最新高等数学不定积分重点难点复习例题讲解_【迈腾教育】浙江2 2考试网汇编

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数学分析不定积分知识点总结

数学分析不定积分知识点总结不定积分是数学分析中的一个重要概念，它是微积分学的基础内容之一。

理解和掌握不定积分的相关知识对于进一步学习高等数学以及解决实际问题都具有重要意义。

下面我们将对不定积分的知识点进行详细总结。

一、不定积分的定义如果在区间\（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），则称\（F(x)＼）是\（f(x)＼）在区间\（I\）上的一个原函数。

＼（f(x)＼）的原函数的全体称为\（f(x)＼）在区间\（I\）上的不定积分，记为\（＼int f(x)dx\）。

二、基本积分公式1、＼（＼int kdx ＝ kx ＋ C\）（＼（k\）为常数）2、＼（＼int x^n dx ＝＼frac{1}｛n ＋ 1}x^｛n ＋ 1} ＋ C\）（＼（n ＼neq －1\））3、＼（＼int ＼frac{1}｛x}dx ＝＼ln|x| ＋ C\）4、＼（＼int e^x dx ＝ e^x ＋ C\）5、＼（＼int a^x dx ＝＼frac{1}｛＼ln a}a^x ＋ C\）（＼（a ＞0\），＼（a ＼neq 1\））6、＼（＼int ＼sin x dx ＝＼cos x ＋ C\）7、＼（＼int ＼cos x dx ＝＼sin x ＋ C\）8、＼（＼int ＼sec^2 x dx ＝＼tan x ＋ C\）9、＼（＼int ＼csc^2 x dx ＝＼cot x ＋ C\）10、＼（＼int ＼sec x ＼tan x dx ＝＼sec x ＋ C\）11、＼（＼int ＼csc x ＼cot x dx ＝＼csc x ＋ C\）这些基本积分公式是进行积分运算的基础，必须牢记。

三、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即\（＼int f(x) ＋ g(x)dx ＝＼int f(x)dx ＋＼int g(x)dx\）。

2、常数乘以函数的不定积分等于常数乘以该函数的不定积分，即\（＼int kf(x)dx ＝ k\int f(x)dx\）（＼（k\）为常数）。

高等数学第四章不定积分讲义

第四章不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ．（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1sin x a t =；（2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）．（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰．解：原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰，故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--，其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++，则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++．【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰．解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =，则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰，故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰．三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下．因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。

高数大一不定积分知识点总结

高数大一不定积分知识点总结高数是大一学生们必须学习的一门数学课程，其中的不定积分是一个重要的知识点。

不定积分在微积分中的地位非常重要，它是定积分的基础和反向运算。

在学习不定积分时，我们需要了解一些基本的知识点，掌握一些常见的积分公式和技巧。

首先，我们来了解一下不定积分的定义。

不定积分是对函数进行求积分的过程，结果是一个函数族，而不是一个具体的数值。

不定积分的表示符号是∫，例如∫f(x)dx。

其中f(x)是被积函数，dx 表示对变量x进行积分。

在求解不定积分时，常常需要使用一些基本的积分公式。

比如多项式的不定积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （C为常数）。

在使用这个公式时，我们可以通过逐项积分，将不定积分转化为多项式之间的求解。

除了多项式的积分公式外，还有一些常见的积分公式需要我们掌握。

例如三角函数的积分公式，如：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。

还有指数函数的积分公式，如：∫e^x dx = e^x + C。

这些公式在不定积分的计算中经常用到，我们应该熟练掌握它们。

在实际求解不定积分时，有时我们需要进行一些变量的替换或者换元积分。

这是为了简化积分的计算。

换元积分的基本步骤是：首先选择一个新的变量，然后将原积分中的旧变量用新变量表示，最后对新变量进行积分。

这样可以将原积分转化为对新变量的积分，通常会更容易求解。

例如，对于∫sin(2x) dx，我们可以选择令u=2x，然后将积分变为∫sin(u) du，通过积分公式求解即可。

有时我们还需要利用一些特殊的技巧来求解不定积分。

例如分部积分法，它是求解由两个函数相乘的积分的一种方法。

分部积分的公式是：∫u dv = uv - ∫v du。

我们可以通过选择合适的u和dv，然后利用这个公式来逐步简化积分的计算。

此外，还有一些特殊函数的不定积分需要我们掌握。

例如反三角函数的不定积分，如：∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C。

高等数学不定积分讲义

第3、4 次课 4 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：不定积分的概念与性质教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。

