数学---黑龙江哈尔滨市第三中学2017届高三上学期期末考试(文)

黑龙江哈尔滨市第三中学2017届高三上学期期末考试（文）一、选择题（单选，每题5分，共60分） 1、设集合{}216xy x A -==，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=0log 2log |22xxx B ，则A B = ( )A []4,1B [)4,1C []2,1D (]2,1 2、复数iiz -=22所对应的点位于复平面内（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的1212,(,0)()x x x x ∈-∞≠，都有1212()()0f x f x x x -<-.则下列结论正确的是( )A )5(log )2()3.0(23.02f f f << B )3.0()2()5(log 23.02f f f <<C )2()3.0()5(log 3.022f f f << D )2()5(log )3.0(3.022f f f <<4、设等比数列}{n a 的公比21=q ，前n 项和为n S ，则=33a S ( ) A 5 B 7 C 8 D 155、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若4=AF ，则AOF ∆的面积为（ ）A23B334 C 3 D 326、设命题:p 函数xy 1=在定义域上为减函数；命题:q ,当时,，以下说法正确的是（ ） A p ∨q 为真 B p ∧q 为真 C p 真q 假D p ，q 均假7、已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A )1,0[B )1,(-∞C ),1(]0,(+∞⋃-∞D ),2(]1,(+∞⋃-∞ 8、下列四个命题：24y x =F ,A B O ,(0,)a b ∃∈+∞1a b +=113a b+=①样本相关系数r 越大，线性相关关系越强；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，若n m ,=⋂βα∥m ，且βα⊄⊄n n ,， 则n ∥α且n ∥β；④若直线m 不垂直于平面α，则直线m 不可能垂直于平面α内的无数条直线。

其中正确命题的序号为（ ）A ①②③B ①③C ①②④D ③9、右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间内则输入的实数x 的取值范围是( )A (],1-∞-B 1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 1(,1],24⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦D 1(,0),24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦10、已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,B ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C ()1,0 D ()+∞,011、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为)0,(2c F ，设A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，22,BF AF 的中点分别为M 、N ，已知以MN 为直径的圆经过原点，且直线AB 的斜率为773，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 22 C 3 D 512、如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中真命题的个数是（ ） ① 存在点E ，使得11AC //平面1BED F ② 存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ③ 对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ④ 对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个二、填空题（每题5分，共20分）13、若b a ,均为非零向量，且()()b a b a b a ⊥-⊥-2,2，则b a ,的夹角为____. 14、某三棱锥的三视图如上右图所示，该三棱锥的体积是 . 15、若点在直线上，则的值等于 . 16、有下列命题：①在函数的图象中，相邻两个对称中心的距离为；②命题：“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a =，则0ab ≠”； ③“且”是“”的必要不充分条件； ④已知命题p ：对任意的R ，都有，则是：存在R x ∈0，使得1sin 0>x ；⑤命题“若101,log (1)log (1)a a a a a<<+>+则”是真命题； ⑥在△ABC 中，若，，则角C 等于或．其中所有真命题的序号是___________.三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分） 17、已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且),(2)1(*N n a a S n n n ∈+= （1）求证数列{}n a 是等差数列； （2）设,,121n n nn b b b T S b +⋅⋅⋅++==求.n T)sin ,(cos ααP x y 2-=)232cos(πα+18、某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.19、如图，在多面体PABCD 中，ABC ∆是边长为2的正三角形，BD=DC=3,AD=5,PA ⊥平面ABC.（1）求证：PA ∥平面BCD ； （2）求三棱锥D-BCP 的体积.20、已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 与圆251:22=+y x O 相切，证明：MON ∠为定值.21、已知函数e x xem mx x f (ln 21)(-+--=为自然对数的底数），R m ∈。

（1）当0=m 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；（2）已知函数1()ln sin g x x x =+⋅θ在[)+∞,1上为增函数，且()πθ,0∈，若在[]e ,1上至少存在一个实数0x ，使得)()(00x g x f >成立，求m 的取值范围.（选修题部分，请写清题号）22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，求证：（1）DFA DEA ∠=∠；（2）AB 2=BE•BD -AE•AC.23、(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (225225⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=为参数），若以O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=.（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的21，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.24、(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲（1）已知a x x <-+-34，若关于x 不等式的解集为空集，求a 的取值范围；（2） 已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求证：31222≥++c b a .参考答案一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBABCDCDCBAD二、填空1314 1516 3π 454-④⑤三、解答题：17、（1）当1=n 时， 11=a ； 2分当2≥n 时，2)1()1(111+-+=-=---n n n n n n n a a a a S S a ，())1(11--+∴--n n n n a a a a =0101=-∴>-n n n a a a ……5分{}n a ∴是以1为首项，1为公差的等差数列。

