2012届北京市朝阳区高三期中数学理科试题(WORD精校版)

北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试数学测试题（理工类） 2011.11 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 注意事项：1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.2．第一部分每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第二部分不能答在试题卷上，请答在答题卡上. 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.设集合{}260M x x x =+-<，{}13N x x =≤≤，则M N 等于（ ）A ．[]2,3 B ．[]1,2 C ．(]2,3 D ．[)1,22. 已知向量a ，b 满足|a | = 8，|b | = 6， a ·b = 24，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒D ．120︒3. 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于( )A ．13B ．32C ．1D ．24. 在各项均为正数的数列{}n a 中，对任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=⋅．若664a =，则9a 等于 （ ）A ．256B ．510C ．512D ． 1024 5. “1a >”是“对任意的正数x ，不等式21a x x +≥成立”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 设0x 是函数21()()log 3xf x x =-的零点．若00a x <<，则()f a 的值满足（ ）A ．()0f a =B ．()0f a <C ．()0f a >D ．()f a 的符号不确定7.已知函数)30(42)(2<<++=a ax ax x f ，其图象上两点的横坐标1x ，2x 满足21x x <, 且a x x -=+121,则有 ( ) A ．)()(21x f x f > B ． )()(21x f x f =C ．)()(21x f x f <D ．)(),(21x f x f 的大小不确定 8.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕：i j kA A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3i j =，则使关系式0()i i j A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 的组数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 已知π3(,π),sin ,25αα∈=则πtan()4α+=__ _．10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若22a =，158+=a a ，则6S =__．11.在ABC ∆中，π3A ∠=，3BC =，AB =，则C ∠=__ ；sin B = ． 12. 在ABC ∆中，已知 (23,31)AB k k =++ ，(3,)AC k = ()k ∈R ，则BC=__；若90B ∠=︒，则k =__ _．13.已知函数12log (),40,()2cos ,0.x x f x x x --≤<⎧⎪=⎨⎪≤≤π⎩若方程()f x a =有解，则实数a 的取值范围是__ _．14.设函数()1f x x α=+()α∈Q 的定义域为[][],,b a a b -- ，其中0a b <<．若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为__ _．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式2230x x --≤的解集为N .（Ⅰ）当1a =时,求集合M ； （Ⅱ）若M N ⊆,求实数a 的取值范围. 16. （本小题满分13分）已知向量a =(sin ,cos(π))x x -，b =(2cos ,2cos )x x ，函数()1f x =⋅a b +.（Ⅰ）求π()4f -的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求出相应的x 值.17. （本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n a S n =++()n *∈N .（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅲ）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos 4B =．（Ⅰ）求2sin 2cos 2A CB ++的值；（Ⅱ）若b =，求ABC ∆面积的最大值. 19. （本小题满分14分）设函数3211()(,,,0)32f x ax bx cx a b c a =++∈≠R 的图象在点(),()x f x 处的切线的斜率为()k x ，且函数1()()2g x k x x=-为偶函数.若函数()k x 满足下列条件：①(1)0k -=；②对一切实数x ，不等式211()22k x x ≤+恒成立.（Ⅰ）求函数()k x 的表达式；（Ⅱ）求证：1112(1)(2)()2nk k k n n +++>+ ()n *∈N . 20. （本小题满分14分）已知函数21()ln (1)2f x x ax a x=-+-（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）记函数()y F x =的图象为曲线C .设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点.如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”. 试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由. 北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学测试题答案（理工类） 2011.11 一、选择题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当1a =时, 由已知得(2)0x x -<.解得02x <<.所以{|02}M x x =<<. …………………3分 (Ⅱ) 由已知得{}13N x x =-≤≤. …………………5分①当1a <-时, 因为10a +<，所以{|10}M x a x =+<<. 因为M N ⊆，所以110a -≤+<，解得21a -≤<-;……………8分 ②若1a =-时, M =∅，显然有M N ⊆，所以1a =-成立;……………10分 ③若1a >-时, 因为10a +>，所以{|01}M x x a =<<+. 又{}13N x x =-≤≤，因为M N ⊆，所以013a <+≤,解得12a -<≤.……………12分 综上所述,a 的取值范围是[2,2]-. ……………13分 （16）（本小题满分13分）解：（I ）因为()f x =⋅a b +1=2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+ 22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos2x x -, …………4分所以π()14f -=-. ……………6分 （II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos2x x -)4x π-. …………8分 因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. …………9分所以当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x； …………11分当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-. …………13分（17）（本小题满分13分） 解：（I ）由题意，当1n =时，得1123a a =+，解得13a =.