高三一轮复习：8.导数和函数的单调性、极值、最值

授课主题：导数与函数的单调性、极值、最值教学目标1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。

教学内容1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0) ＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 4．极值与最值(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点； (2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．题型一 利用导数研究函数的单调性 角度1 判断或证明函数的单调性 例1、设函数2()mx f x e x mx =+-。

（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围。

角度2 已知函数单调性求参数的取值范围(多维探究) 例2、已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． 方法点拨：用分类讨论思想方法、分离系数法． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a >0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a3； 当x >3a 3或x <－3a 3时，f ′(x )>0； 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－3a 3，⎝⎛⎭⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数．(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．g′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，方法技巧1．利用导数研究函数极值问题的一般流程2．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 【冲关针对训练】(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝x ln x －x ，g (x )＝a2x 2－ax (a ∈R )．(1)若f (x )和g (x )在(0，＋∞)有相同的单调区间，求a 的取值范围；(2)令h (x )＝f (x )－g (x )－ax (a ∈R )，若h (x )在定义域内有两个不同的极值点． ①求a 的取值范围；②设两个极值点分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2＞e 2.解 (1)由f (x )＝x ln x －x ，知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ，令f ′(x )＝0，则x ＝1. 当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．g (x )＝a 2x 2－ax ＝a2(x 2－2x )(a ∈R )，若g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则a >0，故a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)①依题意知，函数h (x )的定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝ln x －ax ， 所以方程h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根，即方程ln x －ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根．可转化为函数y ＝ln x 与函数y ＝ax 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图． 若令过原点且与函数y ＝ln x 的图象相切的直线的斜率为k ，则0<a <k . 设切点A (x 0，ln x 0)，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，又k ＝ln x 0x 0，所以1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以0<a <1e.②由①可知x 1，x 2分别是方程ln x －ax ＝0的两个根，即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，不妨设x 1>x 2，作差得，ln x 1x 2＝a (x 1－x 2)，即a ＝lnx 1x 2x 1－x 2.原不等式x 1·x 2>e 2⇔ln x 1＋ln x 2>2⇔a (x 1＋x 2)>2⇔ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2. 令x 1x 2＝t ，则t >1，ln x 1x 2>2(x 1－x 2)x 1＋x 2⇔ln t >2(t －1)t ＋1. 设F (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，t >1，则F ′(t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，∴f (x )max ＝f (c )＝ln c －c 2＋c .综上，当0<c ≤12时，f (x )max ＝ln ⎝⎛⎭⎫c ＋12－c 2＋14； 当12<c <1时，f (x )max ＝0； 当c ≥1时，f (x )max ＝ln c －c 2＋c .1．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1 答案 A解析 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)． 由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0， 且x <－2时，f ′(x )>0；－2<x <1时，f ′(x )<0； x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.2．(2018·福州调研)已知函数f (x )＝x ln |x |＋1，则f (x )的极大值与极小值之和为( )A ．0B ．1C ．2－2e D ．2答案 D解析 当x >0时，函数f (x )＝x ln x ＋1，则f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1＝0解得x ＝1e ，0<x <1e ，f ′(x )<0，函数是减函数，当x >1e 时，函数是增函数，x ＝1e 时函数取得极小值1－1e；当x <0时，函数f (x )＝x ln (－x )＋1，则f ′(x )＝ln (－x )＋1，令ln (－x )＋1＝0，解得x ＝－1e ，－1e <x <0，f ′(x )<0，函数是减函数，当x <－1e 时，函数是增函数，x ＝－1e 函数取得极大值1＋1e ；函数的极值的和为2.故选D.3．(2017·安阳调研)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析 f ′(x )＝1x ＋ax －2＝ax 2－2x ＋1x(x >0)，函数f (x )存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax 2－2x＋1≤0，等价于a <2x －1x2在x ∈(0，＋∞)上的最大值．设g (x )＝2x －1x 2，则g ′(x )＝－2x ＋2x 3，可知函数g (x )在区间(0,1)为增函数，在区间(1，＋∞)为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最大值，此时g (x )＝1，所以a <1，故填(－∞，1)． 4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ， 所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为 f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0. 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.一、选择题1．(2017·陕西模拟)函数f (x )＝axx 2＋1(a >0)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a (1－x 2)(x 2＋1)2＝a (1－x )(1＋x )(x 2＋1)2.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)，故选B.2．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x 在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 D又由(1)知，x 1x 2＝1.于是k ＝2－a ·ln x 1－ln x 2x 1－x 2.若存在a ，使得k ＝2－a .则ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1.即ln x 1－ln x 2＝x 1－x 2.亦即x 2－1x 2－2ln x 2＝0(x 2>1)． (*)再由(1)知，函数h (t )＝t －1t－2ln t 在(0，＋∞)上单调递增，而x 2>1，所以x 2－1x 2－2ln x 2>1－11－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得k ＝2－a .1．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0) 答案 D解析 令g (x )＝f x e x ，则g ′(x )＝(f xe x )′＝f ′x e x －f x e x e 2x ＝f ′x －f x e x <0，所以函数g (x )＝f xex 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 014)<g (0)，即f 1e 1<f 01，f 2 014e 2 014<f 01， 故f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)．2．如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289 答案 C解析 由图象可得f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ， 又∵x 1、x 2是f ′(x )＝3x 2－2x －2＝0的两根，∴x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(23)2＋2×23＝169. 3．(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0， x 在1的右边附近f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C. 4．函数f (x )＝x ＋9x的单调减区间为________．答案 (－3,0)，(0,3)解析 f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3， 故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．答案 a >2或a <－1解析 ∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]， ∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. ∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根． 即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1.6．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－x －1x －3x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，。