=⋅=①（1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k=所以2.b pk =因此直线A B 的方程可表示为2y k x P k =+，即(2)0k x P y +-=所以直线A B 恒过定点()2,0p - （2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pkθ=-，所以22tan p b pk θ=+，此时，直线A B 的方程可表示为y kx =+22tan ppk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线A B 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线A B 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+yx，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-yx（II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k yxkx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆kk k即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k yxkx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA kx x kk x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=kk kk k kk x x k x x kB A B A.0131315,613732222>--<-+kk kk 即于是解此不等式得.31151322<>k k或 ③由①、②、③得.11513314122<<<<kk或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a nn a a nn n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+kk k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a nn a nn a n nnn n两边取对数并利用已知不等式得 n nn a nn a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn nn a +++≤ 故nn n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n上式从1到1-n 求和可得 121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n nn a a.22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=nnn nn即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a nn a n nn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n.11113121211<--++-+-=nn因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有（2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a an n n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n nn n n b a b 即。

【备战2013】高考数学考前30天冲刺押题系列专题02 数列(上)理(教师版)

考前30天之备战2013高考理数冲刺押题系列专题02 数列（上）（教师
版）
【2013命题趋势预测】
通过对近三年高考中三角函数的题型分析，编者在此对2013三角函数的命题做出如下预测，欢迎各个老师进行讨论、指导；
1、数列这个考点难度值具有“浮动性”，它既可以成为高考考卷中基础题（难度与三角函数平行），
注重考察特殊数列的基础公式与应用，也可以与部分知识交汇，成为高考试卷中的压轴题，考察学生对综合知识的把握以及是否具有缜密的逻辑推理能力；因此，对于数列的趋势预测，要结合各省市近三年的高考考情，例如：福建省近三年中，无论是在市检、省检还是高考中，对于数列的要求只停留在基础的公式应用上，所以预测该省在2013年对于数列的难度不会增加，着重考察学生对基础知识的应用；其他省市可做同样的分析；
2、大部分的省市对数列的出题分为两个部分，一是选择、填空中的数列问题，二是解答题中的数
列，通过两个部分，来了解学生对数列问题的掌握程度；因此，我们可以预测，在2013年的高考中，大部分高考试卷会延续“选择+大题”或者“填空+大题”的考题形式，少部分试卷仅在解答题中考查三角函数问题；
3、选择、填空的出题方向主要以等差、等比数列的基本公式、性质以及创新型数列找规律为主；
解答题的出题方向存在多样化，可以单纯的考查数列的基本公式与数列求和的方法，也可以与函数、不等式等内容实现交会，考查学生的综合素养；因此相对于其他考点而言，数列的出题较为灵活.
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全国各地2013届高考数学押题精选试题分类汇编5 数列文

