六数理统计的基本概念
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概率与统计学课件-第六章-数理统计的基本概念2-1
6.1
�总体与样本
基本概念: 总体：研究的问题所涉及的对象的全体 个体：总体中的每个成员 样本：从总体中抽取部分个体 样本容量：样本所包含的个体数量 样本观测值：
数的属性 样本的二重性 随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为 n的 样本。若它满足 独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； 同分布性，即每个 Xi都与总体X服从相 同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为 样本。
�统计量
设是总体X的样本，g(X1,X2, …,Xn)是样本 的实值函数，且不包含任何未知参数，则 称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
例2.若X1,X2, X3是来自总体X~N(μ, σ 2)的 其中参数μ未知， σ2已知，则
X 1 X 3 − 3µ , X12 + 4 X 22 + 5µ 都不是统计量
�定理
若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设X 的分布函数为 F(x)，则样本X1,X2, …,Xn的 联合分布函数为
n
∏ F (x )
i i =1
例1.若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设 X的分布函数为 F(x)，则样本 X1,X2, …,Xn的联合分布函数为
⎧ n − λ xi (1 − e ), xi > 0(i = 1, 2,⋯ , n) ⎪∏ F ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = ⎨ i =1 ⎪ 0 , 其他 ⎩
1/8， 25 ≤ x<27 2/8， 27 ≤ x<30 3/8， 30 ≤ x<33 Fn(x)= 5/8， 33 ≤ x<35 6/8， 35 ≤ x<45 7/8， 45 ≤ x<65 1， 65 ≤ x
�总体与样本
基本概念: 总体：研究的问题所涉及的对象的全体 个体：总体中的每个成员 样本：从总体中抽取部分个体 样本容量：样本所包含的个体数量 样本观测值：
数的属性 样本的二重性 随机变量的属性
设X1,X2, …,Xn为总体X的一个容量为 n的 样本。若它满足 独立性，即X1,X2, …,Xn 相互独立； 同分布性，即每个 Xi都与总体X服从相 同的分布. 则称这样的样本为简单随机样本，简称为 样本。
�统计量
设是总体X的样本，g(X1,X2, …,Xn)是样本 的实值函数，且不包含任何未知参数，则 称g(X1,X2, …,Xn)为统计量。
例2.若X1,X2, X3是来自总体X~N(μ, σ 2)的 其中参数μ未知， σ2已知，则
X 1 X 3 − 3µ , X12 + 4 X 22 + 5µ 都不是统计量
�定理
若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设X 的分布函数为 F(x)，则样本X1,X2, …,Xn的 联合分布函数为
n
∏ F (x )
i i =1
例1.若X1,X2, …,Xn是来自总体X的样本，设 X的分布函数为 F(x)，则样本 X1,X2, …,Xn的联合分布函数为
⎧ n − λ xi (1 − e ), xi > 0(i = 1, 2,⋯ , n) ⎪∏ F ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) = ⎨ i =1 ⎪ 0 , 其他 ⎩
1/8， 25 ≤ x<27 2/8， 27 ≤ x<30 3/8， 30 ≤ x<33 Fn(x)= 5/8， 33 ≤ x<35 6/8， 35 ≤ x<45 7/8， 45 ≤ x<65 1， 65 ≤ x
第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求
分别为总体的样本均值和样本方差分别为总体的样本均值和样本方差独立同服从分布由分布的性质知为来自x的简单随机样本x是样本均值为总体x的样本为总体y的样本的样本均值分别表示总体证明由抽样分布的知识可得11独立又两个总体相互独立
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
数理统计
数理统计
四、数理统计的基本概念 五、参数估计
四、数理统计的基本概念
1. 总体和样本 总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 容量：总体中所包含的个体的个数。 按此分为有限总体和无限总体。 例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每 一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高 的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
1 ˆ 解得： n
2
x
i 1 n
n
i
x
1 ˆ n
i 1
( X i X )2
(3)估计量的评选标准
1) ˆ ˆ 无偏性：若 ( X 1 , , X n )的数学期望存在， ˆ ˆ 且E . 则称是的无偏估计量。
2)
ˆ ˆ ˆ ˆ 有效性：若1 1 ( X 1 , , X n )， 2 2 ( X 1 , , X n ) ˆ ˆ 都是的无偏估计量；若D( ) D( ).
