第1章三角函数章末测试(人教A 必修四)

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人教版数学高一-人教A版必修4章末综合检测第1章三角函数

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝tan x2是( )A ．最小正周期为4π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为4π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B ．该函数为奇函数，其最小正周期T ＝π12＝2π.2．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C .相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.3．设a ＜0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A .25 B ．－25C .15D ．－15解析：选A .因为点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.因为a ＜0，所以a ＝－15.所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. 所以sin α＝－45，cos α＝35.所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.4．设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( ) A ．1 B ．tan 2α C ．－tan 2α D ．－1解析：选D .sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0.所以原式＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )为奇函数解析：选D .因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以T ＝2π，故A 选项正确；因为y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，所以y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故B 选项正确；因为f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，所以f (x )的图象关于直线x ＝0对称，故C 选项正确；f (x )＝－cos x 是偶函数，故D 选项错误．6．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D .12＋ 3 解析：选B ．sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，因此sin 600°＋tan 240°＝32. 7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A .355B ．377C .31010D .13解析：选C .由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.8．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析：选D .由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D . 9．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A .23 B ．43C .32D ．3解析：选C .法一：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －4π3ω＋π3＋2的图象．因为两图象重合，所以ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32.法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，所以ω＝32k ，所以ω的最小值为32. 10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A .π6 B ．π4C .π3D .π2解析：选A .由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，知f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0，所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z )，|φ|的最小值为π6.11．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝1，θ＝π2解析：选A .因为T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx ＋θ)，所以f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1，又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A .12．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )A .π12 B ．π6C .π3D .π4解析：选A .令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z )，因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z )，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z )，四个选项中只有A 符合，故选A .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________．解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)] ＝－cos(45°＋α)＝－513.答案：－51314．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6，当f (x )取最大值时，x 的取值集合为________．解析：由x 2－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝4k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝4k π＋43π，k ∈Z15．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________．解析：因为0＜ω＜1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ3⎣⎡⎦⎤0，π2，所以f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34. 答案：3416．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ；③把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象．其中，正确的说法是________．解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故③对．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12，求cos （3π＋θ）cos θ[cos （π＋θ）－1]＋cos （θ－4π）cos （θ＋2π）cos （3π＋θ）＋cos （－θ）的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，(1)试求ω的值；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]，列表如下， x ＋π6 －56π －π2 0 π2 π 76π x －π －23π －π6 π3 56π π y－1131则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．解：(1)由题图可知，其振幅为A ＝23，由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ.因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ的图象上，所以π8×2＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－3π4.故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z )，所以函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z )．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π)． 21．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1. (1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象？(2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的所有实数根之和．解：(1)因为T ＝2×⎝⎛⎭⎫7π12－π4＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4. y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象．(2)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期，所以sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝⎛⎭⎫π4＋2π3×2×2＝19π6，故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.22．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解：(1)把 (0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32. 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.因为T ＝π，且ω＞0，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)因为点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32. 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. 因为点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6.所以4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6，所以x 0＝2π3或x 0＝3π4.。

新人教A版高中数学必修四第一章三角函数测试题(含答案)

暑假数学课外辅导(必修4)第一章三角函数一、基本内容串讲本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()ϕω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。

1．任意角和弧度制从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。

另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2．任意角的三角函数利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y s i n =α，r x cos =α，xy tan =α。

3．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sincos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos ααα= 4．三角函数的诱导公式利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2k+与α之间函数值的关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。

5．三角函数的图象与性质6．函数()ϕω+=x A y sin 的图象作函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有以下两种方法：（1）用“五点法”作图用“五点法”作y A x =+sin()ωϕ的简图，主要是通过变量代换，设ϕω+=x z ，由z 取0，2π，π，23π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。