2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编5：数列一、选择题1 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1011S S -=,则11S 等于（）A ．109B ．119 C ．1110D ．65【答案】B2 ．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）若等比数列{}n a 满足123453a a a a a ++++=,222221234512a a a a a ++++=,则123453a a a a a ++++=的值是（）A B ．C ．4D ．2【答案】C3 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））己在等差数列{}n a 的公差0d <,若462824,10a a a a =+=,则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A ．50B ．45C ．40D ．35【答案】B4 ．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）已知数列}{n a 满足:)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+,则=12a（）A ．210-1B ．211-1C ．212-1 D ．213-1【答案】C5 ．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127a a a +++=（）A ．14B ．21C ．28D ．35【答案】C【解析】因为34512a a a ++=,所以44a =,所以1274728a a a a +++==.6 ．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L（）A ．15B ．12C ．-12D ．-15【答案】A【解析】a 1+a 2=a 3+a 4==a 9+a 10=3,故所求和=3×5=15.选A 二、填空题7 ．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知等差数列{n a }中,35a a +=32,73a a -=8,则此数列的前10项和10S =_____【答案】190【解析】由7348a a d -==,解得2d =,由3532a a +=,解得110a =.所以101109101902S a d ⨯=+=. 8 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）在等差数列{}n a 中,若11a =,前5项的和525S =,则2013a =_______________.【答案】4025【解析】在等差数列中,51542555102S a d d ⨯==+=+,解得2d =,所以2013120121201224025a a d =+=+⨯=.9 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）定义映射:f A B →,其中{(,),}A m n m n =∈R ,B =R ,已知对所有的有序正整数．．．对(,)m n 满足下述条件: ①(,1)1f m =; ②若n m >,(,)0f m n =; ③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-; 则(,2)f n =_______. 【答案】22n-10．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,若125a a +=,349a a +=,则10S 的值为_______【答案】65【解析】由125a a +=,得125a d +=,由349a a +=得1259a d +=,解得11,2d a ==,所以1011091020+45=652S a ⨯=+=.11．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）“公差为d 的等差数列数列{}n a 的前n 项的和为n S ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2d 的等差数列”,类比上述性质有:“公比为q 的等比数列数列{}n b 的前n 项的和为n T ,则数列___________________________”. 【答案】{}nnT 是公比为q的等比数列【解析】nn nn b b b T 121)(⋅⋅= nn nqb 11211)(-+++=()1112)1(1)(--==n nn n n q b qb ,∴{}nnT 是公比为q 的等比数列.12．（2013届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）记123k k kk S =+++k n +,当1,2,3,k =时,观察下列等式:21322432354346542511,22111,326111,4241111,5233015,212S n n S n n n S n n n S n n n n S An n n Bn =+=++=++=++-=+++可以推测A B -=_____________________. 【答案】14【解析】:本题考查归纳推理问题.根据各式的规律,显然16A =.令1n =,则5511S ==,代入得511511621212SB B =+++=⇒=-,所以1116124A B ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭. 13．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）观察下列等式:231111222⨯=-⨯,2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯,2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈*N ,2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯++⨯=⨯⨯+__________;【答案】1(1)21n n +-【解析】由已知中的等式:231111222⨯=-⨯,2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯, 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯,, 所以对于n ∈*N ,2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯++⨯=⨯⨯+1(1)21n n +-.14．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）设{a n }是等比数列,公比q =,S n 为{a n }的前n 项和.记*2117,.n nn n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{n T }的最大项,则0n =__________ .【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题.nT==17]n =+-因为n +n=4,即n=4时取等号,所以当n 0=4时T n 有最大值. 15．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足16,557263=+=a a a a .令1421-=+n n a b )(*∈N n ,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,对任意的n N *∈,不等式100n mT <恒成立,则实数m 的最小值是_______.【答案】10016．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）已知数列{}n a 中满足1111(2)2(1)n n n n a a a a a n n n --=-=≥-，,则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】31nn -【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为11(1)n n n n a a a a n n ---=-两边同除1n na a -得111111(2)(1)1n n n a a n n n n--==-≥--,所以2132111111,12a a a a -=--1123=-111n n a a --=11(2)1n n n -≥-,相加得11111n a a n -=-,因为112a =,带入得31n na n =-. 17．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,,则在第20给个拐弯处的正整数是_______.2322212019181716151413121110987654321【答案】211【解析】观察图,仔细分析规律.2322212019181716151413121110987654321第一个拐弯处211=+; 第二个拐弯处4112=++; 第三个拐弯处71123=+++; 第四个拐弯处1111234=++++; 第五个拐弯处16112345=+++++; 发现规律:拐弯处的数是从1开始的一串正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第20个拐弯处的数就是:112320211+++++=. 三、解答题18．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）设{}n a 是公差大于零的等差数列,已知12a =,23210a a =-.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{}n n a b -的前n 项和n S .【答案】解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-(舍)所以2(1)22n a n n =+-⨯= (Ⅱ)21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯2cos 22x π=-+其最小正周期为212ππ=,故首项为1; 因为公比为3,从而13n n b -= 所以123n n n a b n --=- 故()()()011234323n n S n -=-+-++-()2213213n n n +-=--211322nn n =++-⋅ 19．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,36a =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若110k S =,求k 的值;(3)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求2013T的值.【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵131226a a a d =⎧⎨=+=⎩,∴2d =数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅=(2)方法一:∵21(1)(1)2211022k k k k k S ka d k k k --=+=+⋅=+=解得10k =或11k =-(舍去)方法二:∵()221102k k k S +==,解得10k =或11k =-(舍去)(3)∵(22)(1)2n n n S n n +==+,∴1111(1)1nS n n n n ==-++ ∴20131232013T T T T T =++++111111112233420132014⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12013120142014=-=20．（2013届湖北省高考压轴卷数学（文）试题）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0,且35,a a 是方程214450x x -+=的两根,数列{}n b 的前n 项和为()1,2nn n b S S n N *-=∈. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式; (2)记n n n c a b =⋅,求证:1n n c c +<; (3)求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)因为35,a a 是方程214450x x -+=的两根,且数列{}n a 的公差0d >,所以355,9a a ==,公差53253a a d -==-.所以()5521n a a n d n =+-=-. 又当1n =时,有11112b b S -==,所以113b =.当2n ≥时,有()1112n n n n n b S S b b --=-=-,所以()1123n n b n b -=≥. 所以数列{}n b 是首项为13,公比为13的等比数列,所以1111333n n nb -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. (2)由(1)知112121,33n n n n n n n n c a b c ++-+=⋅==, 所以()1114121210333n n n n n n n n c c +++-+--=-=≤, 所以1n n c c +≤. (3)因为213n n n nn c a b -=⋅=, 则123135333n T =+++213n n -+,①23411353333n T =+++1232133n n n n +--++,②由①-②,得2321223333n T =+++122133n n n +-+-231131112123333nn n +-⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭+, 整理,得113n nn T +=-. 21．