集合与函数概念PPT 课件
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高中数学必修1 集合与函数概念 PPT课件 图文
a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
（2）函数的三要素： ， ，
。
（3）区间的概念。
（4）函数的表示法： ， ，
。
（5）两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
（6）映射的定义：设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2
0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑
第一节集合与函数57页PPT
复合函数
的定义
函数 的性质
单值与多值
有界性 反函数 单调性
初等函数
反函数与直接 函数之间关系
奇偶性 周期性
函数概念
定义 设 x和 y是两个变量, D是一个给定的数集. 如果对于每个数 xD, 变量 y按照一定的法则总 有确定的数值和它对应, 则称 y是 x的函数, 记作
yf(x )x , D
因变量
其中, 点a叫做该邻域的中心, 叫做该邻域的半
径.
a,a： 左 邻 域
a,a:右 邻 域
a
a
a x
点 a的去心的邻域, 记为 U(a, ),
即 U (a ,) {x|0 |x a| }.
以 a为中心的任何开区间均是点 a的邻域, 记为U (a).
a
a
a x
函数（Function)
基本初等函数 函 数
单值函数与多值函数
多值函数:
例如,圆的方程 x2y2r2在区间 r,r上不能确定
y是 x的单值函数. 对多值函数, 只要附加一些条件, 就可以化为单值 函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分 支. 如对上例, 在附加条件 y 0 或 y 0 后, 可
得到下面两个单值分支 y r2x2或 y r2x2.
( 3 ) 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例,如 f(x) 2 xx 2 1 1,,
x0 x0
yx2 1
y2x1
几个特殊的分段函数举例
(1) 符号函数
y
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
1
o
x
-1
xsgxn x
(2) 取整函数 y=[x]
必修1第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念.ppt
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8，52.9，50.1，49.9， 48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关 系是否为函数？
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实 例中变量之间的关系都可以怎样描述？
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定： ⒈ 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] ⒉ 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 间，表示为(a，b) ⒊ 满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b] 这里的实数a，b叫做相应区间的端点
x (C)
x
(B) y
x (D)
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
y 1 (x R) 是函数吗？
y x 与 y x2 是同一函数吗？
x
y 2 x 是否为函数？
f(x)=x2 与f(t)=t2是否为同一函数 ?
下列函数中哪个与函数 y x 是同一函数？
{x x＞b} (b , +∞)
。
{x x≥b} [b , +∞)
.
{x x∈R} (－∞,+∞) 数轴上所有的点
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是
R. 值域是 R.
2.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关 系是否为函数？
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实 例中变量之间的关系都可以怎样描述？
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定： ⒈ 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间， 表示为[a，b] ⒉ 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 间，表示为(a，b) ⒊ 满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b] 这里的实数a，b叫做相应区间的端点
x (C)
x
(B) y
x (D)
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
y 1 (x R) 是函数吗？
y x 与 y x2 是同一函数吗？
x
y 2 x 是否为函数？
f(x)=x2 与f(t)=t2是否为同一函数 ?
下列函数中哪个与函数 y x 是同一函数？
{x x＞b} (b , +∞)
。
{x x≥b} [b , +∞)
.
