定积分问题的数值求解及Matlab实现_张长耀
matlab积分运算
matlab积分运算Matlab是一种功能强大的数值计算软件，其中包含了丰富的积分运算函数。
积分运算在数学中是一种常见的数值计算方法，它可以用来求解函数的面积、曲线的弧长、物体的质量等问题。
在Matlab 中，我们可以使用不同的积分函数来进行数值积分运算，下面我将详细介绍一些常用的积分运算函数及其用法。
我们来介绍一下Matlab中最基本的积分函数——int。
int函数的基本语法为int(fun,xmin,xmax)，其中fun是被积函数，xmin和xmax分别是积分区间的下限和上限。
int函数将根据被积函数在积分区间的取值情况，自动选择适当的积分算法进行计算。
下面是一个简单的例子，演示了如何使用int函数计算函数y=x^2在区间[0,1]上的积分：```fun = @(x) x.^2;xmin = 0;xmax = 1;result = int(fun,xmin,xmax);disp(result);```上述代码中，我们首先定义了一个匿名函数fun，它表示被积函数y=x^2。
然后，我们指定了积分区间的下限xmin和上限xmax。
最后，调用int函数进行积分运算，并将结果保存在result变量中。
通过disp函数，我们可以将计算得到的积分结果输出到命令窗口中。
除了int函数，Matlab还提供了其他一些常用的积分函数，如quad、quadl、quadgk等。
这些函数在计算积分时采用了不同的算法和策略，适用于不同类型的积分问题。
例如，quad函数适用于计算一般的积分问题，quadl函数适用于计算具有奇点的积分问题，quadgk函数适用于计算具有高度非线性函数的积分问题。
下面是一个使用quad函数计算函数y=sin(x)在区间[0,pi]上的积分的例子：```fun = @(x) sin(x);xmin = 0;xmax = pi;result = quad(fun,xmin,xmax);disp(result);```在上述代码中，我们定义了一个匿名函数fun，它表示被积函数y=sin(x)。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
三用MATLAB实现定积分计算
形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
n
In Ai f (xi )
(11)
i1
如何选择节点xi 和系数Ai ，使(11)计算的精度更高？
令我f们(x不)=妨xk只，考用虑(11)I式计11算f (
Ix)dx
b a
f而( x构)d造x,代若数对精于度k为=03,的1,.形..,m如都
有In = I ，而G当2=kA=1mf(+x11)时+ A，2Ifn(x≠2)I ，则称In 的代数精度为m(1。2)梯
s1=s1+y(2*i); end for j=1:m-1
s2=s2+y(2*j+1); end s=(y(1)+y(n)+4*s1+2*s2)*h/3;
当被积函数不是解析表示时, 比如离散数据表表示的函数 通常就用这个函数按辛甫森 公式计算积分。
二 高斯（Gauss)求积公式
各种近似求积公式都可以表示为
tqruaapdz(('yf)un',a(按b,b-)a梯)/形n（公参用式考辛计书甫算P森定22（积3）2分阶（）单公位式步计长算）函。数fun在区间 trapz(x,y) x , y同长[ 度a, ，b]的输积出分y ，对自x动的选按择梯步形长公。式计算的积分 quad('fun',a（,b变,to步l) 长）与。上同，但指定了相对误差 tol。 quadl(‘fun’,a,b,tol) 用自适应Gauss-Lobatto公式计算，精度 更高。
数值积分的方法计算定积分,matlab实验
n 1 n 1 h f ( a ) 2 f ( x ) 4 f ( x 1 ) f (b) i i 6 i 1 i 0 2
编程如下： a=0; b=1; %积分上下限分别为 0,1， 将[0,1]区间 3 等分保证误差小于 e-5 n=3; h=(b-a)/n; %h 为区间长度 m=0;n=0; %定义变量并初始化 for x1=a+h:h:b-h m=m+exp(-x1); %计算以步长为 h 的所有节点函数值之和 end for x2=a+h/2:h:b-h/2 %计算以步长为 h/2 的所有节点函数值之和 n=n+exp(-x2); end S=h*(exp(0)+2*m+4*n+exp(-1))/6*2/sqrt(pi) %复化 simpson 公式求积分并输出 format long;
姓 名
学 号
班 级
成 绩
教师姓名：
时间：
（ 教 师 填 写 ）
实 验 报 告 要 求
如果步骤较多，请自行加页（A4 幅面）ຫໍສະໝຸດ 2e0
1
x
dx .
