二次函数的图象和性质备课素材 (2)
26.2二次函数的图象与性质(第2课时)课件(共12张PPT)
为0 。
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C
)
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
4.已知抛物线y=2x2-＜1上有两点(x1,y1 ) ,(x1,y1 ) 且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1.5
1
0.5
y3x2 1
1
2
-0.5
-1
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 y 1x2 2 3
5 4
y
3 y 1 x2 2
3
3 2
的图像
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O –1
–2
y 1x2 2
–3
3
–4
–5
12345
y 1 x2 2 3
y 1 x2 3
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
1
-6 -4 -2
2
4
6
x y=3x2 y=3x2–1
… –1 –0.6
…3
1.08
…2
0.08
（2）二次函数 y=3x²－1 的图 象与二次函数
y=3x²的图象有 什么关系？
-2
-1
–0.3
0
0.3
0.27
0
0.27
–0.73 – 1 –0.73
y 3x2
2
0.6 1 … 1.08 3 … 0.08 2 …
谢谢观赏
You made my day!
二次函数的图象和性质课件
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
261二次函数图象和性质(2)
抛物线y=x2+1,y=x2－1与抛物线y=x2的关系:
抛物线y=x2
向上平移 1个单位
抛物线
y=x2+1
抛物线y=x2
向下平移 1个单位
抛物线
y=x2－1
y
10
把抛物线y=2x2+1向上平
9 8
移5个单位,会得到那条抛物线?
7
向下平移3.4个单位呢?
6 5
4
y=x2+1 y=x2
(1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2－2.4
；在对称
轴的右侧，y随着x的
，当x=____时，函数y的
值最___，最小值是
.
做一做：
1、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2） （0，-1）求该抛物线的解析式。
（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同， 但开口方向不同，顶点坐标是（0，1） 的抛物线解析式。
（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3， 且经过（1，2）的点的解析式，
2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是
,对称轴
是
，在___
侧，y随着x的增大而
增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= _____
时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y=
−2x2线怎样平移得到的__________.
6.2二次函数的图象和性质(2)课件
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到。（抓住顶点 坐标的变化）
-8
上加下减
(4)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (5)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （6）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0 y
O
图 象
O
y
向上 (0 ,0) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
x
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 最值
向下 (0 ,0) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
5 10
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
…… ……
2
-1
y
8
0
-1
2
6
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
二次函数 的图象和性质 (PPT) (2)
7.如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与
抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.
（1）求直线AB的函数解析式； y=ax+b
D
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC， 求点D的坐标.
D （2，2） （4，0）
解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
2 0
2a 4a
b， b
a b
-1， 4
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4.
（2，2）
（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，
∴代入可得 a 1 ，
2
∴抛物线的函数解析式为 y 1 x2.
2
（4，0）
当x = 0时，最大值为0.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
教学反思
本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在 希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步 增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的 乐趣.
y=2x2
y 1 x2 2
2 4x
函数 y= 1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点和不 同点？ 2
开口都向上； 对称轴都是y轴；
增减性相同：当x<0时，y 随x增大而减小；当x>0时， y随x增大而增大.
y y=2x2 y 1 x2
8
2
6
4
a值越大，抛物线的
2
开口越小．
顶点都是原点(0，0)，顶-4 -2 O 点是抛物线的最低点；
§6.2二次函数的图象和性质(2)
§6.2二次函数的图象和性质（2）学习目标：1.会用列表描点法画二次函数(a≠0)的图象。
2.会用平移变换解释二次函数(a≠0)与二次函数(a≠0)的图象的位置关系。
3.通过对二次函数图象的观察，进一步感受在同一直角坐标系中，图形运动变化与图形上点的坐标变化之间的关系。
学习重点：描点法画二次函数(a≠0)的图象学习难点：用“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系，探索二次函数(a≠0)的图象与二次函数(a≠0)的图象的关系.【知识扫描】1、已知函数，当x=1时y=3，则a= , 对称轴是，顶点是 , 抛物线的开口，在对称轴的左侧，y随x增大而，当x= 时，函数y有最值，是 .2、当x＜0时，函数与在同一直角坐标系中的大致图象是----------------（）A B C D3、若抛物线经过点( l，-2 )，则它也经过------------------------------------------------------------（）A (-1，-2 )B (-l，2 )C ( l，2) D（2，1）★4、已知a≠0,b<0，一次函数是y=ax+b，二次函数是y=ax2则右面图中，可以成立的是------------------------（）【基础练习】在同一直角坐标系中，画出函数、与的图象．列表描点、连线，画出这三个函数的图象【例题精讲】例1、仔细观察基础练习中所画图形后回答：（1）函数的图象可以由函数的图象沿_______轴向_______平移____个单位长度得到，所以它是抛物线。
