矩阵理论
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵理论-第二章内积空间
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵理论
矩阵理论通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。
一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。
本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。
一 线性方程组对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。
由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。
对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。
所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。
判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。
但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。
对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系：23(1)(log )()(log )()()(2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<<LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。
LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。
这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。
但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。
但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。
矩阵理论第五章
记作
lim
k
Ak
A
或者
Ak A (k ) .
不收敛的矩阵序列称为是发散的.
例 3 设有二阶矩阵序列
1 1 2 1
k 1
2
2 , 3
4 , …… , k 1
2k
, ……
1 3 1 4
1 k 1
3 2 9 3
3k k
易知该矩阵序列的极限为 10 01 .
性质 1
若 lim k
设 A1, A2 ,, Ak , 为一个矩阵序列,
其中
Ak
的元素
a (k) ij
为自然数的函数.
定义 2 设有矩阵序列 {Ak } ,其中 Ak (aij(k) ) Rmn ,
如果当 k
时,有
a (k) ij
aij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称{Ak }收敛,并称矩阵 A 为{Ak } 的极限,或者说 {Ak } 收敛于 A,
定理 2 设 A C nn , ( A) 为 A 的谱半径,则对任意
给定的正数 ,总存在矩阵 A 的某种范数 ,使得
A (A) .
定理 3 设有矩阵序列 {Ak } : A, A2 ,, Ak ,
则 lim Ak 0 的充要条件是 k
其中 ( A)为 A 的谱半径.
( A) 1
是 Rn 的向量范数.
证明 (1) 非负性显然. (2) 齐次性
对 k R, x ( x1, x2 ,, xn )T R n ，则
n
k x p
(kx1, kx2 ,, kxn )
p
(
k xi )p 1/ p
i 1
n
k (
量子力学中的矩阵理论
量子力学中的矩阵理论量子力学是研究微观物体行为的重要分支，而量子力学中的矩阵理论则是支撑这一学科发展的关键工具之一。
在量子力学中，微观粒子的性质和行为往往无法用经典物理学的概念来解释，而矩阵理论则为我们提供了一种有效的数学框架，帮助我们理解和描述这些微观粒子的奇妙世界。
量子力学中的矩阵表示方法最早由狄拉克（Dirac）提出，经过多年的发展和完善，已经成为解决量子力学问题的一种重要数学工具。
矩阵在量子力学中的应用可以追溯到海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学，而这些理论的成功也为矩阵理论在量子力学中的应用奠定了基础。
矩阵理论在量子力学中的应用之一是描述微观粒子的态矢量。
在经典物理学中，我们用向量来描述物体的物理状态，而在量子力学中，我们则使用态矢量。
态矢量是一个复数向量，表示粒子在某个状态下的量子机会。
而这些态矢量可以通过矩阵来表示。
例如，一个二维复数向量可以用一个二阶矩阵来表示，而三维的情况则需要使用更高维度的矩阵。
通过矩阵表示态矢量，我们可以方便地进行各种计算和推导。
这是因为矩阵在数学上有着丰富的属性和运算法则。
我们可以对矩阵进行求和、乘法、转置等操作，而这些操作在量子力学中具有重要的物理意义。
例如，我们可以通过计算两个矩阵的乘积，得到两个量子态叠加的结果。
这种用矩阵来表示量子态的方法，为我们研究量子系统的演化、相互作用等提供了便利。
除了描述态矢量，矩阵理论在量子力学中还有其他重要的应用。
其中之一是描述量子力学中的算符。
在量子力学中，算符是一种可以作用在量子态上的数学操作。
通过矩阵理论，我们可以将算符表示成矩阵的形式，从而可以方便地进行计算。
例如，我们可以通过对应的矩阵乘以态矢量，得到算符作用后的结果。
这种矩阵表示方法可以帮助我们理解和计算各种物理量的平均值、期望值等。
此外，矩阵理论还为我们提供了描述量子力学中的对易关系的工具。
在量子力学中，对易关系是描述两个物理量之间的量子态的关系。
通过矩阵理论，我们可以将对易关系表示成矩阵的形式，从而可以用矩阵的性质进行分析和计算。
矩阵理论简介
矩阵理论简介在数学中，矩阵是一个重要的概念。
它是一个由数值排列成的长方形的数组，被广泛应用于线性代数、组合数学、物理和工程学等领域。
矩阵可以用来表示一组线性方程的系数矩阵、旋转矩阵、变换矩阵、图像处理等。
矩阵的定义和表示矩阵是一个长方形的数组，可以用一个大写字母表示，如 A。
矩阵中的每个元素可以用 A(i,j) 表示，其中 i 表示行数，j 表示列数。
例如，一个二阶矩阵可以表示为：$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$$其中，$a_{11}$ 表示矩阵的第一行第一列的元素，$a_{12}$ 表示矩阵的第一行第二列的元素，以此类推。
矩阵的运算矩阵可以进行加、减、乘等运算。
计算两个矩阵的和时，需要将它们对应位置的元素相加，例如：$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$$矩阵的乘法是比较重要的运算。
两个矩阵的乘积可以表示为：$$C = AB$$其中，矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数。
例如，一个 2x3 的矩阵 A 和一个 3x2 的矩阵 B 的乘积可以表示为：$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$$矩阵的转置一个矩阵的转置是将它的行和列互换得到的新矩阵。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵理论
矩阵函数
我们知道，在复变函数论中，复变量幂级数：
zm ∑ m =0 m!
