最短路问题
含参数的最短路问题及其原始—对偶算法
含参数的最短路问题及其原始—对偶算法
一、含参数的最短路问题
含参数的最短路问题（Parametrized Shortest Path Problem, PSP）是最短路径问题（Shortest Path Problem, SPP）的扩展，是的待求解的网络拓扑结构依赖于一组实参构成的参数，它主要用在那些路径选择依赖于实参因素的场合。
与传统SPP相比，在含参数SPP中任务不在于仅求出只依赖于路径上边/弧权值的最短路径，而是求出优化另外一组实数参数的最优路径，这给出的解决方案不再是路径，而是一组相关的参数值，通常这组参数值都是路径上一个或多个节点的权值值。
二、原始——对偶算法
含参数SPP的计算机解决方案一般有两种：原始——对偶算法和隐式唯一性解法。
原—对偶算法是一种割点问题求解方法，由原始算法和对偶算法组成。
原始算法通过改变权值算出最优路径及其关联参数；而对偶算法则采用贪心算法来进行搜索最优路径，当采用原始-对
偶算法解决SPP时，先利用原始算法找出最优的路径及参数，然后再用对偶算法进行简化和精确，以此来减少搜索范围，加快收敛速度。
原始算法首先先利用贪心算法找出满足要求的路径，确定出路径上所有节点的参数值。
然后利用搜索策略对得到的路径进行优化，其方法有：一是贪心优化，二是贪心轮换，三是贪心随机优化，等等。
贪心优化主要是按贪婪算法边/弧及其所有变量依次改变其参数值，找出更优的路径；贪心轮换的思路主要是尝试若干次通过不同参数设置对路径上某些节点变换使得路径达到最佳状态；而贪心随机优化则是改变每个变量以优化整个路径。
最短路问题
最短路问题基本内容：（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最短路就是寻求连接这两个点的边的总权数最小的通路。
（注意：在有向图中，通路——开的初等链中所有的弧应是首尾相连的。
）（2）应用背景——管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等。
D氏标号法（Dijkstra）（1）求解思路——从始点出发，逐步顺序地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最短的。
（3）选用符号的意义：①P 标号（Permanent固定/永久性标号），从始点到该标号点的最短路权。
1、一辆送货车从配送中心所在地V1 给V6，V7 两地客户实现共同配送。
已知车辆自身成本消耗0.2 元/ 公里。
各站点间的距离（单位：公里）数如下图所示。
在V6，V7两地的线路间有一收费站，每次每台车辆通过均收费15 元。
问题：（1）用标号法求出送货车的最优送货路线（2）此次送货,车辆总的花费是多少解：把收费站的收费折算成路线后，如下图：用用标号法解出各站点距V1的最短路径用标号法解出最短路线：V1－V2－V4－V5－V6－V7按上述路线的走法花费最少，TC=95×0.2＋15=34 元若避开收费站走：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7TC=（85＋20＋45）×0.2＝30 元因此，最优送货路线：V1－V2－V4－V5－V6－V5－V7；此次送货，车辆总的花费是30 元。
2、下图为某地区的交通运输道路示意图。
其中V1为配送中心位置，V8为要货客户位置，现V8客户向配送中心提出了4吨订货要求，并且要越快越好。
配送中心物流计划人员已做出了用一台4吨东风卡车配送的计划安排。
但要以最快的速度将货物送达，就必须确定最短的配送路线，而该计划人员不知如何确定。
（1）请您帮该物流计划人员优化出最佳的送货路线？（2）已知车辆的平均行驶速度为50公里/小时，如早晨8：00发车，货物什么时间可以送达客户？解：用T 标号法求解得最短路线为：V1－Ｖ２－Ｖ３－Ｖ６－Ｖ７－Ｖ８。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。
首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。
暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。
虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。
因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。
其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。
这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。
除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。
弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。
除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。
这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。
总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。
希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。
最短路问题
最短路问题何谓最短路？最短路问题考虑的是有向网络N=（V，A，W），其中弧（i,j）∈A 对应的权又称为弧长或费用。
对于其中的两个顶点s，t∈V,以s 为起点，t 为终点的有向路称为s-t 有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）。
所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。
