北京市顺义区2018届高三第二次统练(二模)数学理试题

顺义区2018届高三第二次统练数学试卷（理科）第一部分(选择题 共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 设集合2{|320}A x x x =++=，{2,1,0,1,2}B =--，则A B =A.{}2,1--B. {}2,1-C. {}1,2D.{}2,1,0,1,2--2.若,x y 满足3,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为A.1B.3C.4D.29 3.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为A.2B.3C.4D.54.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A.338 B.163 C.83 D.165.已知直线m b a ,,,其中b a ,在平面α内.则“b m a m ⊥⊥,”是“α⊥m ”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B.b a c << C.a c b << D.c a b <<7. 已知O 是正△ABC 的中心．若CO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ的值为A. 41-B. 31-C. 12-D.28．已知点(1,1)A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①30(03)x y x +-=≤≤；②222(20)x y x +=-≤≤；③1(0)y x x=->． 其中，“正三角形”曲线的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3第二部分(非选择题 共110分)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9.若)(2)2(R x i i i x ∈+=-，则______=x .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若35,1101=-=S a ，则20a =_______.11.设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 经过点(4,1),且与1422=-x y 具有相同渐近线,则C 的方程为________________;渐近线方程为__________________.12.曲线θθθ(sin 1,cos 2⎩⎨⎧+=+=y x 为参数)的对称中心到直线022=+-y x 的距离为_______. 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，他们的终边关于x 轴对称，若41cos =α，则___________)cos(=-βα.14.已知P 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x P ∈时，有2k x P -∈.记满足条件的集合P 的个数为()h k ，则(2)h =_______；()h k =_______.三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知b c >，6,5a b ==，ABC ∆的面积为9. （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）求c 及sin B 的值.16．（本小题满分13分）2018年2月25日第23届冬季奥运会在韩国平昌闭幕，中国以1金6银2铜的成绩结束本次冬奥会的征程.某校体育爱好者协会在高三年级某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），按分层抽样从被调查的学生中随机抽取了11人，具体的调查结果如下表： 某班 满意 不满意 男生 2 3 女生42（Ⅰ）若该班女生人数比男生人数多4人，求该班男生人数和女生人数（Ⅱ）在该班全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（Ⅲ）若从该班调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中对“本届冬奥会中国队表现”满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望． 17.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC-A B C 中，侧棱长和底面边长均为1，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ；（Ⅱ）求A A 1与平面1ADC 所成角的正弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使1CE ADC ⊥平面？若存在，求111B A EA 的值，若不存在，说明理由． 18.（本小题满分13分）已知函数mx e x f x +=2)(,其中0≤m .（Ⅰ）当1-=m 时，求曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）若不等式0)(>x f 在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围.19、（本小题满分14分）已知椭圆134:22=+y x G 的左焦点为F ，左顶点为A ，离心率为e ，点()0,t M ()2-<t 满足条件e AM FA =||||.（Ⅰ）求实数t 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆G 交于Q P ,两点，记MPF ∆和MQF ∆的面积分别为21,S S ，证明：||||21MQ MP S S =. 20、（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =.顺义区2018届高三第二次统练数学试卷答案（理科）一、ADDB BCCC二、9. 1. 10. 18 11. xy y x 21,131222±==-. 12.5. 13. 87-. 14. 3，21k -15.解: （Ⅰ）因为ABC ∆的面积C ab S sin 21=,所以9sin 5621=⨯⨯C所以53sin =C .因为b c >,所以54cos =C .-----------------------------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在ABC △中,由余弦定理得13cos 2222=-+=C ab b a c ,所以13=c . ----------------------------------------10分 又因为5=b ,53sin =C所以在ABC △中,由正弦定理得13133sin sin ==c C b B . -----------------------------------13分 16．（Ⅰ）不妨设女生人数为X ，男生人数为Y ，则可得X-Y=4 （1）又由分层抽样可知，65X Y =（2） 联立（1）（2）可解得X=24，Y=20（Ⅱ）设该生持满意态度为事件A ，则基本事件的总数有11种，事件A 中包含的基本事件有6种，所以()611P A =（Ⅲ）ξ的可能取值有0，1，2=0ξ对应的事件为从该班11名调查对象中抽取2人，2人中恰好有0人持满意态度基本事件的总数为211C =55，其中包含的基本事件数有2510C =种所以()10205511P ξ=== 同理：()116521130615511C C P C ξ⋅====，()26211C 1532=C 5511P ξ=== 所以分布列为：所以期望26312E =0+1+2=11111111ξ⨯⨯⨯ξ 0 1 2P211611 31117. （Ⅰ）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD1A C 交1AC 于点O ∴O 是1A C 的中点又D 是BC 的中点 ∴OD 是1A BC ∆的一条中位线∴1A B ∥OD 又1OD ADC ⊂平面∴1A B ∥平面1ADC …………………….4分（Ⅱ）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，垂直于面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，32-，0），C （12-，0，0）11C 012（-，，） 在平面ADC 1中，DA=→（0，32-，0），1D C=→1012（-，，）设m =(,,)→ｘｙｚ为平面ADC 1的一个法向量，则有1m DA =0m DC =0→→→→⎧⎪⎨⎪⎩，即302102y x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨令2x =，则1z =，0y =，所以()2,0,1m →= 又13A 012⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，-，，则()10,0,1A A→=- 设1A A 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin cos ,m A A θ→→==11m A A m A A→→→→⋅=55∴1A A 与平面1ADC 所成角的正弦值为55………………….9分（Ⅲ）假设点E 在线段11A B 上，使1CE ADC ⊥平面不妨设111A E A B λ→→=（01λ≤≤）13A 0,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，-，11B 012⎛⎫⎪⎝⎭，， ∴1113,,022A B →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴11113=022A E AB λλλ→→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴133,,1222E λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴1133,,12222CE λλ→⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭在平面ADC 1中，DA=→（0，32-，0），1A C=→13122（-，，）∴0CE DA →→=（1） 10C E A C →→= （2）由（1）可解得=1λ 又（2）可解得=0λ（1）与（2）矛盾，所以这样的点E 不存在………………….14分18. 解：（Ⅰ）当1-=m 时，()x e x f x-=2∴()122-='xex f --------------------------------------------2分则()10='f ，又()10=f ----------------------------------------4分∴曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为：1+=x y -----5分（Ⅱ）函数()x f 定义域为()+∞∞-,，且()m e x f x+='22()0≤m -------6分下面对实数m 进行讨论： ①当0=m 时，()02≥=xex f 恒成立，满足条件------------------------------7分②当0<m 时，由()0>'x f 解得⎪⎭⎫⎝⎛->2ln 21m x ，从而知 函数()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2ln 21m 内递增；同理函数()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2ln 21,m 内递减，-------------------9分 因此()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛-=2ln 21m x 处取得最小值⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-12ln 2m m ------------10分 ∴012ln 2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m ， 解得02<<-m e --------------------------------12分综上：当(]0,2e m -∈时，不等式()0>x f 在定义域()+∞∞-,内恒成立.---13分19. 解：（Ⅰ）椭圆G 的标准方程为：13422=+y x ∴3,2==b a ，122=-=b ac ------------------------2分则21==a c e ，t AM FA --==2||,1||--------------------3分 ∵2121||||=--=t AM FA ，解得4-=t -------------4分（Ⅱ）方法一：①若直线l 的斜率不存在，则21S S =，||||MQ MP =，符合题意--------5分②若直线l 的斜率存在，因为左焦点()0,1-F ，则可设直线l 的方程为：()1+=x k y ， 并设()()2211,,,y x Q y x P .联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x x k y ，消去y 得：()01248432222=-+++k x k x k ---6分 ∴2221438k k x x +-=+,222143124k k x x +-=--------------------------------7分∵442211+++=+x y x y k k MQ MP ()()41412211+++++=x x k x x k ----------------9分 ()()()()()()444141211221+++++++=x x x x k x x k()()()44852212121+++++=x x kx x k x kx()()04484385431242212222=++++-∙++-∙=x x k k k k k k k∴QMF PMF ∠=∠-------------------------------------------------------------------12分 ∵PMF MP MF S ∠=sin ||||211，QMF MQ MF S ∠=sin ||||212 ∴||||21MQ MP S S =------------------------------------------------------------------14分 方法二：依题意可设直线l 的方程为：1-=my x ，并设()()2211,,,y x Q y x P .—5分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x m y x ，消去x ，得()0964322=--+my y m --------6分 ∴436221+=+m m y y ,439221+-=m y y --------------------------------7分 ∵442211+++=+x y x y k k MQ MP 332211+++=my y my y ------------------------------9分 ()()()()3333211221+++++=my my my y my y()()()3332212121++++=my my y y y my ()()033436343922122=+++⨯++-∙=m y m y m mm m ∴QMF PMF ∠=∠------------------------------------------------------------------12分 ∵PMF MP MF S ∠=sin ||||211，QMF MQ MF S ∠=sin ||||212 ∴||||21MQ MP S S =------------------------------------------------------------------14分 20.（Ⅰ）解：4:5,1,4,3B -. ………………3分（Ⅱ）证明：对于数列n A 及其“陪伴数列”n B ，因为 19b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……8989b b a a +=+，将上述几个等式中的第2,4,6,8,这4个式子都乘以1-，相加得1122389122389()()()()()()n b b b b b b b a a a a a a a -+++-++=-+++-++ 即9919912b a a a a a =-+=-故9912a b a =+ 所以9,,b a a成等差数列. ………………8分 （Ⅲ）证明： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………13分。