浙江省温州市高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示导学案(无答案)新人教a版选修2-1
高中数学_3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计学情分析教材分析课后反思
教案教情学情分析在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是容易．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度空间坐标的定义是容易．．．的理解却．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性是模糊．．的.效果分析一．类比与猜想的紧密结合本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.二．课堂与教材的有机整合教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.【教材分析】空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和数量积运算的基础上进一步学习的知识内容。
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案1教学目标1.知识与技能掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间直角坐标系的概念，会确定点的坐标，掌握空间向量坐标运算的规律.3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量.教学重点空间向量坐标运算的规律.教学难点空间向量坐标运算的规律.教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：什么叫空间向量的夹角及范围？空间向量的数量积的概念？表示？性质？运算律？问题2：说说平面向量的基本定理？正交分解？由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.今天我们将在前一节课的基础上，进一步学习空间向量的正交分解及其坐标表示并进行一些简单的应用．点题：今天我们学习“空间向量的正交分解及其坐标表示”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、空间向量类比：由平面向量的基本定理,推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.问题3：（书本P93探究）在空间中，如果用任意三个不共面向量,,a b c 代替两两垂直的向量123,,a a a ，你能得到类似的结论吗？1、 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ）；,,a b c 都叫做基向量.2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k 的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．练习：书本P94：1、2、3活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例4：如图：M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 分别MN 的三等分点，用向量,,,OA OB OC →→→表示OP OQ →→和解略：书本P94页2．1、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则（12e e -）12(32)e e -+等于（ ）A.-8B.92 C. 52- D.8 2、已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3、在ABC ∆中，设=AB a ，=BC b ，=CA c ，若0)(<+b a a ，则ABC ∆（ ）)(A 直角三角形 )(B 锐角三角形 )(C 钝角三角形 )(D 无法判定4、已知a 和b 是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。
高中数学 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示学案(无答案)新人教A
浙江省台州市高中数学3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示学案（无答案）新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省台州市高中数学3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示学案（无答案）新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.4空间向量的正交分解及坐标表示学习目标：了解建立空间直角坐标系的方法,并会写出点的坐标;掌握空间向量的坐标表示，能写向量的坐标自主学习:自学必修2课本 P134 ~P135，完成下列填空：1、空间直角坐标系O—xyz原点：，坐标轴：，坐标平面： .2、点M的坐标：M(x，y，z），其中x,y，z分别叫M的3、合作交流以下问题：(1)x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点?(2）xOy平面、yOz平面、xOz平面上点的坐标有何特点？（3)设点M的坐标为（x， y， z），那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点对称的点的坐标分别是什么?4、(1)建立如图的直角坐标系，长方体ABCD—A1B1C1D1中AB=3，BC=5，AA1=2,填写下列各点的坐标：A ，B ，C ，D A1 , B1，C1 ,D1B1C1的中点M ，C1C的中点N ；(2)点P（2，3, 4)在xOy面内的射影是，在面yOz内的射影是，关于原点对称的点M ，(3)关于xOy 面对称的点Q . 合作学习： 例1、如图，V-ABCD 为正四棱锥,O 为底面中心,若AB=2 ,VO=3, 试建立空间直角坐标系,并确定各点坐标变式：如图的正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长为2,试建立适当的坐标系,并写出各点坐标合作探究1、如图的直角坐标系O —xyz 中，点A 的坐标为(x ，y ，z )，取三个坐标轴方向上的单位向量k j i ,,为一组基底，如何用基底{}k j i ,,把向量OA 表示出来？小结1、（1)单位正交基底：（2）向量k z j y i x OA ++== ⇔即:向量OA 的坐标与终点A 的坐标相同 (O 为原点）（3)若A(x 1,y 1,z 1),B （x 2，y 2，z 2），则AB =合作探究2、已知),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，类比平面向量的坐标运算，思考空间向量的坐标运算如何？=⋅b a小结2、空间向量的坐标运算：=±b a ，=a λ ，=⋅b a ，=|| ， ⇔// ,⇔⊥例2、已知)5,3,2(-=，)4,1,3(-=（1）=+ ，=⋅ ，=+⋅)2( ；(2)若),2,(n m =且c a //，求c ；(3）若),,1(y x =且⊥，⊥,求变式1、若)0,1,1(=，)2,0,1(-=，k +与-2垂直，求k 的值;变式2、若与)2,1,2(-=共线，且满足18-=⋅，求。
高中数学《3.1.4 空间向量的正交分解》导学案 新人教A版选修2-1
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 学习目标1 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材P ,a b (),x y P ,a b ,a b a b ⊥P ,i j a a xi y j =+(),x y a a a a 11a λ22a λ33a λ112233a a a a λλλ=++123,,a a a ,,a b c p {,,}x y z p xa yb zc =++,,a b c {,,}x y z a xi y j zk =++{,,}x y z p =111(,,)x y z 222(,,)x y z AB 123(,,)a a a 123(,,)b b b 112233(,,)a b a b a b +++112233(,,)a b a b a b ---123(,,)a a a λλλ()R λ∈112233a b a b a b ++23a i j k =-+a (1,0,2)(3,1,1)-AB (2,3,5)-(3,1,4)--8a ,,a bc ,,a b c ,p a b =+q a b =-,,OA OB OC ,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，N 的三等分点，用,,OA OB