北京101中学11-12学年高一上学期期中考试 数学试题

北京一零一中2010—2011学年度第一学期期中考试高一数学一、选择题：1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,3,4,5P =，{}3,4,5,6,7Q =，则Q C P U ＝（ A ） A.{}1,2 B.{}3,4,5 C.{}1,2,6,7 D.{}1,2,3,4,52、下列各组函数中，表示同一个函数的是 （ B ）A. 211x y x -=-与1y x =+B. y x =与log x a y a =()0,1a a >≠C. 1y 与1y x =-D. lg y x =与21lg 2y x =3、在给定映射()()y x xy y x f +→,,:下，()2,4-的象是 （ D ） A.()1,2- B. ()1,2-- C. ()2,8-- D. ()2,8-4、若函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 （ C ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 5、函数(21)log x y -= （ D ）A. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 1,1(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 2,1(1,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6、已知()()()1,13,1x x f x x x +≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 （ B ） A.25 B.23 C.29D. 21-7、函数()xf x e =（e 为自然对数的底数）对任意实数x 、y ，都有 （ A ）A. ()()()f x y f x f y +=B.()()()f x y f x f y +=+C. ()()()f xy f x f y =D. ()()()f xy f x f y =+8、设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞上是递增函数，则()1f a +与()2f b +的大小 关系是 （ C ） A .()()12f a f b +=+ B.()()12f a f b +<+ C.()()12f a f b +>+ D.不确定 二、填空题：9、已知集合A =},|{},3|2||{a x x B x x <=≤-且A B A =，则实数a 的取值范围是}5|{>a a10、求函数221y x x =--+，()3,2x ∈-的值域 (]7,2-11、已知37222--<x x , 则x 的取值范围为 4x <12、求值，22log 3321272log 8-⨯+=19293(3)18lg1019-⨯-+=+=13、函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m = 2 2211230m m m m ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，得2m =14、函数1()42x x f x a +=-⋅（12x -≤≤）的最小值为()g a ，则(2)g =_____4-_______,()g a =______211421421684a a a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩____________.三、解答题：15、（7分）已知集合{}73≤≤=x x A ,{}102<<=x x B ,{}a x x C <=,全集为实数集R.（1）求B A ； （2）求()B A C R ；（3）如果φ≠C A ，求a 的取值范围。

解：(1)∵A={}73<≤x x ，B={x |2<x <10},∴A ∪B={x |2<x <10}；……………………2分(2) ∵A={}73<≤x x ，∴C R A={x | x <3或x ≥7}∴(C R A)∩B={x | x 7≤x <10} …………4分 (3)如图，∴当a >3时，A ∩C≠φ…………………………………………………………7分16、（8分）设集合{}1,,22-=b a a A ，{}b a B ,,0=，且B A =. （1）求b a ,的值； （2）求函数()xabx x f --=的单调递增区间，并证明. 解：（1）1-=a ，1-=b ； …………………4分 （2）(]1,-∞-, [)+∞,1 ……………………5分 证明略 …………………………………8分17、（8分）设()f x 为定义在R 上的偶函数，当20≤≤x 时，y x =；当2x >时，()y f x =的图像时顶点在P （3，4），且过点A （2，2）的抛物线的一部分 （1）求函数()f x 在)2,(--∞上的解析式；（如图所示），在窗框总长度为l 的条件下， （1）请写出窗户的面积S 与圆的直径x 的函数关系；（2）要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？并写出最大值. 解 （1）设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ， 则窗框总长＋＋，l =x2x 2y π ∴＋＋·－y =2(2+)x 4S =x xy =x 2(2+)x 4x =22l l l l --+-+++πππππππ8848242422()()x2482lS x x π+∴=-+ 2(0)2lx π<<+…………………………4分()()224228424l l S x πππ+⎛⎫=--+⎪++⎝⎭当时，，此时，x =24+S =y =4+max 2l ll πππ242()+=x………………………………7分答 窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光l4+π面积最大． 19、（10分）设函数()x f 的定义域是()+∞,0，且对任意的正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=恒成立. 已知()12=f ，且1>x 时，()0>x f . （1）求⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值；（2）判断()x f y =在()+∞,0上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式()()1682-->x f xf .解：(1)令x =y =1, 则可得f (1)=0, 再令x =2, y =21, 得f (1)=f (2)+f (21), 故f (21)= -1………2分 (2)设0＜x 1＜x 2, 则f (x 1) +f (12x x )=f (x 2) 即f (x 2) -f (x 1)=f (12x x),∵12x x ＞1, 故f (12x x)＞0, 即f (x 2)＞f (x 1) 故f (x )在(0, +∞)上为增函数……………………6分(3)由f (x 2)＞f (8x -6) -1得f (x 2)＞f (8x -6) +f (21)=f [21(8x -6)], 故得x 2＞4x -3且8x -6＞0, 解得解集为{x |43＜x ＜1或x ＞3}………………………10分20、（10分）设2()32f x ax bx c =-+，若0a b c -+=，0)0(>f ，0)1(>f . （1）求证：方程()0f x =在区间（0，1）内有两个不等的实数根； （2）若,,a b c 都为正整数，求a b c ++的最小值。

【证明】（1）(0)0f c =>①，(1)320f a b c =-+>②，0a b c -+=③， 由①③得：0a b a b -<⇒<④，由②③得：202a b a b ->⇒>⑤，由④⑤得：2a b a >>⑥，∵b a c =+代入②得：a c >∴0>a ∴由⑤得：12ba <<…………………………………………………………………2分 ∵对称轴12(,)333b x a =∈，又(0)0,(1)0f f >> …………………………3分 且22224124()12(2)30b ac a c ac a c c ∆=-=+-=-+>………………………4分 ∴方程0)(=x f 在)1,0(内有两个不等实根.…………………………………………5分 （2）若,,a b c 都为正整数，(0)f 、(1)f 都是正整数， 设12()3()()f x a x x x x =--，其中12,x x 是0)(=x f 的两根，则12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠∵22112291(0)(1)9(1)(1)16a f f a x x x x ≤=--<∴2916,a a >为正整数，∴2,a ≥∴2(2)426a b c c c c ++≥+++=+≥…………8分 若取2a =，则(1,2)2b ba =∈得：(2,4)b ∈ ∵b 为正整数，∴3b =，1c b a =-= 2()6610f x x x =-+=的两根都在区间)1,0(内， ∴a b c ++的最小值为6。

……………………………………………………………10分。