湖北省咸宁市四校2013届高三12月月考文科数学试题

湖北省咸宁市四校2013届高三12月考文科数学试题考试时间: 2012年12月18日下午3﹕00——5﹕00 本卷三大题22小题 试卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合}2,1,9{},,4{2a B a A --=-=，若A ∩}9{=B ，则实数a 的值为（ ） A.3- B. 3 C.3± D.以上都不正确2.设R b a ∈,,已知命题b a p =:；命题2)2(:222b a b a q +≤+，则p 是q 成立的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 3.函数],0[,3sin 2sin)(2π∈+-=x x x x f 的值域为（ ）A.RB. ),2[+∞C.]6,2[D.]3,2[4.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积 为 （ ） A.π4 B.π5 C.π8 D.π105.下列说法正确的是（ ）A.存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a aB.x y tan =在其定义域内为增函数C.)2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数D.|62|sin π+=x y 最小正周期为π6.函数223)(abx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）A. )3,3(-B.)11,4(-C.)3,3(-或)11,4(-D.不存在 7.已知向量Rm m AC m AB ∈-==),1,(),,1(,则ABC ∆面积的最小值为（ ）A.1B.2C.21D.不存在 8.若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a xx有解，则a 的取值范 （ ）A.0>a 或8-≤aB.0>aC.3180≤<a D.2372318≤≤a9.已知集合,,,{321a a a A =…}n a ，记和)1(n j i a a j i ≤≤≤+中所有不同值的个数为)(A M ,如当}4,3,2,1{=A 时，由743,642,53241,431,321=+=+=+=+=+=+，得5)(=A M .对于集合,,,{321b b b B =…}n b ，若实数,,,321b b b …nb 成等差数列，则)(B M 等于( )A.32-nB.22-nC.12-nD.n 2 10.如图在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是 （ ） 243D.123C.242B.122.A二、填空题：本大题共5小题，每小题7分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11.已知16,,,,1c b a 成等比数列，则=b .12.直线05=+-y x 被圆044222=---+y x y x 所截得的弦长等于 .13.不等式xx <-23的解集是14.在△ABC 中，若3,1===c b a ，则C ∠= 15.观察下列式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+,…,根据以上式子可以猜想：+++2231211…<+220121___ __16.已知函数)2(x f 的定义域是[1,2]，则函数)(log 2x f 的定义域为17.设P 是函数)0(2>+=x xx y 的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B,则PB PA ⋅的值是三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.函数)20,0,0,)(sin()(πϕωϕω<<>>∈+=A R x x A x f 的部分图象如图所示．(1)求)(x f 的解析式；(2)设2)]12([)(π-=x f x g ，求函数)(x g 在]3,6[ππ-∈x 的最大值，并确定此时x 的值．19.某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足x -3与1+t 成反比例，当年促销费用0=t 万元时，年销量是1万件．已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150％与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． (1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？ (注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用)20.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，090=∠B ，D 为棱1BB 上一点，且D 点为棱1BB 的中点.(1)求证：面⊥C DA 1面C C AA 11；(2)若二面角C D A A --1的平面角为060，求AB AA 1的值.21. 已知函数cbx axx x f +++=23)(图像上一点),1(m M 处的切线方程为02=-y ，其中cb a ,,为常数.（Ⅰ）函数)(x f 是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a 表示）； （Ⅱ）若1=x 不是函数)(x f 的极值点，求证：函数)(x f 的图像关于点M 对称.22. 已知函数44)(+-=x x x f (4≥x )的反函数为)(1x f -，数列{}n a 满足：a1=1，)(11n n a fa -+=，（∈n N*），数列1b ，12b b -，23b b -，…，1--n n b b 是首项为1，公比为31的等比数列． （Ⅰ）求证：数列{}na 为等差数列；（Ⅱ）若nn n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．高三年级数学（文科）参考答案 1.D 2.B 3.D 4.B 5.C6.B 解答：据题意知()()1033110f a b f '=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩或411a b =-⎧⎨=⎩,但当33a b =⎧⎨=-⎩时()()2310f x x '=-≥,函数在1=x 处不存在极值.故选B.7.C 解答：两向量垂直且模都为21m +，∴)1(212m S ABC +=∆8.B 解答：方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a xx有解，等价于求134928sin sin +⋅+⋅=xxa 的值域∵]3,31[3sin ∈x∴13492sin sin +⋅+⋅xx ]31,923[∈则a 的取值范围为2372318≤≤a9.A 10.B 11.412.2 13.{}210><<x x x 或14.32π15.2012402316.]16,4[解答：在函数)2(xf 中，定义域为[1，2]即,422,21≤≤≤≤xx ∴)(x f 的定义域为[2，4] 则164,4log22≤≤≤≤x x∴)(log2x f 的定义域]16,4[17.1-解答：设)0)(2,(0000>+x x x x P ，则点P 到直线x y =和y 轴的距离分别为0022|)2(|||x x x x PA =+-=，||x PB =.