{x x∈R} (－∞,+∞) 数轴上所有的点
必修1-第一章 集合与函数概念>>1.2.1 函数的概念
1. 一次函数y=ax+b(a≠0)定义域是
R. 值域是 R.
2.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的
《集合与函数》课件
《集合与函数》ppt课件
目录
• 集合 • 函数 • 函数的定义域和值域 • 函数的单调性 • 函数的奇偶性
01
集合
集合的基本概念
01
02
03
集合的定义
集合是由确定的、不同的 元素所组成的，这些元素 之间有明确的界限，并且 互不干扰。
元素与集合的关系
一个元素要么属于某个集 合，要么不属于该集合， 不存在部分属于或部分不 属于的情况。
集，记作A⊆B。
02
函数
函数的基本概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它描 述了两个集合之间的对应关系。 对于集合A中的每一个元素，按 照某种规则，总能在集合B中找
到唯一的元素与之对应。
函数的表示方法
函数可以通过解析式、表格、图 像等多种方式来表示。常用的表
示方法有解析式法和图象法。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如函 数的定义域和值域、函数的单调 性、函数的奇偶性等。这些性质 可以帮助我们更好地理解和应用
定义域和值域的求法
直接法
根据函数解析式的要求 ，直接求出函数的定义
域和值域。
图像法
通过观察函数图像的特 点，确定函数的定义域
和值域。
反推法
根据函数值域的要求， 反推出函数的定义域。
代数法
通过代数运算和不等式 求解，求出函数的定义
域和值域。
04
函数的单调性
单调性的定义
递增函数
对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$。
判断函数的性质
通过单调性判断函数的奇 偶性、周期性等。
解决实际问题
单调性在经济学、物理学 等领域有广泛应用，如分 析供求关系、研究物体运 动规律等。
目录
• 集合 • 函数 • 函数的定义域和值域 • 函数的单调性 • 函数的奇偶性
01
集合
集合的基本概念
01
02
03
集合的定义
集合是由确定的、不同的 元素所组成的，这些元素 之间有明确的界限，并且 互不干扰。
元素与集合的关系
一个元素要么属于某个集 合，要么不属于该集合， 不存在部分属于或部分不 属于的情况。
集，记作A⊆B。
02
函数
函数的基本概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它描 述了两个集合之间的对应关系。 对于集合A中的每一个元素，按 照某种规则，总能在集合B中找
到唯一的元素与之对应。
函数的表示方法
函数可以通过解析式、表格、图 像等多种方式来表示。常用的表
示方法有解析式法和图象法。
函数的性质
函数具有一些基本的性质，如函 数的定义域和值域、函数的单调 性、函数的奇偶性等。这些性质 可以帮助我们更好地理解和应用
定义域和值域的求法
直接法
根据函数解析式的要求 ，直接求出函数的定义
域和值域。
图像法
通过观察函数图像的特 点，确定函数的定义域
和值域。
反推法
根据函数值域的要求， 反推出函数的定义域。
代数法
通过代数运算和不等式 求解，求出函数的定义
域和值域。
04
函数的单调性
单调性的定义
递增函数
对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$。
判断函数的性质
通过单调性判断函数的奇 偶性、周期性等。
解决实际问题
单调性在经济学、物理学 等领域有广泛应用，如分 析供求关系、研究物体运 动规律等。
集合与函数PPT课件
性质1 设A,B,C为三个任意集合，则 （1）交换律 A B B A, A B B A; （2）结合律
(A B) C A (B C),(A B) C A (B C); （3）分配律
(A B) C (A C) (B C),
(A B) C (A C) (B C),
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
设A,B是两个集，由属于A或者B的所有元素构 成的集称为A与B的并集，记作A B, 即
A B {x | x A或x B}.
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
ห้องสมุดไป่ตู้
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
则称 (或 ) 是Ａ的上确界 (或下确界).
记 sup A (或 inf A).
(A B) C A (B C),(A B) C A (B C); （3）分配律
(A B) C (A C) (B C),
(A B) C (A C) (B C),
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
设A,B是两个集，由属于A或者B的所有元素构 成的集称为A与B的并集，记作A B, 即
A B {x | x A或x B}.
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
ห้องสมุดไป่ตู้
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
则称 (或 ) 是Ａ的上确界 (或下确界).
记 sup A (或 inf A).
集合与函数PPT课件
其表达式为
o
(,0) t
2
2E t,
U(t)
2E (t
0,
),
t [0, ] 2
t ( ,] 2
t (,)
例2
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
故 D f :[3,1]
五、函数的特性
1．函数的有界性:
如何给出无界 的定义？
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
• 若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个 下界.
