常微分方程总复习
常微分复习题
1. 如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F Λ左端为未知函数及其各阶导数的（ 一 ）次有理整式，则它称为线性微分方程。
2. 形如（)()(y x f dxdyϕ= ）的方程，称为变量可分离方程，其中)(x f 和)(y ϕ分别是y x , 的连续函数。
3. 方程()dy P x y dx=的通解为（ ()P x dxy ce ⎰= ）这里c 是任意的常数。
4. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的充要条件是（M Ny x∂∂=∂∂ ），其中(,),(,)M x y N x y 在区域G 内连续可微。
5. 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式（ 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- ）对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。
其中L 称为利普希兹常数。
6. 初值问题（3.1），若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则任一非饱和解均可延拓为（ 饱和解 ）。
7. 设初值问题（3.1）满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式（ 00(,,)y x x y ϕ= ）。
8. 如果),(y x f 以及（yy x f ∂∂),( ）在G 内连续，则(3.1)的解),,(00y x x y ϕ=作为 00,,x x y 的函数，在它定义范围内连续可微。
9. 0)()()(1111=++++---x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n Λ称为（ n 阶线性齐次微分方程 ）。
常微分方程(竞赛复习)
二、用积分求解的高阶 微分方程
1. y
( n)
( x) f ( x)
积分n次
2. y ( x ) f ( x , y ) 3. y ( x ) f ( y , y )
dp 令p( x ) y ( x ), 方程 f ( x , p) dx
（一个等式，两个变量 ）
3
1 dx C ] 3 2 ( x 1) x 1 x C1 x x , 2 x 1 4 C1 3 1 2 通解 ： y x x x C2 . 4 3 2
2[
2
例2
2 2 0 的通解。 求 y y 1 y
dP 解： 令 y P y P , dy dP 2 d y dP 2 2 代入方程： P P 0, P y 1 dy 1 y ln P 2 ln( y 1) ln C1 dy dy 2 C1 d x P C1 ( y 1) 2 ( y 1) dx 1 y 1 . C1 x 2
3 1 cos x x 1 2 3
2.设y1 x是方程 x y xy y 0的一个解,
2
求方程的通解
3.设f ( x )具有二阶连续导数积分 , [ xy( x y ) f ( x ) y ]dx [ f ( x ) x 2 y ]dy与路径无关 ,
三、高阶线性微分方程
1.几个关于解函数的叠加 原理
2.齐次、非齐次方程通解 的结构
3.常数变易法 见教材P169 P171
已知齐次方程的一个解 ，求另一个线性无关 解； ( )
已知齐次方程的通解， 求非齐次方程的通解；
4.特征值法 常系数线性方程的解
常微分方程复习卷
常微分方程课程总复习第一章 绪论第一章的主要内容是建立方程和初始条件，并介绍整个课程中所使用的主要概念。
以下几点是对第一章内容的总体要求。
*一．对于通过物理过程而建立微分方程，本课程不作太高的要求，了解和初步掌握几个方程及初始条件建立过程的物理模型即可。
！二. 对于利用平面曲线的分析性质（曲线()y f x =的切线的斜率是导数()y f x ''=）建立简单的曲线所满足的微分方程，则是要求初步掌握的。
一些具体的例题可见作业中的相应部分。
！三. 对于微分方程的一些基本的概念则要求熟练掌握，因为这些是后面求解方程所必须的。
要求熟练掌握的概念有 ● ！微分方程的阶数；● ！微分方程的解的概念和解的验证； ● ！微分方程组的解的概念和解的验证； ● ！微分方程的通解及特解；● ！判断一个微分方程是线性的还是非线性的；● ！判断一个线性微分方程是齐(次)的还是非齐(次)的； ● ！判断一个线性微分方程是常系数的还是变系数的.至于一阶方程的解的几何意义，包括积分曲线，方向场，等斜线等则作为了解即可。
本章重点和注意事项：1． ！关于微分方程的概念，主要放在概念性题目（例如选择题）中考查。
2． ！利用平面曲线的分析性质建立简单的常微分方程，通常放在简答性题目（例如填空题）中考查。
3． ！验证方程的解通常出现在概念性的题目中。
！典型例题：下列四个微分方程中, 为四阶线性微分方程的有( )个.(1) 4434322tan 1d y d y x x x y dx dx x ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭(2) 43243ln cos(ln )d y d y y x dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭(3) 4422d yx dx d y dyey e dx dx+++=(4) 424ln tan xd y dy ex y x x dx dx++=A. 1B. 2C. 3D. 4（见模拟试题）！典型例题：微分方程1222212(1)ln(1cot )n n n n d y d y dy n n xy x dx dx dx--+++-+=+L 是( ). A. n 阶常系数非线性常微分方程;B. n 阶变系数非齐次线性常微分方程;C. n 阶变系数非线性常微分方程;D. n 阶常系数非齐次线性常微分方程.！典型例题：微分方程21(1)ln dy x y x y dx y+=++的一个解是( ).A. 1y x =+B. 1-=x yC. xy 1=D. xy 1-= （见模拟试题）！典型例题：(见第17页: 9. (1)) 曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为θ.*典型例题：(见第17页: 9. (3)) 曲线上任意一点的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于常数2a .