变量的相关关系

2.3 变量间的相关关系
一、两个变量间的相关关系
1．变量间的相关关系
变量与变量间的关系常见的有两类：一类是确定的函数关系．如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，正方形的边长a与面积S之间的关系；另一类是变量之间确定存在关系，但又没有函数关系所具有的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时，我们称两个变量具有相关关系．例如，凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素．例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等，也就是说数学成绩对物理成绩的影响不是一种确定的关系，我们称之为相关关系．
对相关关系的理解应当注意以下几点：（1）相关关系是非确定性关系；（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系；（3）在现实生活中，存在着大量的相关关系，相关关系是进行回归分析的基础，同时，也是散点图的基础．
2．正相关、负相关
具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也由小到大，这种相关称为正相关；反之，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
3．用散点图判断两个变量是否具有相关关系
在平面直角坐标系中描点，得到关于两个变量一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，我们可以判断两个变量是否具有相关关系．
例题：
例1 “名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高，那么，教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？
例2 下列两个变量中具有相关关系的是（）
A．正方形的体积与边长 B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C．人的身高与体重 D．人的身高与视力
例3 从高一（1）班中随机选出10名同学，将他们的身高、数学成绩和物理成绩列表如下：身高(m) 1.5 1.6 1.55 1.65 1.45 1.06 1.52 1.66 1.7 1.4
数学成绩x 90 85 78 88 87 76 95 75 68 70
物理成绩y 88 84 80 83 78 70 90 80 74 68 试判断数学成绩与身高和物理成绩是否成相关关系．
练习：
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
2．下列变量之间的关系是函数关系的是（）
A．已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a,c是已知常数，取b为自变量，自变量和这个函数的判别式Δ=b2-4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩地用肥料量和粮食亩产量
3．如图2-3-3所示，有5组(x,y)数据，去掉_______组数据后，剩下的4组数据线性相关关系数最大．（）
图2-3-3
A． E B． D C． B D． A
4. 观察下列各图形：
其中两个变量x、y具有相关关系的图是()
A．①②B．①④C．③④D．②③
二、两个变量的线性相关 1．线性回归，回归直线
如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称之为这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据的一条，我们称之为回归直线． 2．用最小二乘法求回归直线方程
记回归直线方程为y
ˆ=a+bx ，a,b 叫做回归系数，利用最小二乘法可以求得回归系数． ,
)
()
)((1
2
1
1
22
1
∑∑∑∑====---=⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧
-=--=n
i i
n
i i i
n
i i n
i i i x x
y y x x
x b y a x n x y x n y x b
其中x =,
1
,1
11∑∑--=n
i i n
i i
y n
y x n
对回归直线的方程的推导，注意以下两点：
（1）回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是：离差的平方和，即总离
差Q=∑
-n
i 1(y i -a-bx i )2
，这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，这种使“离差的
平方和为最小”的方法叫做最小二乘法．
（2）利用最小二乘法求回归系数a 、b 时，是将离差的平方和Q 转化为关于a 或b 的二次函数，利用二次函数知识求得的．
例题：
例1 对于回归分析，下列说法错误的是 （ ）
A ． 回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定
B ． 线性相关系数可以是正的或负的
C ． 回归分析中，如果r 2
=1或r=±1，说明x 与y 之间完全线性相关 D ． 样本相关系数r ∈(-1,1)
例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了10次实验，测得的数据如下：
零件数x （个） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y （分） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
（1）y 与x 是否具有线性相关关系？
（2）如果y 与x 具有线性相关关系，求①y 关于x 的回归直线方程；②x 关于y 的回归直线方程．
练习：
1．设有一个回归方程y
ˆ=2-2.5x ，变量x 增加一个单位时，变量y ˆ（ ） A ．平均增加2．5个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少2．5个单位 D ．平均减少2个单位
2．已知x 与y 之间的一组数据：
则y 与x 的线性回归方程y ^＝b x ＋a 必过 ( ) A ．点(2,2) B ．点 (1.5,0) C ．点(1,2) D ．点(1.5,4)
3．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次试验和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据平均数都为t ，那么下列说法正确的是（ ）
A ．l 1和l 2有交点(s,t)
B ．l 1和l 2相交，但交点不一定是(s,t)
C ．l 1和l 2必平行
D ．l 1和l 2必重合
4.已知算得某工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间的回归方
程y ˆ=1.215x+0.974，计算x=2时，总成本y 的估计值为____________．
5．对一质点的运动过程观测了4次，得到如下表所示的数据，则刻画y 与x 的关系的线性回
归方程为______________.
6. 某种产品的广告费支出x
如果y 与x (1)作出这些数据的散点图； (2)求这些数据的线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额．。