∵O 、A 、P 、B 四点共圆，所以43ππ=∠-=∠AOB APB .∴PB PA ⋅=143cos200-=⋅⋅πx x18.解答：(1)由图象知,34,2π==T A 则,342πωπ⨯=∴23=ω……（2分）又)4sin(2])6(23sin[2)6(=+-=+-⨯=-ϕπϕππf∴)4sin(=+-ϕπ，∵20πϕ<<，444ππϕπ<-<-∴404πϕπϕ=⇒=-∴)(x f 的解析式为)423sin(2)(π+=x x f . ………………（5分） (2)由(1)可得]4)12(23sin[2)12(πππ+-=-x x f ),823sin(2π+=x∴2)43cos(14)]12([)(2ππ+-⨯=-=x x f x g ＝),43cos(22π+-x …（8分）∵],3,6[ππ-∈x ∴45434πππ≤+≤-x ，∴当ππ=+43x ，即4π=x 时，4)(max =x g …………………（12分） 19.解答:(1)由题意:13+=-t kx ，将1,0==x t 代入得2=k∴123+-=t x ,当年生产x (万件)时，年生产成本3)123(32332++-⋅=+=t x , 当销售x (万件)时，年销售收入150=％tt 21]3)123(32[+++-⋅⋅,由题意，生产x 万件产品正好销完∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费即)0()1(235982≥+++-=t t t t y .………（6分）(2)∵4216250)13221(50=-≤+++-=t t y (万件)当且仅当13221+=+t t 即7=t 时，42max =y ,∴当促销费定在7万元时，利润最大. ………（12分）20.解答：(1)取C A 1的中点E 点，取AC 的中点F ，连,DE EF BF ,. 由此知:DE ∥BF ，又∵面⊥BAC 面CC AA 11且相交于AC ，易知AC BF ⊥， ∴⊥BF 面C C AA 11∴直线DE ⊥面CC AA 11又DE 在面CDA 1内，且面CDA 1∩面CC AA 11＝CA 1∴面⊥C DA 1面CC AA 11；………6分(2)延长DA 1与直线AB 相交于G ，易知⊥CB 面BB AA 11,过B 作GA BH 1⊥于点H ，连CH 知:CHG A ⊥1,由此知CBH ∠二面角CD A A --1的平面角； ………9分设;,21a BC AB b AA ===在AGA Rt 1∆中，易知BG AB =.在DBG Rt ∆中,DG BG BD BH ⋅=22ba ab +⋅=，在CHB Rt ∆中，=∠CHB tan =BHBCbb a 22+， 据题意有：360tan 022==+bba ,解得:22=ab，所以=ABAA 12. ………13分21. 解：（Ⅰ）c bx ax x x f +++=23)(，b ax x x f ++='23)(2，由题意，知2=m ，,21)1(=+++=c b a f 023)1(=++='b a f ，即.4,32+=--=a c a b ………… 2分).321)(1(3)32(23)(2a x x a ax x x f ++-=+-+=' ……………3分1当3-=a 时，20)1(3)(2≥-='x x f ，3 函数)(x f 在区间),(+∞-∞上单调增加，4不存在单调减区间； ……………………5分5当3->a 时，61321<--a ，7 有∴当3->a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;1,321⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a ……………6分 8当3-<a 时，91321>--a ，10有∴当3-<a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;321,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a …………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：若1=x 不是函数)(x f 的极值点，则3-=a ，,1,3==c b .2)1(133)(323+-=++-=x x x x x f …………………10分设点),(00y x P 是函数)(x f 的图像上任意一点，则2)1()(3000+-==x x f y ，点),(00y x P 关于点)2,1(M 的对称点为)4,2(00y x Q --，∵,4222)1(2)12()2(0030300y y x x x f -=+-=+--=+--=-（或 002030020300200302000203004)133(43331363121261281)2(3)2(3)2()2(y x x x x x x x x x x x x x x x x f -=++--=+-+-=+-+-+--+-=+-+---=- ）∴点)4,2(00y x Q --在函数)(x f 的图像上.由点P 的任意性知函数)(x f 的图像关于点M 对称. …………………14分 22. （Ⅰ）∵44)(+-=x x x f 2)2(-=x (4≥x )， ∴)(1x f -2)2(+=x (0≥x )， ……………………………………（2分）∴)(11n n a f a -+=2)2(+=n a ，即21=-+n n a a （∈n N*）． ……………………………（4分）∴数列{}na 是以11=a 为首项，公差为2的等差数列．………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12)1(21-=-+=n n a n ，即2)12(-=n a n （∈n N*）． ……………………………（8分）11=b ，当2≥n 时，1131--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n b b ， ∴+-+-+=)()(23121b b b b b b n …)(1--+n n b b+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=231311 (1)31-⎪⎭⎫⎝⎛+n⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n 31123·11· 因而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n b 31123，∈n N*． ……………………………（10分）nn n b a c ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n 31123)12(， ∴n S ++=21c c …n c + ]531[23+++=…+++--+32353331()12(n …)312n n -+令=n T +++32353331…n n 312-+ ① 则=n T 31+++432353331…1312332+-+-+n n n n ②①-②，得=n T 32+++323131(231…1312)31+--+n n n 11312)311(3131+----+=n n n ∴n n n T 311+-=．又+++531…2)12(n n =-+． ∴)311(232n n n n S ++-=． ……………………………（14分）。