寒假练习9极限判断
极限练习册答案
极限练习册答案1. 求下列函数在x=0处的左极限和右极限：\[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]解：首先，我们可以将函数f(x)重写为：\[ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \]当x不等于1时，我们可以消去分子和分母的(x - 1)项，得到：\[ f(x) = x + 1 \]因此，当x趋向于1时，f(x)的左极限和右极限都是2。
2. 判断函数f(x) = x^2 在[0, ∞)区间上是否连续。
解：函数f(x) = x^2是一个二次函数，它在所有实数范围内都是连续的。
特别地，在[0, ∞)区间上，它没有不连续点，因此是连续的。
3. 求下列函数的极限：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]解：由于正弦函数的值在-1和1之间振荡，而x趋向于无穷大，分母x的增长速度远大于正弦函数的振荡幅度，因此这个极限的值为0。
4. 求下列函数的极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]解：这个极限是正弦函数的导数在x=0处的值，根据微积分的基本定理，这个极限的值为1。
5. 判断下列函数是否在x=0处存在极限：\[ f(x) = \frac{1}{x} \]解：函数f(x) = 1/x在x=0处没有极限，因为当x趋向于0时，函数值趋向于无穷大或无穷小，而不是趋向于某个固定的值。
结束语：以上是极限练习册的部分答案，极限是微积分中的基础概念，理解并掌握极限的性质对于深入学习微积分至关重要。
希望这些答案能够帮助你更好地理解极限的求解方法和应用。
(完整版)极限练习(基础题)
适用标准第二章极限与连续一、判断题1.若 lim f ( x)lim f ( x) ，则 f ( x) 必在 x 0 点连续；（ ）x x 0x x 02. 当 x0 时， x 2 sin x 与 x 对比是高阶无量小；（ ） 3.设 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x)lim f ( x)；（ ）xx 0x x 04.函数f ( x) x 2sin 1, x 0在 x 0 点连续； （ ）x0 , x 05.x 1 是函数 yx 2 2 的中断点； （）x 16. f ( x) sin x是一个无量小量；（ ）7. 当 x0 时， x与 ln(1 x 2 ) 是等价的无量小量；（ ） 8.若 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 在 x 0 处有定义； （）x x 09. 若 x 与 y 是同一过程下两个无量大批，则 xy 在该过程下是无量小量；（）10. limx 1 ； （ ）x 0 x sin x 211. lim x sin 11 ； （ ）xx 012. lim(1 2) xe 2 ；（）xx13. 数列1, 0, 1, 0, 1 , 0, L 收敛 ；（ ）2 4 814. 当 x 0 时， 1 x1 x ~ x ；（ ）15. 函数f ( x) x cos 1 ，当 x时为无量大；（）sin x x16. ；（ ）lim1xx17. 无量大批与无量小量的乘积是无量小量； （ ）18. ln(1 x) ~ x ； （ ）19. 1；（ ） lim x sin1xx20. limtan x1 .（）x 0x出色文档适用标准二、单项选择题x 27x 1211、 limA．1B． 0C（）．D ．x 4 x 25x 432、 lim( xh) 2 x 2 =()。
A. 2x B. hC. 0D.不存在h 0h3、 lim2x 2 x 3（）A．B．2C． 0D． 13x 2x2x34、 limn33 3 n 1（）A．B ．3C． 0D．142nn 1 n 245、设 f ( x)3x 2, x 0 ，则 lim f ( x)()x22, xx 0(A) 2(B)(C)1 (D)26、 设f( x)x，e 2 1 x 0,则 lim f (x) ()，x 0x 1x(A) 1 (B)(C)1(D)不存在x 2， x 07、设 f ( x)2， x 0 , 则 lim f ( x) ( )x 1， x 0 x(A) 2(B)(C) 1 (D)不存在8设 f ( x) x 1 , 则 lim f ( x) （）A． 0 B． 1 C ． 1 D ．不存在、x 1 x 11 ） A.B. 1C.D. 不存在9、 lim xcos（xx10、 lim x sin 1 （）A.B.1C.D.