黄冈中学2013届高三11月月考数学(理)

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湖北省黄冈中学襄樊五中高三数学理科11月联考试卷

湖北省黄冈中学襄樊五中高三数学理科11 月联考试卷一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选顶中，只有一顶是切合题目要求的．1．已知复数z1＝3＋ i,z2＝ 2－ i, 则 z1z2在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．把直线y＝－ 2x 按向量 a＝（－ 2, 3）平移后所得直线方程为A ． y ＝－ 2x－ 3B． y＝－ 2x＋ 3C． y＝－ 2x＋ 4D． y＝－ 2x－ 13．函数 y＝f （）的反函数的图象与y 轴交于点 P（ 0, 2），则方程 f（）＝0 的根为x xA ． 4B． 3C． 2D． 1 4．以下函数在x＝ 0 处连续的是A ． f （ x）＝1, x0,B． f（x）＝ lnx x1, x0.C．f （x）＝| x |1, x 0,D．f （x）＝0, x 0,x1, x0.5．以下命题中，正确的选项是①数列 { （－ 1）n 3 }没有极限；②数列 { （－ 1）n 2} 的极限为0；n③数列 {3 n2n3(2)} 的极限为 3 ；④数列 {( 3) n} 没有极限．A ．①②B．①②③C．②③④D．①②③④6．若函数 f （）2＋ 2ax 与 g（ x）＝（ a＋ 1）1－x在区间 [1,2]上都是减函数，则 a 的x＝－ x取值范围是A ．（－ 1, 0）B ．（－ 1, 0）0,1C．（0, 1）D．0,17．已知命题 p:函数 y＝ log （ ax＋2a）（ a>0,且 a1）的图象必过定点（－ 1, 1）；命题 q：a假如函数 y＝（f x－ 3）的图象对于原点对称，那么函数 y＝（f x）的图象对于（ 3, 0）点对称．则A ．“p 且 q”为真B．“p 或 q”为假C． p 真 q 假D． p 假 q 真．已知y ＝f（）是偶函数，当x>0时，f（x）＝x4且当 x[ 3, 1]时, nf (x)m8x,x 恒建立，则m－n 的最小值是A ．1B．2C． 1D．4 3339．记知足以下条件的函数f x 的会合为 M:当 |x | ≤ 1,x|| ≤1时 , |f（ x ）－ f（ x ）| ≤x4|－ x |．若（）121212有函数 g（x）＝ x2＋ 2x－1, 则 g（ x）与 M的关系是A ． g（ x） M B． g（ x） M C． g（ x）M D．不可以确立10．已知 f （x）是 R 上的偶函数， g（x）是 R 上的奇函数 ,且对于 x R, 都有 g（ x）＝ f （ x－ 1），则 f（2007 ）的值为A ． 1B．－ 1C． 0D．不确立二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡相应地点上。

湖北省黄冈中学2013届高三11月月考数学理试题(解析版)

湖北省黄冈中学2013届高三上学期11月月考数学（理）试题(2012-11-3)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)-的值为（）A ．32-B ．12-C ．32D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+，即原式sin60=-，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ．答案：C 4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π 解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为俯视图正视图侧视图3 41P 10(0,)a，则线段AB 的长为（） A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则7112a a +的最小值为（） A ．16B ．8C ．22D ．4解析：由已知2414(22)8a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，7117112228a a a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b -，②1a b +，③1b a +，④1ba-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（）A ．cos 2,sin 2a b θθ==B ．sin 2,cos 2a b θθ==C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos2tan ,cos2,sin 2cos 1cos2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M AB =，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（）A ．15[,]22B ．25[,]22C ．110[,]22D ．210[,]22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影部分所示，而22(1)d x y =+-表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ． 10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2OB OC OP +=(),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC Cλλ++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2OB OCOD +=，∴2OB OC OP +=()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ++()||cos ||cos AB ACOD AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD DP AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCDP BC BC AB B AC C AB B AC Cλλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=，∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C ．答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上． 11．1220x e dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xx e dx e e ==-⎰．答案：1(1)2e - 12．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i =+，则复数z 的模为_______________．解析：由11z i i i=+得1212izi i i zi i +-=+⇒==-，∴222(1)5z =+-=．答案：513．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：2214412r k k =+-≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______．解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去；当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x xe e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式．解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式．解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分（2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证），故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3n n n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23af a -=<成立，则616a -<-<，即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分）18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长；（2）求AO BC ⋅的值．解答：（1）由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==，∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-， ∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BCR A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分（2）由已知AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实；（2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；（3）求点G 到平面BCE 的距离．解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B ，(1,3,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F 的坐标为13(,,1)22F ，∴33(,,0)22BF =-，显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分（2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,3,1)CB =-，(1,3,2)CE =--，BA DCG EBADCG FEzx y∴30320x y z x y z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设3y =，则12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==． ……………………12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ， …………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分（2）由已知条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos ACDBCES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE 5=，CE 22=，∴221||()622BCE CES CE BE ∆=⨯-=，而23||34ACD S AC ∆==，∴2cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ，由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，6BCE S ∆=，3CG =， BA DCGE∴3332246BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===即为点G 到平面BCE 的距离．………………12分 20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：（1）由已知4b =，且55c a =，即2215c a=，∴22215a b a -=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016y x +=； ……………………3分由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =， ∴所求弦长221402||11||9MN x x =+-=； ……………………6分（2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， ∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-=-=-+-∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分（注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x mx x x-+=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；（3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围．解答：（1）由已知/211()0sin g x xx θ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln ef x x x-+=--，(0,)x ∈+∞， ∴/2221121()e e x f x x x x---=-=，令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：x (0,21)e -21e -(21,)e -+∞/()f x+0 -()f x极大值(21)1ln(21)f e e -=---即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m eF x f x g x mx x x +=-=--，当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m mx x -≤，且22ln 0e x x--<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m eF x m x x x +-++=+-=， ∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立，故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴max ()()4mF x F e me e==--，令40m me e -->，则241e m e >-，故所求m 的取值范围为24(,)1ee +∞-． ……………………14分。

【VIP专享】湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理科)函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析