（1）复化梯形公式 分析： 由复化梯形公式可知， 余项 RTn
b a 2 '' '' x h f ( ) ， 且 a=0， b=1， f ( x) e ， 12
h
ba 1 1 x 1 x 1 e e 105 ，所以可 ， 所以可得 RTn 2 2 2 n 12 n 12n 12n
n 1 h 得 n 91.29 ，所以 n 取 92， Tn [ f (a) 2 f ( xi ) f (b)] 。 2 i 1
程序： n=92,a=0,b=1;
数值积分与matlab求解
1.3
数值求积方法
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两 种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分
区间[a,b]内存在一点ξ，使得 b f ( x)dx (b a) f ( )
a
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f ( ) 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的, 因 而 f ( ) 的值也是未知的, 称 f ( ) 为f(x) 在区间[a,b]上的平均 高度。那么只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地就 获得一种数值求积方法
计算
2 0
e - x sinxdx ，并与精确值比较.
解：将[0,/ 2]分成20 等份，步长为 / 40，输入程序如下（注意sum 和 cumsum的用法） • >> h=pi/40; x=0:h:pi/2; y=exp(-x).*sin(x); • z1=sum(y(1:20))*h,z2=sum(y(2:21))*h, • z=cumsum(y); z11=z(20)*h, z12=(z(21)-z(1))*h, 运行后屏幕显示计算结果分别如下 • z1 = z2 = z11 = z12 =0.3873 0.4036 0.3873 0.4036 求定积分的精确值，输入程序 • >> syms x • F=int(exp(-x)*sin(x),x,0, pi/2) • Fs= double (F) ,wz1=abs( Fs-z1), wz2= abs( Fs-z2) 运行后屏幕显示定积分的精确值Fs 和用矩形公式计算结果的绝对误差 wz1、wz2 分别如下 • F = Fs =1/2*(-1+exp(pi)^(1/2))/exp(pi)^(1/2) 0.3961 • wz1 = wz2 =0.0088 0.0075
matlab求定积分之实例说明精品文档5页
一、符号积分符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2 ^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
matlab求定积分之实例说明
一、符号积分符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2 ^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.92153573331143159790710032805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
三用MATLAB实现定积分计算
s=s+feval(f,z1(j))+feval(f,z2(j));
0,2*pi,1000)
end
s=
s=s*h/2;
-267.2458
Gauss-lobatto是改进的高斯积分方法,采取自适应求积方法
三 用MATLAB实现定积分计算： 2 sin xdx 0
⑴ 矩形公式与梯形公式 z1 =
形的公求式积代公数式精。度为对于1，f 辛(x)甫=1森, x公, 式x 2的, x代3，数应精该度有为 3。
节成点立我x，ba下i和们依f面系先(次介x数考11)将绍dfA虑f(x的i(，xx节))是d=使点x1取t代数, (x消数xAb,为1对xaa精f22)(2区/bx,度而21x间)尽使3代等可用Ab入2分2能(fa1，(的1高1x1)即2限计的)f可制(算所得a，的谓2b到n积高确给分斯b定定近2公aA后似t式1,)同A值d。2时t有,x确1代,x定数2
这两种用随机模拟的方式求积分近似值的方法 z=sum(y)*pi/2/n
/2
z=
蒙特卡罗方法
sin xdx
1.0010
0
3、蒙特卡罗方法的通用函数与调用格式
均值估计法
随机投点法 (设0≤ f(x) ≤1)
b
a
f
( x)dx
ba n
n i1
f
(a (b a)ui )
直接调用。这里被积函数为内部函数，无需另外定义。
s=gaussinteg(‘sin', 0, pi/2,1000) s=