不存在xx11、以下极限正确的选项是 ()A.lim xsin11B. lim xsin11； C. lim sin x 1 ； D.lim sin 2 x 1；xxx 0 xxxx 0x12、 lim sin mx( m 为常数 ) 等于 ( )B. 1C.1D.mxx 0m13、 lim 2 n sinx等于 () B. 1C.1 D. xnn2x14、 lim sin 2x（）C. ∞2)xx( x出色文档适用标准15、 limtan3x（） A.B.3x 02x216、 lim (12) x（ ） A.e -2B.e -1C. e 2xx2, x 117、已知函数 f (x)x1, 1 x 0 ，则 lim f ( x) 和 lim f ( x) ()0 x 1 x1x 01 x2 ,(A) 都存在 (B)都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D)第一个不存在，第二个存在18、当 n时， n sin1是 ()n(A) 无量小量 (B) 无量大批 (C) 无界变量 (D) 有界变量19、x 1时，以下变量中为无量大批的是( )1x 2 11 x 1(A) 3x(B)1x(C)(D)x 2 11x20、函数xx 1的连续区间是 ()f (x)12 x 1(A) (,1)(B) (1,)(C) (,1)(1, ) (D)( , )x 2 1， x 021、 f ( x)0， x0 的连续区间为 ( )x ， x(A) （， ） (B) （ ，0）（0， ） (C) （ ，0] (D) （0， ）22、函数 f (x)1, x 0 ，在 x0 处 ()1, x(A) 左连续 (B)右连续 (C) 连续 (D)左、右皆不连续23、 f ( x) 在点 xx 0 处有定义，是 f (x) 在 x x 0 处连续的 () (A) 必需条件 (B)充足条件 (C) 充足必需条件 (D)没关条件1 24、设 f(x)=(1 x ) x a,, x 0 要使 f(x) 在 x=0 处连续，则 a=（）x 01C.e出色文档25、设 f ( x)sin x x 0在 x=0 处连续，则常数x a=（ ）ax 026、设 f ( x) 1 x 1 x ，x 0 在 x 0 点处连续，则 kxk ， xA.0 ；；C.1 ； D. 2；227、设函数 f (x)x 4 2 ， x0 在点 x0 处连续，则 k xk ， x 0A. 0B.1 C. 1 D. 242等于 ( )等于 ( )x 1 , x 128、若函数y在 x 1 处是（）3 x , x 1A. 可去中断点B. 跳跃中断点C. 无量中断点D. 非无量型的第二类中断点e xx,则以下说法中正确的选项是 () 29、 设f (x)x 2 ，1 ， x 0(A) f ( x)有1个中断点 (B) f (x)有 2个中断点(C) f ( x)有3个中断点(D)f (x)无中断点30、 设f (x)x 4 的中断点个数是 ()2 3x4 xA. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题x hx___________ ；2x 71 ；limh、 lim______ 1、 h 0x 1x13、 lim3n 2 = _______ ； 4sin x2、 lim_______ ；n5n2n1xx5、 limxsin x____________ ．6、 lim (xa) sin(a x)xxx a7、 limsin x.、 lim(1 2 )x x 03x8x ________；x出色文档9、 lim x[ln( x2) ln x]_________ln(1 3x)lim_________ ；x10、 x 0 sin 3x11、 limx 3x2ax4存在 , 则 a ______ ；x 1x 112、当 x 0 时， 1 cos x 是比 x ______ 阶的无量小量；13、当 x 0 时， 若 sin 2x 与 ax是等价无量小量，则 a ______ ； 14、当 x0 时， 4 x 2与 9 x3是 ______（同阶、等价）无量小量 .15、函数 y x 2在 _______ 处中断；x 29116、11 设 f ( x)e x 2 ,x 0 在 x0 处 ________（是、否）连续；0, x 0sin 2x17、设 f ( x)x , x 0 连续，则 a_________ ；a, x 018、设 f ( x)a x, x 0 在 x 0 连续，则常数 a。
函数极限习题及解析
函数极限习题及解析1. 极限的定义函数极限是研究函数变化趋势的重要概念，通过求取函数在某一点附近的极限值，可以推断函数在该点的行为。
函数极限的定义如下：对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时，有 |f(x)-L| < ε 成立，那么称函数 f(x) 在 x=a 处具有极限 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式在计算极限的过程中，常常会用到一些基本的极限公式，它们的证明可以依靠函数极限的定义以及一些基础的数学概念。
以下是一些常见的基本极限公式：公式1：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
公式2：lim(x→a) x = a。
lim(x→a) x = a。
公式3：lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
公式4：lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
公式5：lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
lim(x→a) (f(x) ± g(x)) =lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
3. 极限的题和解析题1：求函数 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解析：直接代入 x = 1，得到 f(x) = 0/0，这种形式的函数是无法通过直接代入求得极限的。