重点：不定积分的性质和基本积分表难点：不定积分的概念教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.不定积分的概念（25）2.不定积分的性质（30）3.基本积分表（30）4. 习题（90）课后作业参考资料不定积分的概念与性质1、复习13个基本导数公式.2、原函数与不定积分的概念.（1）定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x ∈I ，都有()'()F x f x =或()dF x =⎰dx x f )(，那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx )在区间I 上的原函数.（2）原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数()F x , 使对任一x ∈I 都有F '(x )=()f x .注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x , 那么()f x 就有无限多个原函数.()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数)2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和()F x 都是()f x 的原函数,则()()x F x C Φ-=(C 为某个常数).简单地说就是,连续函数一定有原函数.定义2 在区间I 上, 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x (或⎰dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ⎰dx x f )(, 其中记号⎰称为积分号, ()f x 称为被积函数,⎰dx x f )(称为被积表达式,x 称为积分变量.3、例题讲解.例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=⎰sin cos .因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=⎰21.例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分解：当0x >时，(ln x )'x 1=，C x dx x+=⎰ln 1(0x >).当0x <时，[ln(x )]'x x 1)1(1=-⋅-=，C x dx x+-=⎰)ln( 1(0x <).合并上面两式,得到C x dx x +=⎰||ln 1(x ≠0).例3. 求2.x dx ⎰解由于'323x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33x 是2x 的一个原函数，因此323x x dx C =+⎰. 4、变式练习5、积分曲线函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系⎰=)(])([x f dx x f dxd 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([.又由于()F x 是()'F x 的原函数,所以⎰+='C x F dx x F )()(或记作⎰+=C x F x dF )()(.6、基本积分表（略）.例4. ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131.例5. ⎰⎰=dxx dx x x252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372.7、不定积分的性质.性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数,0k ≠例6. ⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252.⎰⎰-=dx x dx x 21255⎰⎰-=dx x dx x 21255 C x x +⋅-=232732572.例7. dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰C x x x x dx xdx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322. 8.变式练习(1)2dxxx⎰ (2)31()x dx x-⎰ (3)22x x dx +⎰（） (4)(3)x x dx -⎰(5)4223311x x dx x +++⎰ (6)221x dx x +⎰ (7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 (8)2232()11dx x x-+-⎰ (9)x x x dx ⎰ (10)221(1)dx x x +⎰ (11)211xx e dx e --⎰(12)3x x e dx ⎰ (13)2cotxdx ⎰第 5 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第一类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第一类换元积分法1、回顾旧知（1）复习13个常见积分公式（2）思考：cos 2sin 2xdx x C =+⎰对吗？2、第一类换元法.设()f u 有原函数()F u ,()u x ϕ=, 且()x ϕ可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有''''[()]()()[()]()[()]()dF x dF u F u du F x d x F x x dx ϕϕϕϕϕ==== ,即)(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=()[()C]u x F u ϕ=+=[()]C F x ϕ+.定理1 设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .3、讲授例题.例1 1cos 2cos 2(2)2xdx x x dx '=⋅⎰⎰1cos 2(2)2xd x =⎰ 211cos sin 22u x udu u C ===+⎰令=1sin 22x C + 例2 dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d x32111ln ||22u xdu u C u =+==+⎰令C x ++=|23|ln 21. 例3 ⎰⎰⎰-==x d xdx x x xdx cos cos 1cos sin tan = ln |cos |x C -+.