指数与指数函数复习3

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指数与指数函数知识点

指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。

在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。

本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。

一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。

指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。

底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。

例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。

指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。

指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。

指数有一些基本的性质。

首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。

其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。

此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。

二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。

以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。

经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。

指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。

2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。

例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。

指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。

3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。

指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。

4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。

指数与指数函数知识点

指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。

3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。

4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。

二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。

2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。

3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。

4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。

5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。

指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。

指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。

2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。

3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。

5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。

指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。

2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。

3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。

4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。

总结：。

人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)

5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
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3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且

a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
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反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
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第05讲指数与指数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b ，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b ，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（） A ．a b c <，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象；（2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。

2023年新高考数学一轮复习3-5 指数与指数函数(真题测试)含详解

专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（） A ．14B ．12C ．1D ．25.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞）B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜B ．a cb ＜＜ C ．b ac ＜＜D ．b c a ＜＜8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef xe e，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（） A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________.16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围.18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值；(2)求()f x 的值域.19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x x f x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．专题3.5 指数与指数函数（真题测试）一、单选题1．（2007·山东·高考真题（理））已知集合{}1,1M =-，11|24,Z 2x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则MN =A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}0D ．{}1,0-【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数的单调性化简集合N ，然后利用交集的定义运算即得. 【详解】函数2x y =是增函数，则不等式11242x +<<，即112222x -+<< ∴112,x -<+<即21x -<<，所以{}{}|21,Z 1,0N x x x =-<<∈=-，又{}1,1M =-， ∴{}1.M N ⋂=- 故选：B.2．（2022·北京·高考真题）己知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C 【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】()()1121112121212x x x x xf x f x --+=+=+=++++，故A 错误，C 正确；()()11212121121212122121x x x x x x x xf x f x ----=-=-==-++++++，不是常数，故BD 错误；故选：C ．3．（2012·四川·高考真题（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性以及函数图像平移变换，即可得出答案. 【详解】①当1a >时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于1a >，则A 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故B 错误；②当01a <<时，函数(0,1)x y a a a a =->≠可以看做函数x y a =的图象向下平移a 个单位，由于01a <<，则D 错误；又1x =时，0y a a =-=，则函数(0,1)x y a a a a =->≠过点(1,0)，故C 正确；故选：C4．（2014·江西·高考真题（文））已知函数f (x )=2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩(a ∈R )，若((1))1f f -=，则a =（） A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】【分析】先求出(1)f -的值，再求((1))f f -的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得(1)(1)22f ---==，所以2((1))(2)241f f f a a -==⋅==，解得a =14.故选：A5.（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．（2013·全国·高考真题（文））若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 A ．（-∞，+∞） B ．(-2, +∞)C ．(0, +∞)D ．（-1，+∞）【答案】D 【解析】由题意知，存在正数x ，使12xa x >-，所以，而函数12xy x =-在(0,)+∞上是增函数，所以(0)1y y >=-，所以1a >-，故选D.7．（2015·山东·高考真题（文））设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜【答案】C 【解析】【详解】由0.6x y =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C . 8．（2014·陕西·高考真题（文））下了函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是A ．()3f x x =B ．()3xf x =C ．()23f x x = D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】试题分析：A 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3xf x =是定义在R 上增函数，所以B 正确；C 选项：由()()23f x y x y +=+，()()f x f y 2233x y =⋅23()xy =，得()()()f x y f x f y +≠，所以C 错误；D 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以D 错误；故选B.二、多选题9．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知a b >，0ab ≠，则（） A ．a b >B ．1133a b -->C ．33a b >D ．