高中数学第一章三角函数章末综合检测(含解析)新人教A版必修4

【优化方案】2013-2014学年高中数学第一章三角函数章末综合检测（含解析）新人教A 版必修4(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12.3．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( ) A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π23cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B.4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A ．(－π4，π4)B ．(π4，3π4)C ．(π，3π2)D ．(3π2，2π)解析：选C.先画出函数f (x )＝|sin x |的图象，易得一个单调递增区间是(π，3π2)．5．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.y ＝sin 2x 向右平移π8个单位长度得到y ＝sin2(x －π8)＝sin(2x －π4)．7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3 解析：选C.由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2，故选C.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D.将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin[ω(x －π4)]的图象，因为所得图象经过点(34π，0)，则sin ω2π＝0，所以ω2π＝k π(k ∈t )，即ω＝2k (k ∈t )，又ω>0，所以ωmin ＝2，故选D.9．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)－12(ω>0)和g (x )＝12cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是( )A ．[－52，32]B ．[－12，32]C ．[－32，32]D ．[－12，12]解析：选C.由题意知ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x －π6)－12，又x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，5π6]，由三角函数的图象知，f (x )min ＝f (0)＝2sin(－π6)－12＝－32，f (x )max ＝f (π3)＝2sin π2－12＝32. 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝2 解析：选C.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．化简：1tan (450°－x )tan (810°－x )·cos (360°－x )sin (－x )＝________.解析：原式＝1tan (90°－x )tan (90°－x )·cos xsin (－x )＝tan x ·tan x ·(－1tan x)＝－tan x .答案：－tan x12．将函数f (x )＝2cos(x 3＋π6)的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为________．解析：左移π4个单位，即是将x 换成x ＋π4，下移1个单位即是函数值减1，变化后可得解析式为2cos(x 3＋π4)－1.答案：g (x )＝2cos(x 3＋π4)－113．函数y ＝tan(x 2＋π4)的递增区间是________．解析：由－π2＋k π<x 2＋π4<π2＋k π，解得－3π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z .答案：(－3π2＋2k π，π2＋2k π)(k ∈Z )14．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值为2，则ω＝________.解析：0<ω<1，x ∈[0，π3][0，π2]，故f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，∴ω＝34.答案：3415．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．(填序号)解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错．答案：①④三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知角α的终边经过点P (－3,4)，求： 2sin (π－α)·cos (2π－α)＋1cos 2α＋sin (π2－α)·cos (3π2＋α)的值．解：由题意：tan α＝－43.原式＝2sin α·cos α＋1cos 2α＋cos αsin α＝2tan α＋tan 2α＋11＋tan α＝－13.17．已知tan α、1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<72π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．解：由题意，根据根与系数的关系，得tan α·1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2.又3π<α<72π，∴tan α>0，1tan α>0，∴tan α＋1tan α＝k >0，即k ＝2，而k ＝－2舍去．∴tan α＋tan α＝1tan α＝1，∴sin α＝cos α＝－22，∴c os(3π＋α)－sin(π＋α)＝sin α－cos α＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(2x －π3)．(1)求f (x )的定义域；(2)比较f (π2)与f (－π8)的大小．解：(1)由已知，得2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，∴x ≠12k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的定义域为{x |x ≠12k π＋5π12，k ∈Z }．(2)f (π2)＝3tan(π－π3)＝3tan(－π3)<0，f (－π8)＝3tan(－π4－π3)＝3tan(－7π12)＝3tan(π－7π12)＝3tan 5π12>0，所以f (π2)<f (－π8)．19．已知函数f (x )＝2sin(2x －π4)．(1)利用“五点法”，按照列表——描点——连线三步，画出函数f (x )在一个周期上的图象；(2)当x ∈[－π2，π8]时，f (x )－a ＝0有解，求实数a 的取值范围．解：(1)列表、画图如下：2x －π40 π2 π 3π2 2π x π8 3π8 5π8 7π8 9π8 f (x )2－2(2)∵－π2≤x ≤π8，∴－5π4≤2x －π4≤0，∴－1≤sin(2x －π4)≤22，∴－2≤2sin(2x －π4)≤1.f (x )－a ＝0有解，即a ＝f (x )有解，故a ∈[－2，1]．即实数a 的取值范围为[－2，1]． 20．已知函数f (x )＝2m sinx －2cos 2x ＋m 22－4m ＋3，且函数f (x )的最小值为19，求m 的值．解：f (x )＝2(sin x ＋m2)2－4m ＋1.(1)当－1≤－m 2≤1，即－2≤m ≤2时，由sin x ＝－m2，得函数f (x )的最小值为－4m ＋1，由－4m ＋1＝19，得m ＝－92∉[－2,2]；(2)当－m 2<－1，即m >2时，由sin x ＝－1，得函数f (x )的最小值为m 22－6m ＋3，由m 22－6m ＋3＝19得m ＝6±217，结合m >2得m ＝6＋217； (3)当－m 2>1即m <－2时，由sin x ＝1得函数f (x )的最小值为m 22－2m ＋3，由m 22－2m ＋3＝19得m ＝－4或m ＝8，结合m <－2得m ＝－4.由(1)、(2)、(3)得m 的值为－4或6＋217.。