*典型例题：平面上过点(4,4)的曲线为)(x f y =, 该曲线上任一点处的切线与坐标轴所成的三角形的面积都等于2, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ).*典型例题：平面上过点(4,4)的曲线为)(x f y =, 该曲线上任一点处的切线夹在两个坐标轴之间的部分为定长l , 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为( ).！典型例题：平面上过点(,)e π的曲线为)(x f y =, 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为/4π, 则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为 ( , ). （见模拟试题）第二章 一阶微分方程的初等解法第二章的主要内容是求解几类的一阶微分方程，这里总结主要的解法： 一． 变量分离方程：)()(y x f dxdyϕ=.求解方法：先进行变量分离：dx x f y dy)()(=ϕ，再在两边积分即得通解： c dx x f y dy+=⎰⎰)()(ϕ.注意：在常微分方程中所遇到的不定积分和定积分是数学分析中所学过的公式中较为简单的形式。
常微分方程复习资料
（16）
2
（18）
1 a2 x2
dx arc sin
x C a
（19） （20）
1 a x
2 2
dx ln( x a 2 x 2 ) C
dx x a
2 2
ln | x x 2 a 2ln | cos x | C （22） cot xdx ln | sin x | C （23） sec xdx ln | sec x tan x | C （24） csc xdx ln | csc x cot x | C 注：1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把 x 换成 u 仍成立， u 是以 x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式：
f ( y, y)型, 例如：yy ( y) 2 0
dp dp , 代入原方程得yp p2 0 dy dy dp dy 当y 0, p 0时，约去p并分离变量得 p y dy p C1 y C1 y dx y C2 eC1x 令y p，则y p
常微分方程复习资料
一.基本概念： 含有一元未知函数一 y(x)（即待求函数）的导数或微分 的方程，称为常微分方程。 显然一个微分方程若有解，则必有无穷多解； 若 n 阶微分方程的解仲含有 n 个独立的附加条件（称为 定解条件）定出了所有任意常数的解称为特解； 微分方程连同定解条件一起，合称为一个定解问题； 当定解条件是初始条件（给出 y, y, y,, y ( n1) 在同一点 x0 处 的值）时，称为初值问题。 二.一阶微分方程 y ( x, y) 的解法
积分类型 1. f (ax b)dx 1 f (ax b)d (ax b) (a 0) a 1 2. f ( x ) x 1 dx f ( x )d ( x ) ( 0)
常微分方程期末复习提要(1)
常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。
本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。
2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。
（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。
3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。
常微分方程总复习1
复习一、填空题的难易情况说明 1．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．填写答案：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）． 2．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 填写答案：1,1±=±=x y ．3．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．填写答案：没有．二、单项选择题的难易情况说明1．),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ ）条件． （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分 选项（A ）正确，填写答案：“A ”． 2．微分方程2+-='x y y （ ）．（A ）无奇解 （B ）一定有奇解 （C ）有奇积分曲线 （D ）可能有奇解 选项（A ）正确，填写答案：“A ”． 3．方程21d d y xy-=过点(0, 0)的解为x y sin =，此解存在区间是（ ）． （A ）),(∞+-∞ （B ）]0,(-∞ （C ）),0[∞+ （D ）]2,2[ππ-选项（D ）正确，填写答案：“D ”．三、计算题的难易情况说明 1．求方程)(e d d 3x x xyy +=-的通解或通积分． 这个题是变量可分离方程求解问题．2．求方程22d d y xy xyx-=的通解． 这一题首先要将原方程化为齐次方程再求解． 3．求方程0d d )e (2=+-y x x y x x的通解．该题应先求积分因子，将方程化为全微分方程，再求出通解．四、证明题的难易情况说明1．试证明：对任意0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(d d yx y y x y ++-= 的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．因为方程右端函数及对y 的偏导数),(y x f y '在全平面上连续，所以结论较显然的． 2．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x ．该题通过对由常数变易法得到的通解公式求极限的方法证明．一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．