二轮复习-- 随机变量及其分布列(理)

教学过程
一、课堂导入
高考考情分析
(1)以客观题形式考查超几何分布、正态分布、条件概率，一般为容易题．
(2)将互斥事件、独立事件、条件概率与离散型随机变量的分布列、期望、方差揉合在一起，综合考查概率知识，难度为中等．
二、复习预习
复习整合知识点：离散型随机变量X的分布列及期望、方差；二点分布；超几何分布；独立重复试验与二项分布；正太分布；条件概率
三、知识讲解考点1
如果随机变量X的分布列为，其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布，期望E(X)＝p，方差D(X)＝p·(1－p)．
数学期望为μ，标准差为σ的正态随机变量概率密度函数为f(x)＝1
2πσ
e－
x∈R.
(1)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值
1
σ2π
；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．
四、例题精析
考点一加法原理与乘法原理
例1经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该
区间中点值的概率(例如：需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数学期望．
【规范解答】
(1)当X ＝[100,130)时，
T ＝500X －300(130－X) ＝800X －39000. 当X ∈[130,150]时， T ＝500×130＝65000.
所以T ＝⎩
⎨⎧
800X －39000，100≤X<130，
65000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知利润T 不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T 的分布列为
所以E(T)＝
【总结与反思】
1．求复杂事件的概率的一般步骤：
1°列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
2°理清各事件之间的关系，列出关系式；
3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．
2．直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
考点二超几何分布
例2 学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正
确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为2
3，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；
(2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？
【规范解答】
(1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数为ξ，则ξ可能取值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝1
5，
P(ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝3
5，
P(ξ＝3)＝C 34C 02C 36
＝1
5，
所以Eξ＝1×
15＋2×35＋3×1
5＝2.
(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，
因为η～B(3，23)，其分布列为：P(η＝k)＝C k 3(23)k (13)3－k
，k ＝0、1、2、3， 所以Eη＝3×2
3＝2，
又因为Dξ＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25，Dη＝3×23×13＝2
3， 所以Dξ<Dη，
又因为P(ξ≥2)＝3
5＋
1
5＝0.8,
P(η≥2)＝12
27＋
8
27≈0.74，
所以P(ξ≥2)>P(η≥2)．
①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；
②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强．
【总结与反思】
如果题目条件是从含A类物品M件，总数为N的A、B两类物品中，抽取n件，其中含有A类物品件数X为随机变量，则按超几何分布公式直接计算．
考点三独立重复试验与二项分布
例3 为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体身素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.
(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的分布列和数学期望．
【规范解答】
(1)设报考飞行员的人数为n ，前3个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得：
⎩⎨⎧
p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，
p 1＋p 2＋p 3＋(0.037＋0.013)×5＝1.
解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375.又因为p 2＝0.25＝12
n
，故n ＝48.
(2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60kg 的概率为P ＝p 3＋(0.037＋0.013)×5＝5
8，
由题意知X 服从二项分布B(3，58)，P(x ＝k)＝C k 3(58)k (38)3－k
(k ＝0,1,2,3)，
E(X)＝0×27512＋1×135512＋2×225512＋3×
125512＝15
8.
【总结与反思】
1．准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件
发生的概率相同)，牢记公式P n (k)＝C k n p k
(1－p)n －k ，k ＝0、1、2、…、n ，并深刻理解其含义，是解二项分布问题的关键． 2．对于复杂事件，要先辨析其构成，依据互斥事件，或者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解，还要注意含“至多”，“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求解．
考点四期望与方差的实际应用
例4 某批发市场对某种商品的日销售量(单位：t)进行统计，最近50天的统计结果如下：
(1)求表中的a、b
(2)若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．求：
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5t的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求ξ的分布列和期望．
【规范解答】
(1)由题意知：样本容量n＝10÷0.2＝50，∴a＝0.5，b＝0.3，
(2)①依题意，随机选取一天，销售量为1.5t的概率p＝0.5，设5天中该种商品有X天的销售量为1.5t，则X～B(5,0,5)，P(X＝2)＝C25×0.52×(1－0.5)3＝0.3125.
②ξ的可能取值为4、5、6、7、8，则：
P(ξ＝4)＝0.22＝0.04，P(ξ＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，
P(ξ＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37, P(ξ＝7)＝2×0.3×0.5＝0.3，
P(ξ＝8)＝0.32＝0.09，ξ的分布列为：
所以：Eξ＝4×
【总结与反思】
解决概率的实际应用问题，先通过审题，将条件翻译为解题需要的数学语言，再依据条件判明概率类型、弄清随机变量取值时所表示事件的含义，并把复杂事件进行合理的分拆，转化为简单事件，最后代入对应公式进行计算．
课程小结
1.正确区分计算独立事件与互斥事件的概率．
2．熟记条件概率公式和独立重复试验概率公式．
3．准确把握表示事件关系的词语与事件运算的关系．
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