我们可以对该函数进行化简，得到 f(x) = x + 1。
极限定理习题及答案
极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。
本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。
一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。
因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。
2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。
但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。
对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。
将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。
因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。
3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。
我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。
为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。
对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。
极限判断题训练和填空题训练
一、判断题1．有界数列必有极限． （ ）2．单调数列必有极限． （ ） 3．无穷大量必是无界数列． （ ）4．无界数列必是无穷大量．（ ）5．若数列{}n a 与数列{}n b 的极限均不存在，则它们的和与积的极限必不存在．（ ） 6．若数列{}n n b a ⋅的极限存在，则数列{}n a 与{}n b 的极限必存在． （ ）{}{})(0b a lim 则是任意数列,b 是无穷小量,a 7．若n n n n n =⋅∞→())(a.b lim 则0,b a lim a,a lim 8．若n n n n n n n ==-=∞→∞→∞→()())(b.1x f lim 则b,x f lim 若9．20x 1x =+=→→10．两个无穷大量之和的极限仍是无穷大．（ ）11．无穷大量与无穷小量的和、差仍是无穷大量． （ ） 12．无穷多个无穷小量之和仍是无穷小量． （ ） 13．无穷小量是一个很小很小的数． （ ） 14．无穷大量是一个很大很大的数． （ ）{})必以A为极限.(a 则数列A越小,a 15．当n越大时,n n -{})必以A为极限.(a 越接近于零，则数列|A a |16．当n越大时,n n -17．0>∀ε(“∀”表示“对于任意给定的”)存在N=N(ε)>0，当n>N 时，使得N u 以后的无穷多项都落在开区间(A-ε，A+ε)内，则.A u im l n n =∞→． （ ）)(的极限为0.n 118．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧()())(0.则必有A A,x f lim 且0,x 19．若f 0x x >=>→ ()())(0.x 则必有f 0,且A A,x f lim 20．若0x x >>=→21．某变量在变化过程中，就其绝对值而言，越变越小，则该变量必是无穷小量． （ ）22．某变量在变化过程中，会变得比任何数都要小，则该变量必是无穷小量． （ ） 23．两个非无穷小量之和，一定不是无穷小量． （ ） 24．两个非无穷小量之积，一定不是无穷小量． （ ）25．在某变化过程中，若()x f 1与()x f 2极限，则在该过程中，()()x f x f 21+必无极限．（ ）26．在某变化过程中，若()x f 1有极限，()x f 2无极限，则在该过程中，()()x f x f 21+必无极限． （ ）()()[])(也不存在.x f lim 则不存在,x f lim 27．若2x x x x 0→→()()())(必存在.x f lim 则均存在,x f lim ,x f lim 28．若0x x x x x x →→→+- ()())(连续.在x x 则f 处有定义且有极限,在x x 29．若f 0030．若f(x)在(a ，b)内连续，则f(x)在该区间内必取得最大值和最小值． （ ）31．在闭区间上连续的函数，在该区间上定能取到最大值或最小值． （ ） 32．设函数f(x)在[a ，b]—上连续，f(x)>0，则()xf 1在[a,b]上存在最大值和最小值． （ ）二、填空题_.__________|u |lim 则A,u lim 1．若n n n n ==∞→∞→.10110110恒有N时,___.当n 最小值的N取____1,10110lim 2．4n n n n n -∞→<-->=- .1011n 1n 恒有始,当n从______开1,1n 1n lim3．4n -∞→<-+-=+-__.__________4n 2n 3n n 321lim 4．