8、3基本事实与定理

（一）自主学习
检测
下面关于公理和定理的联系说法不正确的是 （ B ） A 公理和定理都是真命题， B公理就是定理，定理也是公理， C 公理和定理都可以作为推理论证的依据 D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证 明
把哪些真命题作为公理应当遵循下列 原则：直观，易于被大家所公认；够用； 尽可能少；相互之间不闹矛盾等． 根据上述原则并且考虑到同学们的实 际情况，我们这套教材到目前为止选择了 八条真命题作为公理：
祝你成功！
（五）课堂作业
本节基础训练
结束寄语
• 在几何学习中最能发挥你的聪 明才智. • 数学使人聪明. • 只要你敢想敢做,未来的数学“ 大家”将是你!
师友交流
（1）人人参与，小声讨论，师友合作、 师师合作，大声表达自己的思想。 （3）没解决的问题师傅记录好，准备质 疑。 （4）师傅控制好讨论节奏，注意交流的 时间。
动脑筋 例1：由上面给出的公理，证明如下命题的正确性： 等角的补角相等。 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180，∠2+∠4=180。 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1+∠3=180， ∠2+∠4=180(已知)， ∴∠3=180-∠1，∠4=180-∠2 (等式的性质) ∵∠1=∠2 (已知)， ∴∠3=∠4 (等式的性质)。
三、巩固练习
A、B、C、D、E五名学生猜自己的数学成绩： A说：“如果我得优，那么B也得优。” B说：“如果我得优，那么C也得优。” C说：“如果我得优，那么D也得优。” D说：“如果我得优，那么E也得优。” 大家都没有说错，但只有三个人得优。请问：得 优的是哪三个人？
通过这节课的学习， 谈谈你掌握了什么？
（一）自主学习
知识梳理
你能记下P42面的八条公理吗？
1.两点确定一条直线． 2. 两点之间线段最短 ．
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直
4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
（一）自主学习
知识梳理
你能记下P42面的十条公理吗？
5. 经过一条直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行．
8 、3
基本事实与定理
师友交流
（1）人人参与，小声讨论，师友合作、 师师合作，大声表达自己的思想。 （3）没解决的问题师傅记录好，准备质 疑。 （4）师傅控制好讨论节奏，注意交流的 时间。
（5）口头展示，声音洪亮、清楚；书面展 示要注意表达格式，书写要认真、 规范。
（一）自主学习
一、知识回眸：
下列命题是真命题吗? 1、如果a是有理数，那么a是实数； 是 2、如果m是自然数，那么m是整数；是 3、如果a是整数，那么a是有理数； 是 4、如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形 是
6.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 8.三边对应相等的两个三角形全等;
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理． “在等式或不等式中,一个量可以用它的等 量来代替”.这一性质也看作公理已知条件 2、定义 3、公理 4、定理 5、等式（不等式）的性质
（二）经典例题
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的 结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙 述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证。 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的 结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明 过程．
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已 经画出了图形，写好了已知，求证，这时只要写出“证明” 一项就可以了．
（二）经典例题
例2：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=
DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定 义说明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥B D A 证明： （1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC B ∴△ABC≌△ADC O (2) 由（1）知△ABC≌△ADC ∴∠BCA=∠DCA, C 又∵BC=DC ∴BO=OD,AC⊥BD
D
三、巩固练习
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语 句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ） A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的 是（ ），是定义的是（ ）， A、三边对应相等的两个三角形全等； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
欧几里得
小知识
欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写 了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条 公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史 上第一个数学公理体系．
（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于 一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不 再区分，都称为公理.)
（5）口头展示，声音洪亮、清楚；书面展 示要注意表达格式，书写要认真、 规范。
《原本》.
（一）自主学习
知识梳理
人们在长期实践中总结出来的公认的真命题， （2） 叫公理， 并作为证明其它命题的依据，称这些真命题. 已经判断为真的命题并作为 叫定理。 证明其它命题的依据，称这些真命题
（4）公理与定理之间有什么关 公理是不需要证明的,由实践得出的结论 系：
。
定理是由公理得出来的,也可以说是公理的推论,是需要证明的
（一）自主学习
（1）阅读欧几里得的简介，师友互谈感想。
古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前 330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统 化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总 结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据， 称这些真命题为公理. 欧几里得以基本定义和公理作为推理的 出发点，去判断其他命题的真假，已经判 断为真的命题称为定理，它也可以作为判 断其他命题的真假的依据.