当2n =时，得2122()5a a a =++，解得28a =.当3n =时，得31232()7a a a a =+++，解得318a =.所以13a =，28a =，318a =为所求. ……………3分(Ⅱ) 因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立.两式相减得：11222n n n a a a ++-=+.所以122n n a a +=+()n *∈N ，即122(2)n n a a ++=+. …………5分所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为2的等比数列. ……………7分（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：1252n n a -+=⨯，即1522n n a -=⨯-()n *∈N .则1522n n na n n -=⋅-()n *∈N . ……………8分设数列{}152n n -⋅的前n 项和为nP , 则01221512522532...5(1)252n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅，所以12312512522532...5(1)252n n n P n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅，所以1215(122...2)52n nn P n --=++++-⋅，即(55)25n n P n =-⋅+()n *∈N . ……………11分所以数列{}n n a ⋅的前n 项和n T =(1)(55)2522n n n n +-⋅+-⨯，整理得，2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *∈N . ……………13分（18）（本小题满分13分）解：（I ）因为3cos 4B =，所以sin B =. …………1分 又22πsin 2cos 2sin cos cos 22A C BB B B +-+=+12sin cos (1cos )2B B B =+-=3244⨯+18=18+. ……………6分（II ）由已知得2223cos 24a c b B ac +-==， …………7分又因为b =， 所以22332a c ac+-=. …………8分又因为223322a c ac ac +=+≥，所以6ac ≤，当且仅当a c ==ac 取得最大值. …………11分此时11sin 622ABC S ac B ∆==⨯=.所以ABC ∆的面积的最大值为. ……………13分（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由已知得：2()()k x f x ax bx c '==++. ……………1分 由1()()2g x k x x =-为偶函数，得21()2g x ax bx c x=++-为偶函数， 显然有12b =. …………2分又(1)0k -=，所以0a b c -+=，即12a c +=. …………3分又因为211()22k x x ≤+对一切实数x 恒成立，即对一切实数x ，不等式2111()0222a x x c -++-≤恒成立. …………4分显然，当12a =时，不符合题意. …………5分当12a ≠时，应满足10,21114()()0.422a a c ⎧-<⎪⎪⎨⎪∆=---≤⎪⎩注意到12a c +=，解得14a c ==. …………7分 所以2111()424k x x x =++. ……………8分（Ⅱ）证明：因为2221(1)()44n n n k n +++==，所以214()(1)k n n =+.………9分 要证不等式1112(1)(2)()2nk k k n n +++>+ 成立, 即证22211123(1)24nn n +++>++ . …………10分 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++, …………12分 所以22211111111123(1)233412n n n +++>-+-++-+++112224n n n =-=++.所以1112(1)(2)()2n k k k n n +++>+ 成立. ……………14分 （20）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)显然函数()f x 的定义域是(0,)+∞. …………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x -+=-+-=-. …………2分⑴当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<; 令'()0f x <,解得1x >.所以函数()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减. …………3分 ⑵当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a <<-或1x >; 令'()0f x <,解得11x a -<<.所以，函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增,在1(,1)a -上单调递减; …………4分②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………5分③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a >-; 令'()0f x <,解得11x a <<-.所以，函数()f x 在(0,1)和1(,)a -+∞上单调递增,在1(1,)a -上单调递减.…………6分 综上所述，⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减；⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增,在1(,1)a -上单调递减； ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1(,)a -+∞上单调递增,在1(1,)a -上单调递减. ……………7分 (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”. 设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<，则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-.2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++-- …………8分曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+， …………9分依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+. 化简可得：2121ln ln x x x x --122x x =+，即21lnxx=21212()x xx x-+21212(1)1xxxx-=+. …………11分设21xtx=(1t>)，上式化为：2(1)4ln211ttt t-==-++,即4ln21tt+=+. …………12分令4()ln1g t tt=++,214'()(1)g tt t=-+=22(1)(1)tt t-+.因为1t>,显然'()0g t>，所以()g t在(1,)+∞上递增,显然有()2g t>恒成立.所以在(1,)+∞内不存在t,使得4ln21tt+=+成立.综上所述，假设不成立.所以，函数()f x不存在“中值相依切线”. ……………14分。