人教版B版高中数学选修1-1(B版)导数的实际应用
合集下载
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计 (2)
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计一、教学目标1.掌握导数的基本概念和定义；2.了解导数的实际应用；3.学习计算函数在某一点的导数；4.能够运用导数计算实际问题。
二、教学重难点1.导数的实际应用；2.运用导数计算实际问题。
三、教学过程3.1 活动设计活动1：探究导数的实际应用1.学生组成小组，每组3人，每组分配一道题目。
2.题目如下：某物体的运动轨迹为 $y=3x^2-2x+5$，求运动轨迹在 $x=2$ 处的速度。
3.学生讨论并写出解题思路。
活动2：导数的计算1.学生在小组内，互相审核对方的作业。
2.再进行白板上讲解和梳理思路。
3.学生需要运用导数的基本公式和定义，计算出答案。
活动3：实际应用题的解决1.学生再次组成小组，每组3人，每组分配一道题目。
2.题目如下：某公司的年营业额可以用 $y=2x^3+3x^2+5x+10$（万元）表示，求当年销售达到最大值时的销售额和销售额的增长率。
3.学生讨论并写出解题思路。
活动4：导数的计算1.学生在小组内，互相审核对方的作业。
2.再进行白板上讲解和梳理思路。
3.学生需要运用导数的基本公式和定义，计算出答案。
3.2 内容讲解3.2.1 导数的定义1.引入导数的概念。
2.解释导数的几何意义。
3.讲解导数的定义及其计算方法。
3.2.2 导数的基本公式1.推导导数的基本公式。
2.讲解如何使用基本公式计算导数。
3.2.3 导数的实际应用1.归纳和总结导数的实际应用。
2.举例说明如何运用导数计算实际问题。
3.3 总结归纳1.回顾导数的定义和基本公式。
2.总结导数的实际应用。
3.小结本节课的内容。
四、教学评估1.向学生提供测验，检验学生对导数的理解程度。
2.评估学生在实际应用题的解决能力。
3.每个小组从小组成员中选出一人进行汇报，检验学生的口头表达能力。
五、教学资源1.铅笔、橡皮和计算器。
2.白板、黑板或者电子白板。
3.与导数相关的教学视频及素材。
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.5知识点总结含同步练习题及答案
x2 ) L/h ，司 360
130 130 x2 h ，耗油量为 ⋅ (2 + ) L ，耗油费用为 x x 360 130 130 x2 元． 2⋅ ⋅ (2 + ) 元，司机的工资为 14 ⋅ x 360 x
解：汽车行驶的时间为 故这次行车的总费用为
y =2⋅
所以
130 130 x 18 x2 ⋅ (2 + ) + 14 ⋅ = 130( + )元， x 360 x 180 x 1 18 − ). 180 x2
8 x − (0 < x < 4√2 )， x 4
3 16 √2 x = ( + √2 )x + ． 2 2 x 3 16 L ′ = + √2 − 2 Байду номын сангаас 2 x L = 2x + 2y + 2 ⋅
令 L ′ = 0 ，即
3 16 + √2 − = 0, 2 x2
解得
x1 = 8 − 4√2 ，x2 = 4√2 − 8（舍去），
（1）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出定义域； （2）求面积 S 的最大值．
解：（1）依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O − xy（如图），
则点 C 的横坐标为 x ．点 C 的纵坐标 y 满足方程
解得 y = 2√r2 − x 2 (0 < x < r) ．
− − − − − −
高中数学选修1-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章导数及其应用 2.5 利用导数处理生活中的优化问题（补充）
一、学习任务 能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题 中的作用． 二、知识清单
人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用课程设计 (2)
人教版高中选修(B版)1-13.3.3 导数的实际应用课程设计一、课程设计背景高中数学是学生学习的重点科目之一，而导数是高中数学中的一个重要概念，在几何、物理以及工程学科中有着广泛的应用。
本课程设计旨在帮助学生更好地掌握导数的实际应用，提高学生的应用能力，增强学生的学科实践意识。
二、教学目标1.了解导数在几何、物理、工程等领域中的应用。
2.学会运用导数求解实际问题。
3.培养学生的应用能力和创新意识。
三、教学内容及步骤3.1 教学内容1.导数在几何中的应用2.导数在物理中的应用3.导数在工程中的应用3.2 教学步骤Step 1 导入通过图片或演示文稿引入导数的概念，提醒学生导数在几何、物理、工程等领域中的广泛应用，让学生能够体验到导数在实际应用中的重要性。
Step 2 导数在几何中的应用1.通过几何例题，引导学生体会导数在几何中的应用。
2.让学生在几何情境中对导数进行解释，让学生尝试使用导数来解决几何问题。
3.给学生提供几个几何问题，让他们自己来计算解决。
Step3 导数在物理中的应用1.带领学生观察物理现象，引导学生发现其中涉及到导数的概念。
2.通过物理例题，引导学生了解导数在物理中的应用。
3.让学生在物理情境中对导数进行解释，让学生尝试使用导数来解决物理问题。
4.给学生提供一些物理问题，让他们自己来计算解决。
Step4 导数在工程中的应用1.通过具体的工程案例，引导学生认识导数在工程中的应用。