例4求6sec d .x x ⎰解 6222sec d (tan 1)sec x x x xdx =+⋅⎰⎰42(tan 2tan 1)dtan x x x =++⎰5312tan tan tan 53x x x C =+++ 4、变式练习.１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313第 6 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第一类换元积分法教学要求：1. 掌握第一类换元积分法重点：第一类换元积分法难点：凑微分教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.练习（90）课后作业参考资料第一类换元积分法1、复习旧知.（1）13个常见的积分公式. （2）第一类换元积分法.2、例题讲解（较难的积分）.例1. ⎰⎰⋅=xdx x xdx sin sin sin 23⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰⎰+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos .例2. dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2)2cos (21⎰⎰+=xdx dx ⎰⎰+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4121.例3. ⎰⎰=dx x xdx sin 1csc ⎰=dx xx 2cos 2sin 21C x x xd x x x d +===⎰⎰|2tan |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22 =ln |csc x -cot x |+C .即 ⎰xdx csc =ln |csc x -cot x |+C .例4. ⎰⎰+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2 cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .即 ⎰xdx sec =ln |sec x + tan x | + C .3、变式练习.1）dx x x ⎰3cos sin 2）dx x x ⎰--24913）⎰-122x dx 4）dx x ⎰3cos 5)⎰xdx x 3cos 2sin 6)⎰xdx x sec tan 37) dx xx ⎰+239 8)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 9)dx xx ⎰-2arccos 2110 10)dx x x x⎰+)1(arctan4、小结（1）分项积分：利用积化和差; 分式分项;221sin cos x x =+等；（2）降低幂次：利用倍角公式 , 如221122cos (1cos2);sin (1cos2)x x x x =+=-. （3）统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法.（4）巧妙换元或配元第7 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：第二类换元积分法教学要求：1. 理解第二类换元积分法重点：第二类换元积分法难点：第二类换元积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.第二类换元积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料第二类换元积分法1、复习第一类换元积分法.2、第二类换元法.（1）定理1 设x =()t ϕ是单调的、可导的函数, 并且ϕ'()t ≠0. 又设f [ϕ()t ]ϕ'()t 具有原函数F ()t , 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ. 其中t =ϕ1-()x 是x =ϕ()t 的反函数. 这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdx t t f dxdt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ.3、例题讲解.例1. 求dx x a ⎰-22(a >0).解: 设sin x a x =，22 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=,cos dx a tdt =, 于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222.因为axt arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==, 所以dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.例2 求2.49dx x +⎰解原式221d (2)2(2)3x x =+⎰21ln 2492x x C =+++. 例3 求.1xdx e+⎰解为了消去根号，设1x e t +=，则2ln(1),x t =-221tdx dt t =-.所以 2221112(1)1111xdx t dt dt dt t t t t t e ⎛⎫===- ⎪---+⎝⎭+⎰⎰⎰⎰ 111lnln 111x x t e C C t e -+-=+=++++.4、变式练习.１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx第8 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 2 , 共48学时.主要内容：不定积分，定积分，微分方程本次课题：分部积分法1教学要求：1. 掌握分部积分法重点：分部积分法难点：分部积分法教学手段及教具：讲授法讲授内容及时间分配：1.分部积分法理论（25）2.练习（65）课后作业参考资料分部积分法1、提出问题：求解x xe dx ⎰（让学生试着求解）.2、分部积分公式.设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为 (uv )'=u 'v +uv ',移项得 uv '=(uv )'-u 'v.对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u ,或⎰⎰-=vdu uv udv ,这个公式称为分部积分公式. 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。