方程1d d +=y xy满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 4．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕΛ在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．5．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ ）个解． （A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三 7．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 8．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解 9．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f xy=的任一解的存在区间（ ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：10. x y x y x y tan d d += 11. 1d d +=x y x y 12. 0d d )e (2=+-y x x y x x13．1)ln (='-'y x y14．022=+'+''x y y y四、计算题（每小题10分，本题共20分） 15．求方程xy y e 21=-''的通解． 16．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x tx43d d 2d d ．17. 求下列方程组的通解.284014013y dx dy ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=五、证明题模拟试题（每小题10分，本题共20分）18．在方程)()(d d y x f xyϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．模拟试题参考解答一、填空题参考答案（每小题3分，本题共15分） 1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin3．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 4．充分 5．没有二、单项选择题参考答案（每小题3分，本题共15分） 6．B 7．A 8．C 9．D三、计算题参考答案（每小题６分，本题共30分） 10．解 令u xy=，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得u u x u xu tan d d +=+，u xu x tan d d = （2分） 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx xy=sin（6分） 11．解 齐次方程的通解为Cx y = （2分） 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( （5分） 原方程的通解为Cx y =+x x ln （6分） 12．解 积分因子为 21)(xx =μ （3分） 原方程的通积分为1012d d )(e C y x x yy xx=+-⎰⎰即 1e ,e C C C xy x+==+ （6分）13．解 令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 （2分） 由基本关系式 y xy'=d d ，有p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p)d 11(-= （4分）积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 1 （6分） 14．解 原方程可化为0)(2='+'x y y （2分）于是 12d d C x xyy=+ （4分） 积分得通积分为23123121C x x C y +-= （6分）四、计算题参考答案（每小题10分，本题共20分） 15．解 对应的齐次方程的特征方程为：012=-λ特征根为： 1,121-==λλ故齐次方程的通解为： xxC C y -+=ee 21 （4分）因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAx x y e )(1= （6分） 代入原方程，有 x xx x Ax Ax A e 21e e e 2=-+， 可解出 41=A ． 故原方程的通解为 xxx x C C y e 41e e 21++=- （10分） 16．解 方程组的特征方程为 04321=----=-λλλE A即 0232=+-λλ特征根为 11=λ，22=λ （2分） 11=λ对应的解为 tb a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得1,111-==b a ． （5分） 同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ． （8分） 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e （10分）五、证明题参考答案（每小题10分，本题共20分）18．证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． （2分） 显然1±=y 是方程的两个常数解． （4分）任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y ．记过该点的解为)(x y y =，由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(∞+-∞． （10分）19．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分） 显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(0101x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也满足初值条件)()(0101x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）。