2.让学生尝试着利用导数来解决工程问题。
3.让学生在工程情境中对导数进行解释，运用导数来解决实际问题。
4.给学生提供一些工程问题，让他们自己来计算解决。
Step 5 总结1.通过学生的解题情况，引导学生总结导数在实际应用中的重要性。
2.侧重点是让学生掌握导数在解决实际问题中的应用。
四、教学方法1.以实物观察的方式引入知识点，让学生自己体验导数在实际中的应用。
2.通过提供经典的例题，引导学生认识到导数在几何、物理、工程中的应用情况。
人教B版高中数学选修1-1课件 3.3.3导数的实际应用课件1
令 f '( x) k(d 2 3x2 ) 0.
解方程d2-3x2=0，得两个根x
3 d, 3
其中负根没有意
义，舍去，所以在区间(0，d)只有一个极大值点x 3 d .
3
所以f(x)在x
3d 3
时取最大值.这时
h d2 x2 6 d. 3
即当宽为 3 d ，高为 6 d 时，横梁的强度最大.
6
例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成
正比.要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的
宽度和高度应是多少？
解：如图所示，设断面宽为x，高为h，则
h2 d 2 x2 .
横梁的强度函数为 f ( x) kxh2 ,
所以 f ( x) kx(d 2 x2 )(0 x d ).
当r (0,2)时, f (r) 0;当r (2,6)时, f (r) 0
从图中，你 还能看出什
么吗？
y
f
(r)
0.8
r3 (
r2)
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0， 2、当半径为6cm时，利润最大.
优化问题
优化问题 的答案
用函数表示的 数学问题
用导数解决 数学问题
从而|AB|= 4x-x2，
|BC|=2(2-x).
x
故矩形ABCD的面积为:
S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令 SS(x()x) 0，0 得x1x1 2 22 23333, x, 2x22 22 23333. .
人教B版高中数学选修(1-1)-3.3《导数的实际应用》教学课件1
r 2
V
(3 V 2
)2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
S( x) 6x2
24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3,x2Fra bibliotek2 2 3. 3
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
23 3
时,S( x)max
32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3 .
2
9
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.
2.与数学中其它分支的结合与应用.
例1: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
2
3
f( ) 3
V
(3 V 2
)2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
S( x) 6x2
24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3,x2Fra bibliotek2 2 3. 3
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
23 3
时,S( x)max
32 9
3
.
,0) 时,矩形的最大面积是
32
3 .
2
9
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.
2.与数学中其它分支的结合与应用.
例1: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
2
3
f( ) 3
2020版高中数学人教B版选修1-1课件：3.3.3 导数的实际应用 (2)
已知矩形的两个顶点位于 x 轴上，另两个顶点位于抛物 线 y＝4－x2 在 x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的 长和宽． 解：如图所示，设出 AD 的长，进而求出 AB，表示出面积 S， 然后利用导数求最值．
设 AD＝2x(0<x<2)，则 A(x,0)， AB＝y＝4－x2， ∴矩形面积为 S＝2x(4－x2)(0<x<2)， 即 S＝8x－2x3， S′＝8－6x2，令 S′＝0， 解得 x1＝ 23，x2＝－ 23(舍去)．
所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小．
当
bab≤c 时，行驶速度 v＝
bab；当
ab b >c
时，行驶速度
v＝c.
一、选择题
1．某公司生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产 一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 与年产量 x 的关
系是 R(x)＝400x－12x2 0≤x≤400 ，则总利润最大时，每 80000 x>400
[解析] 设一边长为 x，则另一边长为12(l－2x)，其面积 S
＝12x(l－2x) (0<x<2l )，
由 S′＝12l－2x＝0 得 x＝4l ，此时 S＝1l26.