高中数学人教A版必修4章节测试：第一章三角函数

高一数学必修4第一章《三角函数》单元测试卷一、选择题 1、集合{2ππ4ππ|+≤≤+k k αα，∈k Z }中的角所表示的范围（阴影部分）是……（）（A ）（B ）（C ）（D ）2、已知角α的终边经过点P （m 4-，m 3）（0≠m ），则α+αcos sin 2的值是…（）（A ）1或1- （B ）52或52- （C ）1或52- （D ）1-或52 3、已知x x f 3cos )(cos =，则)(sin x f 等于……………………………………………（）（A ）x 3sin （B ）x 3cos （C ）x 3sin - （D ）x 3cos - 4、已知β>αsin sin ，那么下列命题中成立的是………………………………………（）（A ）若α，β是第一象限角，则β>αcos cos （B ）若α，β是第二象限角，则β>αtan tan （C ）若α，β是第三象限角，则β>αcos cos （D ）若α，β是第四象限角，则β>αtan tan 5、要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象……………（）（A ）向左平移4π个单位（B ）向右平移4π个单位（C ）向左平移8π个单位（D ）向右平移8π个单位 6、已知α是三角形的一个内角且32cos sin =α+α，则此三角形是…………………（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形 7、若|sin θ|=15,92π<θ<5π,则tan θ等于（）AB ．- C． D．8、下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的是（）. A.)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3y x π=-2m3myPO9、函数y =tan(21x -3π)在一个周期内的图象是（）10、函数y =x +sin|x |,x ∈[-π, π]的大致图象是（）11、定义在R 上的函数f (x )满足f (x )= f (x +2),x ∈[3,5]时,f (x )=2-|x -4|,则（） A ．f (sinπ6)<f (cos π6） B ．f (sin1)>f (cos1） C ．f (cos 2π3)<f (sin 2π3） D ．f (cos2)>f (sin2） 12、如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O 距水面2米,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P 到水面距离y (米)与时间x (秒) 满足关系式y =A sin(ωx +φ)+2，则有（） A ．ω=512π,A =3 B ．ω=215π,A =3C ．ω=512π,A =5 D ．ω=152π,A =5 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13、若扇形的周长是16cm ，圆心角是2弧度，则扇形的面积是． 14、函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的值域是．15、已知2tan =θ，则=θ+θθ-θcos 3sin cos 2sin 3 ．16、已知41)6sin(=π+x ，则=-+-)3(cos )65sin(2x x ππ ． 17、不等式0tan 31≥+x 的解集是． 18、函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间是．xy53πO23π3π-xy43πOC. 3π23π-xy76πO23π6πxy56πOD.3π6π-19、函数)(x f 是周期为π的偶函数，且当[0,)2x π∈时，1tan 3)(-=x x f ，则8()3f π的值是．20、设函数)32sin(3)(π+=x x f ，给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线12π=x 成轴对称；③它的图象关于点（3π，0）成中心对称；④它在区间[125π-，12π] 上是增函数．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题62分） 21、（1）（本小题6分）化简︒--︒︒︒-170sin 1170sin 10cos 10sin 212；（2）（本小题6分）证明α+ααα=ααα-αcos cot cos cot cos cot cos cot ．（注：其中ααtan 1cot =）22、（本小题10分）已知α是第二象限角，且11)sin(+-=α+πk k ，113)25sin(+-=α+πk k ．（1）求角α的正弦值、余弦值和正切值；（2）在图中作出角α的三角函数线，并用有向线段表示αsin ，αcos 和αtan ．23、（本小题10分）已知交流电的电流强度I （安培）与时间t （秒）满足函数关系式)sin(ϕ+ω=t A I ，其中0>A ，0>ω，π<ϕ≤20．（1）如图所示的是一个周期内的函数图象，试写出)sin(ϕ+ω=t A I 的解析式．（2）如果在任意一段1501秒的时间内电流强度I 能同时取得最大值A 和最小值A -，那么正整数ω的最小值是多少？24、（本小题10分）设xxx f sin 21sin 21log )(3+-=．（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）求函数)(x f y =的定义域和值域．25、（本小题10分）已知函数f (x )=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f (x )的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f (x )是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.26、（本小题10分）设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.深圳外国语学校高一数学必修4第一章《三角函数》单元测试卷答案一、选择题CBCD CCCC ACDB 二、填空题13、16cm 2 14、{1-，3} 15、54 16、16517、26|{π+π<≤π-πk x k x ，∈k Z } 18、)](8,8(Z k k k ∈+-ππππ 19、213tan 3)3()3()33()38(=-==-=-=ππππππf f f f 20、 ①②③④三、解答题21、（1）原式1-=．（2）略． 22、（1）1=k （舍去）或91=k ；54sin =α，53cos -=α，34tan -=α．（2）作图略，MP =αsin ，OM =αcos ，AT =αtan ． 23、（1）)6150sin(300π+π=t I ；（2）943min =ω． 24、（1）奇函数；（2）定义域66|{π+π<<π-πk x k x ，∈k Z }，值域R ． 25．解：（1单调增区间为［2k π+4π，2k π+2π］，［2k π+4π5，2k π+2π］（k ∈Z ），单调减区间为［2k π，2k π+4π］，［2k π+2π，2k π+4π5］（k ∈Z ）， f (x )max =1，f (x )min =-2. （2）f (x )为周期函数，T =2π.26．解：由y =2(cos x －2a )2-2422a a -+及cos x ∈[-1,1]得：f(a)=21 (2)2 1 (22)214 (2)aaa aa a≤-⎧⎪⎪----<<⎨⎪-≥⎪⎩∵f(a)=12,∴1－4a=21⇒a=81∉［2,+∞)故-22a-2a-1=21,解得：a=-1,此时,y=2(cos x+21)2+21,当cos x=1时,即x=2kπ，k∈Z ，y max=5.。