1.0000
6000
§2 数值积分应用问题举例4000
2000
0
一 求卫星轨道长度
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h） ∫ f（ x ） d x = T（ f，
a
b
2 a， b］ ， a ＜ ξ ＜ b， 的逼近． 如果 f ∈ C ［ 则存在 ξ， 使 E （ f ， h ） E （ f ， h ） = 具 有 形 式 T 得误 差 项 T
f （ x1 ） ， …， f（ x n ） ． 相应函数值为 f（ x0 ） ， 曲线 y = f（ x） 上相应的点为 P0 ， P1 ， …， Pn （ Pi （ xi ， f（ x i ） ） ， i = 0， 1， …， n） P i 的弦 将曲线的每一段弧 P i －1 P i 用过点 P i －1 ， P i －1 P i （ 线性函数） 来代替， x i －1 ， x i］上 这使得每个［
求定积分
∫
3π 2
0
1 + sin2 x dx． 槡
虽然这个题目的被积函数是形式较简单的初 等函数， 但它的原函数不是初等函数， 无法利用牛 — — 莱布尼茨公式计算． 本文引入数值方法， 顿— 借 助 Matlab 编程来计算该定积分的近似值．
收稿日期： 2012 － 03 － 12． 作者简介： 张长耀（ 1981 － ） ， 男， 硕士， 讲师， 研究方向： 应用数学．
［3 ］ a， b］划分为宽度为 h = （ b － 定理 3 设［ xk ， x k +1 ］ ， a） / （ 2 n） 的 2 n 个等宽度子区间［ 组合辛 h h） = （ f（ a） + f（ b） ） + 普 森 公 式 S（ f， 3
b －a = b， h = ， f（ x1 ） ， …， 对应函数值为 f（ x0 ） ， n f（ x n ） ． P1 ， …， Pn （ Pi （ xi ， f（ x i ） ） ， 曲线上相应点为 P0 ， i = 0， 1， …， n） x0 ， x2］上的曲线段 y = f（ x） 用通过三点 现把区间［ P0 （ x0 ， f（ x0 ） ） ， P1 （ x1 ， f（ x1 ） ） ， P2 （ x2 ， f（ x2 ） ） 的 抛 物线 p1 （ x ） = f（ x0 ） （ x － x1 ） （ x － x2 ） + f（ x1 ） （ x0 － x1 ） （ x0 － x2 ）
借助 Matlab 编程， 得到该定积分问题的近似解， 并且给出该类型定积分的数值求解方 似求解方法，
Study on numerical solution on definite integrals and its realization by Matlab
ZHANG Changyao，LIU Xiuli
［3 ］ a， b］ 划分为宽度为 h = 定理 2 设区间［ （ b － a） / n 的 n 个子区间［ xk ， x k +1 ］ ， 组合梯形公式
∫
b
a
f（ x） | dx －
2
n x i －1 + x i b －a f（ ） ∑ n i =1 2
M（ b － a） 1 其中常数 是最佳的． 4n 4 矩形法的 Matlab 编程实现简单， 但效果欠佳． 如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项 式来近似代替被积函数， 那么可以期望得到比矩形 法效果好得多的近似计算公式． 下面介绍的梯形法 和抛物线法就是这一指导思想的产物 ．
n －1
2 ∑ f（ x i ） + f（ x n） ］下面给出该题目用梯形法求解
i =1
的 Matlab 程序 function y = trapm（ n， a， b） format long h = （ b － a） / n； syms x fx fx = sqrt（ 1 + （ sin（ x） ） ^2 ） ； f0 = subs（ fx， ＇x＇， a） ； fn = subs（ fx， ＇x＇， b） ； sum = f0 ； for i = 1 ： n － 1 xi = a + i* h； fi = subs（ fx， ＇x＇， xi） ； sum = sum + 2* fi； end sum = sum + fn； ≤ y = h* sum /2 ； matlab 命 令 行 中 输 入 trapm（ 10 000 ， 0， 3π 3* pi /2 ） ， 0 ， ］分为 10 000 个子区间， 即把［ 由程 2 序计算得该定积分的近似值为 5． 730 296 683 541 554． 用该方法解决此定积分题目的误差分析可以 用下面定理估计．
张长耀， 刘秀丽
（ 西藏农牧学院 公共教学部， 西藏 林芝 860000 ） 摘 法． 关键词： 定积分； Matlab； 误差分析 中图分类号： O241． 4 文献标识码： A 文章编号： 1672 － 0946 （ 2012 ） 05 － 0620 － 03 要： 以一道定积分题目为例， 分别利用矩形法、 梯形法和抛物线法等数值方法给出该定积分的近