ˆ 所以 A1 X ,
ˆ A2
2 2 A1
1 n
i 1
n
X i2
1 X n
2
i 1
n
( X i X )2
(2) 极大似然估计法
(1).若总体X属离散型，其分布律 { X x} p( x; ), P 的形式为已知， 为待估参数，是可能取值的范围。
解：X的概率密度为： 1 1 2 f ( x; , ) exp{ (x )2} 2 2 2
似然函数为：
L( , )
2
2 2 2 i 1 n n 1 ln L ln(2 ) ln( ) 2 2 2 2
四、数理统计的基本概念 五、参数估计
四、数理统计的基本概念
1. 总体和样本 总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体：总体中的每个元素为个体。 容量：总体中所包含的个体的个数。 按此分为有限总体和无限总体。 例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每 一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高 的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。
1 ˆ 解得： n
2
x
i 1 n
n
i
x
1 ˆ n
i 1
( X i X )2
(3)估计量的评选标准
1) ˆ ˆ 无偏性：若 ( X 1 , , X n )的数学期望存在， ˆ ˆ 且E . 则称是的无偏估计量。
2)
ˆ ˆ ˆ ˆ 有效性：若1 1 ( X 1 , , X n )， 2 2 ( X 1 , , X n ) ˆ ˆ 都是的无偏估计量；若D( ) D( ).
ˆ 所以 A1 X ,
ˆ A2
2 2 A1
1 n
i 1
n
X i2
1 X n
2
i 1
n
( X i X )2
(2) 极大似然估计法
(1).若总体X属离散型，其分布律 { X x} p( x; ), P 的形式为已知， 为待估参数，是可能取值的范围。
解：X的概率密度为： 1 1 2 f ( x; , ) exp{ (x )2} 2 2 2
似然函数为：
L( , )
2
2 2 2 i 1 n n 1 ln L ln(2 ) ln( ) 2 2 2 2
数理统计基本概念
n1 Γ( ) 2 n 1 x 2 fT ( x ) (1 ) 2 , n n n Γ ( ) 2
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
数理统计的基本概念
(n 2) n n
n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自
n 1 2
, x .
t 分布的概率密度图形
图形关于 x 0 对称， lim f ( x; n) 0 , 且 x 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态 分布的概率密度。
定理 4： X 1， 2， ， n 是抽自正态总体 设 X X
若总体 X 是离散型的，其分布律为：
则样本的联合分布为
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念 由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。 定义2：设 X 1 , X 2 , , X n 是来自总体X的样本， g( X 1 , X 2 , , X n ) 是样本 X 1 , X 2 , , X n 的函数，如果 g( X 1 , X 2 , , X n ) 中不包含任何未知参数，则称它 是一个统计量。
1 (0.82)
1 0.7939 0.2061
X ~ N (0, 22 ), X1 , X 2 , X3 , X 4 为其样本，求a,b 例2:总体
(2). (n 1)S / ~ (n 1)
2
X (1). X ~ N ( ， / n)， 或 ~ N (0，) ； 1 / n 2 2 2
2
X (3). X 与 S 相互独立； (4). ~ t(n 1). S/ n
定理5：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自总体 2 两样本独立， X ~ N ( 1 , 12 )和Y ~ N ( 2 , 2 )的样本， 2 S12 / S2 则有 F 2 ~ F ( m 1, n 1). 2 1 / 2 定理6*：设X1, X2, …, Xm 与Y1, Y2, …, Yn分别来自
数理统计的基本概念
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第6章
§6.1-6.2
第10页
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本 1 n 1.样本均值: X X i 常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。 n i 1
n 1 2 S2 ( X X ) 2.样本方差： i n 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2 §6.1 样本及抽样分布
第3页
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断
6.1.1 总体、个体与样本
1. 总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示， 它是一个随机变量. 总体分为有限总体和无限总体. 个体：组成总体的每个研究对象称为个体.
i 1 i 1
i
ki !
e
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第6章
§6.1-6.2
第8页
3 加工某零件时，每一件需要的时间服从均值为1 / 的 指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件 零件构成一个容量为n的样本,求样本分布.