01-第1讲集合与函数-PPT课件
x0I, 使得 | f ( x0 ) | > M 成立。
例10 讨论函数函数的有： 界y 性x2。
解 函数的定义 Df域 (为 , ： )。
因 M 0 ， 为 x 0 M 取 1 ( , ) ， 有 |f(x 0 )| (M 1 )2 M 1 M ，
y
。此时，称函数
xx0
f 在点 x0处有定义。
xA时的全体函数 ，值 称的 为集 f函 的 合 数 值 域，记 R(f为 )或f(A)，即
R(f){y| yf(x)，xA}。
2. 函数的表示法
解析法 表格法 图示法
自己看书！
3. 求函数定义域举例
数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。
例7 函数 f(x)|x|与g(x) x2是否相同？ 解 f(x) 与g(x) 的定义域均为实 R, 数域
又 x2|x|, 即f(x)与g(x)的对应关, 系相同 函f数 (x)与 g(x)相同。
5.函数的图形 在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集
{ (x ,y )|y f(x ),x D f}
我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。
否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。
3. 有界集
A≠Ф，若存在M >0, x∈A，均有|x|≤M，则称A为 有界集；
例10 讨论函数函数的有： 界y 性x2。
解 函数的定义 Df域 (为 , ： )。
因 M 0 ， 为 x 0 M 取 1 ( , ) ， 有 |f(x 0 )| (M 1 )2 M 1 M ，
y
。此时，称函数
xx0
f 在点 x0处有定义。
xA时的全体函数 ，值 称的 为集 f函 的 合 数 值 域，记 R(f为 )或f(A)，即
R(f){y| yf(x)，xA}。
2. 函数的表示法
解析法 表格法 图示法
自己看书！
3. 求函数定义域举例
数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。
例7 函数 f(x)|x|与g(x) x2是否相同？ 解 f(x) 与g(x) 的定义域均为实 R, 数域
又 x2|x|, 即f(x)与g(x)的对应关, 系相同 函f数 (x)与 g(x)相同。
5.函数的图形 在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集
{ (x ,y )|y f(x ),x D f}
我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。
否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。
3. 有界集
A≠Ф，若存在M >0, x∈A，均有|x|≤M，则称A为 有界集；
高一数学必修一 第一章综合 教学课件PPT
(3)无序性是指任意改变集合中元素的排列次序，它们仍
然表示同一个集合．
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
2．解读集合表示的三种方法 集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和 图示法，其中图示法包括 Venn 图法和数轴法两种． (1)列举法是把集合的元素Байду номын сангаас一列举出来，并用花括 号“{ }”括起来表示集合的方法． 使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素 不能重复． (2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法． 使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字 母或用字母表示的元素符号)，准确说明该集合中元 素的特征．
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
6．求函数定义域的注意点 (1)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零； ②偶次根式中被开方式非负；③x0 中 x≠0；④解 析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意 义的自变量的取值集合的交集．
(3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合 实际．
课题导入
回顾所学知识
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
第一章 综合复习课
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
独立自学
1.第一章中我们主要学习了哪两块知识？ 2.集合的性质有哪些？我们研究了函数
的哪些性质？
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
引导探究一 知识点梳理
1．集合中元素特征的认识 确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征． (1)确定性是指一个对象 a 和一个集合 A，a∈A 和 a∉A 必 居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据． (2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同 的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答 含参集合问题时，互异性是一个不可或缺的检验工具．
然表示同一个集合．
工具
必修1 第一章 集合与函数概念
栏目导引
2．解读集合表示的三种方法 集合常用的表示方法有三种，即列举法、描述法和 图示法，其中图示法包括 Venn 图法和数轴法两种． (1)列举法是把集合的元素Байду номын сангаас一列举出来，并用花括 号“{ }”括起来表示集合的方法． 使用列举法要注意：元素间用分隔号“，”且元素 不能重复． (2)描述法是用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法． 使用描述法要注意：写清楚该集合中元素的代号(字 母或用字母表示的元素符号)，准确说明该集合中元 素的特征．
工具
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栏目导引