……6分 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∴+=∴=1112,2)1(,n n b n n S n a n n n …..10分 11111122(1)2(1)223111n nT n n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅⋅+-=-=+++ 12分 18、解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有110)005.0025.02015.001.0(=+⨯++⨯+x ，可得3.0=x ，所以频率分布直方图为：…… 4分（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分步直方图分成面积相等的两个部分，由频率分步直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，∴中位数是1170107333+⨯= 所以估计本次考试成绩的中位数为3173 …..6分 （3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件M ，第1组学生数：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6）第6组学生数：600.053⨯=人（设为A ，B ，C ） …… 8分 所有基本事件有：12,13,14,15,16,1A,1B,1C,23,24,25,26,2A,2B,2C,34，35，36，3A,3B,3C,45，46，4A,4B,4C,56，5A,5B,5C,6A,6B,6C,AB,AC,BC 共有36种， ….10分 事件M 包括的基本事件有：1A,1B,1C, 2A,2B,2C, 3A,3B,3C ，4A,4B,4C ，5A,5B,5C, 6A,6B,6C 共有18种 所以213618)(==M p 所以所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为21…….12分 19、解：（1）略（2）PA ∥面BCD ，P ∴到面BCD 的距离等于A 点到面BCD 的距离。

BCD A BCD P BCP D V V V ---==∴DE S V V ABC DE ABC ABC D BCD A ∙==∴⊥∆--31,面 343,2463ABC D BCPS DE V ∆-=⨯==∴=20、解：（1）由题意得41,31,212,322==∴==b a b a 116922=+∴y x ….5分 （2）当直线x l ⊥轴时，因为直线与圆相切，所以直线l 方程为51±=x当51:=x l 时，得M 、N 两点坐标分别为⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛51,51,51,51，2,0π=∠∴=∙∴MON ON OM 当51:-=x l 时，同理2π=∠MON ； …….7分 当l 与x 轴不垂直时，设()),(,,,:2211y x N y x M m kx y l +=，由5112=+=k m d 22125k m +=∴联立⎩⎨⎧=++=116922y x m kx y 得()011632169222=-+++m kmx x k因为相交所以：()222122324(916)(161)0,32916kmk m kmx x k ∆=-+->+=-+ 2221169116k m x x +-=…….9分 ()2212122121)(1mx x km x x k y y x x ON OM ++++=+=∙∴=0169125222=+--kk m 2π=∠∴M O N综上，2π=∠MON （定值） …….12分21、解：（1）()+∞∈--=∴=,0,ln 21)(,0x x xex f m ， 212)(x xe xf --='∴ 令0)(='x f 得12-=e x ，当()12,0-∈e x 时，)(,0)(x f x f >'递增； 当()+∞-∈,12e x 时，)(,0)(x f x f <'递减， 所以)(x f 的递增区间为()12,0-e ， 递减区间为()+∞-,12e ，极大值为)12ln(1)12(---=-e e f ，无极小值 ……5分 （2）由已知有0sin 1sin )(2≥∙-∙='x x x g θθ即01sin ≥-∙x θ在[)+∞,1上恒成立，x 1sin ≥∴θ恒成立，1sin 11≥∴≤θx2,1s i n πθθ==∴ …..8分 设x x em mx x g x f x F ln 22)()()(-+-=-=， 当0≤m 时，[]0,1≤-∴∈x m mx e x ，且02ln 2<--xe x ，所以不存在[]e x ,10∈使得)()(00x g xf >成立； ……..10分当0>m 时，[]022,,1,22)(22≥-∴∈++-='x e e x xem x mx x F ，又02>+m mx 0)(>'∴x F 在[]e ,1上恒成立，)(x F ∴在[]e ,1上递增， 4)()(max --==∴em me e F x F 由04>--e m me 得142->e e m ，所以m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,142e e …..12分 22、解：(1)连结AD因为AB 为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF ⊥AB ，∠EFA=90° 则A 、D 、E 、F 四点共圆 …….4分 ∴∠DEA=∠DFA ……5分(2)由(I)知，BD•BE=BA•BF ，又△ABC ∽△AEF ∴……7分即：AB•AF=AE•AC∴ BE•BD -AE•AC =BA•BF -AB•AF =AB(BF -AF) =AB 2 ……..10分 23、解：曲线C 的直角坐标方程为()4222=+-y x ，直线l 的普通方程为052=+-y x ….4分（2）曲线14:221=+y x C …….7分它的参数方程为ϕϕϕ(sin 2cos ⎩⎨⎧==y x 为参数）设1C 上任意一点为（ϕϕsin 2,cos ）到直线l 的距离2)s i n (552γϕ--=d ，()[]1,1sin ,-∈-∴∈γϕϕR ，∴当()1sin =-γϕ时，210min =d ……10分 24、解：（1）1)3()4(34=---≥-+-x x x x （当且仅当()()034≤--x x 时取等）∴当43≤≤x 时，()134min =-+-x x 1≤∴a …..5分（2）()()0)(222≥-+-+-c b c a b a )(2)(2222bc ac ab c b a ++≥++∴AF ACAE AB =≥++∴)(3222c b a 1)(2=++c b a 31222≥++∴c b a ……10分。