OC表示OP 和OQ变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG※ 动手试试练1 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c •+； ⑵68a b c +-练2 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ，三、总结提升※ 学习小结1 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已）A 很好B 较好C 一般D 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A ,,a a b a b +-B ,,b a b a b +-C ,,c a b a b +-D 2,,a b a b a b ++-2 设i 、、为空间直角坐标系O -中轴、轴、轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是3 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是5 已知关于的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-，当t ＝ 时，c 的模取得最大值1 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度2 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +-是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表导学案(无答案)新人教A版选修2_1
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示； 2.掌握空间向量的坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．学习重点 难点1.空间向量基本定理、向量的坐标运算．2.理解空间向量基本定理． 学法指导 通过平面向量基本定理得出空间向量基本定理课前预习 1、平面向量基本定理： 如果两个向量,,a b ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},x y 使____________________2、空间向量基本定理： 如果三个向量,,a b c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z 使____________________预习评价如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且＝a ，＝b ，＝c . OA → OC → OO ′→用a ，b ，c 表示向量， OB ′→ AC ′→课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）一、温故知新 1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ 和22a λ ，使1122a a a λλ=+ . 如果12a a ⊥ 时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+ ，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y = .思考：我们知道，平面的任意向量a 都可以用两个不共线的向量12,a a 来表示（平面向量基本定理）。
对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ 2、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z 使____________________ 注：如果三个向量,,a b c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是}{/=,,,p p xi y j zk x y z R ++∈ ，这个集合可以看做是由向量,,a b c 生成的。
高中数学《空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1．空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a，b，c□01不共面，那么对空间任一向量p结论存在□02唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝x a＋y b＋z c□03如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝x a＋y b＋z c，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，□04a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底□05三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e，e2，e3称为单位正交基底，1用□06{e1，e2，e3}表示．(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的□07公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y 轴、z轴的□08正方向建立空间直角坐标系□09Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它□10平移，使它的□11起点与原点O 重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝□12x e1＋y e2＋z e3.把□13x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝□14(x，y，z)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)向量AP→的坐标与点P的坐标一致．()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2 a2＋λ3a3.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面(2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．(4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD ＝2，BB1＝1，则AD1→的坐标为________，AC1→的坐标为________．答案(1)A(2)(2，－1,3)(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)探究1基底的概念例1若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为空间的一个基底，∴a，b，c不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底． 拓展提升基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．【跟踪训练1】 设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }，其中可以作为空间的基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 解法一：由空间向量共面的充要条件知： 若x ＝a ＋b ，则x ，a ，b 共面．故①不能作为基底． 若②中，假设x ，y ，z 共面，则z ＝λx ＋μy ， 即：c ＋a ＝λ(a ＋b )＋μ(b ＋c )，则⎩⎨⎧λ＝1，λ＋μ＝0，μ＝1，此方程组无解．∴x ，y ，z 不共面，故②能作为基底． 同理，③能作为基底．对④，若x ，y ，a ＋b ＋c 共面，则存在实数λ，μ，使a ＋b ＋c ＝λx ＋μy ＝λ(a＋b )＋μ(b ＋c )即⎩⎨⎧λ＝1，λ＋μ＝1，μ＝1，此方程组无解．∴x ，y ，a ＋b ＋c 不共面，故④能作为基底． 解法二：如图所示，设a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →， 则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→， z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→， 由A ，B 1，C ，D 1四点不共面， 可知向量x ，y ，z 也不共面，同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面． 