6．求函数定义域的注意点 (1)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (2)求定义域的相关准则：①分式中分母不为零； ②偶次根式中被开方式非负；③x0 中 x≠0；④解 析式由几个式子构成时，定义域是使各式子有意 义的自变量的取值集合的交集．
(3)由实际问题建立的函数解析式，定义域要符合 实际．
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第一章 综合复习课
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1.第一章中我们主要学习了哪两块知识？ 2.集合的性质有哪些？我们研究了函数
的哪些性质？
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引导探究一 知识点梳理
1．集合中元素特征的认识 确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个特征． (1)确定性是指一个对象 a 和一个集合 A，a∈A 和 a∉A 必 居其一．它是确定一组对象能否构成集合的依据． (2)互异性是指同一个集合中的元素是互不相同的．相同 的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素．在解答 含参集合问题时，互异性是一个不可或缺的检验工具．
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易见：任何一个集合是它本身的子集，都 不是它本身的真子集
传递性：包含、属于、相等
集合相等：如果A的全部元素在B中， 如果B的全部元素在A中,称A等于B ;记 作A=B
例如：写出集合{a，b，c}的所有子集。 注意：既然已经说是集合，就有a，b，c互不相同
• 并集：由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫 做A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即 A∪B={x |x∈A, x∈B}
正整数集 N*
自然数集 N
整数集
Z
有理数集 Q
实数集
R
虚数集
C
• 子集的定义：如果A的全部元素都在B中，称A为B的子集 • 子集的表示：Venn图（韦恩图） • 真子集：如果A包含于B，且存在元素x在A中但不在B中,称这时的子
集为真子集
• 空集：不含任何元素的集合叫做空集
包含、包含于、不包含、不包含于的区别 a.如果A是B的子集，称A包含于B或B包
1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质
• 元素的定义：我们把研究的对象统称为元素
例如：研究1到20之间的整数，这20个数字就是元素
• 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合
例如：研究1到20之间的整数，这20个数就是一个集合
集合的性质
1.互异性：集合中的元素不重复出 现
2.确定性：给定一个元素，在不在 这个集合中就确定了
f：A→B
一般地，设A，B是非空数集，如果按照 某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任 何一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x） 和它对应，那么称f：A→B为集合A到B的一 个函数，记作
y=f（x）
定义域：把自变量x的取值范围叫做定义域 值域：把函数值y组成的集合叫做值域
易见，定义域是A的子集；值域是B的子集.
• 解析法：用数学表达式表示两个变量之间
的对应关系 • 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关
系 • 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对
应关系
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函数的本质: 两个数集间的一种对应关系；
把数集扩充到任意集合，函数变成映射
一般地，设A，B是集合，如果按照 某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任何一个x，在集合B中都有唯一确定的元 素 y 和它对应，那么称f：A→B为集合A 到B的一个映射
f（x）在区间D上是减函数
单调性、单调区间 如果函数y=f（x）在D 上是增函数或减函
数，那么就说y=f（x）在这一区间有（严格 的）单调性，区间D 叫做y =f（x）的单调区 间. 例如：一次函数y=f（x）的单调性
解：在定义域上单调递增
例如：求
的单调性 解：函数在y轴左侧下降
函数在y轴右侧上升 函数在{x |x<0}单调递减 函数在{x |x>0}单调递增
3.无序性：集合中的元素在集合内 部没有固定的位置
判断下列命题是否正确
a.“中国的大城市”是一个集合
（错）
b.“自然数”是一个集合
（对）
c.“所有的正方形”是一个集合
（对）
d.“有文化的人”是一个集合
（错）
e.“大于3小于11的偶数”是一个集合
（对）
f.“ a，1，4, 6 其中a为常数”构成集合 （错）
• 增函数：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如
果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量
， ，当
时有f（ ）< f（ ），那么就说f
（x）在区间D上是增函数
• 减函数：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如
果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量
， ，当
时有f（ ）< f（ ），那么就说
全集：把补集中最大的集合叫做全集
例如：给出集合A={x |x是小于9的正整数}，B={y |2〈 y〈6}，求出集合A、B
看下面的例题：
在战争中，一枚炮弹发射后，经过26秒落地击中目 标，炮弹在飞行过程中达到最高高度845米，且炮弹距离 地面的高度h（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的规 律是
含A b.如果A不是B的子集，称A不包含于B
或B不包含A
例如：判断下列两个集合的关系 （1）A={1,2,4}，B={x |x是8 的约数}； （2）A={x |x是4与10的公倍数，x是自然数}，B={x
|x=20m,m为自然数}
规定：（1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集
（3） 确定的对应数不是函数，
假如是写出对应法则、值域、定义域.