11a b< 【答案】BC 【解析】对A ，D 可取反例；对B ，C 可利用函数的单调性判断；【详解】对A ，取1,2a b ==-，则||||a b >不成立，故A 错误；对B ，11a b a b >⇒->-，∴1133a b -->，故B 成立；对C ，33a b a b >⇒>，故C 成立；对D ，取1,1a b ==-，11a b<不成立；故选：BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】依题意可得a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，再分类讨论，结合指数函数的性质判断即可；【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ；故选：AC11．（2022·山东潍坊·高三期末）已知函数x x x xe ef x e e，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是奇函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 无最小值，无最大值【答案】BD 【解析】【分析】求解0x x e e --≠，可判断A ；利用函数奇偶性的定义可判断B ；比较(1),(1)f f -可判断C ；分离常数得到2211x f x e ，分析单调性及函数值域可判断D【详解】选项A ，0x x e e --≠，解得0x ≠，故()f x 的定义域为{|0}x x ≠，选项A 错误；选项B ，函数定义域关于原点对称，且()()x x x x e ef x f x e e --+-==--，故()f x 是奇函数，选项B 正确；选项C ，()121212121110,(1)011e e e e e ef f e e e e e e ----++++-==<==>----，故(1)(1)f f -<，即()f x 在定义域上不是减函数，选项C 不正确；选项D ，()22212111x x x x x x x e e e f x e e e e --++===+---，令20x t e =>，211y t =+-，由于2x t e =在R 上单调递增，211y t =+-在(0,1),(1,)+∞分别单调递减，故函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞分别单调递减，且x →-∞时，()1f x →-，0x -→时，()f x →-∞，0x +→时，()f x →+∞，x →+∞时，()1f x →，故函数()f x 的值域为(,1)(1,-∞-⋃+∞），无最小值，无最大值，选项D 正确故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,0(),2,0x xa x f x a R a x -⎧-+<=∈⎨->⎩，下列结论正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．若()f x 在定义域上是增函数，则1a ≤C ．若()f x 的值域为R ，则1a <D ．当1a ≤时，若()(34)0f x f x ++>，则(1,0)(0,)x ∈-+∞ 【答案】ABD 【解析】【分析】分段函数奇偶性判断需要分段判断，分段函数的单调性需要列两段分别单调，衔接处单调即可. 【详解】当0x <时，0x ->，()2,()2(2)()x x x f x a f x a a f x ---=-+-=-=--+=-；当0x >时，0x -<，()2,()2()x x f x a f x a f x =--=-+=-．则函数()f x 为奇函数，故A 正确；若()f x 在定义域上是增函数，则0022a a --+≤-，即1a ≤，故B 正确；当0x <时，()2xf x a -=-+在区间(,0)-∞上单调递增，此时值域为(,1)a -∞-；当0x >时，()2x f x a =-在区间()0,∞+上单调递增，此时值域为(1,)a -+∞．要使得()f x 的值域为R ，则11a a ->-，即1a >，故C 错误；当1a ≤时，由于0022a a --+≤-，则函数()f x 在定义域上是增函数，由()(34)0f x f x ++>，得()(34)f x f x >--，则034034x x x x ≠⎧⎪--≠⎨⎪>--⎩解得(1,0)(0,)x ∈-+∞，故D 正确．故选：ABD. 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x =的定义域为______.【答案】[)()0,11,+∞【解析】【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解. 【详解】由题知，021********x xx x x x x ⎧⎧≥-≥≥⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠≠⎪⎪⎩⎩⎩且，所以()f x 的定义域为[)()0,11,+∞，故答案为：[)()0,11,+∞.14．（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x = 不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意15．（2015·山东·高考真题（理））已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=_____________. 【答案】32-【解析】【详解】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. 16．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【答案】[1,2]【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围，再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a 时函数()f x 在1x 的最大值，即可得到所求范围．【详解】解：因为()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当1x >时()112f x x =-+函数单调递减且()12f x <，当1x ≤时()122x ax af x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得在x a >时函数单调递减，在x a <单调递增，若1a <，1x ，则()f x 在x a =处取得最大值，不符题意；若1a ，1x ，则()f x 在1x =处取得最大值，且11122a -⎛⎫≥⎪⎝⎭，解得12a ，综上可得a 的范围是[]1,2．故答案为：[]1,2 四、解答题17．（2021·新疆·伊宁市第一中学高三期中（理））若(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】[4,8). 【解析】【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数(1)()42(1)2xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则满足114024122a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8).18．（2021·福建龙岩·高三期中）已知()2221x m f x -=++是奇函数. (1)求m 的值； (2)求()f x 的值域. 【答案】(1)-2 (2)11-（，）【解析】【分析】（1）因为()f x 为奇函数，且在0x =处有意义，所以()00f =，便可求出m 的值；（2）在（1）的前提下，对于复合函数分解成若干基本初等函数，然后逐个求其值域，从而求出()f x 的值域. (1)因为()f x 为奇函数，所以()00f =，即2022m +=，解得2m =-. 经检验：当2m =-时，()f x 为奇函数； (2)由（1）知()2121xf x -=-+，因为211x -+∈+∞（，），所以20221x -∈+（，），于是()11f x ∈-（，），因此()f x 的值域为11-（，）. 19．（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）已知指数函数()(0xf x a a =>且1)a ≠的图象过点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，．(1)求函数()xf x a =的解析式；(2)已知()()1f x f >，求x 的取值范围；【答案】(1)()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()1,1- 【解析】【分析】（1）将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，解之即可得出答案；（2）根据指数函数的单调性即可得出答案. (1)解：将点129⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入()(0xf x a a =>且1)a ≠，得：219a =，解得13a =，所以()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)因为1013<<，所以函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，由()()1f x f >，得1x <，解得11x -<<，所以()()1f x f >的解为()1,1-.20．（2021·安徽省六安中学高三阶段练习（文））已知函数()()33xf x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数.(1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 【答案】(1)2k =-，3b = (2)答案见解析【解析】【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. (1)解：因为()()33x f x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数，所以31k +=，30b -=，所以2k =-，3b =； (2)解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-，可得2743x x ->-，解得2x <-；②当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-，可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-；当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.21．（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）设()e e x xf x -=-()R x ∈．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)解不等式()()22f x f x -≤．【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)[]1,2- 【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断证明即可；（2）根据指数函数单调性以及函数单调性的性质判断()y f x =的单调性，再由单调性去掉f 转化为解一元二次不等式即可求解. (1)()e e x x f x -=-是R 上的奇函数，证明如下：()e e x x f x -=-的定义域为R 关于原点对称，()()()e e e e x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()e e x xf x -=-是R 上的奇函数.(2)因为e x y =为R 上的增函数，1ee xxy -==为R 上的减函数，所以()e e x xf x -=-为R 上的增函数，若()()22f x f x -≤，则22x x -≤即220x x --≤，可得()()210x x -+≤，解得：12x -≤≤，所以不等式()()22f x f x -≤的解集为：[]1,2-.22．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4- 【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案. (1)由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数． (2)()()()()223333x x x xf x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦，令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦．令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去；当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤；当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去．综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．。