∞
R = +∞ = ˆ ez
m =0
∑ (−1) m−1
∞
∞
z 2 m −1 (2m − 1)! z 2m (2m)!
R = +∞ = ˆ sin z
1 + ∑ cos z
都在整个复平面上收敛，因而都有确定的和（如上） 。由上节 Th3.及 推论知 ∀A ∈ C n×n ，则方阵幂级数：
矩阵（矩阵函数） f ( A) ——是本节课所要解决的问题。 Th1.对 ∀Z ∈ C n×n ， 若 ∑ cm Z m 收敛，其和记为 f ( Z ) ， 即： f ( Z ) = ∑ c m Z m
m=0 m =0 ∞ ∞
则当 Z = diag ( Z1 , Z 2 ,", Z t ) 时，有 f ( Z ) = diag ( f ( Z 1 ), f ( Z 2 )," , f ( Z t )) Proof: f ( Z ) = f (diag ( Z 1 , Z 2 ," , Z t )) = lim ∑ c m (diag ( Z 1 , Z 2 ," , Z t )) m N →∞
1 ⎞ ⎛ ⎜1 ⎟ − 2 − 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ 1⎛ 2 −1 ⎟ 令P =⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟=⎜ ⎜ 0 − 2⎟ ⎟ ，则 P 可逆，且 P = − 2 ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜0 − ⎟ 2⎠ ⎝
则 A = P⎜ ⎜
⎛ 0 0 ⎞ −1 ⎟ ⎟P ⎝ 0 − 2⎠
即 PAP −1 = ⎜ ⎜
m =0 ∞
∞
( z < R)
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由基1， 2， 3， 4到1， 2， 3， 4的过渡矩阵为 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
设 =(x1,x2 ,x3 ,x4 )T 在1，2，3，4下的坐标为y1,y2 ,y3 ,y4 ,则
x1 y1 x2 y2 , =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 y3 x4 y4
i 1 m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi , 则
i 1
m
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无 限维空间，记dim V= ∞.
k1 +k2 +k3 +k4 =1 k +k -k -k =2 5 1 1 1 1 2 3 4 于是有 解之得k1 = ,k2 = ,k3 =- ,k4 =- . 4 4 4 4 k1 -k2 +k3 -k4 =1 k1 -k2 -k3 +k4 =1
1 2 1 1 1 1 练习 : 在R 中求向量A= 在基 ， 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ， 下的坐标. 0 1 1 1
其中1, 2 ,3 , 4为R 4中的标准基.
x1 2 x2 1 即 =(1 , 2 , 3 , 4 ) =(1 , 2 , 3 , 4 ) x3 0 x4 1
0 -2 1 y1 1 1 3 y2 , 2 1 1 y3 2 2 2 y4
22
答案是： (1,1,0,-1)T
三、基变换与坐标变换
设x1 ,, xn及y1 ,, yn是空间V的两个基，令
a1i yi a1i x1 ani xn ( x1 , xn ) , i 1, , n a ni
引入矩阵表示：(y1 , yn )=(x1 , xn )A,其中A=(aij )nn , 称A为由基x1 , xn到基y1 , yn的过渡矩阵(变换矩阵). 显然A可逆，且由基y1 , yn到基x1 , xn的过渡矩阵为A -1.
基础解系可以取 1 =(-4,-3,2,0)T 2 =(-1,-2,0,1)T 1 =(-4,-3,2,0)T 或 . T 2 =(-6,-7,2,2)
例 : 在R 4中求向量 =(1,2,1,1)T 在基 1 1 1 1 1 1 -1 ， = ， = ， = -1 下的坐标. 1 = 2 3 4 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
1 0 -1 2 A= 1 2 2 -2
2 1 1 1 3 0 1 3 0 1 -2 0
0 2 1 1 3/2 2 0 0 0 0 0 0
x1 =-2 x3 -x4 因此Ax =0的解为 ,其中x3 ,x4为自由变量. 3 x2 =- 2 x3 -2x4
例 : 在R 4中，求由基1， 2， 3， 4到1， 2，3， 4的过渡矩阵， 1 =(1,2,-1,0)T T 2 =(1,-1,1,1) 其中： 3 =(-1,2,1,1)T 4 =(-1,-1,0,1)T 1 =(2,1,0,1)T T 2 =(0,1,2,2) 3 =(-2,1,1,2)T 4 =(1,3,1,2)T
-1
4 x1 -6 x2 -8 x3 +11x4 1 2 x1 -3x2 +9 x3 -x4 = 13 -3 x1 -2 x2 -7 x3 +8 x4 - x1 +8 x2 +2 x3 -6 x4
2 1 注：实际上即 0 1
0 -2 1 1 1 3 是标准基(1 , 2 , 3 , 4 )到 2 1 1 2 2 2 (1 , 2 ,3 , 4 )的过渡矩阵. 第二问也可用前面讲的公式.