－ （ b － a ） f ᵡ （ ξ） h2 = O（ h2 ） ． 12
3
抛物线法（ 辛普森公式）
对于精度要求不是很高的定积分的计算 ， 梯形
· 622·
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
第 28 卷
公式的计算结果完全可以达到应用的精度要求 . 如果对精度要求较高， 则有必要引入更有效的抛物 线法， 即在分割的每个小区间上采用二次多项式来 近似代替被积函数． a， b］作 n（ 其中 n 为偶数） 等分， 将积分区间［ 分点依次为 x0 = a ＜ x1 ＜ … ＜ x i = a + b －a i ＜ … ＜ xn n end
（ x － x0 ） （ x － x1 ） （ x － x0 ） （ x － x2 ） + f（ x2 ） （ x1 － x0 ） （ x1 － x2 ） （ x2 － x0 ） （ x2 － x1 ） 来近似代替， 则有
∫ ∫ ∫
xn
x2 x0
f（ x） dx ≈
h ［ f（ x0 ） + 4 f（ x1 ） + f（ x2） ］ 3 h ［ f（ x2 ） + 4 f（ x3 ） + f（ x4） ］ 3
第5 期
张长耀， 等： 定积分问题的数值求解及 Matlab 实现
· 621·
现就 上 面 题 目 给 出 用 中 点 矩 形 法 求 解 的 Matlab 程序 format long n = 10000 ； a = 0 ； b = 3* pi /2 ； s = 0 ； syms x fx fx = sqrt（ 1 + （ sin（ x） ） ^2 ） ； for i = 1 ： n xj = a + （ i － 1 ） * （ b － a） / n； % 左点 xi = a + i* （ b － a） / n； % 右点 fxij = subs（ fx， ＇x＇， （ xi + xj） /2 ） ； % 中点值 s = s + fxij* （ b － a） / n； end s 由程序计算得该定积分的近似值为 s = 5． 730 296 683 541 563． 用该方法解决此定积分题目的误差分析可以 用下面定理估计． a， b］上连 设函数 f（ x） 在闭区间［ b） 内至多有限个点外处处有连续 续， 在开区间（ a， ' 的导数， 且存在正数 M 使得 | f （ x） | ≤ M， 用一组 定理 1 分点 a = x0 ＜ x1 ＜ … ＜ x n = b a， b］ n 等分， 把［ 则
第 28 卷 第 5 期 2012 年 10 月
哈 尔 滨 商 业 大 学 学 报（ 自然科学版）
Journal of Harbin University of Commerce （ Natural Sciences Edition）
Vol． 28 No． 5 Oct． 2012
定积分问题的数值求解及 Matlab 实现
（ Department of Public Teaching，Tibet Agriculture and Animal Husbandry College，Linzhi 860000 ， China）
Abstract： In this paper，the numerical solution on definite integrals was introduced based on an example using three methods respectively such as rectangular formula，trapezium formula and parabola formula ． And the corresponding Matlab programs were given． Key words： definite integral； Matlab； error analysis 实际问题当中常常需要计算积分． 依据人们 所 熟 知 的 微 积 分 基 本 定 理， 对 于 积 分 I = 只要找到被积函数 f（ x） 的原函数 F （ x） ， ∫ f（ x） dx，
a b
求解定积分的常用数值方法有矩形法 、 梯形法 和抛物线法， 下面我们借助 Matlab 编程分别实现．
1
中点矩形法
根据定积分的定义， 对于定积分 f（ x） dx， 将
a
便有下列牛顿 — 莱布尼茨公式：
∫ f（ x） dx = F（ b）
a
b
－ F（ a） ．
∫
b
但实际使用这种求积方法往往有困难 ， 因为大 2 sinx （ x ≠ 0） ， e －x 等， 量的被积函数， 诸如 其原函数 x 故不能用上述公式计算． 下 不能用初等函数表达， 面我们用教学中遇到的一个定积分的题目作为例 子， 来说明此类定积分题目的求解． 例