2014 届高三上数学测试题（13）（理科）
考查范围：函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何命题人：张智
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．集合 A 0,2, a, B 1, a 2 ,若 A B 0,1,2,4,16,则 a 的值为 (B )
A． 1
2
1
B．
2 2
4.【答案】D.法一:【解析】∵| a b || c | ∴| a b || c || a | ，∴解得：
2a b ∴ cos
2 b
a, b
|b |2 a b
a b
| a || b | | b |2 2
1
∴
sin
5. 已知点 M (a, b)(a 0, b 0) 是圆 C : x2 y2 1 内任意一点，点 P(x, y) 是圆上任意一
，解得
D． 0
2
，把点
6 2 62
6
(
6
A
）
,1) 的坐标代入，
2013 f ( n ) f (2011) f (2012) f (2013) f (1) f (2) f (3) 1 。
i 1
7．已知函数
6
f
(
x)
实数 k 的取值范围是 D
A． k 2
kx 2, x lnx, x 0
C． 3 3 2
9【答案】 B(教材选修 4-5 P10 页第 14 题改编）【解析】设该三棱柱的底面边长为 a ，高为
h ，则底面正三角形的外接圆半径是
a2
即
9 12
h2
1，1
a2

湖北省黄冈中学高三11月月考(理)【人教版】

湖北省黄冈中学高三11月月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线tan 07x y π+=的倾斜角是（ D ）A ．7π- B ．7π C ．57π D ．67π[提示]：6tan tan 77k ππ=-=． 2．如果0,10a b <-<<，那么下列不等式中正确的是（ A ）A ．2a ab ab <<B ．2ab a ab <<C ．2a ab ab <<D ．2ab ab a <<[提示]：由已知可知2101b b -<<<<，又0a <，2a ab ab ∴<<．3．两条直线1:(1)3l ax a y +-=，2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则a 的值是 ( C ) A ．5- B ．1 C ．13-或 D ．03-或 [提示]： (1)(1)(23)0a a a a ⋅-+-⋅+=．4．曲线224x y +=与曲线{22cos 22sin x y θθ=-+=+ （[0,2)θπ∈）关于直线l 对称，则直线l 的方程为( D )A ．2y x =-B ．0x y -=C ．20x y +-=D ．20x y -+= [提示]：两圆圆心(0,0)、(2,2)-关于直线l 对称，易求直线为20x y -+=．5．不等式2|3||1|3x x a a +---对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ A ）A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,2][5,)-∞-+∞C ．[1,2]D ．(,1][2,)-∞+∞[提示]：由绝对值的意义知不等式左边的最大值为4，23441a a a a∴-⇒-或．6．在ABC ∆中，若对任意的实数m ，有||||BA mBC AC -，则ABC ∆为（ A ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上均不对 [提示]：当m 变化时，||BA mBC -为动线段|'|AC 的长度，因而可以确定ABC ∆为直角三角形．7．设D 是由{()()0x y x y y -+所确定的平面区域，记“平面区域D 被夹在直线1x =-和x t=（[1,1]t ∈-）之间的部分的面积”为S ，则函数()S f t =的大致图象为（ B ） [提示]：由题意知当[1,0]t ∈-时，21(1)2S t =-；当[0,1]t ∈时，21(1)2S t =+．8．设()()(),F x f x f x x =+-∈R ，[,]2ππ--是函数()F x 的单调递增区间，将()F x 的图像按向量(,0)a π=平移得到一个新的函数()G x 的图像，则()G x 的一个单调递减区间是（ D ） A ．[,0]2π- B ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2]2ππ[提示]：()()()()F x f x f x F x -=-+=，∴()F x 为偶函数，()F x 在[,]2ππ--单调递增， () [,]2F x ππ∴在单调递减，()G x ∴的单调递减区间为3[,2]2ππ．9．定义域为R 的函数1,(2)()|2|1,(2)x f x x x ⎧≠⎪=-⎨=⎪⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x ，则12345()f x x x x x ++++=（ B ） A ．14 B ．18 C ．112 D ．116[提示]：由题意知()1()(1)f x f x m m ==≠或．由123()11,3,2f x x x x =⇒===，由4511()2,2f x m x x m m =⇒=+=-，123451()(10)8f x x x x x f ∴++++==． 10．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+ ，则对任意正整数,()m n m n >都成立的是（ C ） A ．||2n m m n a a ⋅-> B ．||2n m m na a --> C ．1||2n m n a a -< D ．1||2n m n a a ->[提示]：12sin(1)sin(2)sin ||||222n m n n m n n m a a ++++-=++⋅⋅⋅+12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n m n n m ++++++⋅⋅⋅+1112111112211||||||12222212n m n n m n m ++++-<++⋅⋅⋅+==--12n <．二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上． 11．在锐角ABC ∆中，1,2BC B A ==，则cos ACA 的值等于 .[答案] 2提示：设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=12．已知两点(2,2)P --和(0,1)Q -，在直线2x =上取一点(2,)R m ，使PR RQ+最小，则m 的值为．[答案] 43-[提示]：先求点P 关于2x =的对称点'(6,2)P -，则'P Q 的方程为116y x =--，其与2x =的交点为4(2,)3-，m ∴=43-．13．已知‚A ‚B C 三点共线，O 为这条直线外一点，存在实数m ，使30mOA OB OC -+= 成立，则点A 分BC 的比为___________． [答案] 13-提示：由题意知2m =，A 分BC 的比为13-．14．方程240x ax b ---=恰有两个不相等实根的充要条件是．[答案]22a -<<且 20a b +>提示：作()|24|,()f x x g x ax b =-=+的图像，则(2)0g >且||2a <．15．关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22||||=+y x 的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是． [答案] ①②④⑤提示：将(,)x y 替换为(,)x y --，(,)y x --可知①②正确；该曲线与坐标轴无交点可知，该曲线不是封闭曲线，③不正确；方程可变形为222222x y x y xy xy +=⇒（当且仅当2x y ==时取等），与圆无公共点，且与曲线D 有四个交点，④⑤正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3AB AC =. （Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）若6b c +=，求a 的值．16．[解答] （Ⅰ）25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，由3AB AC ⋅=得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴==（Ⅱ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=17．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知(1,2)a =-，点(8,0),(,),A B n t (sin ,)C k t θ (0)2πθ．