[答案] 16m 8m
[例 4] 甲、乙两地相距 skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过 ckm/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位) 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(km/h)的平方成 正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元．
(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数，并指 出这个函数的定义域；
，令 P′＝0，当 0≤x≤400
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为
6πS 3π .
[例 2] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24200 －15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x(元)．问该厂 生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
[例4] 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输 成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分 与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)，固定 部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数， 并指出这个函数的定义域；
当
a b>c
时，行驶速度
v＝c.
巩固练习
1．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极 小值0，且函数过原点，则此函数是
A．y＝x3＋6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x
() B．y＝x3－6x2＋9x D．y＝x3＋6x2－9x
[答案] B
2．函数 f(x)＝x3－3bx＋3b 在(0,1)内有极小值，则
导数的实际应用
温故知新
解决实际应用问题时，要把问题中所涉 及的几个变量转化成函数关系式，这需要通 过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最 值要由 极值 和 端点的函数值 确定，当定 义域是 开区间 且函数只有一个 极值 时， 这个 极值 也就是它的 最值 ．
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相 等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方 底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大 值就是V(x)的最大值．
答：当箱子的高为 10cm，底面边长为 40cm时，箱子的体积最大．
[说明] 在解决实际应用问题时，如果 函数在区间内只有一个极值点，那么只需根 据实际意义判定是最大值还是最小值．不必 再与端点的函数值进行比较．
已知圆柱的表面积为定值S，求Biblioteka 圆柱的 容积V最大时圆柱的高h的值．
故每月生产 200 吨产品时，利润达到最大，最大利 润为 315 万元.
[例3] 若要做一个容积为324的方底(底 为正方形)无盖的水箱，则它的高为多少时， 材料最省？
[解析] 设水箱的高为 h，底面边长为 a， 那么 V＝a2h＝324， 则 h＝3a224，水箱所用材料的面积是 S＝a2＋4ah＝a2＋ 12a96，令 S′＝2a－12a926＝0，得 a3＝648，a＝63 3， 所以 h＝3a224＝(633243)2＝33 3， 经检验当水箱的高为 33 3时，材料最省．
A．0<b<1 B．b<1
()
C．b>0
D．b<12
[答案] A
3．在区间(0，＋∞)内，函数y＝ex－x是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
[答案] A
[解析] y′＝ex－1，∵x>0，∴ex>1，∴ex－1>0，
即y′>0，对x∈(0，＋∞)时恒成立，
∴函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．
[解析] 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 S ＝ 圆柱底 2πr2，S 圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh. ∴h＝S－2π2rπr2， 又圆柱的体积 V＝πr2h＝2r(S－2πr2)＝rS－22πr3， V′＝S－26πr2，
令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行 驶？
[误解] (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间 为vs，
全程运输成本为 y＝a·vs＋bv2·vs＝s(av＋bv)， 所以函数及其定义域为 y＝s(av＋bv)，v∈(0，c]． (2)由题意知 s，a，b，v 均为正数， 令 y′＝s(b－va2)＝0，得 v＝ ab，但 0<v≤c， 所以当 v＝ ab时，全程运输成本 y 最小．
[解析] 依题意，每月生产 x 吨时的利润为
f(x)
＝
(24200
－
1 5
x2)x
－
(50000
＋
200x)
＝
－
1 5
x3
＋
24000x－50000(x≥0)．
由 f′(x)＝－35x2＋24000，令 f′(x)＝0，解得 x1＝200，
x2＝－200(舍去)．
因为 f(x)在[0，＋∞)内有意义，则有且只有当 x＝ 200 时 f′(x)是最大值点，最大值为 f(200)＝－15×2003 ＋24000×200－50000＝3150000.
4．面积为S的一切矩形中，其周长最小 的是________．
[答案] 以 S为边长的正方形
5．函数f(x)＝x2(2－x)的单调递减区间是 ________．
[答案] (－∞，0)和43，＋∞
[辨析] 第(2)问中 得出结论．
ab与 c 未进行比较大小而直接
[正解] (1)同错解．
(2)①若 最小，
ab≤c，则当 v＝
ab时，全程运输成本 y
②若 ab>c，则 v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0， c]上为减函数，所以当 v＝c 时，y 最小．综上可知，为使
全程运输成本最小，则当 ab≤c 时，行驶速度 v＝ ab；
[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则 得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<30时，V′(x)<0.