重庆市南开中学高2013届高三上学期11月月考数学理试题

重庆市南开中学
高2013届高三上学期11月月考
数学（理）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题
共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1
、已知{{}
,sin ,P Q y y R θθ=-===，则P Q = （ ）
A 、∅
B 、{}0
C 、{}1,0-
D
、{-
2、已知向量()()2,1,,2a b x ==- ，若//a b ，则a b +
等于（ ）
A 、()3,1-
B 、()3,1-
C 、()2,1
D 、()2,1--
3、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a =（ ）
A 、
12
B
、
2
C
D 、2
4、已知(),P x y 在经过点()()3,0,1,1A B 两点的直线上，则24x
y
+的最小值为（ ）
A
、B
、C
、D
5、已知1a >，实数,x y 满足1
log a
x y
=，则y x 关于的函数的图象大致是（ ）
6、正项数列{}n a 满足：2
2
111
1,4
n n n a a a a +==++
，则
12231111n n a a a a a a ++++= （ ）
A 、4
22
n -
+ B 、212n -
+ C 、241
n -
+ D 、421
n -
+
7、定义在R 上的函数()y f x =满足()()()55,'02f x f x x f x ⎛
⎫
+=--
> ⎪⎝⎭
，
则“()()1f x f x >+”是“2x <”的（ ）条件
A 、充分不必要
B 、必要不充分
C 、充分必要
D 、既不充分也不必要
8、函数sin 2cos y a x b x =+图象的一条对称轴方程是4
x π
=
，则直线10ax by ++=和直线
20x y ++=的夹角的正切值为（ ）
A 、3
B 、3-
C 、
13
D 、13
-
9、直线l 与函数[]()
sin 0,y x x π=∈的图象相切于点A ，且//l OP ，其中O 为坐标原点，P 为图
象的极大值点，则点A 的纵坐标是（ ）
A 、2π
B 、12
C
、
2
D
、π
10、已知,cos 2cos 1x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，则当0a ≤时，a b +的最大值是（ ）
A 、
12
B 、1
C
D 、2
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

11、若两直线220420x y ax y ++=+-=与互相垂直，则实数a = 。

12、不等式132x x +--≥的解集为 。

13、已知实数,,x y z 满足：()2
2
2
11x y z -++=，则22x y z ++的最大值是 。

14、已知函数()()()()1101102
x x f x f x x +-≤≤⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若方程()12x f x a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭有两个不同实根，则实数a 的
取值范围是 。

15、已知[]x 表示不超过x 的最大整数()x R ∈，如：[][][]1.32,0.80,3.43-=-==，定义
{}[]x x x =-，则23
201220122012201220122013201320132013⎧⎫⎧⎫
⎧⎫⎧⎫++++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本题满分13分，（1）问7分，（2）问6分）
已知函数(
)2
2cos
2
x
f x x =。

（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；
（2）若α为第二象限角，且1
33f πα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，求cos 21cos 2sin 2α
αα
+-的值。

17、（本题满分13分，（1）问5分，（2）问8分）
已知直线l 的方向向量为()1,1a =
，且过直线1:210l x y ++=和直线2:230l x y -+=的交点。

（1）求直线l 的方程；
（2）若点()00,P x y 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最小值。

18、（本题满分13分，（1）问6分，（2）问7分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
2
C π
π
<<
，且
s i n2s i n s i n2b C
a b A C
=
--。

（1）判断ABC ∆的形状；
（2）若2BA BC += ，求BA BC ⋅
的取值范围。

19、（本题满分12分，（1）问6分，（2）问6分）
已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，
444427,10a b S b +=-=。

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设()*1212n n n a a a T n N b b b =
+++∈ ，若351
2n n n T c n
++-<恒成立，求实数c 的最小值。

20、（本题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
已知函数()()()3
2ln 2123
x f x ax x ax a R =++--∈。

（1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的极值点； （2）若()[)3,y f x =+∞在上为增函数，求实数a 的取值范围。

21、本题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
已知数列{}n a 满足：()1
1
*
112,1n n
n n a a a n N ++⎛⎫==+∈ ⎪
⎝⎭。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：()*123135211n
n n N a a a a -++++<∈ 。