232322n =-++++++∞→ _____.则A与B______B,a lim A且a lim 若5．在同一过程中,n n n n ==∞→∞→()_________.n 1n nlim 6．n =-+∞→_.__________b a b a lim 则0,b 7．设a 1n 1n n n n =++>>++∞→()()()()()0.______l 11.1l ,________;l ____;l ,0010.__________sinl 9.,_______;,______,1180000>=∆-∆+====⎩⎨⎧>+≤==⋅→→+=→∆→→→∞→-+x xxx x im．x f im b x f im x f im x bax x e x f ．x x im ．y x y x x y ．x x x x x n 时当则设是无穷大量时当是无穷小量时当设π12．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-+=.x x x x,x x x x f 222211322,则()()______;x f im l _______;x f im l 1x 0x ==→→ ()()._______x f im l _______;x f im l 4x 2x ==→→()()()()______.|x |需取,0εε6x56x 要使6,x 56x lim 14．对于_____.需取δ,0εε|1225x |要使12,25x lim 13．x 2x >><-+=+=><-+=+∞→→ ()_.__________b ________;则a 0,b ax 1x xlim．对于16.10|4x |而使δ,|2x |才能由____时,当δ4,x lim 15．对于2x 3222x ===--+-<-<-==+∞→-→()()______.不同点是______连续与存在极限的主要在x x 18．函数f 是_______.处连续的充分必要条件在x x 17．函数f 00参考答案一、判断题1．否．比如数列(){}n1-是有界的()()1|1|n≤-因为，但它无极限．2．否．比如数列{n}是单调的，但无极限．3．是．由无穷大量的定义知，对于任意正数M ，总存在正整数N ，使当n>N 时，恒有M |u |n >成立，而M |u |n >恰好说明{}n u 无界．4．否．比如数列1，0，2，0，3，0，…，n ，0，…是无界数列，但它不是无穷大量．5．否．比如数列()()211b ,211a nn nn --=-+=的和为1、积为0，显然都收敛． 6．否．比如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅1n 1n 的极限为1，但数列{}n 的极限不存在． 7．否．如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅1n 1n ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n 1是无穷小量，{n}是任意数列．.11n 1n lim n =+⋅∞→ 8．是．根据数列极限四则运算可得．()()()b.1x f lim 所以b,x f lim 又因1,1x lim 9．是．因为20x 1x 20x =+==+→→→10．否．如{n}与{-n}之和的极限为零．正确的命题应是：两个同号无穷大量之和的极限为无穷大．11．是．由于无穷小量是有界数列，据运算法则知有界数列与无穷大量的和、差仍为无穷大，所以原命题正确．12．否．如⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧2322n n ,,n 3,n 2,n 1 都是无穷小量，其和的极限为().n n n im n n n n im n n 21121l 21l 2222=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→ 正确的命题是：有限个无穷小量之和仍为无穷小量．13．否．首先要肯定无穷小量不是一个数（除零以外），在n →∞的过程中，它的绝对值能小于给定的任意正数ε（不论ε多么小），无穷小量能深刻说明自身与零的无限接近程度．14．否．思路同上．15．否．如,n a n -=A=1，当n 越大时，()1n A a n +-=-越小，但n a 并不以1为极限，因为{}n -无极限．16．否．“越来越接近零”并不意味着“无限趋于零”． 17．否．“无穷多项”，并不意味着“所有项”． 18．是．19．否．如(),0x 1x x x f 2⎩⎨⎧=≠=对任何x ，都有f(x)>0，但().0x f im l 0x =→正确的命题是：若f(x)>0，且()A x f im l 0x x =→，则必有A ≥0．20．否．如()⎪⎩⎪⎨⎧=-≠=.0x 1,0x x xsin x f 虽然()01x f im l 0x >=→，但f(0)=-1<0．正确的是命是：若(),A x f im l 0x x =→且A>0，则在0x 的某一邻域内（点0x 除外），恒有f(x)>0.21.否．如()1x x f 2+=，在x →0时，|f(x)|越变越小，但()1x f im l 0x =→，不是无穷小量．22．否．如(),1x )x (f 2+-=当x →∞时，会变得比任何数都要小，但在此过程下，f(x)不是无穷小量．23．否．