这条抛物线的对称轴是，顶点坐标是________（2）函数的图象可以由函数的图象沿_______轴向_______平移____个单位长度得到，所以它是抛物线。
这条抛物线的对称轴是，顶点坐标是________.（3）如果函数的二次项系数为负数，上述结论还成立吗？归纳当k>0时，函数(a≠0)的图象可以由函数的图象沿_______轴向_____平移____ 个单位长度得到，所以它是抛物线。
《二次函数的图象和性质(2)》教学设计
5.4二次函数的图象和性质(2)教学目标1．会用描点法画函数y＝ax2＋k和函数y＝a(x＋m)2（a≠0）的图象；2．能用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2和二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；3．能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质；4．体会数学研究问题由具体到抽象．．．．．、特殊到一般．．．．．的思想方法．教学重点从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图象和二次函数y＝ax2的（a≠0）位置关系．教学难点从二次函数y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2的图象和二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的异同从中体会它们之间的关系．教学过程（教师）学生活动设计思路回顾与猜想你还记得二次函数y＝x2的图象是怎样的吗？那么y＝x2＋1的图象与y＝x2的图象有什么关系？回顾二次函数y＝x2图象的性质，为本节课学习打下基础．新旧知识比较，猜想激发学生学习新知识的欲望．活动一：画图与观察1．填表：画函数y＝x2和y＝x2＋1的图象．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……y＝x2＋1……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象；3．观察：（1）从表格的数值看：相同的自变量所对应的两个函数的函数值有什么关系？（2）从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图象和y＝x2的图象的位置有什么关系？（3）根据图象，你能得出函数y＝x2＋1的图象的性质吗？4．猜想：函数y＝x2－2的图象和y＝x2的图象的位置有何关系？函数y＝x2－2的图象有哪些性质？按照列表、描点、连线的过程画函数图象．画图，观察、思考并交流提出的问题．学生经历列表、描点、作图、观察、比较、思考的过程，引导学生观察表中数据的变化与点在平面内位置的变化的关系，进而得到函数图象位置的变化规律，初步感受点坐标的变化带来图形位置的变化；新问题y＝ax2＋k将k的取值由1变为－2，丰富了学生对上下平移的认识．总结与归纳思考：（1）由上面的例子，你发现函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2（a≠0）的图象有什么关系？（2）二次函数y＝ax2＋k（a≠0）有什么性质？学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论：（1）函数y＝ax2＋k的图象可以看成函数y＝ax2（a≠0）的图象上下平移得到，当k＞0时，向上平移k个单位，当k＜0时，向下平移－k个单位．（2）函数y＝ax2＋k顶点坐标是（0，k），对称轴是y轴．通过学生相互交流、补充，逐步完善函数y＝ax2＋k的性质，函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0来讨论．活动二：观察与思考1．填表：画函数y＝x2和y＝(x＋3)2的图象．x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……x …－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 …y＝(x＋3)2……2．画图：在平面直角坐标系中，描点并画出函数y＝x2与按照列表、描点、连线的过程画函数图象．与活动一类似：也按照四个层次组织活动二，将两个表格设计成“错位”的方式，引导学生展开观察和思考活动，引导学生发现函数值相等的两个函数的自变量之间的关系，从中感受函数图象的“平移”xyO1 2 3 4 5 x12345678910yo-1-2-3-4-51 / 22 / 2。
6.2二次函数的图像和性质(2)
6.2 二次函数的图象和性质（2）课 型：新授课 主 备：姜晓岗 审 核：王爱忠 时 间：101216一、学习目标：1、能利用表格．．和．图象．．研究二次函数2ax y =的性质（如开口方向、对称轴、顶点、增减性等）； 2、掌握待定系数法，学会研究函数性质的途径和方法。
二、学习重点与难点：理解二次函数2ax y =的性质和待定系数法是学习的重点；难点是对性质和待定系数法确定二次函数关系式的实质的理解。
三、自学质疑：1.自学指导：本节课主要研究P 11-P 12的内容，请注意图、表相互结合来研究问题，注重“理解”．．．．2．思考题：1.填表并观察思考2.思：通过1中的表和图，你能否概括出函数2x y =、2x y =和25.0x y -=、2x y =的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）3.类比：对于二次函数2ax y =具有什么性质呢？你是怎样理解和记忆这些性质的呢？4.试一试：认真完成课本P 11练习（注意第3题的每一步的算理）我自学时的疑难、困惑 或 发现是：巩固案A 组：⒈根据函数关系式y=243x -填空：（1）图像开口向 ，，顶点坐标 ， 对称轴 ；（2）当x ≥0时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的最 值是 .2．二次函数y=ax 2的图像如图，该函数的关系式是 .如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 .3．已知二次函数y=ax 2的图像经过点P(2，3)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a 的值吗4.根据图（1）、（2）的函数图像填空：（1）二次函数y=-7x 2的图像不可能是 ， 二次函数y=232x 的图像不可能是 ； （2）有最大值的函数图像是 ，它的最大值是 ；（3）如果二次函数y=(m-1)x 2的图像是图（1），那么m 的取值范围是 .5．对于函数y=x 2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ）A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等；B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应；C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应；D 、对于任何实数x ，都有y>0. 6.在同一坐标系中，函数y=x 2，y=221x ，y=3x 2的图像如图。
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第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y＝a x2的图象和性质
如图22－1－6，你知道打篮球
投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么
那么准吗？用红色的篮球做投篮动作，观察篮球的运动路
线，思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律，怎样用数学
规律来描述？
[说明与建议] 说明：通过对抛物线实际问题的导入，激
发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，增加对抛物线初步的
了解和认识.建议：教师做模拟试验直观展示投篮路径，更
能激发学生对其路径的数学探究，让学生养成观察思考的好
习惯.