（Ⅰ）若AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；（Ⅱ）若AC 与a 共线，当4k >时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ⋅． 17．[解答]（Ⅰ）(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=2225||||,564(3)5OA AB n t t =∴⨯=-+=，得8t =±，(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--．（Ⅱ）(sin 8,)AC k t θ=-AC 与a 共线， 2sin 16t k θ∴=-+2324sin (2sin 16)sin 2(sin )t k k k k θθθθ=-+=--+，44,10k k >∴>>，∴当4sin k θ=时，sin t θ取最大值为32k ，由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==，(8,0)(4,8)32OA OC ∴⋅=⋅=．18．（本小题满分12分）已知函数()log (1)a f x x =+，点P 是函数()y f x =图像上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数()y g x =的图像．（Ⅰ）当01a <<时，解关于x 的不等式2()()0f x g x +≥；（Ⅱ）当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围． 18．[解答]由题意知：P 、Q 关于原点对称，设(,)Q x y 是函数()y g x =图像上任一点，则(,)P x y --是()log (1)a f x x =+上的点，所以log (1)a y x -=-+，于是()log (1)a g x x =--．（Ⅰ）由2()()0f x g x +得2101010(1)1x x x x x ⎧+>⎪->⇒-<⎨⎪+-⎩，∴01a <<时，不等式的解集为{10}x x-<（Ⅱ）2()()2log (1)log (1)a a y f x g x x x =+=+--，当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，即[0,1)x ∈时，2(1)log 1ax mx +-恒成立，22(1)(1):log log 11m ma a x x a a x x++≥∴≤--即恒成立，设2(1)4()(1)4,0110,11x x x x x x x ϕ+==-+-≤<∴->--min ()1x ϕ∴=（此时0x =），01maa ∴=， 0m ∴．19．（本小题满分12分）已知点(3,0)R -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足230PM MQ +=，0RP PM ⋅=．（Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设11(,),A x y 22(,)B x y 为轨迹C 上两点，且110,0x y >>，(1,0)N ，求实数λ，使AB AN λ=，且163AB =． 19． [解答] (Ⅰ)设点(,)M x y ，由230PM MQ += 得(0,),(,0)23yx P Q -，由0,RP PM ⋅=得3(3,)(,)022y yx -⋅=即24(0)y x x =>．（Ⅱ）由题意可知N 为抛物线2:4C y x=的焦点，且 A B 、为过焦点N 的直线与抛物线C 的两个交点．当直线AB 斜率不存在时，得A(1，2)，B(1，-2)，|AB|1643=<，不合题意；当直线AB 斜率存在且不为0时，设: (1)AB l y k x =-，代入24y x =得22222(2)0k x k x k -++=则AB 212222(2)4162243k x x k k +=++=+=+=，解得32=k ，代入原方程得031032=+-x x ，得1213,3x x ==或121,33x x ==，由AB AN λ=，得21143N x x x x λ-==-或4．20．（本小题满分13分）如图，1l 、2l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在2l上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且3MO km=，点N 到1l 、2l 的距离分别为4km 和5km ．（Ⅰ）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（Ⅱ）若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km 26km ，求该校址距点O 的最近距离（注：校址视为一个点）．20．[解答]（Ⅰ）分别以2l 、1l为x 轴，y 轴建立如图坐标系．据题意得(0,3),(4,5)M N ，531,402MN k -∴==- (2,4),MN 中点为∴线段MN 的垂直平分线方程为：42(2)y x -=--），故圆心A 的坐标为（4，0），5)30()04(22=-+-=r 半径，∴弧MN 的方程：22(4)25x y -+=（0≤x ≤4，y ≥3）（Ⅱ）设校址选在B （a ，0）（a ＞4），.40,26)(22恒成立对则≤≤≥+-x y a x整理得：2(82)170a x a -+-≥，对0≤x ≤4恒成立（﹡）令2()(82)17f x a x a =-+- ∵a ＞4 ∴820a -< ∴()f x 在[0，4]上为减函数 ∴要使（﹡）恒成立，当且仅当{{244 5(4)(8-2)417a a a f a a >>⋅+-即解得，即校址选在距O 最近5k m 的地方．21．（本小题满分14分）已知函数()(01)1x f x x x =<<-的反函数为1()f x -，数列{}n a 和{}n b 满足：112a =，11()n n a f a -+=，函数1()y f x -=的图象在点()1,()()n f n n N -*∈处的切线在y 轴上的截距为nb ．（Ⅰ）求数列{na }的通项公式；（Ⅱ）若数列2{}n n nb a a λ-的项仅5255b a a λ-最小，求λ的取值范围；（Ⅲ）令函数2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+，01x <<，数列{}n x 满足：112x =，01n x <<，且1()n n x g x +=，其中n N *∈．证明：2223212112231()()()516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++<．21．[解答]（Ⅰ）令1x y x =-，解得1y x y =+，由01x <<，解得0y >， ∴函数()f x 的反函数1()(0)1x f x x x -=>+，则11()1n n nn a a f a a -+==+，得1111n n a a +-=．1{}n a ∴是以2为首项，l 为公差的等差数列，故11n a n =+．（Ⅱ）∵1()(0)1xf x x x -=>+，∴121[()](1)f x x -'=+，∴1()y f x -=在点1(,())n f n -处的切线方程为21()1(1)n y x n n n -=-++，令0x =，得22(1)n n b n =+，∴2222(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ-=-+=---，∵仅当5n =时取得最小值，∴4.5 5.52λ<<，解之911λ<<，∴ λ的取值范围为(9,11)．（Ⅲ）2121()[()()]1x g x f x f x x --=+⋅+22212[]1111x x x x x x x x -=+⋅=+-++，(0,1)x ∈．则121(1)1nn n n n n x x x x x x ++-=-⋅+，因01n x <<，则1n n x x +>，显然12112n n x x x +>>>>．121111121(1)21448222121n n n n n n nn x x x x x x x x +++-=-⋅≤⋅<=+-++-+∴211111111()112111()()()()8n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--+=-=--<-∴2222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++1223121111111[()()()]8n n x x x x x x ++-+-++-1112111211())88n n x x x ++++=-=-∵111,2n n x x x +=>，∴1112n x +<<，∴1112n x +<<，∴11021n x +<-<∴2223212112231131()()()2112152)88816n n n n n x x x x x x x x x x x x x ++++---+++++=-<<=．。