第3章+第5讲+指数与指数函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

5.函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠)的图象可能是( )
解析函数 y＝ax－1a是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，A 显然错误；当 a＞1 时，0＜1a＜1，平移距离小于 1，所以 B 错误；当 0＜a＜1 时，1a＞1，平移距离大于 1，所以 C 错误．故选 D.
1. 3
6
4 6 a9
3 a94＝________.
答案 a4
解析原式＝[(a96)13]4[(a93)16]4＝a2·a2＝a4.
解析答案
2．已知 3a＋2b＝1，则9a·33ab＝________.
答案 3
解析
因为
3a
＋
2b
＝
1
，
所
以
3 2
a
＋
b
＝
1 2
，
所
以
原
式
＝
＝ 3.
解析答案
3．化简：解
解析答案
6 ．若曲线 |y| ＝ 2x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________.
答案 [－1,1] 解析曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得，如果曲线|y| ＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
解析答案
8．若0<a<b<1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x，y，z的大小关系为( )
A．x<z<y
B．y<x<z
C．y<z<x
D．z<y<x
解析因为0<a<b<1，所以f(x)＝bx单调递减，故y＝ba>z＝bb；又幂函数g(x)＝xb单调递增，故x＝ab<z＝bb，则x，y，z的大小关系为x<z<y.

(完整版)指数函数知识点总结

指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果x a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n 00。