如()xxsin x f 1=与()1x x f 2-=，当x →0时均非无穷小量，但()()[]().01x x x sin im l x f x f im l 0x 210x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+→→ 24．否．如()⎩⎨⎧=x为无理数1x有理数，x x f 1与()⎩⎨⎧=.x x,x 1x f 2为无理数为有理数当x →0时，它们显然都不是无穷小量，但()()x x f x f 21=⋅，当x →0时是无穷小量．25．否．如()(),x1sin 2x f ,x 1sinx x f 21-=+=当x →0时，两函数均无极限，但()(),2x x f x f 21+=+当x →0时，极限存在．26．是．可用反证法证明，若()()x f x f 21+有极限，那么根据极限四则运算法则知，()()[]()()x f x f x f x f 2121=-+必有极限，这与题设矛盾．27．否．28．否．尚需左、右极限相等． 29．否．尚需极限值等于函数值．30．否．如()2x x f =在（0，1）内连续，但在（0，1）内既无最大值也无最小值，正确的命题是将（a ，b ）改为闭区间[a ，b]．31．否．将“或”改为“和”，即既取得最大，也取得最小，俗称“一取就是一对”． 32．是．二、填空题 1．|A|2．若110110iml nn n =-∞→，即对于任意给定的ε>0,总存在自然数N,当n>N 时，有ε<--110110nn ，即.1g l n ,110,101nn ε>ε>ε< [] 1.n 取N 1,20000n ,1021n ,101n 2,1011n 1n 3．444+=->>+<+∴<-+---()()()().914n 2n 3n 12n 1n n 61lim 12n 1n n 61n 321914．23n 2222=-++++∴++=++++∞→5．相等 因为若某一数列极限存在，则极限惟一．()().21n 1n n lim n 1n n 1n n 1n n lim 原式216．n n =++=++++-+=∞→∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎭⎫ ⎝⎛+→⎪⎭⎫ ⎝⎛<<∴>>=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1a b 0,1a b 1,a b 00b a .a 1b a b a a b 1lim 原式a 17．nn n nn8．∞，-10.x πlim xxπx πsinπlimx πsin x lim 9．0x x x ==⋅⋅=⋅∴+∞→+∞→+∞→ 10．b ，1，1()()().x21xΔx x 1limxΔx x Δx xΔx x x Δx x limx2111．0Δx 0Δx =++=++⋅++-+→→()()()()()()()()()()()() 6.22x lim x f lim 6,x f lim 2;x f lim 2,x lim x f lim 2,22x lim x f lim 2,x f lim 极限不存在;x f lim x f lim 0,32x x lim x f lim 1,x lim x f lim 不存在,x f lim 3;32x x lim x f lim 3,12．4x 4x 4x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 1x 1x 21x 1x 1x 1x 1x 20x 0x =-===∴===-==∴≠∴=-+===-=-+=--+--++-+--++→→→→→→→→→→→→→→→→→→()()即可.5ε取δ,5ε|2-x | ε|2x |必有50εε|1225x |要使5ε13．=<∴<-><-+解法与上题同.ε514． 41015．3-2116．1,-()()().x f x f lim x f lim 即右连续17．左,0x x x x 0==-+→→18.了函数f(x)在0x 连续要求函数f(x)在0x 点有且()()0x x x f x f im l 0=→，而f(x)在0x 点存在极限则并不要求f(x)在0x 点有定义且f(x)在0x x →时的极限与f(x)在0x 处的函数值无关．。
数学极限练习题有答案
数学极限练习题有答案数学极限是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
掌握极限的求解是理解微积分的基础。
以下是一些数学极限的练习题，包括它们的解答。
# 练习题1求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以使用洛必达法则。
首先，我们对分子和分母求导：\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \]然后求新的极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 \]所以，原极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。
# 练习题2求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3}\)。
解答：当 \(x\) 趋向于无穷大时，最高次项将主导整个表达式。