闭区间：满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 区间，表示为[a , b]
开区间：满足a<x<b的实数x的集合叫做开 区间，表示为（a , b）
半开半闭区间：满足a<x≤b或 a≤x < b的实 数x的集合叫做半开半闭区间，表 示为（a , b]或[a ，b）
• 交集：由所有属于A且属于B的元素组成 的集合叫做 A与B的交集，记作A∩B(读作“A并B”)，即A∩B={x |x∈A且 x∈B}
• 并集：由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫 做A与B的并集，记作A∪B(读作“A交B”)，即 A∪B={x |x∈A, x∈B}
• 补集：由所有属于A但不属于B的元素组成 的集合叫 做A与B的补集
一个函数由ห้องสมุดไป่ตู้义域、值域、对应法则唯 一确定，但值域由对应法则和定义域唯一 确定，所以，函数由定义域、对应法则唯 一确定
两个函数相等当且仅当定义域和对应法 则相同
问（1）y=k x+b确定的对应数不是函数，
假如是写出对应法则、值域、定义域.
（2）
确定的对应数不是
函数，假如是写出对应法则、值域、
定义域.
集合与元素的关系 a.如果a是集合A的元素就说a属于A 记作：a∈A b.如果a不是集合A的元素就说a不属于A
集合地表示
1.列举法：把元素一一列举出来 例如：{23,3,48,4,6}
2.描述法 a.自然语言描述 例如：1到20的整数 b.数学语言描述 例如：{x |x<20 }
牢记的常用集合
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26}炮弹距离地面的高度h变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}.从问题的实际可知道，对于数集A中的 任它意对一应.个t，按对应关系，在数集B中都有唯一的高度h和
上述问题可总结为：对于数集A中的每一个x， 按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一的y 和它对应，记作
传递性：包含、属于、相等
集合相等：如果A的全部元素在B中， 如果B的全部元素在A中,称A等于B ;记 作A=B
例如：写出集合{a，b，c}的所有子集。 注意：既然已经说是集合，就有a，b，c互不相同
• 并集：由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫 做A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即 A∪B={x |x∈A, x∈B}
正整数集 N*
自然数集 N
整数集
Z
有理数集 Q
实数集
R
虚数集
C
• 子集的定义：如果A的全部元素都在B中，称A为B的子集 • 子集的表示：Venn图（韦恩图） • 真子集：如果A包含于B，且存在元素x在A中但不在B中,称这时的子
集为真子集
• 空集：不含任何元素的集合叫做空集
包含、包含于、不包含、不包含于的区别 a.如果A是B的子集，称A包含于B或B包
1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质
• 元素的定义：我们把研究的对象统称为元素
例如：研究1到20之间的整数，这20个数字就是元素
• 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合
例如：研究1到20之间的整数，这20个数就是一个集合
集合的性质
1.互异性：集合中的元素不重复出 现
2.确定性：给定一个元素，在不在 这个集合中就确定了
f：A→B
一般地，设A，B是非空数集，如果按照 某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任 何一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x） 和它对应，那么称f：A→B为集合A到B的一 个函数，记作
y=f（x）
定义域：把自变量x的取值范围叫做定义域 值域：把函数值y组成的集合叫做值域
易见，定义域是A的子集；值域是B的子集.