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）在数列{}n a 中,已知)(l o g 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列{}n b 是等差数列;(Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=,求{}n c 的前n 项和n S . 【答案】解:(Ⅰ)∵411=+n n a a ∴数列{n a }是首项为41,公比为41的等比数列, ∴)()41(*N n a n n ∈= (Ⅱ)∵2log 341-=n n a b∴232)41(log 321-=-=n b n n∴11=b ,公差d=3∴数列}{n b 是首项11=b ,公差3=d 的等差数列 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,n n a )41(=,23-=n b n (n *N ∈) ∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-, ① 于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S =1)41()23(21+⨯+-n n ∴ )()41(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+ . 22．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）对于给定数列{}n c ,如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立,我们称数列{}n c 是“T 数列”.(Ⅰ)若n a n 2=,32n n b =⋅,*n N ∈,数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”?若是,指出它对应的实常数,p q ,若不是,请说明理由;(Ⅱ)证明:若数列{}n a 是“T 数列”,则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”;(Ⅲ)若数列{}n a 满足12a =,)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++,t 为常数.求数列{}n a 前2013项的和.【答案】解:(Ⅰ)因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈ 故数列{}n a 是“T 数列”, 对应的实常数分别为1,2. 因为32n n b =⋅,则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”, 对应的实常数分别为2,0 (Ⅱ)证明:若数列{}n a 是“T 数列”, 则存在实常数,p q , 使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立, 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立,因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立,故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”.对应的实常数分别为,2p q(Ⅲ)因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈,则有22332a a t +=⋅,44532a a t +=⋅,=+20112010a a 201023⋅t ,=+20132012a a 201223⋅t .故数列{}n a 前2013项的和)(3212013a a a S ++=+⋅⋅⋅+++)(54a a ++)(20112010a a )(20132012a a ++⋅+=2232t +⋅⋅⋅+⋅423t +⋅201023t 201223⋅t )42(22014-+=t23．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知等比数列{}n a 的公比为q (1≠q )的等比数列,且201220132011,,a a a 成等差数列, (Ⅰ)求公比q 的值;(Ⅱ)设{}n b 是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为n S ,当2≥n 时,比较n S 与n b 的大小,并说明理由.【答案】解答:(Ⅰ)由题设,2,22011201122011201220112013q a a q a a a a +=+=即.012,021=--∴≠q q a1=∴q 或21-=q ,又1≠q ,∴21-=q(Ⅱ).49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于+∈N n○1当92≤≤n 时,n n b S >; ○2当10=n 时,n n b S =;○3当11≥n 时,n n b S < 24．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））已知数列{}n a 的首项123a =121n n n a a a +=+,1,2,3,n =. (Ⅰ)证明:数列1{1}n a -是等比数列; (Ⅱ)数列{}nna 的前n 项和n S . 【答案】解解:(Ⅰ)∵121n n n a a a +=+,∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅, ∴11111(1)2n n a a +-=-,又123a =,∴11112a -=, ∴数列1{1}na -是以为12首项,12为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1111111222n n n a -+-=⋅=,即1112n n a =+,∴2n n n nn a =+. 设23123222n T =+++2n n+, ① 则23112222n T =++1122n n n n+-++,② 由①-②得 2111222n T =++11111(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---, ∴ 11222n n n n T -=--.又123+++(1)2n n n ++=. ∴数列{}nna 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==25．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知点(1,2)是函数()(01)xf x a a a =≠＞且的图象上一点,数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)将数列{}n a 前2013项中的第3项,第6项,,第3k 项删去,求数列{}n a 前2013项中剩余项的和.【答案】解:(Ⅰ)把点(1,2)代入函数()xf x a =,得2a =.()121,n n S f n ∴=-=-当1n =时,111211;a S ==-= 当2n ≥时,1n n n a S S -=-1(21)(21)n n -=---12n -=经验证可知1n =时,也适合上式,12n n a -∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{}n a 为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,,第2013项也为等比数列,首项31324,a -==公比32012201328,2a ==为其第671项∴此数列的和为67120134(18)4(21)187--=- 又数列{}n a 的前2013项和为2013201320131(12)21,12S ⨯-==--∴所求剩余项的和为2013201320134(21)3(21)(21)77----=26．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知数列{}n a 的首项为51=a ,前n 项和为n S ,且521++=+n S S n n )(*N n ∈ (Ⅰ)证明数列{}1+n a 是等比数列 (Ⅱ)令()n n x a x a x a x f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=221,求函数)(x f 在点1=x 处的导数()1'f ,并比较()12'f 与n n 13232-的大小.【答案】(1)解:521++=+n S S n n (1)∴421++=-n S S n n ,2≥n (2)两列相减得)1(211+=++n n a a 当1=n 时,111212=+=a a1212=+∴a ,611=+a)1(212+=+n a a故总有)1(211+=++n n a a ,*N n ∈,又51=a ,011≠+a 从而2111=+++n n a a ,即数列{}1+n a 是等比数列由(1)知123-⨯=n n a()n n x a x a x a x f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=221 ∴()121'2-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=n n x na x a a x f ∴()n na a a f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=21'21()()()12312321232-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=n n())321(223222332n n n +⋅⋅⋅⋅⋅+++-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+=()62)1(2131++-⨯-=+n n n n ∴()n n n n n n n f n 132312)1(2)1(12)1323(1222'+-++-⨯-=--=()12122421122++--n n n n=[])12(2)1(12+--n n n(1) 当n=1时(1)式为0 ()n n f 1323122'-=当n=2时(1)式为-12 ()n n f 1323122'-<当3≥n 时,,01>-n 又1222)11(2110+>+≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+=-n n C C C C nn n n n n n n∴[]0)12(2)1(>+--n n n 即(1)式>0 ∴()n n f 1323122'->27．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）设满足以下两个条件的有穷数列a 1, a 2, a n 为n(n=2,3,4,)阶“梦想数列”:① a 1+a 2 +a 3 ++a n =0 ②|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n |=1⑴分别写出一个单调递增的3阶和4阶“梦想数列”;⑵若某21阶“梦想数列”是递增等差数列,求该数列的通项公式;⑶记n 阶“梦想数列”的前k 项和为s k (k=1,2,3,,n)试证:|s k |≤21 【答案】解:(Ⅰ)数列11,0,22-为单调递增的三阶“梦想数列”, 数列3113,,,8888--为单调递增的四阶“梦想数列” (Ⅱ)设等差数列的公差为d,,28．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数,例如(3)3g =,(10)5g =.设(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++.(Ⅰ)求(6)g ,(20)g 的值;(Ⅱ)求1S ,2S ,3S 的值;(Ⅲ)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】解:(Ⅰ)(6)3g =,(20)5g = (Ⅱ)1(1)(2)112S g g =+=+=;2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=;3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对m *∈N , 有(2)()g m g m = 所以当2n ≥时,(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S g g g g g g =+++++-+[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++⨯11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-⨯=+++114n n S --=+于是114n n n S S ---=,2,n n *≥∈N . 所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+12244442n n --=+++++14(14)4221433n n --=+=+-,2,n n *≥∈N又12S =,满足上式, 所以对n *∈N ,1(42)3nn S =+ 29．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）已知等比数列{}n a 的所有项均为正数,首项1a =1,且435,3,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)数列{1n n a a λ+-}的前n 项和为n S ,若n S =21(*)nn N -∈,求实数λ的值. 【答案】【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ,由条件得423,3,q q q 成等差数列, 所以4326q q q+=解得2,3=-=q q 或由数列{}n a 的所有项均为正数,则q =2 数列{}n a 的通项公式为n a =12n -(*)n N ∈(Ⅱ)记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ若0,0,2===n n S b λ不符合条件;若2≠λ, 则21=+nn b b,数列{}n b 为等比数列,首项为λ-2,公比为2,此时)12)(2()21(21)2(--=---=n n n S λλ 又nS =21(*)n n N -∈,所以1=λ 30．