因此，我们可以忽略低次项和常数项：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3 \]所以，原极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3} = 3\)。
# 练习题3求极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)。
解答：这是一个简单的多项式函数，我们可以直接代入 \(x = 1\)：\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = (1)^2 - 1 = 0 \]所以，原极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。
# 练习题4求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)。
解答：使用泰勒展开，我们知道：\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]所以：\[ 1 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]代入原极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + \lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} \]由于 \(o(x^2)\) 相对于 \(x^2\) 是高阶无穷小，所以极限为：\[ \lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0 \]因此，原极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)。
极限练习题及解析
极限练习题及解析一、概述极限是微积分的基本概念之一，用于描述数列、函数等在某一点或无穷趋近某一点时的表现。
极限练习题在数学学习中起到了重要的训练和应用作用。
本文将介绍几个经典的极限练习题，并提供详细的解析过程。
二、经典练习题1. 问题描述：求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}$。
解析：由于分子和分母的次数相同，我们可以利用最高次项的系数进行极限求解。
根据极限的性质，我们可以忽略分子和分母中低阶的项，只保留最高次项。
因此，$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1$。
2. 问题描述：求极限$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}$。
解析：这是一个分式极限问题，我们可以尝试进行因式分解。
由于$x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$，我们可以将分子进行因式分解。
然后可以约掉公因式$(x-2)$，即得到$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2} =\lim_{x\to2}(x^2+2x+4)$。
将$x$代入结果得到$2^2+2\times2+4 = 12$。
3. 问题描述：求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
解析：这是一个常见的三角函数极限问题，我们可以利用泰勒级数展开对$\sin x$进行拆解。
泰勒级数展开为$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$。
将展开式带入极限，得到$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}{x}$。
寒假运动挑战挑战极限的激情之旅
寒假运动挑战挑战极限的激情之旅寒假是学生们期待已久的假期，大家可以放松身心，尽情享受休闲时光。
然而，对于一些喜欢挑战自我的人来说，寒假并不仅仅是休闲的时刻，他们更愿意将这段时间用于挑战自己的极限。
本文将介绍一些寒假运动挑战的方式，让你在假期中尽情释放激情，迎接挑战。
1. 滑雪挑战滑雪是寒假期间最受欢迎的运动之一。
对于初学者来说，寒假是一个绝佳的机会去滑雪场学习滑雪技巧。
你可以选择一个滑雪场进行培训课程，学习基本的转弯、刹车和平衡技巧。
随着不断的练习，你可以逐渐挑战更难的斜坡和速度。
对于已经掌握滑雪技巧的人来说，挑战更高难度的滑雪道是一个很好的选择。
寒假期间，很多滑雪场都会举办各类比赛和挑战赛，你可以参加其中，尝试在竞争中突破自我，实现更高的成绩。
2. 冰壶运动冰壶是一项需要团队协作和精确控制的运动。
在寒假期间，你可以组织一支冰壶队伍，和朋友们一起参加冰壶比赛。
参加冰壶比赛首先需要学习基本的投掷技巧和冰壶的运动规律。
你可以找到一家专业的冰壶培训机构，学习并提升自己的技术水平。
在学会基本技巧后，你可以组织小规模的比赛，多次练习并逐渐提高自己的竞技水平。
3. 高山滑雪跳台高山滑雪跳台是一项非常刺激和具有挑战性的运动。
在寒假期间，你可以参加高山滑雪跳台的培训，学习技巧和飞跃的方法。
高山滑雪跳台需要极大的勇气和对身体的控制力。
在学习基本滑雪技巧后，你将接受专业培训，了解如何利用惯性和空气动力学飞越跳台。
随着练习的深入，你可以逐渐提高跳台的高度和难度，体验飞越的刺激与挑战。