ij w 如何得到最短路？最短路问题的线性规划描述如下：(,)m i ni j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,..1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=⎧⎪t −=−=⎨⎪≠⎩∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧（i,j）是否位于s-t 路上：当=1时，表示弧（i,j）位于s-t 路上，当=0时，表示弧（i,j）不在s-t 路上。
本来，应当是0-1变量，但由于约束（2）的约束矩阵就是网络的关联矩阵，它是全幺模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0，1]中的实数（当用单纯形法求解时，将得到0-1整数解）。
ij x ij x ij x ij x 值得注意的是，我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。
实际上，如果可以取0-1以外的整数，则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构（记为P）一定是一条路，因为这一结构可能含有圈。
进一步分析，我们总是假设网络本身不含有负圈，而任何正圈不可能使目标函数最小，因此上面的约束条件（2），（3）可以保证当达到最优解时，P 如果包含圈，该圈一定是零圈，我们从P 中去掉所有的零圈，就可以得到最短路。
ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。
Bellman 方程（最短路方程）将约束条件（2）两边同时乘以-1，得到其对偶问题为：m ax()t s u u − （4）..,(,)j i ij s t u u w i j A −≤∀∈ （5）根据互补松弛条件，当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时：()0,(,i j j i i j )x u u w i j −−=∀∈A （6） 因此,当某弧（i，j）位于最短路上时，即对应的变量＞0时，一定有ij x j i i u u w −=j 。
第三节 最短路问题
作业
195页
习题8
8.4题
( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ) ,(V5 ,V9 )} 1、 2、K14 K 24 8 K54 5 3 8 K59 1 3 4
3、 (V5 ,V9 ) V9 ( 4 ,
5)
第五轮： V1 (0,0) V2 (2,1) V5 (3,2) V9 (4,5) V7 (7,9) 1、 ( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ),(V9 ,V6 ),(V9 ,V7 ),(V9 ,V8 )} 2、 K14 K24 K54 8 3、 (V9 ,V7 ) V7 ( 7 ,
V1
(i , i )
V2
5
7
1
V4
6
2 2
V3
1
V5
第三步： 找出第二步中 K ij 最小的那条弧，给它的终 点以标号
(V1 ,V3 ) V3 (2,1)
8
如果有几个 K ij 都取最小值，就同时标号
以后每一轮都重复第二轮的三个步骤， 从而使某个顶点获得标号； 当终点获得标号后，计算结束； 然后逆向追踪获得最短路．
( X , X ) { (V1 ,V4 ) ,(V2 ,V4 ) ,(V5 ,V4 ) ,(V5 ,V9 )} 1、 2、K14 K 24 8 K54 3 5 8 K59 3 1 4
3、 (V5 ,V9 ) V9 ( 4 ,
5)
第三轮： V1 (0,0) V2 (2,1) V5 (3,2)
9)
1)
V4 (8,1) V1 V2 (2,1) V5 (3,2) V9 (4,5) V7 (7,9) V6 (10,9)
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§8.3 最短路问题
Page 9
8.3.2 狄克斯特拉算法 (Dijkstra algorithm，也称双标 号19法59）年， Dijkstra发现了在赋权图中求最短路的算法。
迪杰斯特拉（1930-2002,荷兰人），早年钻研物理及数学，
转为计算学。1972年ຫໍສະໝຸດ 图灵奖（计算机界的诺贝尔奖）。1.提出“goto有害论”; 2 .提出信号量和PV原语; 3.解决了“哲学家聚餐”问题6.; THE操作系统的设计者和开发者;
运筹学
( Operations Research )
Chapter8 图与网络优化
本章主要内容：
§8.1 图的基本概念 §8.2 树 §8.3 最短路问题 §8.4 网络最大流问题 §8.5 最小费用最大流问题 §8.6 中国邮递员问题
Page 3
§8.3 最短路问题
The Shortest-Path Problem
方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号 的点改变为具P标号的点，从而使D中具P标号的顶点数多 一个，这样至多经过p−1步，当终点vt得到Ｐ标号时，就可 以求出从vs到各点的最短路。
§8.3 最短路问题
Page 12
（2）标号含义：
P(v) ,T(v)分别表示点v的P标号和T标号， Si表示第i步时具P标号点的集合。 为了在求出从vs到各点的距离的同时，也求出从vs到各点的
v6
现考查从v1发出的三条弧，(v1，v2)，(v1，v3)，和(v1，v4)。
min｛d(v1,,v1)+ω12,d(v1,v1)+w13，d(v1,v1)+w14=d(v1,v1)+w14=1
这样就可使v4变成具P标号的点。 所以从v1出发到v4所需的最小费用必定是1单位，
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（2）标号含义：
线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N比原来只连三点的最短
路径要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定 性也更好。
A
P
B
C
§8.3 最短路问题
Page 6
8.3.1 最短路问题
最短路问题：
就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间 距离最短的一条路 .