无限维空间很多，如
K={ ai i | ai Q, n N}, （ 为圆周率）
i 0 n
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1 ,, xr V ,若满足
1) x1 , , xr 线性无关, 2)V中任一x均可由x1 , , xr 线性表示. 则称x1 , , xr为V的一个基底（基） .
当F =R时，称V是实线性空间，当F=C时，称V是复线 性空间. 例如1：几何空间，令
V {x | x ( x1, x2 ,, xn )T , xi R, i 1, 2,, n}.
2：设V为C上的所有m×n 矩阵构成的集合，即
V {(aij )mn | aij C}, 在矩阵加法和数乘矩阵运
1) (u v) u v, 数乘对加法分配律; 2)( + )u =u u, 数乘对数的加法分配律; 3) ( u )=( )u, 数乘的结合律; 4) u =u. 1 其中， F，u, v V , 此时，称V是数域F上的
线性空间或者向量空间(V中元素称为向量， F中元素称为标量).
推论2 V中任意一个元素y, 均可由V的一个基底 x1, … , xn唯一表出.
坐标：
设 dim V=n, x1 , , xn为一组基，y V , 令y= ai xi ,称
i 1
r
有序数组(a1 , , an )T 为y在基x1 , , xn下的坐标，它由 y与基x1 , , xn唯一确定.
解 : 设 =(1,2,1,1)T 在基1， 2， 3， 4下的坐标是 k1，k2，k3，k4 ,故
=k11 +k22 +k33 +k44
即 1 1 1 1 1 k1 +k2 +k3 +k4 k +k -k -k 2 1 1 -1 =k +k -1 = 1 2 3 4 +k3 +k4 1 2 1 1 -1 1 -1 k1 -k2 +k3 -k4 1 1 -1 -1 1 k1 -k2 -k3 +k4
矩阵理论
张继龙 jlzhang@
教科书: 《矩阵论教程》 张绍飞等机械工业出版社 参考书: 《矩阵分析》史荣昌等，北理工出版社 《矩阵论》 戴华 ，科学出版社
第一章 线性代数引论
线性空间
Jordan标准型
第一节
一、定义
线性空间
设V是一个非空集合，若V中有一种规则，称之为 加法运算“+”,使得任取u,v V,都有V中唯一的元 与之对应，称为u与v的和，记为u+v,且这种加法满 足以下性质：
例如Pn(x)={ ai xi | ai R}为n+1维空间，1，x, ,xn可作为
i 0 n
它的基.
1 0ห้องสมุดไป่ตู้ -1 2 例 :已知A= 1 2 2 -2
2 1 1 3 ，试求A的核空间的两组基. 1 3 1 -2
解 : A的核空间就是Ax=0的解空间，所以Ax=0的基础 解系就是核空间的基. 对A做初等行变换得：
1)交换律:u+v=v+u, 2)结合律:(u+v)+w = u+(v+w); 3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u +(-u)= .
此时称V在加法运算下构成一个加群，记为（V,+）
例如 1. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)在加法运算下; 2. (Q\{0}, · , (R\{0}, · , (C\{0}, · ) ) )在乘法运算 下都构成加群.
显然，如果则x1,, xr为V的一个基底，则
V={i xi |i F}=span(x1 ,, xr ).
i 1 r
定理1
设dim V<+∞, 则
dimV n V的任一基底的元素个数为n.
推论1 n维线性空间中任意n个线性无关的向量均 为V的一个基底，且任一线性无关组 x1, … , xr, 可扩充为一组基.
.
由唯一性知
1 n 1 1 1 A 或者 n n 1 =A n .
任取x V,设x = i xi i yi ,故
i 1 i 1
n
n
1 x ( x1 , xn ) n 1 ( y1 , yn ) n
1 1 ( y1 , yn ) A n
y1 2 y2 = 1 于是 y3 0 y4 1
0 -2 1 x1 4 -6 -8 11 x1 1 1 3 x2 1 2 -3 9 -1 x2 = x3 13 -3 -2 -7 8 x3 2 1 1 2 2 2 x4 -1 8 2 -6 x4
算下，V构成C上的线性空间(m×n 阶复矩阵空 间)，记为Cm×n. 类似的可定义Rm×n .
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F , 使得 x =c1 x1 c2 x2 cm xm , 则称 x为 x1 , , xm的线性 组合,或者说x可由 x1 , , xm线性表示.如果存在一组不 全为零的数k1 , , km , 使得 ki xi , 则称向量组x1 , ,