解：零件的加工时间为总体X，则X ~ E ( ), 其概率 e x x0 密度为 f ( x) x0 0 于是样本( X 1 , X 2 , X n )的密度为 f ( x1 , x2 , xn )
样本容量为5
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第6章
§6.1-6.2
第5页
样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
第6章
§6.1-6.2
第10页
设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单随机样本 1 n 1.样本均值: X X i 常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设。 n i 1
n 1 2 S2 ( X X ) 2.样本方差： i n 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2 §6.1 样本及抽样分布
第3页
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断
6.1.1 总体、个体与样本
1. 总体：研究对象的全体称为总体（母体）,用X表示， 它是一个随机变量. 总体分为有限总体和无限总体. 个体：组成总体的每个研究对象称为个体.
i 1 i 1
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第6章
§6.1-6.2
第8页
3 加工某零件时，每一件需要的时间服从均值为1 / 的 指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n件 零件构成一个容量为n的样本,求样本分布.
解：零件的加工时间为总体X，则X ~ E ( ), 其概率 e x x0 密度为 f ( x) x0 0 于是样本( X 1 , X 2 , X n )的密度为 f ( x1 , x2 , xn )
样本容量为5
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第6章
§6.1-6.2
第5页
样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
概率论与数理统计 第六章--数理统计的基本概念
F分布性质2 若X ~t(n)，则X2~F(1,n)
例4.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问c=( )统计量
c
2 X i 3 i 1 n
X
i 4
2 i
服从F分布？
抽样分布的分位点
设α为给定的常数，且0<α<1.若存在χα2(n)使
P ( n)
分位点的性质
(1) u1 u (2)
t1 (n) t (n)
1 (3) F (m, n) F1 (n, m)
回顾1. 设X1 ,X2 ,X3, X4是来自总体N(0,4)的简单 随机样本，X=a(X1-2 X2)2+b(3X3 -4X4)2，问当 a,b为何值时，统计量X服从 2分布 .
Max=1572, Min=738, 组数=6 组距=(Max-Min)/6=139140 取a0=735, 则分组区间及相关数据如下
组序 1 2 分区区间 (735,875] (875,1015] 频数 6 8 频率 0.2 0.27 累计频率 0.2 0.47
3
4 5 6 合计
(1015,1155]
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布 记为
2
~ (n)
2 2
分布的密度函数为
2
n x 1 1 n2 x2 e 2 f ( x; n ) 2 ( n 2 ) 0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t dt, x 0 0 来定义.
(1155,1295] (1295,1435] (1435,1575]
9
4 2 1 30
0.3
概率论与数理统计 数理统计的基本概念
记为 x1, x2 ,, xn ，称它为一组样本观察 值，简称样本值.
6
定义 3 设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个 样本，若 X1, X 2 ,, X n 相互独立且与总体 X 同分布，则称 X1, X 2 ,, X n 为来自总体 X 的 一个简单随机样本，简称样本.
8
常见统计量
设 X1, X 2,, X n 是来自总体 X 的样本， x1 , x2 ,, xn 是 样本的观察值，定义
样本均值 样本方差 样本标准差
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
1n (
n 1 i1
X
2 i
nX
2)
S
S2
今后不作特殊说明，本书所指的样本 均为简单随机样本.