有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、 投资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最 短路的问题。因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。
令 dij 表示 vi 到 vj 的直接距离(两点之间有边)，若两 点之间没有边，则令 dij = ，若两点之间是有向边， 则 dji = ；令 dii = 0，s 表示始点，t 表示终点
§8.3 最短路问题
Page 15
（3）算法步骤：
1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 为0，其余节点均给T标号，P(vi ) (i 2,3, ,n) 。
§8.3 最短路问题
Page 7
定义 设连权通值图的D意=(义V,是A广)，泛每的一。弧可a=以(表vi示,v距j)，离有，一可个以非表负示交
权通运费，可以表示网络流量，在朋友关系图甚至可以表示友
谊深度。但都可以抽象为距离。 w(a)=wij (wij ≥0)
如果P是D中从vs到vt的一条路，称P中所有弧的权之和为路P 的权，记为w(P)。 定义 设D为有向赋权图，vs与vt是D中两点，在连接vs与vt 的所有路中，权最小的路P0称为从vs到vt的最短路。即
§8.3 最短路问题
Page 4
• 如何用最短的线路将三部电话连起来？
• 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三顶点的路
线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显
然是二边之和（如AB∪AC）。
A
B
C
§8.3 最短路问题
Page 5
但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短路
算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始 点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算 法在很多专业课程如数据结构，图论，运筹学等中都作为基 本内容有详细的介绍，。
2、Floyd-Warshall算法
Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路 径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问 题。
最短路，给每个点v以一个λ值。算法终止时， 若λ(v)=m，表示在从vs到v的最短路上，v的前一个点是vm； 若λ(v)=M，表示D中不含从vs到v的路； 若λ(v)=0表示v=vs。
§8.3 最短路问题
Page 13
v2
1
v5
6
2
2
v9
6
v1
3 v3 6
4
10 3
3
1
2
v8
4
2 v7
s=1。d(v1，v1)=0。v1是具vP4标号的点1。0
2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[T (v j ) , P(vi ) wi j ]
4.最短路径算法和银行家算法的创造者; 5.第一个Algol 60编译器的设计者和实现者; 与D. E. Knuth并称为这个时代最伟大的计算机科学家的人。
§8.3 最短路问题
Page 10
1、最短路算法基于以下原理：
一个最优策略的任一子策略也是最优策略.
若P是从vs到vt间的最短路, vi是P中的一个点,则vs到
vi的最短路就是从vs 沿P到vi的那条路。
v2
v4
v1
v3
v5
v1 →v2 →v3一定是v1 →v3的最短路， v2 →v3 →v4也一定是v2 →v4的最短路。
§8.3 最短路问题
Page 11
2、Dijkstra算法
（1）基本思想：
从vs出发，给网络中的每个点对应记录一个数(称为这 个点vi的标号)，它或者表示从vs到该点vi的最短路的权 (称为P标号,此为永久标号)，或者是从vs到该点vi的最短 路的权的上界(称为T标号，此为临时标号)，
(
P0
)
min P
(
P
)
最小的路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs , vt )
d(vs ,vt )和d(vt ,vs )不一定相等。
§8.3 最短路问题
Page 8
常见的最短路算法
1、Dijkstra算法 注意该算法要求不存在负权边 Dijkstra算法是典型的单源最短路径算法，用于计