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知373,7S S =-=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设42n an b n =⋅+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d依题意得11133232177672a d a d ⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得121a d =-⎧⎨=⎩∴2(1)13n a n n =-+-⨯=-(Ⅱ)由(Ⅰ)得31422n n n b n n --=⋅+=+ ∴123n n T b b b b =++++0121(2222)(123)n n -=+++++++++12(1)122n n n -+=+- (1)212n n n +=-+31．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））在数列{}n a 中,113,21n n a a a n -==--+(2n ≥,且*n N ∈) (Ⅰ)求23,a a 的值;(Ⅱ)证明:数列{}n a n +是等比数列,并求{}n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】解:(Ⅰ)111,21(2,*)n n a a a n n n N -==--+≥∈2132416,611a a a a ∴=--+=-=--+=(Ⅱ)11112111(1)11n n n n n n a n a n n a n a n a n a n ----+--++--+===-+-+--+-{}n a n ∴+以114a +=为首项,1-为公比的等比数列从而14(1)n n a n -+=⋅-,即14(1)n n a n -=⋅-- (Ⅲ)当n 为偶数时,12(1)0(12)2n n n n S a a a n +=++=-+++=-当n 为奇数时,2(1)14(12)4(8)22n n n S n n n +=-+++=-=-+- 综上,1(1)22(1)2n n n n S ++=+⋅--32．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题8分.设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的n N *∈,n S 是2n a 和n a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在集合{|2,,10001500}M m m k k Z k ==∈≤<且中,是否存在正整数m ,使得不等式210052nn a S ->对一切满足n m >的正整数n 都成立?若存在,则这样的正整数m共有多少个?并求出满足条件的最小正整数m 的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ,使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在,并求出这个极限值.【答案】解:(Ⅰ)由题意得,n n n a a S +=22 ①,当1=n 时,12112a a a +=,解得11=a , 当2≥n 时,有12112---+=n n n a a S ②, ①式减去②式得,12122---+-=n n n n n a a a a a于是,1212--+=-n n n n a a a a ,111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a因为01>+-n n a a ,所以11=--n n a a , 所以数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列, 所以{}n a 的通项公式为n a n =(*N n ∈).(Ⅱ)设存在满足条件的正整数m ,则210052)1(2n n n >-+,10052>n, 2010>n ,又2000{=M ,2002,,2008,2010,2012,,2998},所以2010=m ,2012,,2998均满足条件,它们组成首项为2010,公差为2的等差数列.设共有k 个满足条件的正整数,则2998)1(22010=-+k ,解得495=k . 所以,M 中满足条件的正整数m 存在,共有495个,m 的最小值为2010. (Ⅲ)设n n S u 1=,即)1(2+=n n u n ,则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ,其极限存在,且()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n . 注:n n S c u =(c 为非零常数),121+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n S c n nu (c 为非零常数),1+⋅=n S c n n qu (c 为非零常数,1||0<<q )等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在.33．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1(1)2n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足n n b na =,求证:123 (4)n b b b +++<【答案】解:(Ⅰ)当2n ≥时,111111(1)(1)2222n n n n n a a a a a --=---=-+,则13n n a a -=,由题意可知10n a -≠,113n n a a -= 所以{n a }是公比为31的等比数列 1111(1)2S a a ==-,113a =1111()()333n n n a -=⨯=(II)证明:n n n b )31(=设n n n T )31(...)31(3)31(2)31(1321⨯++⨯+⨯+⨯=∴2341111111()2()3()...()33333n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯ ∴1331313()()443234n n n T n +=--<34．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈,数列{}n b 满足11b =,且12n n b b +=+.(Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式,并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和n D ; (Ⅱ)设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈,求数列{}n c 的前2n 项和2n T . 【答案】【解析】 (Ⅰ)当1=n ,21=a ;当2≥n 时,1122n n n n n a S S a a --=-=- ,∴ 12n n a a -=, ∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项12a =, ∴2n n a = 由12n n b b +=+,得{}n b 是等差数列,公差为2 又首项11=b ,∴21n b n =- ∴(21)2n n n a b n ⋅=-⨯ ∴1231123252(23)2(21)2n n n D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②①—②得:123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯114(12)22(21)212n n n -+-=+⨯--⨯-12(32)6n n +=--,1(23)26n n D n +=-+(Ⅱ)2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-2122223n n n +-=--35．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）在等比数列{}n a 中,已知13a =,公比1q ≠,等差数列{}n b 满足1142133b a b a b a ===，，. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】【解析】(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ,等差数列{}n b 的公差为d . 由已知得:2323,3q a q a ==,d b d b b 123,23,31341+=+==3411123333322=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q d q dq d q d q 或 1=q (舍去), 所以, 此时 2=d所以,n n a 3=, 12+=n b n . (Ⅱ)设(21)3n n n n c a b n ==+⋅,n n c c c S +++= 21()123335373...213n n =⨯+⨯+⨯+++⨯,()23413335373...213n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯两式相减得()()1231233233...3213n n n S n +-=⨯+⨯+++-+⨯, 所以13.n n S n +=⋅36．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n }满足:b n =a n +(﹣1)lna n ,求数列{b n }的前2n 项和S 2n . 【答案】专题:计算题.分析:本题考查的是数列求和问题.在解答时:(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{b n }的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{b n }的前2n 项和的求解. 解答:解:(Ⅰ)当a 1=3时,不符合题意;当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时符合题意;当a 1=10时,不符合题意;所以a 1=2,a 2=6,a 3=18,∴公比为q=3,故:a n =2•3n ﹣1,n∈N*.(Ⅱ)∵b n =a n +(﹣1)n lna n=2•3n ﹣1+(﹣1)n ln(2•3n ﹣1)=2•3n ﹣1+(﹣1)n [ln2+(n ﹣1)ln3]=2•3n ﹣1+(﹣1)n (ln2﹣ln3)+(﹣1)n nln3∴S 2n =b 1+b 2++b 2n=2(1+3++32n ﹣1)+[﹣1+1﹣1++(﹣1)2n ]•(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3++(﹣1)2n 2n]ln3==32n +nln3﹣1∴数列{b n }的前2n 项和S 2n =32n +nln3﹣1.37．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )若数列{}n a 的前n 和为n S ,首项是()a a R ∈,满足2220n n S na n n -+-=(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在()a a R ∈,使20n n S S λ-=(其中λ是与正整数n 无关的常数)?若存在,求出x 和k 的值,若不存在,请说明理由;(3)求证:a 为有理数的充要条件是数列{}n a 存在三项构成等比数列.【答案】【解析】(1)因为2220n n S na n n -+-=,所以21122(1)0n n S n a n n ++-+++=,两式相减得:11(1)n n n a n a na n ++=+--,即11n n a a +-=,所以数列{}n a 是等差数列, 所以(1)1()n a a n n a n N *=+-=+-∈(2)解法一、因为20n n S S λ-=,所以[]1(1)2(21)2an n n an n n λ+-=+-, 整理得,(14)(21)(21)0n a λλ----=,所以当14λ=,12a =时,该式恒成立. 即当12a =时,2104n n S S -=,故1124x λ==，即为所求. 解法二、假设存在()a a R ∈满足题意20n n S S λ-=,分别令12n n ==，得: 214200S S S S λλ-=⎧⎨-=⎩,即(21)02(23)210a a a a λλ+-=⎧⎨+--=⎩,解得1124a λ==，,当12a =时,[]21111(1)(21)04224n n S S n n n n n n -=+--+-=为常数,所以1124a λ==，即为所求.(3)①充分性:若三个不同项a i a j a k +++，，成等比数列,且i j k <<,则 ()()()a j a i a k +=++,即2(2)a i k j j ik +-=-,若20i k j +-=,则20j ik -=,解得i j k ==,这与i j k <<矛盾,即20i k j +-≠,此时22j ik a i k j-=+-,且i j k ，，非负整数,故a 是有理数 ②必要性:若a 是有理数,且0a ≤,则必存在正整数k ,使得0a k +>,令y a k =+,则正项数列12y y y ++，，，是原数列{}:12n a a a a ++，，，的一个子数列,只要正项数列12y y y ++，，，中存在着三个不同的项构成等比数列,则原数列必有三个不同项构成等比数列.不失一般性,不妨设0a >,记n a m=(m n N *∈，,且m n ，互质),又设k l N *∈，,l k >,则a a k a l ++，，成等比数列,则2()()a k a a l +=+,解得22m l k k n=+,为使l 为整数,则令k n =,于是2l n mn =+,所以(2)a a n a n m +++，，成等比数列. 综上所述,原命题得证. 14分.。