常微分方程复习(一)
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
常微分方程期末复习
1.求下列方程的通解。
1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。
1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。
0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。
t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常系数非齐次线性方程组的求解 基本要求 熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通 解结构 熟练掌握常系数齐线性方程基解矩阵的求 重点） 解（重点） 熟练掌握较简单的常系数非齐次线性方程 的求解
试卷结构 填空题20分 填空题 分 1、基本概念；2、基本结论 、基本概念； 、 计算题50~60分 分 计算题 各种类型的微分方程的求解（ 各种类型的微分方程的求解（7~9题） 题 应用题10分左右 应用题10分左右 常微分方程建模并求解 证明题10分左右 证明题 分左右
一阶线性微分方程组 内容总结 一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示， 一阶线性微分方程组的形态，矩阵表示，高阶 线性方程转化为等价的线性方程组 齐线性方程组的通解结构，基解矩阵， 齐线性方程组的通解结构，基解矩阵，通解表 示，基解矩阵的有关性质 非齐线性方程组的通解结构，常数变异公式， 非齐线性方程组的通解结构，常数变异公式， 通解公式， 通解公式，特解公式 矩阵指数， 矩阵指数，矩阵指数的性质 常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点） 常系数齐线性方程组的基解矩阵计算（重点）
常微分方程总复习
内容总结 绪论 一阶常微分方程的初等解法 一阶常微分方程初值问题解的基本理论 高阶线性方程 一阶线性微分方程组
绪论 内容总结 微分方程、常微分方程、 微分方程、常微分方程、初值问题 问题）、方程的解、 （Cauchy问题）、方程的解、通解、特解、 问题）、方程的解 通解、特解、 积分曲线、线素、线素场、 积分曲线、线素、线素场、微分方程和解的 几何意义，几个常见的微分方程模型（ 几何意义，几个常见的微分方程模型（阻尼 落体运动、冷却模型、电路模型） 落体运动、冷却模型、电路模型）
基本要求 熟练掌握齐线性方程和非齐线性方程的通解 结构 熟练掌握常系数齐线性方程的求解（ 熟练掌握常系数齐线性方程的求解（包括 Euler方程） 方程） 方程 熟练掌握具有特殊类型非齐次项的非齐次线 性方程的求解（待定系数法、复值函数法） 性方程的求解（待定系数法、复值函数法） 熟练掌握二阶线性方程的降价公式（ 熟练掌握二阶线性方程的降价公式（得到一 个非零解的前提下求出另一个线性无关的解） 个非零解的前提下求出另一个线性无关的解） 幂级数解法（了解即可） 幂级数解法（了解即可）
2、掌握解的延拓定理（会完整叙述，弄清不同 、掌握解的延拓定理（会完整叙述， 的区域形态下延拓的最终情况）； 的区域形态下延拓的最终情况）； 3、会阐述解对初值的连续依赖性定理和连续性 、 定理； 定理； 4、会阐述解对初值的可微性定理，会写出解对 、会阐述解对初值的可微性定理， 初值的偏导数公式. 初值的偏导数公式
一阶常微分方程初值问题解的基本理论 内容总结 一阶初值问题的Picard存在及唯一性定 一阶初值问题的 存在及唯一性定 解的延拓定理、 理、解的延拓定理、解对初值连续依赖性定 连续性定理）、解对初值的可微性定理. ）、解对初值的可微性定理 理（连续性定理）、解对初值的可微性定理 基本要求 1、熟练掌握 、熟练掌握Picard存在定理（会完整阐述）， 存在定理（ 存在定理 会完整阐述）， 掌握Picard逐次逼近法的基本过程（五个命题）， 逐次逼近法的基本过程（ 掌握 逐次逼近法的基本过程 五个命题）， 会针对简单的具体方程用Picard逐次逼近法证明 会针对简单的具体方程用 逐次逼近法证明 解的唯一性； 解的唯一性；
Байду номын сангаас
常系数线性方程的基本解组求法（特别重要） 常系数线性方程的基本解组求法（特别重要） Euler方程 方程 常系数非齐次线性方程的求解、 常系数非齐次线性方程的求解、两种特殊的 非齐次项、待定系数法和复值函数法 非齐次项、 几种特殊的高阶方程的降阶、二阶线性方程 几种特殊的高阶方程的降阶、 的降阶（重点） 的降阶（重点） 二阶线性方程的幂级数解法（了解） 二阶线性方程的幂级数解法（了解）
基本要求 1、熟练掌握微分方程的所有基本概念； 、熟练掌握微分方程的所有基本概念； 2、掌握几个常见的微分方程模型（阻尼落 、掌握几个常见的微分方程模型（ 体运动、冷却模型、电路模型）， ），会针对一 体运动、冷却模型、电路模型），会针对一 些简单的背景建立微分方程模型并求解。 些简单的背景建立微分方程模型并求解。
高阶线性微分方程 内容总结 n阶线性微分方程的形态、齐次方程、非齐 阶线性微分方程的形态、 阶线性微分方程的形态 齐次方程、 次方程 齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、 齐次方程解的叠加性、函数的线性相关性、 Wronsky行列式（W行列式判定函数相关 行列式（ 行列式判定函数相关 行列式 ）、齐线性方程的基本解组和通解结构 齐线性方程的基本解组和通解结构. 性）、齐线性方程的基本解组和通解结构 非齐次线性方程解的叠加原理、 非齐次线性方程解的叠加原理、非齐方程通 解结构解、 解结构解、常数变异法 复值函数定义、分析性质、运算法则； 复值函数定义、分析性质、运算法则；复指 函数的定义性质、 函数的定义性质、Euler公式 公式
一阶常微分方程的初等解法 内容总结 变量可分离方程、齐次方程、 变量可分离方程、齐次方程、齐次的扩 展类型、一阶线性方程、 方程、 展类型、一阶线性方程、Bernoulli方程、恰 方程 当方程、积分因子、一阶隐方程（ 当方程、积分因子、一阶隐方程（四种可解 类型）、变量代换。 ）、变量代换 类型）、变量代换。 基本要求 1、熟练掌握所有基本可解类型（必考）； 、熟练掌握所有基本可解类型（必考）； 2、会使用一阶线性方程的通解公式证明有 、 关结论； 关结论； 3、会解简单的积分方程 、会解简单的积分方程.