集合、常用逻辑用语不等式

质量检测(一)测试内容：集合、常用逻辑用语不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|2<x<4}，那么集合A∩B等于( ) A．{x|x>3} B．{x|2<x<3}C．{x|3<x<4} D．{x|x<4}解析：A∩B＝{x|x>3}∩{x|2<x<4}＝{x|3<x<4}，故选C.答案：C2．(2012年合肥第一次质检)集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{4} B．{4，－1}C．{4,5} D．{－1,0}解析：本题主要考查集合的运算与韦恩图．由图可知阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A，因为B＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0,1,2,3}，因此(∁U B)∩A＝{4，－1}，选B.本题为容易题．答案：B3．(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A＝{0，m2}，B＝{1,2}，则“m ＝1”是“A∪B＝{0,1,2}”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当m＝1时，m2＝1，A＝{0,1}，A∪B＝{0,1,2}，若A∪B＝{0,1,2}，则m2＝1或m2＝2，m＝±1或m＝±2，故选B.答案：B4．若a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是( )>1b>1b>－b D．|a|>－b解析：∵1a－1b＝b－aab>0，∴A一定成立；∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴－a>－b，即C一定成立；|a|＝－a；∴|a|>－b⇔－a>－b，成立，∴D成立；当a＝－2，b＝－1时，1a－b＝1－2＋1＝－1＝1b，所以B不一定成立，故选B.答案：B5．设A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}．已知A ＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B等于( ) A．[0,1]∪(2，＋∞)B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：∵A＝[0,2]，B＝(1，＋∞)，∴A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}＝[0,1]∪(2，＋∞)．故选A.答案：A6．(2012年厦门模拟)设命题p：若a>b，则1a<1b，q：若1ab<0，则ab<0.给出以下3个复合命题，①p∧q；②p∨q；③綈p∧綈q.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：p 为假命题，q 为真命题，所以只有②正确，故选B. 答案：B 7．在算式“4△＋1□＝30□×△”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小．则这两个正整数构成的数对(□，△)应为( )A ．(4,14)B ．(6,6)C ．(3,18)D ．(5,10)解析：题中的算式可以变形为“4×□＋1×△＝30”．设x ＝□，y ＝△，则4x ＋y ＝＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝5，y ＝10时取等号，所求的数对为(5,10)．故选D.答案：D8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( )>12 ＋1b≤1≥2D ．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错． 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D9．(2012年广东番禺模拟)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]解析：若p 真，则a ≥e；若q 真，则16－4a ≥0⇒a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e,4]．故选A.答案：A10．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：可行域如图所示：由⎩⎨⎧y ＝15，x ＋y ＝20得A (5,15)，A 点为最优解，∴z max ＝2×5＋3×15＝55，故选D. 答案：D11．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．[－2,2)解析：当a ＝2时，不等式－4<0恒成立；当a ≠2时，由⎩⎨⎧a －2<0Δ＝4a －22＋4×4a －2<0，解得－2<a <2，∴符合要求的a 的取值范围是(－2,2]，故选C. 答案：C 12．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．－2≤b ≤2B ．－2≤b <2C ．－2<b <2D ．b ≤2解析：A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠Ø”的充分条件，则有－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，所以－2<b <2，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是______．答案：∃x ∈R ，f (x )<m14．(2012年安徽)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析：①作出可行域，如图中阴影部分；②作出零线x －y ＝0并平移，判断A ，B 点坐标； ③由⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝3解得A (1,1)，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，x ＝0解得B (0,3)，∴(x －y )max ＝1－1＝0，(x －y )min ＝0－3＝－3，∴x －y ∈[－3,0]．答案：[－3,0]15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的________条件．解析：∵p ：x <－3或x >1，∴綈p ：－3≤x ≤1. ∵q ：2<x <3，∴綈q ：x ≤2或x ≥3，则綈p ⇒綈q . 答案：充分不必要16．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是______________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，∴a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2，∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．设全集U＝R，函数y＝log2(6－x－x2)的定义域为A，函数y＝1x2－x－12的定义域为B.(1)求集合A与B；(2)求A∩B，(∁U A)∪B.解：(1)函数y＝log2(6－x－x2)要有意义需满足6－x－x2>0，解得－3<x<2，∴A＝{x|－3<x<2}．函数y＝1x2－x－12要有意义需满足x2－x－12>0，解得x<－3或x>4，∴B＝{x|x<－3或x>4}．(2)A∩B＝Ø，∁U A＝{x|x≤－3或x≥2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤－3或x≥2}．18．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A 与B的差集，记作A－B.据此回答下列问题：(1)若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，求A－B；(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B；(3)若集合A＝{x|0<ax－1≤5}，集合B＝{x|－12<x≤2}，有A－B＝Ø，求实数a的取值范围．解：(1)根据题意知A－B＝{1,2}．(2)(3)A ＝{x |0＜ax －1≤5}，则1＜ax ≤6，当a ＝0时，A ＝Ø，此时A －B ＝Ø，符合题意；当a >0时，A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，6a ，若A －B ＝Ø，则6a ≤2，即a ≥3；当a <0时，A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫6a ，1a ，若A －B ＝Ø，则6a >－12，即a <－12.综上所述：实数a 的取值范围是a <－12或a ≥3或a ＝0. 19．(1)求函数y ＝2xx 2＋1在x >0时的最大值；(2)已知x ＋y ＋xy ＝2，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值．解：(1)因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x，而x ＋1x ≥2，故0<1x ＋1x ≤12，则0<2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1x即x ＝1时，y 的最大值为1.(2)由xy ＝2－(x ＋y )及xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22得 2－(x ＋y )≤x ＋y 24，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0.解得x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. 因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＋xy ＝2，即x ＝y ＝3－1时，x ＋y 的最小值为23－2.20．(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p ：f (x )＝1－x3，且|f (a )|<2；q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，且A ≠Ø.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：若|f (a )|＝|1－a3|<2成立，则－6<1－a <6，即当－5<a <7时p 是真命题；若A ≠Ø，则方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0有实数根，由Δ＝(a ＋2)2－4≥0，解得a ≤－4，或a ≥0，即当a ≤－4，若a ≥0时q 是真命题；由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假， p 真q 假时，⎩⎨⎧－5<a <7－4<a <0，∴－4<a <0.p 假q 真时，⎩⎨⎧a ≤－5或a ≥7a ≤－4或a ≥0，∴a ≤－5或a ≥7.故知所求a 的取值范围是(－∞，－5]∪(－4,0)∪[7，＋∞)．21．某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大解：设甲、乙两种产品每天分别生产x 吨和y 吨，则每天所得的产值为z ＝7x ＋10y 万元．依题意，得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.(※)由⎩⎨⎧ 2x ＋8y ＝160，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2007，y ＝907.由⎩⎨⎧5x ＋2y ＝200，3x ＋5y ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70019，y ＝15019.设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，907，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019，则不等式组(※)所表示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分)．令z ＝0，得7x ＋10y ＝0，即y ＝－710x .作直线l 0：y ＝－710x .由图可知把l 0平移至过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫70019，15019时，即x ＝70019，y ＝15019时，z 取得最大值6 40019. 答：每天生产甲产品70019吨、乙产品15019吨时，能获得最大的产值6 40019万元． 22．某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即x 10，0<x ≤10)，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z倍．(1)设y ＝ax ，其中a 是满足13≤a <1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y ＝23x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围．解：(1)由题意知某商店定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10元，n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 10元，npz 元，因而npz ＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 10·n ⎝⎛⎭⎪⎫1－y 10， ∴z ＝1100(10＋x )(10－y )，在y ＝ax 的条件下， z ＝1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －51－a a 2＋100＋251－a 2a ，由于13≤a <1，则0<51－a a ≤10，要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x ＝51－aa .(2)由z ＝1100(10＋x )⎝⎛⎭⎪⎫10－23x >1，解得0<x <5.。

湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案

(吨)0.0.0.0.0.第6题图黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．纯虚数z 满足23z -=，则z 为 AB． C ． D ．5或1-2．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件3．已知双曲线的焦距为A ．2212y x -= B ．2212x y -= C ．2212y x -=或2212x y -= D ．2212x y -=或2212y x -= 4．用0，1，2，3，4排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则该五位数的个数是 A ．36 B ．32C ．24D ．20 5．已知cos(63πα+=，则sin(26πα-的值为 A ．13 B ．13-C ．D ．- 6．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为 A ．2， 2.5B ．2.25， 2.02C ．2.25， 2.5D ．2.5， 2.25第9题图侧视图俯视图正视图第8题图第127．在游乐场，有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币，若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠，即可获奖．已知硬币的直径为2，若游客获奖的概率不超过19，则方格边长最长为(单位：cm )A ．3B ．4C ．5D ．6 8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是 A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．16π9．如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=， CD xOA yBC =+，则xy +的值为A ．B ．13-C ．23D ． 10．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对(0,)x ∀∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是 A ．（0，12） B ．（1,12） C ．（1，2） D ．（2，3）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模拟两可均不得分．（一）必考题（11 — 14题）11．1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,含4x 项的系数为． 12．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是．M第16题图13．已知(0,)x y z ∈+∞、、，且2221ln ln ln 3x y z ++=，则2x yz的最大值为． 14．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．已知无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a ={}n a 通项公式为；（Ⅱ）当13a >时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果给分．） 15．（极坐标与参数方程）已知抛物线C 的极坐标方程为2sin 8cos 0ρθθ-=，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r= ．16．（几何证明选讲）如图，过半径为4的O 上的一点A 引半径为3的O '的切线，切点为B ，若O 与O '内切于点M ，连结AM 与O '交于C 点，则ABAM= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，a =(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin )2n B C B C =-，且m n ⊥．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）当7sin cos()12B C π+-取得最大值时，求角B 的大小和ABC ∆的面积．ACMPQ D第19题图18．（本小题满分12分）某象棋比赛规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲、乙每局获胜的概率分别为23和13，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ；（Ⅱ）在（I ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．20．（本小题满分12分）数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+ 成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，“盾圆C ”是由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线24y x =中两段曲线弧合成，第21题图12F F 、为椭圆的左、右焦点，2(1,0)F ．A 为椭圆与抛物线的一个公共点，252AF =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数()y f x =中，令()x t ϕ=，则[][]2211()()()()()bt t a t t f x dx f t d t f t t dt ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰（其中12()()a tb t ϕϕ==、）．如22221cos2(sin )cos (sin )cos 2tt t t dt tdt dt πππ+'====⎰⎰⎰⎰．阅读上述文字，求“盾圆C ”的面积．（Ⅲ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，与“盾圆C ”依次交于M N G H 、、、四点，P 和P '分别为NG MH 、的中点，问22MH PF NG P F ⋅'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．（本小题满分14分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对12,(0,)x x ∀∈+∞，都有[]11221212ln ln ()ln()ln2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．数学（理）试卷答案BBCD ABAC AC11答案：15- 12答案：5 13答案：14答案：（1）1n a =；（21-或1215 16答案：121答案：B解析：设()z bi b R =∈9b =∴=z =．2答案：B解析：甲⇒/乙，例如，1,4x y ==；乙⇒甲，“若5≠+y x ，则2≠x 或3≠y ”的逆否命题为“若2x =且3y =，则5x y +=”此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题． 3答案：C解析：由题易知2c b ==1a =，这样的双曲线标准方程有两个．4答案：D解析：排除法．偶数字相邻，奇数字也相邻有32232224A A A =，然后减去0在首位的情况，有22224A A =，故322223222220A A A A A -=．5答案：A解析：由cos()63πα+=得，1cos(2)33πα+=-，所以1sin(2)sin(2)cos(2)63233ππππααα-=+-=-+=． 6答案：B解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为2 2.52.252+= 中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于(0.080.160.300.44)0.50.49+++⨯=，故中位数为0.0120.5 2.020.25+⨯=． 7答案：A解析：设方格边长为x ，则221()39x x x -≤⇒≤．8答案：C解析：此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，体积1110[4241]233V πππ=⨯+⨯=．9答案：A解析：()()CD xOA yBC xOA y OC OB x y OA yOC =+=+-=++设1OA =，建立如图所示坐标系，则1(,12CD =-(1,0)OA =-，1(,22OC =-，故3x y +=10答案：C解析：由题2()log f x x C -=（C 为常数），则()f x 故22[()log ]()log 3f f x x f C C C -==+=，得2C =，故2()log 2f x x =+，记21()()()2log ln 2g x f x f x x x '=--=-在(0,)+∞上为增函数且112ln 21(1)0,(2)10ln 22ln 22ln 2g g -=-<=-=>, 故方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（1，2）． 