2013年高考数学押题卷(最后一卷)试题及答案(理科数学)

2013高考数学押题卷(最后一卷)（理科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若ii m -+1是纯m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1 D2．已知集合}13|{},1|12||{>=<-=xx N x x M ，则N M ⋂=( )A ．φB ．}0|{<x xC ．}1|{<x xD ．}10|{<<x x3．若)10(02log ≠><a a a 且，则函数)1(log )(+=x x f a 的图像大致是( )4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且1,422475==⋅a a a a ，则1a =( )A ．21 B ．22 C ．2 D ．2 5．已知变量x 、y 满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ，则y x z 23+=的最大值为( )A ．-3B ．25 C ．-5 D ．46．过点（0，1）且与曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为( )A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ．022=+-y x 7．函数)sin (cos 32sin )(22x x x x f --=的图象为C ，如下结论中正确的是( ) ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由x y 2sin 2=的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C （A ）①②③ （B ）②③④ （C ）①③④ （D ）①②③④8．已知620126(12)xa ax axa x-=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．1B ．1-C ．63 D ．629．若函数)(x f 的导函数34)('2+-=x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．[0，1]B ．[3，5]C ．[2，3]D ．[2，4]10．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是( ) A. -1 B. 2 C. 1 D.-211．△ABC 中，∠A=60°,∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且)(31R ∈+=λλ，则AD 的长为( )A ．1B ．3C ．32D ．312．在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A ．68B ．π6C ．24πD ．6π二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13．在△ABC 中，B=3π中，且34=⋅BC BA ,则△ABC 的面积是14．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域为R ，则m 的取值范围是15．已知向量,满足：2||,1||==，且6)2()(-=-⋅+b a b a ，则向量a 与b 的夹角是16．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是正视图侧视图俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2013年高考数列命题预测