• 解析法：用数学表达式表示两个变量之间
的对应关系 • 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关
系 • 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对
应关系
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函数的本质: 两个数集间的一种对应关系；
把数集扩充到任意集合，函数变成映射
一般地，设A，B是集合，如果按照 某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任何一个x，在集合B中都有唯一确定的元 素 y 和它对应，那么称f：A→B为集合A 到B的一个映射
f（x）在区间D上是减函数
单调性、单调区间 如果函数y=f（x）在D 上是增函数或减函
数，那么就说y=f（x）在这一区间有（严格 的）单调性，区间D 叫做y =f（x）的单调区 间. 例如：一次函数y=f（x）的单调性
解：在定义域上单调递增
例如：求
的单调性 解：函数在y轴左侧下降
函数在y轴右侧上升 函数在{x |x<0}单调递减 函数在{x |x>0}单调递增
3.无序性：集合中的元素在集合内 部没有固定的位置
判断下列命题是否正确
a.“中国的大城市”是一个集合
（错）
b.“自然数”是一个集合
（对）
c.“所有的正方形”是一个集合
（对）
d.“有文化的人”是一个集合
（错）
e.“大于3小于11的偶数”是一个集合
（对）
f.“ a，1，4, 6 其中a为常数”构成集合 （错）
• 增函数：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如
果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量
， ，当
时有f（ ）< f（ ），那么就说f
（x）在区间D上是增函数
• 减函数：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如
果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量
， ，当
时有f（ ）< f（ ），那么就说
全集：把补集中最大的集合叫做全集
例如：给出集合A={x |x是小于9的正整数}，B={y |2〈 y〈6}，求出集合A、B
看下面的例题：
在战争中，一枚炮弹发射后，经过26秒落地击中目 标，炮弹在飞行过程中达到最高高度845米，且炮弹距离 地面的高度h（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的规 律是
含A b.如果A不是B的子集，称A不包含于B
或B不包含A
例如：判断下列两个集合的关系 （1）A={1,2,4}，B={x |x是8 的约数}； （2）A={x |x是4与10的公倍数，x是自然数}，B={x
|x=20m,m为自然数}
规定：（1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集
（3） 确定的对应数不是函数，
假如是写出对应法则、值域、定义域.
闭区间：满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 区间，表示为[a , b]
开区间：满足a<x<b的实数x的集合叫做开 区间，表示为（a , b）
半开半闭区间：满足a<x≤b或 a≤x < b的实 数x的集合叫做半开半闭区间，表 示为（a , b]或[a ，b）
• 交集：由所有属于A且属于B的元素组成 的集合叫做 A与B的交集，记作A∩B(读作“A并B”)，即A∩B={x |x∈A且 x∈B}
• 并集：由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫 做A与B的并集，记作A∪B(读作“A交B”)，即 A∪B={x |x∈A, x∈B}
• 补集：由所有属于A但不属于B的元素组成 的集合叫 做A与B的补集
一个函数由ห้องสมุดไป่ตู้义域、值域、对应法则唯 一确定，但值域由对应法则和定义域唯一 确定，所以，函数由定义域、对应法则唯 一确定
两个函数相等当且仅当定义域和对应法 则相同
问（1）y=k x+b确定的对应数不是函数，
假如是写出对应法则、值域、定义域.
（2）
确定的对应数不是
函数，假如是写出对应法则、值域、
定义域.
集合与元素的关系 a.如果a是集合A的元素就说a属于A 记作：a∈A b.如果a不是集合A的元素就说a不属于A
集合地表示
1.列举法：把元素一一列举出来 例如：{23,3,48,4,6}
2.描述法 a.自然语言描述 例如：1到20的整数 b.数学语言描述 例如：{x |x<20 }
牢记的常用集合
这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26}炮弹距离地面的高度h变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}.从问题的实际可知道，对于数集A中的 任它意对一应.个t，按对应关系，在数集B中都有唯一的高度h和
上述问题可总结为：对于数集A中的每一个x， 按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一的y 和它对应，记作