7
定义 4 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本， x1 , x2 ,, xn 为样本观察值，T (X1, X 2 ,, X n ) 是关于 X1, X 2 ,, X n 的样本函数.若T 中不含任何未知参 数，则称T (X1, X 2 ,, X n ) 是统计量，称T (x1, x2 ,, xn ) 是 统计量的观察值.
第六章 数理统计的基本概念
1
什ห้องสมุดไป่ตู้是数理统计学？
数理统计学是这样一门数学分支，它运用概率论 与数学的方法，研究如何有效地收集、整理和分析带 有随机性影响的数据，并由此对所研究的问题作出尽 可能合理的推断和预测，从而为相关决策提供参考和 建议.
2
数理统计和概率论的关系
●数理统计学和概率论是随机数学的姊妹篇 ●有密切的联系却又不是同一学科 ●概率论是数理统计学的理论基础 ●数理统计学是概率论的重要应用.
6
定义 3 设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个 样本，若 X1, X 2 ,, X n 相互独立且与总体 X 同分布，则称 X1, X 2 ,, X n 为来自总体 X 的 一个简单随机样本，简称样本.
8
常见统计量
设 X1, X 2,, X n 是来自总体 X 的样本， x1 , x2 ,, xn 是 样本的观察值，定义
样本均值 样本方差 样本标准差
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
1n (
n 1 i1
X
2 i
nX
2)
S
S2
今后不作特殊说明，本书所指的样本 均为简单随机样本.
7
定义 4 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本， x1 , x2 ,, xn 为样本观察值，T (X1, X 2 ,, X n ) 是关于 X1, X 2 ,, X n 的样本函数.若T 中不含任何未知参 数，则称T (X1, X 2 ,, X n ) 是统计量，称T (x1, x2 ,, xn ) 是 统计量的观察值.
第六章 数理统计的基本概念
1
什ห้องสมุดไป่ตู้是数理统计学？
数理统计学是这样一门数学分支，它运用概率论 与数学的方法，研究如何有效地收集、整理和分析带 有随机性影响的数据，并由此对所研究的问题作出尽 可能合理的推断和预测，从而为相关决策提供参考和 建议.
2
数理统计和概率论的关系
●数理统计学和概率论是随机数学的姊妹篇 ●有密切的联系却又不是同一学科 ●概率论是数理统计学的理论基础 ●数理统计学是概率论的重要应用.
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的概率密度为:
⎧ 1 x α −1e − x / β , x > 0 ⎪ f ( x) = ⎨ β α Γ(α ) ⎪ 0 其它 ⎩
读者可利用卷积公式自己证明之.
1，β＝ 回到本题, 当 α＝
分布的可加性,有
1
λ
, Γ 分布就是参数为 λ 的指数分布, 所以样本的独立性及 Γ
1 X 1 + X 2 + " + X n ~ Γ(n, )
2
3
简单随机样本,则其样本均值为
1 n 1 2n ( X + X ) = X i = 2X ∑ i n +i n ∑ n i =1 i =1
样本方差为
1 Y n −1
由于 E ⎜
⎛ 1 ⎞ Y ⎟ = 2σ 2 ,所以 E (Y ) = (n − 1)(2σ 2 ) = 2(n − 1)σ 2 ⎝ n −1 ⎠ 1 n 1 n ′ ′ X , X = ∑ i ∑ X n+i , 显然有 2 X = X ′ + X ′′ ，因此 n i =1 n i =1
10.设 X 1 , X 2 为取自正态总体 N ( μ , σ ) 的样本,(1)证明 X 1 + X 2 与 X 1 − X 2 相互独立;(2)假
2
定 μ = 0 ,求
⎫ ⎧( X1 + X 2 )2 (X1 + X 2 )2 的分布 , 并求 P < 4⎬ . ⎨ 2 2 (X1 − X 2 ) ⎭ ⎩(X1 − X 2 )
1
导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布 N ( μ , σ ) ,这里 σ
2 2
2
= 100 米2,现在
2
进行 25 次发射试验,用 S 记这 25 次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差.试求 S 超过 50 米2的概率. 9.设 X 1 , X 2 ,", X n 是取自参数为 λ 的指数分布的样本,试求样本均值 X 的分布.