（1）在二次函数y＝x2中，y
随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
（2）请你在图22－1－7中用描点法画二次函数y ＝x 2的图象.
观察y ＝x 2的解析式，选择x 的适当值，并计算相应的y 值，完成下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2
在图22－1－7所示的平面直角坐标系中描点并用光滑曲线连接各点.
[说明与建议] 说明：学生已经有画函数图象的经验和水平，掌握了画函数图象的一般步骤.本节通过画二次函数y ＝x 2的图象，引入本节新课，进而类比二次项系数不是1的情形及它们的性质.建议：先留给学生动手画图的时间，然后教师要引导学生分析二次函数y ＝x 2的性质，为进一步的学习积累数学活动经验.
[命题角度1] 二次函数y ＝ax 2
的图象和性质
二次函数y ＝ax 2的图象是一条过原点的抛物线，通常两种考法：（1）给定二次函数的解析式，画二次函数的图象，或者说出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最大值或最小值等；（2）给定函数图象，判断函数的未知系数.如教材P30例1，P41习题22.1 T3.
[命题角度2] 二次函数y ＝ax 2的图象及其性质与几何综合 此类问题一般要综合利用抛物线上的点的坐标特点及对称性，结合几何图形的性质解决问题.
例 [菏泽中考] 如图22－1－8，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2
（x ≥0）与y 2＝x 2
3
（x ≥0）的图象于B ，C 两点，过
点C 作y 轴的平行线交函数y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交函数y 2的图象于点E ，则
DE
AB
＝ 3－3 Ｗ.
P32
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1)y ＝3x 2； (2)y ＝－3x 2； (3)y ＝31
x 2； (4)y ＝－31
x 2.
解：(1)抛物线y ＝3x 2的开口方向向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，0)． (2)抛物线y ＝－3x 2的开口方向向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，0)．
(3)抛物线y ＝31
x 2的开口方向向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，0)． (4)抛物线y ＝－31
x 2的开口方向向下，对称轴是y 轴，顶点坐标为(0，0)．
1. 关于函数y ＝2x 2的图象的描述：（1）图象有最低点，（2）图象为轴对称图形，（3）图象与y 轴的交点为原点，（4）图象的开口向上，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2.（2013丽水）若二次函数y=ax 2
的图象过点P (－2, 4)，则该图象必经过点（ ） A ．(2, 4)
B ．(－2, －4)
C ．(2, －4)
D ．(4, －2)
3. 在抛物线
，y ＝－3x 2，y ＝x 2中，开口最大的是（ ）
A ．
B ．y ＝－3x 2
C ．y ＝x 2
D ．无法确定
4. （1）若抛物线y ＝a x 2 与y =－2x 2
的形状相同，开口方向相同，则a = _____ .
（2）把抛物线绕原点旋转180°后的抛物线是____.
5．跳伞运动员在打开降落伞之前,下落的路程s （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系
为s =at 2
. t （秒） 0 1 2 3 4 …
s （米）
0 45 … （1）根据表中的数据，写出s 关于t 的函数解析式； （2）完成上面自变量t 与函数s 的对应值表；
（3）如果跳伞运动员从5100米的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面600米之前打开降落伞.问运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒？
参考答案 1．D 2．A 3．A
4．（1）－2 （2）y =x²
5．解：（1）s=5t2
（2）
t(秒) 0 1 2 3 4 …
s(米) 0 5 20 45 80 …
（3）由题意得s=5t2 =5100－600，∴t2 =900，∵t>0, ∴t=30.
∴运动员在空中不打开降落伞的时间至多有30秒.
函数小史
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．我们刚学过的函数就是这样的重要概念．在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．
回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的．
最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点
的横坐标、纵坐标．1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示．
后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上．只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．
1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”
当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词．
1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以来求出每一个x的对应值．
1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着．
自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在中学课本里用的了．
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的．中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思．李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．
在可预见的未来，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．。