高中数学第一章三角函数章末测试A新人教A版必修4

第一章三角函数测评A (基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 316π⎛⎫-⎪⎝⎭的值等于( )A ．－2B ．－12C.12 D.22．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45B ．－45C. 35D ．－353．设α为第二象限角，则tan α＝( ) A ．1B ．tan 2αC ．－tan 2αD ．－14．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )5．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝12π对称的是( ) A ．y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．y ＝sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．y ＝sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭6．把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是( )A ．y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．y ＝sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．y ＝sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭7．函数y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为( ) A. 2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭8．函数f (x )＝3sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值的x 值依次为( ) A ．－3，512π B ．0，－6πC2πD ．－32，－4π9．圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )10．设函数f (x )＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝3π对称 B ．f (x )的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把f (x )的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象 D ．f (x )的最小正周期为π，且在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．2 015°角是第__________象限角．12．函数y ＝3cos 22cos 32x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(-)最小正周期是________．13．设函数y ＝sin 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，若对任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是________．14．设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，那么ω的取值范围是________．15．设f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在闭区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，则ω的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题6分)化简：sin +cos 22cos(+)ππααπα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋()sin cos 2sin(+)ππααπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.17．(本小题6分)已知sin θ＝45，2π<θ<π， (1)求tan θ；(2)求222sin +2sin cos 3sin +cos θθθθθ的值． 18．(本小题6分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ) 0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的一段图象过点(0,1)，如下图所示．(1)求函数f 1(x )的解析式； (2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移4π个单位，得到函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值．19．(本小题7分)已知函数f (x )＝sin 324x π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求f (x )在x ∈[0，π]上的递增区间；(2)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)写出y＝f(x)的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．参考答案1.解析：sin 316π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－sin 316π＝－sin 746ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin 6ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin 6π＝12. 答案：C2. 解析：由三角函数定义可得cos θ＝45，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45. 答案：B3. 解析：原式＝sin cos ααsin |cos |cos |sin |αααα，又∵α是第二象限角， ∴sin α>0，cos α<0， ∴原式＝sin (-cos )cos sin αααα⋅⋅＝－1.答案：D4. 解析：特殊值法．取x ＝0，得y ＝1，排除C 、D ；取x ＝2π，y ＝1－sin 2π＝0，排除A ，故选B.答案：B5. 解析：因为函数的周期是π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，排除A ，B.当x ＝12π时，y ＝sin 2123ππ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭＝sin2π＝1为最大值，所以y ＝sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于直线x ＝12π对称，选D. 答案：D6. 解析：函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得到y ＝sin 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象．答案：A7. 解析：令2π＋2k π≤2x ＋6π≤3π2＋2k π(k ∈Z )，整理得6π＋k π≤x ≤23π＋k π，所以仅有2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭是单调递减区间．答案：A8. 解析：∵0≤x ≤2π，∴3π≤2x ＋3π≤43π，∴当2x ＋3π＝43π，即x ＝2π时，f (x )取最小值为3sin43π答案：C9. 解析：设圆半径为r ，∴圆心角弧度数为|α|＝答案：B 10. 解析：当x ＝3π时，2x ＋3π＝π，不合题意，A 不正确；当x ＝4π时，2x ＋3π＝56π，B 不正确；f (x )的图象向左平移12π个单位，得到函数 y ＝sin 2123x ππ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos 2x 的图象，是偶函数的图象，C 正确；当x ＝12π时，f 12π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 2π＝1，当x ＝6π时，f 6π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 23π，在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上f (x )不是增函数，D 不正确．答案：C11. 解析：2 015°＝5×360°＋215°，∵215°角是第三象限角， ∴2 015°角是第三象限角．答案：三12. 解析：y ＝3cos 22cos 32x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭(-)＝sin 2cos 2x x --＝tan 2x ，∴周期T ＝π. 答案：π13. 解析：由已知得f (x 1)为函数f (x )的最小值，f (x 2)为函数f (x )的最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为相邻的最大值点与最小值点之间的横坐标差的绝对值，即半个周期的长度．