4. 设 随 机 变 量 X 和 Y 相 互 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布 N (0,3 ) , 而 X 1 , X 2 ,", X 9 和
2
Y1 , Y2 ,", Y9 分别是来自总体 X 和 Y 的样本,试确定统计量 U =
2
X1 + " + X 9 Y12 + " + Y92
的分布.
⇒
Φ(
n ) ≥ 0.975 3
⇒
n ≥ 1.96 3
⇒
n ≥ 34.5744
故样本容量至少应取 35. 2、解 由题意可知
Xn − a 0.2 / n
~ N (0,1) ,又
⎧ X −a ⎛ n⎞ 0.1 ⎫ ⎟ < 0.95 ≤ P{| X n − a |< 0.1} = P ⎨ n ⎬ = 2Φ⎜ ⎜ 2 ⎟ −1 n n 0 . 2 / 0 . 2 / ⎠ ⎝ ⎩ ⎭
10、 解
y>0 y≤0
(1) 根据正态分布的性质, X 1 + X 2 与 X 1 − X 2 服从二维正态分布,所以要证明它们
相互独立,只需它们不相关,由于
2 E[( X 1 + X 2 )( X 1 − X 2 )] = E ( X 12 ) − E ( X 2 )=0
E( X 1 + X 2 )E( X 1 − X 2 ) = 0
至少应等于多少？ 3. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N 0,2
2 2
(
2
)的容量为
4 的简单随机样本,
X = a ( X 1 − 2 X 2 ) + b(3 X 3 − 4 X 4 ) ,则当 a , b 各取什么值时统计量 X 服从自由度为 2 的
χ 2 分布.
D(Y1 − Y2 ) =
σ2
6
+
σ2
3
=
σ2
2
从而
U=
Y1 − Y2
σ/ 2
2S 2
~ N (0,1)
又
χ2 =
σ
2
~ χ 2 (2)
2 2 2
由于 Y1 与 Y2 相互独立, Y1 与 S 独立,由定理 6.3.2, Y2 与 S 独立,所以 Y1 − Y2 与 S 独立,于是 由 t 分布的定义,知
于是由 χ 分布的定义知,当 a =
2
⇒
3X 3 − 4 X 4 ~ N (0,1) 10
1 1 ,b= 时,有 20 100
2
X = a( X 1 − 2 X 2 ) + b(3 X 3 − 4 X 4 )
2
⎛ X1 − 2X 2 =⎜ ⎜ 20 ⎝
⎞ ⎛ 3X 3 − 4 X 4 ⎞ ⎟ ⎟ ~ χ 2 ( 2) ⎟ +⎜ 10 ⎠ ⎠ ⎝
5
所以
Cov ( X 1 + X 2 , X 1 − X 2 ) = 0
即 X 1 + X 2 与 X 1 − X 2 相互独立 (2) 由于 μ = 0 ,所以
X 1 + X 2 ~ N (0,2σ )
2
⇒
X1 + X 2
2σ
X1 − X 2
1⎛ X + X2 ⎞ 2 ~ N (0,1) ⇒ ⎜ 1 ⎟ ~ χ (1) 2⎝ σ ⎠ ~ N (0,1) ⇒ 1 ⎛ X1 − X 2 ⎞ 2 ⎟ ~ χ (1) ⎜ 2⎝ σ ⎠
λ
即
∑X
i =1
n
i
的概率密度为
⎧ λn x n −1e −λx , x > 0 ⎪ g ( x) = ⎨ (n − 1)! ⎪ 0 其它 ⎩
因此 X =
1 n ∑ X i 的概率密度为 n i =1
⎧ (nλ ) n n −1 −λny ⎪ y e , h( y ) = ng (ny ) = ⎨ (n − 1)! ⎪ 0, ⎩
2
2
2
由于两个总体是 X 和 Y 相互独立的,所以其相应的样本也是相互独立的,故