当n 是奇数时，n a n a ，当n 是偶数时，n a n |a |2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：n *a (a 0)a (a 0)am nna m (a 0,m ,n N *,n 1)m na1ar m n1na m(a 0,m ,n N *,n 1)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）a ·a a r r s(a 0,r,s R )；r srs (a )a （2）(a 0,r,s R )；rr s(ab)a a （3）(a0,r,s R )．x （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数y a (a 0,且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10<a<111定义域 R 值域y＞0在R 上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）定义域 R 值域y＞0在R 上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，f(x)a (a 0且a 1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]（2）若x 0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当x R ；（3）对于指数函数f(x)a (a0且a 1)，总有f(1)a ；指数函数·例题解析x x【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝312-x(2)y ＝2x +2-1(3)y ＝3-3x -1解(1)定义域为x∈R 且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是0≤y ＜3．（1）y =2练习：【例2】指数函数y＝a x ，y＝b x ，y＝c x ，y＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x 轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．练习：指数函数①( ).②满足不等式,则它们的图象是1x -4|x |；（2）y =()；（3）y =4+223x x +1+1；【例3】比较大小：(1)2、32、54、88、916的大小关系是：(2)0.6-4513-2()2．(3)4.54.1________3.73.61213253849解(1)∵2=2，32=2，54=2，88=2，916=2，函数y＝2x，2＞1，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，13241又＜＜＜＜，∴32＜88＜54＜916＜2．3859213-2解 (2)∵0.6＞1，1＞()，2413--∴0.65＞()2．2-45解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴ 4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．练习：（1）1.72.5与 1.7( 2 )0.83-0.1与0.8-0.2( 3 ) 1.70.3与0.93.1（４）3.52.1和2.72.0【例4】比较大小n-1a n与n a n+1(a＞0且a≠1，n＞1)．n-1解a nn+1n a=a1n(n-1)当0＜a＜1，∵n＞1，1＞0，n(n-1)＜1，∴n-1a n＜n a n+11当a＞1时，∵n＞1，＞0，n(n-1)∴a∴a1n(n-1)1n(n-1)＞1，n-1a n＞n a n+1【例5】作出下列函数的图像：1(1)y＝()x+12(2)y＝2x－2，(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|11解 (1)y＝()x+1的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．221x是把函数y＝()的图像向左平移1个单位得到的．2解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)a x -1【例8】已知f(x)＝x (a ＞1)(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)a +1证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R ．a -x -1a x -1f(－x)＝-x =-x ＝－f(x)，a +1a +1∴函数f(x)为奇函数．a x -1-1-y y +1(2)函数y ＝x ，∵y ≠1，∴有a x ＝=＞0⇒－1＜y ＜1，y -11-y a +1即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．f(x 1)－f(x 2)a x l -1a x 2-12(a x l -a x 2)＝x +1-x +1＝x ，∵a ＞1，x 1＜x 2，a x 1＜a x 2，(a x 1＋1)x a l a 2(a l +1)(a 2+1)(a x 2＋1)＞0，∴f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在R 上为增函数．单元测试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）11111--⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛1、化简 1+232⎪1+216⎪1+28⎪1+24⎪1+22⎪，结果是（）⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝1-⎫1⎛A、 1-232⎪2⎝⎭-1111---⎛⎫⎛⎫1B、 1-232⎪ C、1-232 D、 1-232⎪2⎝⎝⎭⎭-1⎛36a 9⎫⎛63a 9⎫等于（）2、 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A、a 1644B、a 8C、a 4D、a 23、若a >1,b <0,且a +a A、6b -b =22,则a b -a -b 的值等于（）B、±2C、-2D、24、函数f (x )=a -1在R 上是减函数，则a 的取值范围是（）A、a >1B、a <2C、a <5、下列函数式中，满足f (x +1)=A、(2)x2 D、1<a <21f (x )的是( )211(x +1) B、x + C、2x D、2-x24x 2-x 6、下列f (x )=(1+a )a 是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数111137、已知a >b ,ab ≠0，下列不等式（1）a >b ；(2)2>2；(3)<；(4)a >b 3；a b22a b ⎛1⎫⎛1⎫(5) ⎪< ⎪中恒成立的有（）⎝3⎭⎝3⎭A、1个B、2个C、3个D、4个a b2x -18、函数y =x 是（）2+1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数9、函数y =1的值域是（）2x -1A、(-∞,1)B、(-∞,0)(0,+∞) C、(-1,+∞) D、(-∞,-1)(0,+∞)x 10、已知0<a <1,b <-1,则函数y =a +b 的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、F (x )= 1+⎛⎝2⎫⎪⋅f (x )(x ≠0)是偶函数，且f (x )不恒等于零，则f (x )( )x 2-1⎭A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为（）A、na (1-b %) B、a (1-nb %) C、a [1-(b %)] D、a (1-b %)二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）x -y =。