， … ，
【解析】（１）． ’ ａ．＝Ｓ．－Ｓ（ｎ ≥２）， ’ （一４ｎ＋２５ｎ＋１）－［－４（ｎ－１）＋２５（ｎ一１）＋１］＝２９ —
‘
，十｛１＿・，将这ｎ一１个式子迭乘并化简，得％＝
，
１＝２。公比为２的等比数列．
．
ａＳ（）（））焘，
ｊＳ（）＝ｆ（ｆｆ））， …
去＋ｌ＿２，即１．
，
Ｉ一点评ｌ题型如ａｎ — Ａ伍（Ｂ ≠ ０），可通过两边取
圆考查考生学会观察、归纳推理能力，写出前
几项容易得到此数列是周期数列．
例１．设数列｛％｝中，一４ｎＺ＋２５ｎ＋ｌ，求
例４．在数列中，争，・（ｎ ≥ ２），求％【解析】由条件｝，・，｝・嘞，・
题往往放在最后两题较为综合、难度大，主要考查内
容有以下几点：①数列的概念与性质；②等差数列与等比数列的概念、通项、前／７，项和公式的理解和应用； ③ 数列求通项与求和的基本方法，如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、递推法：掌握求数列的子数列常规方法；④数列的综合应用：
ｎ）或
）的关系，可考
虑用求差Ｓｎ — Ｓ。＝％后，但要检验．ｓ１＝０。，一定要先分ｎ＝