1 1 ( X 1 + X 2 + " + X 9 ) 与 (Y12 + Y22 + " + Y92 ) 也相互独立,于是由 t 分布的定义知, 9 9
X1 + " + X 9 Y12 + " + Y92 1 (X1 + " X 9 ) 9 1 2 (Y1 + " + Y92 ) / 9 9
[
]
= (n − 1)σ 2 + 0 + (n − 1)σ 2 = 2(n − 1)σ 2
7、解 记 D( X ) = σ （未知） ，易见 E (Y1 ) = E (Y2 ) ， D(Y1 ) = σ / 6, D(Y2 ) = σ / 3
2 2 2
由于 Y1 , Y2 相互独立，故有
E (Y1 −Y 2) = 0,
2
2
4、解
由正态分布的性质及样本的独立性知,
X 1 + X 2 + " + X 9 ~ N (0,9 2 )
Yi ~ N (0,1) , i = 1,2,",9 3
⇒
1 ( X 1 + X 2 + " + X 9 ) ~ N (0,1) 9
又
所以
1 2 ⎛Y ⎞ ⎛ Y1 ⎞ ⎛ Y2 ⎞ 2 2 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + " + ⎜ 9 ⎟ = (Y1 + Y2 + " + Y9 ) ~ χ (9) 9 ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
故有
Φ(
n ) ≥ 0.975 2
⇒
n ≥ 1.96 2
⇒
n ≥ 15.3664
因此 n 至少应等于 16. 3、解 由于 由正态分布的性质及样本的独立性知, X 1 − 2 X 2 和 3 X 3 − 4 X 4 均服从正态分布,
E ( X 1 − 2 X 2 ) = 0, D ( X 1 − 2 X 2 ) = D ( X 1 ) + 4 D ( X 2 ) = 20
Z=
2 (Y1 − Y2 ) = S
U
χ2 /2
~ t (2)8、解由(n − 1) S 2
σ
2
~ χ 2 (n − 1) ,其中由题意知, n = 25 , σ 2 = 100 ,于是
4
⎧ (n − 1) S 2 50(n − 1) ⎫ 2 P{S 2 > 50} = P ⎨ > ⎬ = P{χ (25 − 1) > 12} 2 2 σ σ ⎭ ⎩
5.设总体 X 服从正态分布 N (0,2 ) ,而 X 1 , X 2 , ", X 15 是来自总体 X 的简单随机样本,试确
2 X 12 + " + X 10 定随机变量 Y = 的分布. 2 2 2( X 11 + " + X 15 )
6. 设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N ( μ , σ ) (σ > 0) , 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本
2
X 1 , X 2 , ", X 2 n （ n ≥ 2 ） , 其 样 本 均 值 为 X =
Y = ∑ ( X i + X n +i − 2 X ) 2 的数学期望 E (Y ).
i =1 n
1 2n ∑ Xi , 求 统 计 量 2n i =1
7. X 1 , X 2 ,", X 9 是取自正态总体 X 的简单随机样本,
⎧ 1 x α −1e − x / β , x > 0 ⎪ f ( x) = ⎨ β α Γ(α ) ⎪ 0 其它 ⎩
读者可利用卷积公式自己证明之.