又T ＝22ππ＝4.∴|x 1－x 2|min ＝2.答案：214解析：因为函数在0,4T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以要使函数f (x )＝2cos ωx (ω>0)在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则有23π≤4T ，即T ≥83π，所以T ＝2πω≥83π，解得ω≤34，∴ω的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.答案：3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦15. 解析：∵0<ω<1，∴T ＝2πω， ∴4T ＝2πω>2π. ∴f (x )＝2sin ωx 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数． ∴f (x )max ＝f 3π⎛⎫⎪⎝⎭＝2sin 3πω∴sin3πω＝2，即3πω＝4π， ∴ω＝34. 答案：3416. 解：sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α，cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α， cos +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α. ∴原式＝cos sin -cos ααα⋅＋sin (-sin )sin ααα⋅＝－sin α＋sin α＝0.17. 解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925. 又2π<θ<π，∴cos θ＝－35.∴tan θ＝sin cos θθ＝－43. (2) 222sin +2sin cos 3sin +cos θθθθθ＝22tan 2tan 3tan 1θθθ++＝－857.18. 解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2Tπ＝2. 将y ＝A sin 2x 的图象向左平移12π，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×12π＝6π. 将(0,1)代入y ＝A sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭. (2)依题意知，f 2(x )＝2sin 246x ππ⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－2cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当2x ＋6π＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋512π(k ∈Z )时，y max ＝2. 此时x 的取值为5,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . 解：(1)令2k π－2π≤2x －34π≤2k π＋2π，k ∈Z ，∴k π＋8π≤x ≤k π＋58π，k ∈Z .∵0≤x ≤π，∴f (x )在[0，π]上的增区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)列表如下：(3)将y ＝sin x 的图象上的所有点向右平移34π个单位长度，得y ＝sin 34x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，再将y ＝sin 34x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)得y ＝sin 324x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图象．。

人教版高中数学A版必修4章末检测卷第一章三角函数

章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B ．420°C ．450°D ．480° 答案 B2．sin ⎝⎛⎭⎫－196π的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝－sin 196π＝－sin 76π ＝sin 16π＝12.3．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限答案 B4．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数答案 A5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A ．1B ．2 C.12 D.13答案 B6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2 B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．7．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310 B.310 C ．±310 D.34答案 B解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 答案 C解析函数y ＝sin xy ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 10．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 C11．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对答案 C 12．设a ＝sin5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <a D ．b <a <c 答案 D 解析 ∵a ＝sin5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7. 2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin2π7>cos 2π7＝b . 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴l ＝|α|·r ＝6π.∴周长为(6π＋40) cm.14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π12)＝________.答案 0解析由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，f (x 0)＝－f (x 0＋T2)，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝－f (π4)＝0.15．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．答案 8解析由T ＝2ππ3＝6，则5T 4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．答案 ①④解析对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(12分)已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0.∴cos α－sin α＝－32.(3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3·sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3) ＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3＝12·⎝⎛⎭⎫－32＝－34. 19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以函数f (x )的最小正周期为π，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π12)――→将图象上各点向上平移32个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. 20．(12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，知 x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y－22－11－22故函数y ＝f (x )21．(12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．解 (1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数的情况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． ∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2；当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.。