4. 冰上曲棍球冰上曲棍球是一项极富激情和团队合作的运动。
在寒假期间，你可以组织一支冰上曲棍球队，参加全民冰上曲棍球比赛。
冰上曲棍球需要掌握基本的滑冰和球棍技巧。
你可以找到专业的教练进行培训和指导。
在掌握基本技巧后，你可以组织队友进行训练，并报名参加各类冰上曲棍球比赛。
在比赛中，你将体验到团队协作和对抗的快感，享受激情的冰上运动。
5. 自由攀岩自由攀岩是一项挑战极限的户外运动。
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寒假练习9——极限判断极限判断是指从事物的极端上来考虑问题的一种思维方法。
该思维方法的特点是确定了事物发展的最大(或最小)程度以及事物发生的范围。
这就为解决问题指明了方向。
经典题：例题1 ：（2001年全国高考）在120℃时分别进行如下四个反应：A．2H2S+O2＝2H2O＋2S B．2H2S+3O2=2H2O+2SO2C．C2H4+3O2=2H2O+2CO2D．C4H8+6O2=4H2O+4CO2（l）若反应在容积固定的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体总压强（P）分别符合关系式d前=d后和P前＞P后的是；符合关系式d前=d后和P前=P后的是（请填写反应的代号）。
（2）若反应在压强恒定容积可变的容器内进行，反应前后气体密度（d）和气体体积（V）分别符合关系式d前>d后和V前<V后的是；符合d前>d后和V前＞V后的是（请填写反应的代号）。
方法：从反应物全部变成生成物来做极限判断。
捷径：（1）在容积固定的容器内，四个反应的反应物和生成物中除硫单质外均为气体，所以反应B、C、D均符合d前=d后的关系式。
反应B反应后气体物质的量减少，根据气态方程可知P前＞P后，而反应C反应前后气体物质的量没有变化，符合P前=P后。
以此第一问答案为B，第二问答案为C。
（2）如果保持压强恒定，反应物和生成物均为气体时，气体的密度与气体的体积成反比，即若符合关系式d前>d后，一定满足V前<V后，所以只要反应后气体物质的量增大的就满足上述题意。
即D为答案。
而关系式d前>d后和V前＞V后同时成立，则反应中必有非气体物质存在。
只有反应A有固态物质硫存在，且反应物H2S和O2的任一种气体的密度均大于生成物水蒸气的密度（在相同条件下相对分子质量大的气态物质密度大），以及反应前后气体物质的量减少，符合V前＞V后。
以此第一问答案为D，第二问答案为A。
总结：解本题还应用了物理学中气态方程和化学中的阿伏加德罗定律。
这是一道物理和化学学科间综合试题，体现了当今的命题方向。
例题2 ：（1994年全国高考）把含有某一种氯化物杂质的氯化镁粉末95mg溶于水后,与足量的硝酸银溶液反应,生成氯化银沉淀300mg,则该氯化镁中的杂质可能是（）A．氯化钠B．氯化铝C．氯化钾D．氯化钙方法：采用极值法或平均分子量法。
捷径：[解法一]：（极值法）假设95mg全为MgCl2，无杂质，则有：MgCl2 ~ 2AgCl95mg2×143.5mg生成沉淀为287mg，所以假设95mg全部为杂质时，产生的AgCl沉淀应大于300mg。
则杂质若写成M x Cl2形式时，xM的式量应小于Mg的原子量24，才符合题意。
A．NaCl→Na2Cl2，23×2﹥24不符合。
B．AlCl3→，27×﹤24可以。
C．KCl→K2Cl2，39×2﹥24不行。
D．CaCl2，40﹥24不可以。
以此得答案为B。
[解法二]：（平均分子量法）将混合物写成M x Cl2形式，有：M x Cl2→2AgCl1mol 2moly mol解得y = 。
则混合物的平均分子量M = = 90.9，因MgCl2的分子量为95﹥90.9，则杂质M n Cl2的分子量应小于90.9，才符合题意。
A．NaCl →Na2Cl2，分子量117，不行。
B．AlCl3→，分子量89，可以。
C．KCl→K2Cl2，分子量149，不可以。
D．CaCl2，分子量111，不可以。
总结：极值法和平均分子量法本质上是相同的，目的都是求出杂质相对分子量的区间值，或者杂质中金属元素的原子量的区间值，再逐一与选项比较，筛选出符合题意的选项。
例题3 ：（1996年全国高考）在一个容积固定的反应器中,有一可左右滑动的密封隔板,两侧分别进行如图所示的可逆反应.各物质的起始加入量如下:A、B和C均为4.0mol、D为6.5 mol、F为2.0 mol,设E为x mol.当x在一定范围内变化时,均可以通过调节反应器的温度,使两侧反应都达到平衡,并且隔板恰好处于反应器的正中位置.请填写以下空白:(1)若x=4.5,则右侧反应在起始时向(填“正反应”或“逆反应”)方向进行.欲使起始反应维持向该方向进行，则x的最大取值应小于.(2)若x分别为4.5和5.0，则在这两种情况下,当反应达平衡时，A的物质的量是否相等? (填“相等”、“不相等”或“不能确定”).其理由是：。
方法：解答该题时，首先要考虑两侧都达到平衡时物质的量必须相等，然后要从完全反应的角度去考虑极大值，因是可逆反应，所以又应小于极大值。
至于第(3)问，应从两平衡体系的相互关系去分析，即两体系温度始终相同。
捷径：(1)已知左侧平衡时总物质的量为12.0 mol，因此右侧达到平衡时的总物质的量应为12.0 mol。
现x = 4.5, 则右侧起始时混合物的物质的量为4.5 + 6.5 + 2.0 =13。
反应在起始时必须向正反应方向进行才能使物质的量变成12mol。