11答案：15-12答案：5解析：由题意，得：5,016,18,2n k n k n k ==⇒==⇒==4,32,41,5n k n k n k ⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键，输出5k =． 13答案：解析：2222222(ln ln ln )[2(1)(1)](2ln ln ln )x y z x y z +++-+-≥-- 14答案：（1）1na =-；（21或12- 解析：（Ⅰ）若a 时，11a ==-,则21a ===．（Ⅱ）当13a >时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈．①当1(1,2)a ∈时，211a a a 1=〈〉=-，故1112a a a -=⇒=（12a =舍去） ②当1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或1215解析：将2sin 8cos 0ρθθ-=化为普通方程即28y x =，得(2,0)F 16答案：12解析：作两圆的公切线MDE ，连结AO ，CO '，则2AB AC AM =所以222AB AM AC ACAM AM AM == 由弦切角定理知2AOM EMA ∠=∠，2CO M EMA '∠=∠，则AOM CO M '∠=∠,AO CO ',所以434AC OO AM AO '-==，即12AB AM ==. 17答案：（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin 02B C B C -+-= 即()cos 2B C +=-，因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=- 所以c o s,4A A π==． 4分（2）由3,44A CB ππ==-，故73sin cos()sin cos()sin )12626B C B B B B B πππ+-=+-==+ 由3(0,)4B π∈cos()4B C π-+最大值时，3B π=． 8分由正弦定理，2sin sin a bA B==，得b =故1sin sin()243ab C ππ=+=． 12分ME18答案：（Ⅰ）比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则所求概率为1212114333381P C =⋅⋅⋅=. 4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. 则22215(2)()()339P ξ==+=，12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+=1221216(6)()3381P C ξ=== 故ξ的分布列为10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=12分 19解：（I ）当13t =时，//PA 平面MQB证明：连AC 交BQ 于N ，连MN ．由//AQ BC 可得，ANQ BNC ∆∆∽，12AQ AN BC NC ∴==，所以13AN AC =．若13t =，即13PM ANPC AC==， //PA MN ∴由MN ⊂平面PAC ，故//PA 平面MQB ． 4分（II ）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，由 ∠BAD=60°得△ABD 为正三角形，又∵Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ8分以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （），Q （0，0，0），P （0，0设平面MQB 的法向量为()z y x n ,,=，可得00,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，⎪⎩⎪⎨⎧=-=0303z x y 令z=1，解得(3,0,1)n = 取平面ABCD 的法向量()3,0,0=，设所求二面角为θ，则21cos ==θ 故二面角M BQ C --的大小为60°． 12分 20解答： (Ⅰ)方法1：由2n ≥时，11122333n n n a a --=+-得，11121(1)33n n n a a --+=++ 两边同时乘以13n -得，1213(1)3(1)2n n n n a a ---+=++，即2n ≥时，12n n b b -=+故{}n b 是公差为2的等差数列．又01322b =⨯=，所以22(1)2n b n n =+-=． 6分方法2：2n ≥时，12113(1)3(1)n n n n n n b b a a -----=+-+，代入11122333n n n a a --=+- 整理得12n 11111213()3(1)2333n n n n n n b b a a -------=++-+=，故{}n b 是公差为2的等差数列． (Ⅱ)由(Ⅰ)得，13(1)2n n n b a n -=+=，故1123n n a n -+=，所以12(1)133(1)1313n n n S -==-- 8分则111111323331111(3)313333n n n n nn n n m S m S m m m m --+----==-=-------- 因为13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得21(3)3131n m m >--+ *(3)310,1,2n m m N m -->∈∴=当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)． 12分21解答：（Ⅰ）由24y x =的准线为1x =-，2512A AF x ∴=+=，故记3(2A 又1(1,0)F -，所以12752622a AF AF =+=+=，故椭圆为22198x y +=． 3分（Ⅱ）由22198x y +=知，y =3sin ()26x t t ππ=-≤≤1S ==62(3sin )t ππ-=⎰262cos tdt ππ-=62(1cos2)t dt ππ-+621sin 2)|2x x ππ-=+=3322204()|3S x ===根据对称性， “盾圆C ”的面积为122()S S -=． 7分（Ⅲ）设过2F 的直线为1(0)x my m =+≠，(,)(,)(,)(,)M M N N G G H H M x y N x y G x y H x y 、、、联立221198x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=，则2216896489M H M H m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，则44N G N G y y my y +=⎧⎨=-⎩由M N G H P P '、、、、、共线，所以2222N GM H M HN G y y MH PF y y y y NG P F y y +-⋅=⋅+'-代入韦达定理整理得，222431689MH PF mm NG P F m ⋅=='+故22MH PF NG P F ⋅'为定值3． 13分 22答案：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =．（4分）（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值．∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-．（8分）（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++=，则112222ln ln ln ln2k k k x x x x x x +++≥-．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++=．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++，由（Ⅱ）得11111212212212()()l n [()l n2]()l n [()l n2]k k k k F x x x x x xx xx ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++-．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2kk F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（13分）（证法二）若1221n x x x +++=，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++-1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++-121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++---ln 2n =-．（14分）薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理)期末考试