1，β＝ 回到本题, 当 α＝
分布的可加性,有
1
λ
, Γ 分布就是参数为 λ 的指数分布, 所以样本的独立性及 Γ
1 X 1 + X 2 + " + X n ~ Γ(n, )
2
3
简单随机样本,则其样本均值为
1 n 1 2n ( X + X ) = X i = 2X ∑ i n +i n ∑ n i =1 i =1
样本方差为
1 Y n −1
由于 E ⎜
⎛ 1 ⎞ Y ⎟ = 2σ 2 ,所以 E (Y ) = (n − 1)(2σ 2 ) = 2(n − 1)σ 2 ⎝ n −1 ⎠ 1 n 1 n ′ ′ X , X = ∑ i ∑ X n+i , 显然有 2 X = X ′ + X ′′ ，因此 n i =1 n i =1
10.设 X 1 , X 2 为取自正态总体 N ( μ , σ ) 的样本,(1)证明 X 1 + X 2 与 X 1 − X 2 相互独立;(2)假
2
定 μ = 0 ,求
⎫ ⎧( X1 + X 2 )2 (X1 + X 2 )2 的分布 , 并求 P < 4⎬ . ⎨ 2 2 (X1 − X 2 ) ⎭ ⎩(X1 − X 2 )
1
导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布 N ( μ , σ ) ,这里 σ
2 2
2
= 100 米2,现在
2
进行 25 次发射试验,用 S 记这 25 次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差.试求 S 超过 50 米2的概率. 9.设 X 1 , X 2 ,", X n 是取自参数为 λ 的指数分布的样本,试求样本均值 X 的分布.
4. 设 随 机 变 量 X 和 Y 相 互 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布 N (0,3 ) , 而 X 1 , X 2 ,", X 9 和
2
Y1 , Y2 ,", Y9 分别是来自总体 X 和 Y 的样本,试确定统计量 U =
2
X1 + " + X 9 Y12 + " + Y92
的分布.
⇒
Φ(
n ) ≥ 0.975 3
⇒
n ≥ 1.96 3
⇒
n ≥ 34.5744
故样本容量至少应取 35. 2、解 由题意可知
Xn − a 0.2 / n
~ N (0,1) ,又
⎧ X −a ⎛ n⎞ 0.1 ⎫ ⎟ < 0.95 ≤ P{| X n − a |< 0.1} = P ⎨ n ⎬ = 2Φ⎜ ⎜ 2 ⎟ −1 n n 0 . 2 / 0 . 2 / ⎠ ⎝ ⎩ ⎭
10、 解
y>0 y≤0
(1) 根据正态分布的性质, X 1 + X 2 与 X 1 − X 2 服从二维正态分布,所以要证明它们
相互独立,只需它们不相关,由于
2 E[( X 1 + X 2 )( X 1 − X 2 )] = E ( X 12 ) − E ( X 2 )=0
E( X 1 + X 2 )E( X 1 − X 2 ) = 0
至少应等于多少？ 3. 设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 是 来 自 正 态 总 体 N 0,2
2 2
(
2
)的容量为
4 的简单随机样本,
X = a ( X 1 − 2 X 2 ) + b(3 X 3 − 4 X 4 ) ,则当 a , b 各取什么值时统计量 X 服从自由度为 2 的
χ 2 分布.
D(Y1 − Y2 ) =
σ2
6
+
σ2
3
=
σ2
2
从而
U=
Y1 − Y2
σ/ 2
2S 2
~ N (0,1)
又
χ2 =
σ
2
~ χ 2 (2)
2 2 2
由于 Y1 与 Y2 相互独立, Y1 与 S 独立,由定理 6.3.2, Y2 与 S 独立,所以 Y1 − Y2 与 S 独立,于是 由 t 分布的定义,知
于是由 χ 分布的定义知,当 a =
2
⇒
3X 3 − 4 X 4 ~ N (0,1) 10
1 1 ,b= 时,有 20 100
2
X = a( X 1 − 2 X 2 ) + b(3 X 3 − 4 X 4 )
2
⎛ X1 − 2X 2 =⎜ ⎜ 20 ⎝
⎞ ⎛ 3X 3 − 4 X 4 ⎞ ⎟ ⎟ ~ χ 2 ( 2) ⎟ +⎜ 10 ⎠ ⎠ ⎝