2013高考数学试题汇编-数列

数列一、选择题1.辽宁4、下面关于公差d>0的等差数列的四个命题：{}n a P1：数列是递增数列； P2：数列是递增数列{}n a {}n na P3：数列是递增数列； P4：数列是递增数列。

n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}+3n a nd 其中的真命题为( )A ．P1，P2 B. P3，P4 C. P2，P3 D. P1，P42.全国（3）等比数列{a n }的的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1 =( )（A ）（B ）- （C ）（D ）- 131319193.福建9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m q　B. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2mq　D. 数列{}n c 为等比数列，公比为mmq4.江西3.等比数列x ，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A.-24B.0C.12D.24二、填空题5.全国（16）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10 = 0，S 15 = 25，则nS n 的最小值为.6.北京10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q =；前n 项和S n =.7.重庆（12）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、{}n a 11a =0d ≠n S n 1a 2a 称等比数列，则．5a 8S =8.陕西14. 观察下列等式:211=22123-=-2221263+-=2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为.9.湖北14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，1,3,6,10,...第个三角形数为.记第个边形数为，以下列出n 2(1)11222n n n n +=+n k (,)(3)N n k k ≥了部分边形数中第个数的表达式：k n 三角形数，211(,3)22N n n n =+四边形数，2(,4)N n n =五边形数，231(,5)22N n n n =-六边形数，2(,6)2N n n n =-…可以推测的表达式，由此计算= .(,)N n k (10,24)N 10.安徽（14）如图，互不相同的点和分别在角O 的两条12,,,n A A X 12,,,n B B B 边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等。

2013全国大纲版高考压轴卷数学理试题密押卷.docx

1, B
45 ,
C
105
,
sin105
sin 60
45
sin60
cos45
cos45
sin 60
62,⋯⋯
4
⋯⋯⋯６分
由正弦定理
a
b
,得b
a sin B
1
sin45
2,⋯⋯⋯⋯⋯8分
sin A
sin 30
sin A
sin B
密押卷
SABC
1
ab sinC
1
2
6
2
3
1
⋯⋯⋯⋯⋯10
2
1
4
4
.
分
2
(18)解：依意知，一次骰子，球被放入甲盒、乙盒的概率分
A,B,C,D,大球半径为
是棱长为
的正
四面体，将正四面体
A-BCD
补形成正方体，则正方体棱长为
2r
，大球球心O为
OA
1
( 2r )2
( 2r )2
( 2r )2
6r
体对角线中点，易求
2
2，所以
R
r
6
r
r
(
6 2)R
OA
2，解得
（13
）2.
an
Cn2( 1)2
n(n 1)
1
2(1
1
1)
2
an
n
n
1
1
1
0
x
logm2 Cn2xn, x
0
处连续，则m的值为（
）
1
1
1
(D) 2
(A)
(B)
(C)
8
4