高考数学专题：指数与指数函数

高考数学专题:指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质R1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9B.7C.－10D.9解析原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4.（·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)考点一指数幂的运算【例1】化简:(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】化简求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称，又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]，因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知:如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)（·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1. 则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)（·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a 0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0，所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)，故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.（·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c 1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a 1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.（·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a 25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.（·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.（·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.（·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.（·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 D12.（·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确.答案 A13.（·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案－2x (x <0)14.（·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。

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答案：（） 1 1 （2）8 （3） 108 （4） 1-4 x
1
43 94 变式训练：（ 1 ）（2） 16 9
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序. 对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
沂南二中
ห้องสมุดไป่ตู้
高一数学
一根式
1. 根式的概念
一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则x叫做a的n次方根.
2.
性质
类似于立方根
①当n为奇数时：在实数范围内正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作： x
a.
n
类似于平方根
②当n为偶数时：在实数范围内正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作： x n a . ③负数没有偶次方根. ④0的任何次方根为0．
n m
m n
（2）正数的负分数指数幂
a

m n
（3）0的分数指数幂的规定： 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂无意义
1 m （a 0, m, n N *, 且n 1 ） an
2. 分数指数幂的运算性质:
a a _______( a 0, m, n R) a
m n
x 1
在求函数f(x)=a
xm x
n(a 0, 且a 1)图像
所过的定点时，跟据f(x)=a (a 0, 且a 1)的图像所过定点（0,1）先令x+m=0得x=-m再代入求得y=1+n 即所过定点为（-m,1+n).
考点四与指数函数有关的定义域值域问题
例4 求下列函数的定义域与值域
关于指数型函数的最值的求法：指数型函数的最值问题常见类型是通过换元转化为
指数函数型，二次函数型
课堂小结
1、知识
指数与指数函数
指数
指数幂的运算
定义
指数函数
图像和性质
2、思想方法
数形结合思想、分类讨论思想
（） 1 y2
1 x 3
解：由x-3 0得x 3 即函数的定义域为（-， 3）（ 3， +） 1 t 令t 则y=2 x 3 t 0,且y=2t 在（-， +）单调递增 y 0且y 1 所以函数的值域为（0,1）（ 1， +）.
例5 求函数y = 4- x - 2- x +1,x ∈[-3,2]的最大值和最小值. 解：由y=4 x -2 x +1得 1 2 3 x 2 x -x x 析：y=（2 x） -2 x+1=（2 - ） 1+ 2 ，令 3 t2 则 2 x 4+ ， y=（2 ）-2 +1=（2 2 ） 2 4 1 2 3 y （t ） +x 1 2 3 令t （t ）+ 22 则 4 y 2 4 1 3 x 2 2 x 8 4 1 即 t 8 4 1 3 当t 即x 1时ymin 2 4 当t 8即x 3时ymax 57
m n
mn
(a ) _______( a 0, m, n R) a
m n n
(ab) ________( a b a 0, b 0, n R)
n n
三指数函数
1. 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.
2、指数函数的图像和性质
图象
定义域值域过定点函数值的变化单调性奇偶性
y
O
a>1
1
x
0<a<1
y
1
O
x
性质
考点一
1 2 1 2
指数幂的化简与求值
2 1 1 （3）（2 3 ）（4）2x ( x 3 2 x 3 ) 2 1 2 6 1 3 1 3
例1、求下列各式的值：（） 1 2 2 （2） 160.75
考点二
例2
指数函数图象及应用
考点三
例3、函数y a
指数函数性质应用
2 x b
1(a 0, 且a 1)的图象恒过
定点（ 1, 2），则b=____ -2
变式：已知函数y 7 a 的图象恒过定点P，则P点的坐标是（A ） A（ 1,8） A （ 1, 7） A （0,8） A （8, 0）
3. 两个重要公式
a （ n 为奇数） ______ n n （） 1 a ___ ______ | a | （ n 为偶数）
（2） ( a ) = _____ a （n为任意正整数）
n
n
二、分数指数幂 1. 分数指数幂的表示：（1）正数的正分数指数幂的意义：
a a（a 0, m, n N *, 且n 1 ）

指数与指数函数复习3

指数与指数函数知识点

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