5
所以
Cov ( X 1 + X 2 , X 1 − X 2 ) = 0
即 X 1 + X 2 与 X 1 − X 2 相互独立 (2) 由于 μ = 0 ,所以
X 1 + X 2 ~ N (0,2σ )
2
⇒
X1 + X 2
2σ
X1 − X 2
1⎛ X + X2 ⎞ 2 ~ N (0,1) ⇒ ⎜ 1 ⎟ ~ χ (1) 2⎝ σ ⎠ ~ N (0,1) ⇒ 1 ⎛ X1 − X 2 ⎞ 2 ⎟ ~ χ (1) ⎜ 2⎝ σ ⎠
λ
即
∑X
i =1
n
i
的概率密度为
⎧ λn x n −1e −λx , x > 0 ⎪ g ( x) = ⎨ (n − 1)! ⎪ 0 其它 ⎩
因此 X =
1 n ∑ X i 的概率密度为 n i =1
⎧ (nλ ) n n −1 −λny ⎪ y e , h( y ) = ng (ny ) = ⎨ (n − 1)! ⎪ 0, ⎩
2
2
2
由于两个总体是 X 和 Y 相互独立的,所以其相应的样本也是相互独立的,故
1 1 ( X 1 + X 2 + " + X 9 ) 与 (Y12 + Y22 + " + Y92 ) 也相互独立,于是由 t 分布的定义知, 9 9
X1 + " + X 9 Y12 + " + Y92 1 (X1 + " X 9 ) 9 1 2 (Y1 + " + Y92 ) / 9 9
[
]
= (n − 1)σ 2 + 0 + (n − 1)σ 2 = 2(n − 1)σ 2
7、解 记 D( X ) = σ （未知） ，易见 E (Y1 ) = E (Y2 ) ， D(Y1 ) = σ / 6, D(Y2 ) = σ / 3
2 2 2
由于 Y1 , Y2 相互独立，故有
E (Y1 −Y 2) = 0,
2
2
4、解
由正态分布的性质及样本的独立性知,
X 1 + X 2 + " + X 9 ~ N (0,9 2 )
Yi ~ N (0,1) , i = 1,2,",9 3
⇒
1 ( X 1 + X 2 + " + X 9 ) ~ N (0,1) 9
又
所以
1 2 ⎛Y ⎞ ⎛ Y1 ⎞ ⎛ Y2 ⎞ 2 2 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + " + ⎜ 9 ⎟ = (Y1 + Y2 + " + Y9 ) ~ χ (9) 9 ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
故有
Φ(
n ) ≥ 0.975 2
⇒
n ≥ 1.96 2
⇒
n ≥ 15.3664
因此 n 至少应等于 16. 3、解 由于 由正态分布的性质及样本的独立性知, X 1 − 2 X 2 和 3 X 3 − 4 X 4 均服从正态分布,
E ( X 1 − 2 X 2 ) = 0, D ( X 1 − 2 X 2 ) = D ( X 1 ) + 4 D ( X 2 ) = 20
Z=
2 (Y1 − Y2 ) = S
U
χ2 /2
~ t (2)8、解由(n − 1) S 2
σ
2
~ χ 2 (n − 1) ,其中由题意知, n = 25 , σ 2 = 100 ,于是
4
⎧ (n − 1) S 2 50(n − 1) ⎫ 2 P{S 2 > 50} = P ⎨ > ⎬ = P{χ (25 − 1) > 12} 2 2 σ σ ⎭ ⎩
5.设总体 X 服从正态分布 N (0,2 ) ,而 X 1 , X 2 , ", X 15 是来自总体 X 的简单随机样本,试确
2 X 12 + " + X 10 定随机变量 Y = 的分布. 2 2 2( X 11 + " + X 15 )
6. 设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 N ( μ , σ ) (σ > 0) , 从 该 总 体 中 抽 取 简 单 随 机 样 本
2
X 1 , X 2 , ", X 2 n （ n ≥ 2 ） , 其 样 本 均 值 为 X =
Y = ∑ ( X i + X n +i − 2 X ) 2 的数学期望 E (Y ).
i =1 n
1 2n ∑ Xi , 求 统 计 量 2n i =1
7. X 1 , X 2 ,", X 9 是取自正态总体 X 的简单随机样本,