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高考数学压轴题预测专题数列1. 已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-(n ＝1，2，……) (1)求,αβ的值；(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a ＞a ；解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，∴αβ=； (2)'()21f x x =+，21115(21)(21)12442121n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ ＝5114(21)4212n n a a ++-+，∵11a =，∴有基本不等式可知20a ≥>(当且仅当1a =时取等号)，∴20a >>同，样3a >，……，n a α>=(n ＝1，2，……)，2. 已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n+=（2n ≥）。

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。

分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a 的不同而要分类讨论。

解：（1）∵2n a b n n +=∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2)由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+， ∵1a ≠-，∴ 20b ≠，即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列。

（2）1(44)(21)34(22)221n n n a S a a a -+-=+=--++-当n ≥2时，111(22)234342(22)234(1)234n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==++--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数，∴3a+4=0，即43a =-。

（3）由（1）知当2n ≥时，2(44)2(1)2n n n b a a -=+=+，所以221(1)(1)2(2)n n a n a a n n +=⎧=⎨+-≥⎩，所以数列{}n a 为2a+1，4a ，8a-1，16a ，32a+7，…… 显然最小项是前三项中的一项。

当1(0,)4a ∈时，最小项为8a-1；当14a =时，最小项为4a 或8a-1；当11(,)42a ∈时，最小项为4a ；当12a =时，最小项为4a 或2a+1；当1(,)2a ∈+∞时，最小项为2a+1。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

考点二：求数列的通项与求和 3. 已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个…… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。

解：（1）12(101)10(101)99n n n n a =-⋅+⋅- 1(101)(102)9n n=-⋅+101101()(1)33n n --=⋅+记：A =1013n - , 则A=333n⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 为整数 ∴ na= A (A+1) ，得证(2) 21121010999n n n a =+- 2422112(101010)(101010)999n n n S n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 2211(101110198210)891n n n ++=+⋅-- 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n nn n ∈≥--=--．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设21nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2)12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：（Ⅰ）12)1(1---=n n n a a，])1(1)[2()1(111---+-=-+∴n n n n a a ，又3)1(11=-+a ，∴数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是首项为3，公比为2-的等比数列． 1)2(3)1(1--=-+n n n a ，即123)1(11+⋅-=--n n n a . （Ⅱ）12649)123(1121+⋅+⋅=+⋅=---n n n n b ．9264321)21(1641)41(19-+⋅+⋅=+--⋅⋅+--⋅⋅=n n S n n n n n ．（Ⅲ）1)1(2)12(sin--=-n n π， 1231)1()2(3)1(111+⋅=----=∴---n n n n n c ．当3≥n 时，则12311231123113112+⋅+++⋅++⋅++=-n n T <212211211321])(1[28112312312317141--+=⋅+⋅+⋅++--n n 7484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=-n ． 321T T T << ， ∴对任意的*∈N n ，74<n T ．点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。

考点三：数列与不等式的联系 5. 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。

解：⑴1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααα 又∵α为锐角 ∴42πα=∴1)42sin(=+πα x x x f +=2)(⑵ n nn a a a +=+21 ∵211=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02>n a ∴n n a a >+1点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。

6. 已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈ 分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。

解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。

n n a 21=+∴，12-=n n a（2）n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，n n nb n b b b 24)(21=∴-+++n n nb n b b b =-+++2)(221 ①1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③212)1(++=-+∴n n nb b n ④④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所以数列}{n b 是等差数列（3）1111212211211-++=-<-=n n n n a a设132111++++=n a a a S ，则)111(211322n a a a a S ++++< )1(21112+-+=n a S a3213212112<-=-<++n n a a a S 点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。

7. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若1,2a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时,因为0<x<1时,1()1011x f x x x '=-=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)<f(k a )<f(1),即0<11ln 21k a +<-<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)= 2ln(1)2x x x ++-, 0<x<1,由2()01x g x x'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而21.2n n a a +<(Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n b b +12n +≥,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅ ————① ,由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a aa a a --⋅< ,因为12a =10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a a a -<⋅ <112n n a -<2122n a ⋅=12n ————② .由①② 两式可知: !n n b a n >⋅.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。