探究2 用基底表示向量例2 如下图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N 是C 1D 1的中点，点Q 是CA 1上的点，且CQ ∶QA 1＝4∶1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.[解] 连接AC ，AC 1.(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(a ＋b ＋c )＝12a ＋12b ＋12c . (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c .(3)AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)]＝12a ＋b ＋c . (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA 1→－AC →)＝15AC →＋45AA 1→＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→＝15a ＋15b ＋45c . [结论探究] 如果把例2中要表示的向量改为A 1C →，BM →，BQ →，怎样解答呢？解 A 1C →＝AC →－AA 1→＝(AB →＋AD →)－AA 1→＝a ＋b －c .BM →＝BC →＋CM →＝AD →＋12CD 1→＝AD →＋12(CD →＋DD 1→)＝AD →＋12(BA →＋AA 1→)＝AD →＋12(－AB →＋AA 1→)＝b ＋12(－a ＋c )＝－12a ＋b ＋12c .BQ →＝BA →＋AQ →＝－AB →＋AQ →＝－a ＋15a ＋15b ＋45c ＝－45a ＋15b ＋45c . 拓展提升用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．【跟踪训练2】 下图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别为PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF →，BE →，AE →，EF →.解 连接OB ，OE ，则BF →＝12BP →＝12(OP →－OB →) ＝12[OP →－(OA →＋OC →]＝12c －12a －12b . BE →＝BC →＋CE →＝－OA →＋12CP → ＝－a ＋12(OP →－OC →)＝－a ＋12c －12b .AE →＝AO →＋OE →＝－a ＋12(OP →＋OC →) ＝－a ＋12c ＋12b .又∵E ，F 分别为PC ，PB 的中点， ∴EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .探究3 空间向量的坐标表示例3 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．[解] 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3.因为MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.[结论探究] 其他条件不变，上例问法改为：求向量ND →的坐标． 解 因为P A ＝AD ＝AB ， 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，因为ND →＝MD →－MN →＝AD →－AM →－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AP →＋12AD →＝12AD →－12AB →－12AP →＝－12e 1＋12e 2－12e 3，所以ND →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，－12. [条件探究] 其他条件同例3，空间直角坐标系的建立不同于例3.建立如图所示的空间直角坐标系，求MN →，DC →的坐标．解 因为P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.分别以e 1，e 2，e 3为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，如题图所示，DC →＝AB →＝e 2，所以DC →＝(0,1,0)，MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2)＝－12e 1＋12e 3， 从而可知MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12. 拓展提升1.建立空间直角坐标系，必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或构造出这样的三条直线，因此要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在坐标轴上．2．求空间向量坐标的一般步骤(1)建系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (2)运算：综合利用向量的加减及数乘运算；(3)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．3．适当的坐标系有时不是唯一的，在不同坐标系下，同一向量的坐标一般不同．【跟踪训练3】 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB1→，DE→，DF→的坐标．解设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，其方向与各轴上的正方向相同，则DB1→＝DA→＋AB→＋BB1→＝2e1＋2e2＋2e3，∴DB1→＝(2,2,2)．∵DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝2e1＋2e2＋e3，∴DE→＝(2,2,1)．又∵DF→＝e2，∴DF→＝(0,1,0)．1.正确理解基底的概念基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.2.求空间向量坐标的方法空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.3.用基底表示向量的方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.1．若O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则()A.OA→，OB→，OC→共线B.OA→，OB→共线C.OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面答案 D解析 由OA →，OB →，OC →不能构成基底，知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 答案 D解析 在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发的向量AB →的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以AB →＝OB →－OA →.3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．重合B ．垂直C ．平行D ．无法确定 答案 B解析 连接C 1E ，则AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)．设正方体的棱长为1，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→－12AB →－12AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →，即AC 1与CE 垂直．4．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2＋μ2＋v 2＝________.答案 0解析 因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，所以由空间向量基本定理可知，λ＝μ＝v ＝0，所以λ2＋μ2＋v 2＝0.5．如图所示，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝1，OB＝2，OC ＝3，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，建立以OA →，OB →，OC →方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz .求EF 中点P 的坐标．解 令Ox ，Oy ，Oz 轴方向上的单位向量分别为i ，j ，k .∵OP →＝OE →＋EP →＝12(OA →＋OC →)＋12EF →＝12(OA →＋OC →)＋12×12AB →＝12(OA →＋OC →)＋14(OB →－OA →)＝14OA →＋14OB →＋12OC →＝14i ＋14×2j ＋12×3k ＝14i ＋12j ＋32k .∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，32.A 级：基础巩固练一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，15C ．(3,2,5)D ．(3,2，－5) 答案 C解析 ∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k ，∴向量AC 1→在基底{i ，j ，k }下的坐标是(3,2,5)．故选C.2．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且AA 1→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D →＝( )A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c 答案 D解析 如图，连接C 1D ，则 A 1D →＝A 1C 1→＋C 1D → ＝A 1C 1→＋12(C 1B 1→＋C 1C →) ＝A 1C 1→＋12(A 1B 1→－A 1C 1→＋C 1C →) ＝c ＋12(b －c －a ) ＝－12a ＋12b ＋12c .3.已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2) 答案 A解析 由题意，OA →＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ， 所以点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，又d ＝α a ＋β b ＋γ c ，则α，β，γ分别为( )A.52，－1，－12B.52，1，12 C ．－52，1，－12 D.52，1，－12答案 A解析 由d ＝αa ＋β b ＋γ c ，得d ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3， 又d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.5．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，但是当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量，因此p ⇒/ q ，而q ⇒p ，故命题p 是命题q 的必要不充分条件．6．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO1→，AO2→，AO3→}为基底，AC′→＝x AO1→＋y AO2→＋z AO3→，则x，y，z的值是() A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝12C．x＝y＝z＝22D．x＝y＝z＝2答案A解析如图，AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→＝12(AB→＋AD→)＋12(AA′→＋AB→)＋12(AD→＋AA′→)＝AO1→＋AO2→＋AO3→，又AC′→＝x AO1→＋y AO2→＋z AO3→，∴x＝y＝z＝1.二、填空题7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n 共线，则x＝________，y＝________.答案1－1解析因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λx a＋λy b ＋λc，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx，－1＝λy，1＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－1.8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF→＋λA1D→＝0(λ∈R)，则λ＝________.答案－12解析如图，连接A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ， ∴EF →＝12A 1D →，即EF →－12A 1D →＝0，又∵EF →＋λA 1D →＝0. ∴λ＝－12.9．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面A 1B 1C 1D 1的中心，a ＝12AA 1→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.答案 2 1 32 解析 如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)＝2a ＋b ＋32c ＝x a ＋y b ＋z c . 所以x ＝2，y ＝1，z ＝32. 三、解答题10．如图所示，M ，N 分别是四面体O －ABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫ON →－12OA →＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →；OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →)＝12OA →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫ON →－12OA →＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →.B 级：能力提升练1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)BD 1→＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→；(2)AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→. 解 (1)因为BD 1→＝BD →＋DD 1→＝BA →＋BC →＋DD 1→＝－AB →＋AD →＋AA 1→，且BD 1→＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1. (2)因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＝12AD →＋12AB →＋AA 1→， 且AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA 1→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.2．如下图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面； (2)若EF →＝ x AB →＋y AD →＋z AA 1→，求x ＋y ＋z .解 (1)证明：连接AC 1，∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→ ＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， ∴A ，E ，C 1，F 四点共面． (2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→， ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13， ∴x ＋y ＋z ＝13.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1(
（浙江专版）2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018-2019高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1。
4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1。
了解空间向量基本定理。
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3。
掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么?答案如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考2 平面向量的基底唯一确定吗？答案不唯一．梳理（1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量a,b，c和空间任一向量p结论存在有序实数组｛x,y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c（2)基底条件:三个向量a,b，c不共面．结论：｛a,b,c｝叫做空间的一个基底．基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量．知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j，这样,平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定,我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．设错误!＝x i＋y j，则向量错误!的坐标（x,y)就是点A的坐标，即若错误!＝(x，y)，则A点坐标为（x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)．梳理空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量,记作e1,e2,e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2,e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y,z｝,使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝（x,y,z）（1）空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×）(2)若{a，b，c｝为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．（√)（3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．（√）（4）任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×）类型一基底的判断例1 (1）下列能使向量错误!，错误!，错误!成为空间的一个基底的关系式是（)A。
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案(新部编)4
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》导学案4【学习目标】1.能准确说出空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 能够将空间向量用坐标表示出来。
【学习重点】1. 能准确说出空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 能够将空间向量用坐标表示出来。
【考纲要求】了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
【学习过程】（一）独学1）空间向量的正交分解：空间的任意向量a r，均可分解为不共面的三个向量11a λu u r 、22a λu u r 、33a λu u r，使112233a a a a λλλ=++r u u r u u r u u r . 如果123,,a a a u u r u u r u u r 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.2）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r，对空间任一向量p u r ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++u r r r r .叫做空间的一个基底， 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.3）什么是单位正交基底？通常用什么表示？4）空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++r r r r，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p =u r.练习：（A ）1. 设23a i j k =-+r r r r ，则向量a r的坐标为 .（B ）2. 若{}a,,b c u r u r r为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-r r r r rB.,,b a b a b +-r r r r r C. ,,c a b a b +-r r r r rD. 2,,a b a b a b ++-r r r r r r（B ）3. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA u u u ur u u u r u u u r 为x轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，试画出图形并求出点1D ，'AC 的坐标。
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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
【学习目标】
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；
【重点难点】
空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示
【学习过程】
一、自主预习（预习教材P92-96找出疑惑之处）
复习1：平面向量基本定理：
对平面上的任意一个向量P，,a b是平面上两个向量，总是存在实数对(),x y，使得向量P可以用,a b来表示，表达式为，其中,a b叫做 . 若a b
⊥，则称向量P正交分解.
复习2：平面向量的坐标表示：
平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量,i j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a xi y j
=+，，则称有序对(),x y为向量a 的，即a＝ .
二、合作探究归纳展示
探究任务一：空间向量的正交分解
问题：对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？
三、讨论交流点拨提升
新知：
空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向
量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量. 反思：空间任意一个向量的基底有 个. ⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k ｝表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = . ⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则
⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；
⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；
⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；
⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.
试试：
1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .
2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .
3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b
四、学能展示 课堂闯关
例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =-构成空间的另一个基底？
变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？
小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.
例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC
表示OP 和OQ .
变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G 是侧面
''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c ==，试用向量,,a b c 表示下列向量:
⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .
※ 动手试试
练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求：
⑴()a b c ∙+； ⑵68a b c +-.。