确定x的最大取值应小于多少，可通过两种方法求解。
方法一：假定加入的x molE完全转化时，则D余（6.5 —x/2）mol，F共有（2.0 + x）mol，由（6.5 —x/2）+ （2.0 + x）= 12.0 ，解得x = 7.0 。
则欲使起始反应维持向正反应方向进行，则x的最大取值应小于7。
方法二：设达平衡时E的消耗量为2amol。
起始时: 6.5 x 2.0平衡时: 6.5-a x-2a 2.0+2a因左侧反应混和物总的物质的量为12mol，所以达平衡时右侧反应需满足:(2)因为这两种情况是在两个不同温度下达到化学平衡的，平衡状态不同，所以A的物质的量也不同。
总结：压强对平衡体系的影响在众多的可逆反应分析中经常出现，此类试题要求考生既要分析平衡状态，又要分析相互影响，有时还要考虑极限值问题。
金钥匙：例题1 ：在标准状况下H2和Cl2的混合气体a L，经光照后完全反应，所得气体恰好能使b mol 的NaOH完全转化为盐，则a，b的关系不可能是下列的（）。
A．b = a/22.4 B．b ﹥a/22.4 C．b ≥a/11.2 D．b﹤a/22.4方法：“气体恰好能使b mol 的NaOH完全转化为盐”是该题的关键之处。
“气体恰好”是指能与NaOH反应的气体能完全与之反应并转化为盐，而不是气体无剩余(可能剩余H2)。
以此可用极限法去分析，即NaOH的最小值为a L全为H2，NaOH的最大值为a L全为Cl2。
捷径：若a L全为H2时，耗碱量为0，若a L全为Cl2时耗碱量最大，此时b = a/11.2 。
因此对二者的混合气体而言，耗碱量应介于0 ～a/11.2之间，故a，b关系不可能的只有C 。
总结：此题在分析时，不仅要考虑极限值，还要考虑题中关键字词。
例题2 ：某混合物含有KCl、NaCl、Na2CO3，经分析知含Na 31.5%，含氯为27.08%（质量百分含量）。
则该混合物中含Na2CO3为( )A．25% B．50% C．80% D．无法确定方法：若假设此混合物由下列三种物质的极端组成，那么判断起来比较简单。
(1)若只由KCl和Na2CO3组成，用含Na%求出Na2CO3的质量(2)若只由NaCl和Na2CO3组成，又用含Cl%量求出Na2CO3的质量(3)若只由KCl和Na2CO3组成，用Cl%量求出Na2CO3的质量混合物中Na2CO3的实际质量应比（1）（2）中值小，比（3）中值大（因KCl比NaCl 分子量大）捷径：设混合物为100 g：（1）设混合物只由KCl和Na2CO3组成，则用含Na%求出Na2CO3的质量为：100ｇ×31.5%×= 72.6g（2）设混合物只由NaCl和Na2CO3组成，则用含Cl%量求出Na2CO3的质量为100ｇ—100ｇ×27.08% ×= 55.4g（3）设混合物只由KCl和Na2CO3组成，则用含Cl%求出Na2CO3的质量为：100ｇ—100ｇ×27.08%×= 43.2g因为72.6ｇ﹥55.4ｇ﹥50ｇ﹥43.2ｇ故正确答案为（B）总结：对于三种物质，两种数据，如通过列方程求解，因缺少数据而无法求得结果。
此时必须要考虑极限问题，通过分析极限情况而获得正确结果。
例题3 ：800℃时将1 mol CO和1 mol H2O（蒸气）通入2 L密闭容器中进行反应：CO （g）+ H2O（g）CO2（g）+H2（g）,达到平衡时测得容器内CO2为0.3 mol/L，此时再向容器内通入1 mol水蒸气，并保持温度不变，则达到平衡时CO2物质的量可能为（）A．0.9 mol B．0.6 mol C．0.3 mol D．1.2 mol方法：通过找出新平衡时CO2物质的量的范围，再进行估算即可。
捷径：由于反应是可逆的，反应物不可能完全转化，因此再向容器内通入1 mol水蒸气时，CO2的物质的量应大于0.6mol，但CO又不可能完全转化为CO2，所以CO2的物质的量应介于0.6 ～ 1 mol之间，故选A 。
总结：此类试题如果通过计算，则必须要懂得化学平衡常数，而在此条件下，想通过计算获得结果根本不可能，以此只能通过估算获解。
例题4 ：pH = 5和pH = 3的两种盐酸，以等体积混合溶液的pH 是（）A．2 B．3.3 C．4 D．8方法：根据端值及平均值分析。
捷径：根据平均值原则，端值一﹤平均值﹤端值二，不可能为A，D，而pH是对c(H+)取负对数后得到的值，不是简单地将pH1和pH2相加求算术平均数，所以不可能是C 。
以此答案只能为B。
总结：此题也可根据两强酸等体积混合后巧用pH混= pH小+ 0.3获得结果。
例题5 ：取3.5 g某二价金属的单质投入50g溶质质量分数为18.25%的稀盐酸中，反应结束后，金属仍有剩余；若2.5g该金属投入与上述相同质量、相同质量分数的稀盐酸中，等反应结束后，加入该金属还可以反应。
该金属的相对原子质量为( ) A．24 B．40 C．56 D．65方法：采用极限值分析，找出金属的相对原子质量的范围，而后对照选项获得结果。
捷径：盐酸溶液中溶质的质量为50g×18.25%=9.125g，9.125g盐酸为0.25mol，最多可产生H2的质量为0.25g。
由题意知，产生1g H2需金属的平均质量小于 3.5g×4=14g，大于2.5g×4=10g，又知该金属为二价金属，故该金属的相对原子质量小于28，大于20。
答案选A。
总结：该题因与盐酸反应的金属质量无法确定，因而要确定其相对原子质量，必须从两个极限值分析，通过范围而获得答案。
例题6 ：在一定条件下，气体A可发生如下反应：2 A(g) B(g）+3 C(g）。