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试考试时间：2014年1月20日下午14：30—16：30本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★★★ 祝考试顺利 ★★★第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数20132(12a i i i i+⋅-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（） A ． B ．1- C ．14 D ．14-2．已知,b c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥且直线a c ⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（） A ．48 B ．56 C ．64 D ．724.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①()sin cos f x x x =；②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =+；④()21f x x =+．其中“同簇函数”的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④6．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，12()log (1)f x x =-，则2011()4f -=（） A ．2- B ．12C ．D ．2 7.双曲线221x y a-=的一条渐近线与圆()2222x y -+=相交于,M N 两点，且2MN=，则此双曲线的离心率第3题图为（）AB．3 8．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤ 且02OP OB ≤⋅≤ ，则点P 到点C的距离大于14的概率为（） A ．5164π- B ．564π C ．116π- D ．16π9．已知数列{}n a 的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则60S =（） A ．1840 B ．1880 C ．1960 D ．198010．已知函数()()()212ln f x a x x =---，1()xg x xe -=(a R ∈,e 为自然对数的底数)，若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，则a 的取值范围是（）A ．25-1e e -⎛⎤∞ ⎥-⎝⎦，B ．22,e e -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．222e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． 2522,1e e e e --⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11—14题）11．已知集合{}2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ⋂=___________．12．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为___________．则a 与b的夹角的取13．已知20a b =≠ ，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅= 有实根，值范围是___________．14.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1）试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个；（2）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图所示，,EB EC 是圆O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是圆O 上两点，如果第14题图46E ︒∠=，32DCF ︒∠=，则A ∠的度数是___________．16. （选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，过点18,2P π⎛⎫⎪⎝⎭引圆10sin ρθ=的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则线段AB 的长为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()f x m n =⋅，其中()sin cos m x x x ωωω=+ ，()cos sin ,2sin n x x x ωωω=- ，0ω>，()f x 的相邻两条对称轴间的距离大于等于2π．（1）求ω的取值范围；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边依次为,,a b c，3a b c =+=，当ω的值最大时，()1f A =，求ABC ∆的面积．18.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖．．长方体沉淀高度为b 米．已知箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米．（注：制箱材料必须用完）（1）求出,a b 满足的关系式；（2）问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？19. 如图所示，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ︒∠=∠=，1,2AB AD CD a PD ====．（1）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．第15题图第18题图20．设数列{}n a 的首项112a =，且11(214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数）（为奇数），记211()4n n b a n N *-=-∈．（1）求23,a a ；（2）证明：{}n b 是等比数列；（3）求数列31n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21．如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线与2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MA MB ⊥；(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线,使得21S S =3217?请说明理由．22．已知函数1ln ()xf x x +=．（1）若函数在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()()221!1n n n e n N -*+>+⋅∈⎡⎤⎣⎦．湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学（理）期末考试参考答案（附评分细则）一、选择题二、填空题11．[)2,6 12．2ln 2 13．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．(1)()61n - (2)15．99︒16．120138．动点(,)P a b 满足的不等式组为022022a b a b ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域可知P 的运动区域为以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心且边的正方形，而点P 到点C 的距离小于或等于14的区域是以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心且半径为14的圆以及圆的内部，所以22145164P ππ⎛⎫-==- 9．222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22cos 3n n π=，所以()()()22232313115323139222k k k a a a k k k k --++=----+=-，其中k N *∈ 所以60S =()5912202018905018402++⋅⋅⋅+-⨯=-=10．易得函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1()(]'2222()2,0,a x a f x a x e x x⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=--=∈当22x a =-时，'()0f x =，()f x 在22x a=-处取得最小值222ln 22f a a a ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭由题意知，()f x 在(]0,e 上不单调，所以202e a <<-，解得22e a e-<所以对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1,2i =），使得()()0i f x g x =成立，当且仅当a 满足条件202f a ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭且()1f e ≥因为(1)0f =，所以202f a ⎛⎫≤⎪-⎝⎭恒成立，由()1f e ≥解得251e a e -≤- 综上所述，a 的取值范围是25,1e e -⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦14. 观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比层数少1，所以：（1）第n层的点数为()61(2)n n -≥；（2）n 层六边形点阵的总点数为()16121n +⨯++⋅⋅⋅+-=()131n n +-令()131169n n +-=解得7n =-（舍去）或8n = 所以8n = 三、解答题17．解：（1）22()cos sin sin f x m n x x x x ωωωω=⋅=-+=cos 22x x ωω=2sin 26x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭----------------------------3分因为0ω>，所以函数()f x 的周期22T ππωω== 由题意可知22T π≥，即T π≥，ππω≥----------------------------5分解得01ω<≤-----------------------------6分（2）由（1）可知ω的最大值为1，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为()1f A =，所以1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭----------------------------7分而132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，所以3A π=-------------------------9分而2222cos b c bc A a +-=，所以223b c bc +-= ① 而()22229b c b c bc +=++= ②联立①②解得：2bc =-------------------------11分所以1sin 2ABC S bc A ∆==-------------------------12分 18．解：（1）由题意可得242600,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩，即2300,0a b ab a b ++=⎧⎨>>⎩------------------------6分注：若没写0,0a b >>，扣两分，少写一个扣1分（2）因为该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比，所以当ab 最大时，该杂质的质量分数最小由均值不等式得2a b +≥（当且仅当2a b =时取等号）所以2a b ab ab ++≥+，即30ab +≤（当且仅当2a b =时取等号）-----------------------8分即0+-≤，0>≤18ab ≤-----------------------10分所以当且仅当218a b ab =⎧⎨=⎩即()()63a m b m =⎧⎪⎨=⎪⎩时，ab 取得最大值18，此时该杂质的质量分数最小 -------------------12分19．20．解：（1）21321313,4428a a a a =+=== ------------------2分（2）证明：因为2114n n b a -=-，所以121221211111111142424424n n n n n b a a a a ++--⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------------------5分即112n n b b +=，------------------6分而1111044b a =-=≠，所以{}n b 是以14为首项，公比为12的等比数列-----------7分注：若没写10b ≠，扣一分（3）1111122n n n b b -+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以31nn b +=()1312n n ++ 所以()()()23131123212312n n T n +=⨯++⨯++⋅⋅⋅++()()()()3412231123212322312n n n T n n ++=⨯++⨯++⋅⋅⋅+-++--------8分两式相减得：()()2341312322216n n n T n ++=+-++⋅⋅⋅+---------10分即()23228n n T n +=-+ --------12分21．解：（1）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==。

