上海交大研究生矩阵理论答案

n

k r

n

n

1

2

习题 一

1．（ 1）因

cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x =

cosx

cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x

，故由归纳法知

cosnx sin nx A

。

sin nx cosnx

（ 2）直接计算得

A

4

E ，故设 n

4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A

n

A 4 k A

r

( 1) A ， 即

只需算出 A 2, A 3

即可。

0 1 0 1

（ 3 ）记 J=

，则

，

1 0

n

1 n 1

2 n 2

n

a C n a

C n a C n

a

n

C 1 a n 1

C n 1a

A

n

(aE J )

n

n

C i a i J

n i

i 0

n n a

n 。

C 1a n 1 a

n

2. 设 A

P

1

a

2

P 1(a 1,0),则由A 2

E 得

a 1时,

1

1

1

1

0 1

2 1

2 1 0

2

不可能。

1

而由 a

1

0时,

2 1

知

1 所以所求矩阵为 PB P 1 ，

其中 P 为任意满秩矩阵，而

i

i

2

2

2

1 0 1 0 1 0 B 1

, B 2

, B 3

。

0 1

0 1

1

注： A

2

E 无实解， A

n

E 的讨论雷同。

3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意

n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2

个未知数时线

性方程 AX

XA=0 有 n 2

个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，

1

*

1

a w

通过直接检验即发现 A 为纯量矩阵。 a n

a n 1 a 1 0

4. 分别对（ A B ）和

A 作行（列）初等变换即可。

C

5. 先证 A 或 B 是初等到阵时

有

AB

*

B *

A *

，从而当 A 或 B 为可逆阵时有

AB

*

B * A *

。

考虑到初等变换 A 对 B 的 n

1阶子行列式的影响及 A A 即可得前面提到的结果。

E r 0 下设 PAQ

，（这里 P ， Q 满秩），则由前讨论只需证下式成立即可：

0 0

*

*

E r 0 *

E r 0 B B

，

0 0

0 0

（ 1） r

B n1

*

E r 0 0 0 *

*

E r 0 0

B n2

（ 2） r=n-1 时，

0 0

， B

，但

0 1

0 0

E r 0

b 11b 12

b 21b 22

b 1 n

b 2n

b 11b 12

b 21b 22

b 1n b 2n ，故

0 B nn

0 0

b n1b n2

b nn

0 0

E r 0 B n1 *

B n 2

*

*

E r 0 B

B

。

0 0

0 0

0 B nn

6. 由 r ( A)

r ( A )及 AX

( AX ) AX

0 ，即 AX 0 与 A AX

0 同解，此即所

求证。

7. 设其逆为

a ij ，则当 I 固定时由可逆阵的定义得 n 个方程

a

a w

j 1 a w j 1 a w

j 1 ， j

1,2, n ，

i 1

i 2

i 3 in ij

其中

ij 为 Kronecker 符号。对这里的第

l 个方程乘以 w

j 1 n l

然后全加起来得

nw

j

1 n 1

ij

j 1 n i

，即得 a ij

1 w j 1

n

n 1 i

。

注：同一方程式的全部本原根之和为

0，且 w m

也是本原根 （可能其满足的方程次数小于

n ）。

1

2

n 1