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第1章三角函数章末测试
一、选择题
1．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π－π2
，k ∈Z }，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B
B ．B ⊇A
C ．A ＝B
D ．以上都不对
[答案] C
[解析] 在坐标系中画出两个集合中的角的终边可知A ＝B .
2．如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )
A ．－α为第二象限角
B ．180°－α为第二象限角
C ．180°＋α为第一象限角
D ．90°＋α为第四象限角
[答案] B
[解析] －α与α终边关于x 轴对称；180°＋α终边与α终边关于原点对称；∵180°－α终边与－α终边关于原点对称，∴180°－α终边与α终边关于y 轴对称．
3．f (sin x )＝cos19x ，则f (cos x )＝( )
A ．sin19x
B ．cos19x
C ．－sin19x
D ．－cos19x [答案] C
[解析] f (cos x )＝f (sin(90°－x ))＝cos19(90°－x )＝cos(270°－19x )＝－sin19x .
4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫－x 2＋π4的最小正周期是( ) A ．π
B ．2π
C ．4π
D.π2 [答案] C
5．如图所示是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是( )
A ．A ＝3，T ＝43，φ＝－π6
B ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－34
π C ．A ＝1，T ＝23π，φ＝－34
π D ．A ＝1，T ＝43π，φ＝－π6
[答案] B
[解析] 最大值3，最小值1，∴A ＝3－12
＝1， T 2＝5π6－π6＝2π3，T ＝4π3∴ω＝32
， ∴y ＝sin(32
x ＋φ)＋2，又∵过⎝⎛⎭⎫π6，1点， ∴sin(φ＋π4)＝－1，∴φ＋π4＝2k π－π2
(k ∈Z )，令k ＝0得φ＝－3π4
，故选B. 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．－310
B.310 C ．±310
D.34
[答案] B
[解析] 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2得，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 7．已知α＝5π8
，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] D
[解析] ∵π2<5π8
<π，∴sin α>0，tan α<0， ∴点P 在第四象限．
8．已知角θ在第四象限，且⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则θ2
是( ) A ．第一象限或第三象限
B ．第二象限或第四象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] D
[解析] ∵θ在第四象限，∴θ2
在二或四象限，又∵⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2
， ∴sin θ2≤0，∴θ2
在第四象限． 9．设a >0，对于函数f (x )＝
sin x ＋a sin x
(0<x <π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．既有最大值又有最小值
D ．既无最大值又无最小值
[答案] B
[解析] 令t ＝sin x ，∵0<x <π，∴t ∈(0,1]，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋a t ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋a t
，t ∈(0,1]是一个减函数，故选B. 10．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是( )
A ．98π
B ．98.5π
C ．99.5π
D ．100π [答案] C
[解析] ∵函数在[0,1]上至少有50个最小值，
∴至少有4934
个周期，∵⎝⎛⎭⎫49＋34T ≤1， ∴1994·2πω
≤1，∴ω≥99.5π. 11．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大值为c ，最小值为d ，则( )
A ．b <d <a <c
B ．d <b <c <a
C ．b <d <c <a
D ．d <b <a <c [答案] A
[解析] ∵x ∈[0，π]，∴sin x ∈[0,1]，cos x ∈[－1,1]，∴sin(cos x )∈[sin(－1)，sin1]，即a ＝sin1，b ＝－sin1，cos(sin x )∈[cos1,1]，
∴c ＝1，d ＝cos1.又sin1>cos1，∴b <d <a <c .
二、填空题
12．已知关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是________．
[答案] 1≤k < 2
[解析] 令y 1＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4，(0≤x ≤π)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图象如图，由图象可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4 (0≤x ≤π)有两个公共点，即1≤k <2时，原方程有两解．
13．已知函数f (x )＝tan ωx (ω<0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4
，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．
[答案] 0
[解析] 由相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4知，周期T ＝πω＝π4
，∴ω＝4，故f (x )＝tan4x ，
∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tanπ＝0.
14．已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． [答案] 2或－1
[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦
⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12
a ＋3， ∴12
a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1.
综上可知，实数a 的值为2或－1.
15．已知f (n )＝sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋π4 (n ∈N ＋)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.
[答案] 0
[解析] f (n )的周期T ＝2ππ2
＝4，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π4＝cos π4－sin π4－cos π4＋sin π4
＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝502×(f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4))＋f (2009)＋f (2010)
＝f (1)＋f (2)＝cos π4－sin π4
＝0.。

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