湖北省黄冈中学2013年秋季高三数学(理科)函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何测试卷

2014届高三上数学测试题（13）（理科）考查范围：函数、平面向量、数列、不等式、复数、立体几何、解析几何命题人：张智一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．集合{}a A ,2,0=,{}2,1a B =,若{}16,4,2,1,0=B A ,则a 的值为 (B ) A.2 B.4 C.-2 D.-4 2.复数 ,1i z -=则=+z z1D A.i 2321+B.i 2321- C.i 2323- D.i 2123- 3．“,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“方程22cos 1x y α+=表示焦点在x 轴上的双曲线”的（ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[答案]A （教材选修2-1 80P 页第4题改编）4.设非零向量a b c 、、，满足||||||a b c ==，||||a b c +=，则sin ,a b <>= ( ) A ． 12-B ．12 C． D4.【答案】D.法一:【解析】∵||||a b c +=∴||||||a b c a +==，∴解得：222||a b b b ∙=-=- ∴21cos ,2||||||a b a b a b a b b ∙∙<>===-∴3sin ,a b <>=法二:利用向量几何意义画图求解.5. 已知点(,)(0,0)M a b a b >>是圆22:1C x y +=内任意一点，点(,)P x y 是圆上任意一点，则实数1ax by +- ( A ) A ．一定是负数 B ．一定等于0 C ．一定是正数 D ．可能为正数也可能为负数6.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图，则20131()6n n f π==∑（） A ．1- B ． 12C ．1D ．0 6.【答案】C 【解析】根据图像1254126πππω⨯=-，解得2ω=，把点(,1)6π的坐标代入，得1sin(2)6πϕ=⨯+，结合2πϕ<得6πϕ=，故()sin(2)6f x x π=+，213145161()1,(),(),()1,(),()6626266262f f f f f f ππππππ===-=-=-=，函数的最小正周期是π，在一个周期内的各个函数值之和为0，201363353=⨯+， 20131()(2011)(2012)(2013)(1)(2)(3)16i n f f f f f f f π==++=++=∑。

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黄冈中学2013届11月月考数学试题（理）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin(1920)- 的值为（）A．2- B ．12- C．2D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+ ，即原式sin 60=- ，故选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D ．答案：D3．已知集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（） A ．加法 B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由已知集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，故选C ．答案：C4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的俯视图正视图侧视图中点为P 10(0,)a，则线段AB 的长为（）A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由已知两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AO B 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则7112a a +的最小值为（）A ．16B ．8C ．D ．4解析：由已知24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，故选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3解析：已知即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，若0x ≥，则246x x x -+=，∴2x =，或3x =；若0x <，则1x =舍去，故选C ．答案：C8．给出下列的四个式子：①1a b-，②1a b+，③1b a+，④1b a-；已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则（） A ．cos 2,sin 2a b θθ== B ．sin 2,cos 2a b θθ== C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos 2tan ,cos 2,sin 2cos 1cos 2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+ 时，式子①③与tan θ的值相等，故选A ．答案：A9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M A B = ，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（）A ．15[,]22B ．5]22C ．1[,22D ．[22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M所表示的图象如图中阴影部分所示，而d =表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ．10．已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2O B O C O P += (),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC C λλ++∈+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过A B C ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，则2O B O CO D += ，∴2O B O C O P += ()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ++ ()||cos ||cos AB ACO D AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACO P O D D P AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCD P BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=， ∴D P BC ⊥，即点P 一定在线段B C 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过A B C ∆的外心，选C ．答案：C二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上．11．1220xe dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xxe dx ee ==-⎰．答案：1(1)2e -12．定义运算a c ad bc bd=-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为_______________．解析：由11z i i i=+得1212i zi i i z i i+-=+⇒==-，∴z ==．13．已知方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，则直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：1r =≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，则由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．已知函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，则()f m =_______．解析：由已知必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去；当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2xxe e shx --=和双曲余弦函数2x xe echx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式．解析：由右边2222x xy yx xy ye ee ee ee e----++--=⋅-⋅1()4x yx yx yx yx y x yx yx ye eee eee e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x yx y x yx y ee eech x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式．解答：（1）由已知1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分（2）当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a--=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零（注：可不证），故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n nn a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3nn n b a n -===-． ……………………12分17．（本小题满分12分）已知 1:(),3x p f x -=且|()|2f a <；q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23a f a -=<成立，则616a -<-<，即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞ ． ……………………12分（注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分） 18．（本小题满分12分）已知A B C ∆的两边长分别为25A B =，39AC =，且O 为A B C∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长；（2）求AO BC ⋅的值．解答：（1）由正弦定理有2sin sin A B A C R CB ==，∴253965sin sin CB==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin B C R A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分（2）由已知AO OC AC += ，∴22()AO OC AC += ，即2222||2||||39AO AO O C O C AC +⋅+==……………………8分同理AO OB AB += ，∴2222||2||||25A O A O O B O B A B +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO O C AO O B ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅= ，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．（1）请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF ∥平面ACD ，并证明这一事实；（2）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小；（3）求点G 到平面BCE 的距离．解法一：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，（1）点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，则点F的坐标为1(,1)22F，∴3(,0)22B F =- ，显然BF与平面xOy 平行，此即证得BF ∥平面ACD ； ……………………4分（2）设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥ ，且n CE ⊥ ，由(1,C B =，(1,2)C E =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即2)n = ，∴所求角θ满足(0,0,1)cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分（3）由已知G 点坐标为（1，0，0），∴(1,0,1)BG =--，由（2）平面BCE的法向量为(1,2)n =，∴所求距离||||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：（1）由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB//ED ，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ，…………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由B F ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//B F ∴平面ACD ； ……………4分（2）由已知条件可知A C D ∆即为B C E ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，则cos AC D BC ES S θ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =CE =∴1||2BC E S C E ∆==而2||4AC D S AC ∆==∴cos 2AC D BC ES S θ∆∆==，而02πθ<<，∴4πθ=； ………………8分（3）连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ，由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，又C G A D ⊥，∴C G ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，则C BG E G BC E V V --=即1133BG E BC E S G C S h ∆∆⨯=⨯，E由32B G E S ∆=，BCE S ∆=C G =∴B G E B C ES G C h S ∆∆⨯===G 到平面BCE 的距离．………………12分20．（本小题满分13分）已知椭圆22221y x ab+=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e=5，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（2）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：（1）由已知4b =，且5c a =，即2215c a=，∴22215a b a-=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016yx+=； ……………………3分由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =，∴所求弦长21||||9M N x x =-=； ……………………6分（2）椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2B F F Q =，又(0,4)B ，∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545M N y y x x k x x y y -+==-=-=-+- ∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分（注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x m x x x-+=--，m ∈R ．（1）求θ的值；（2）当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；（3）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围．解答：（1）由已知/211()0sin g x xxθ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>，故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分（2）∵0m =，∴12()ln e f x x x-+=--，(0,)x ∈+∞，∴/2221121()e e xf x xxx---=-=，令/()0f x =，则21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分（3）令2()()()2ln m e F x f x g x m x x x+=-=--，当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m m x x-≤，且22ln 0e x x --<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m eF x m xxx+-++=+-=，∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立，故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴m ax ()()4m F x F e m e e==--，令40m m e e-->，则241e m e >-，故所求m 的取值范围为24(,)1e e +∞-． ……………………14分。