不定积分知识点归纳专升本

不定积分知识点归纳专升本不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础之一。

在专升本考试中，不定积分的知识点是必考内容。

以下是对不定积分知识点的归纳总结：不定积分的定义：不定积分是求导数的逆运算，如果一个函数\( f(x) \)的导数是\( F'(x) \)，那么\( F(x) \)被称为\( f(x) \)的一个原函数。

数学上表示为：\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]其中，\( C \)是积分常数。

基本积分公式：掌握基本的积分公式是解决不定积分问题的关键。

例如：- \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）- \( \int e^x \, dx = e^x + C \)- \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)（\( a > 0, a\neq 1 \)）- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)- \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)- \( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)换元积分法：换元积分法是一种常用的积分技巧，适用于那些直接积分较难的函数。

它包括两种形式：第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（代换法）。

- 第一类换元法适用于积分函数中含有根式或可以转化为根式的函数。

- 第二类换元法适用于积分函数中含有复合函数的情况。

分部积分法：分部积分法是另一种解决复杂积分问题的方法，适用于两个函数的乘积形式。

其公式为：\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]有理函数的积分：有理函数是指分子和分母都是多项式的函数。

高数期末复习第四章不定积分

帮
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高数高上数第四章重点
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郭啸龙主编
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帮《不定积分》
数
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本章说明
高
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汇总了求不定积分的所有方法与题型，含所有公式
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帮第四章不定积分重要知识点
考点
重要程度
分值
1.直接积分 2.凑积分 3.换元法
数必考
0~3
4.分部积分法
6~10
5.有理化积分
1. kdx kx C
帮 (4) cot xdx ln | sin x | C
(6) csc xdx ln | csc x cot x | C
数 (8)
dx sin 2 x
csc2 xdx cot x C
高 (10) csc x cot xdx csc x C
帮
帮定义：在区间 I 上， F(x) f (x) （或 dF (x) f (x)dx ）,则 F (x) 称为 f (x) 在区间 I 上
即 x 3 (A B)x (3A 2B) .
帮数
因是恒等式，两端关于 x 的同次幂的系数应相等,即
A B 1 3A 2B 3,
帮从中解得 A 5,B 6 .
x2
x
3 5x
dx 6
x52dx
x
6
dx 3
5
ln
|
x
2
|
6
|
x
3
|
C
数
高
数高
高
帮数高
帮数高
的一个原函数.
数定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记作 f (x)dx ,

不定积分重难点解析

第四章定积分与不定积分重难点解析（一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。

对于定义在某个区间上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有F/（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。

而表达式F（x）+C（C 为任意常数）称为f（x）的不定积分。

2. f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。

因此求f（x）的不定积分∫f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个任意常数C即可，即∫f（x）dx= F（x）+C。

3. 原函数F（x）与不定积分∫f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原函数，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。

例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2 + C才是2x的不定积分（其中C 是任意常数）。

4. f（x）的不定积分∫f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C。

5. 原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在。

由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分∫dx∫都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。

1. 第一换元积分法（凑微分法）：根据一阶微分形式的不变性，若dF（u）=f（u）du则dF（u（x））=f（u）du利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：∫f[u（x）]du（x）=∫f（u）du （令u = u（x））= F（u）+ C （求积分）= F（u（x））+ C （令 u = u（x））在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

不定积分知识点复习

若存在可导函数 F (x)使 F (x)f(x)，
则由 f (x) 的定义当x 0时，F ( x ) f( x ) 0 F (x ) C 1 当x 0时，F ( x ) f( x ) 0 F (x ) C 2
由 F (x )可 F 导 (x )在 x 0 处连返续回
C 1C 2 （左、右极限存在且相等） F (x ) C F (0 )0
注 1, 从该题中我们可以看出熟记基本积分表的
重要性.
2, 检验积分结果是否正确, 只要把最后的结果
求导, 看其导数是否等于被积函数.
返回
例6
求积分
1 dx 2x1
解: 原式 2 12x11d(2x)
1 2
1 d(
2x 1
2x
1)
令u=2x+1,
上式
1 2
1 du u
1 ln | u | C 2
例 sixn co xs six 是 n cx o 的原 s函数 .
ln x1 (x0)
x
lx n 是 1 在区间 (0 ,)内的原函数 . x
返回
关于原函数的说明：
对原函数的研究须讨论解决下面两个问题
(1) 是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子
f(x) 1 0
x0 x0
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 .
②若 F(x)和 G(x)都是 f(x)的原函数，则 F (x ) G (x ) C .（ C为任意常数）
返回
不定积分的定义：
在区间I内，函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)在区间 I内的
不定积分，记为 f ( x ) d .x

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不定积分一、基本要求1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。

2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。

3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。

二、主要内容Ⅰ. 原函数与不定积分概念1.原函数设在区间Ⅰ上)(x F 可导，且)()('x f x F =（或dx x f x dF )()(=）就称)(x F 为)(x f 在Ⅰ的一个原函数。

2.不定积分在区间Ⅰ上函数)(x f 的所有原函数的集合，成为)(x f 在区间Ⅰ上的不定积分，记作 ⎰dx x f )(.⎰+=C x F dx x f )()(其中)(x F 为)(x f 在Ⅰ上的一个原函数，C 为任意常数. Ⅱ.不定积分的性质 1.dx x f dx x f d)()(=⎰ (或)())(('x f dx x f =⎰)2.C x f x df +=⎰)()( (或C x f dx x f+=⎰)()(')3.⎰=dx x f kdx x kf )()( 其中k 为非零常数.不定积分概念不定积分性质基本积分法基本积分公式无理函数的积分可化为有理函数的积分原函数概念第二类换元法第一类换元法分部积分法4.⎰⎰--+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.Ⅲ.基本积分公式1.C kx kdx +=⎰(k 为常数) 2.C x u dx x u u++=+⎰111 3.C x dx x +=⎰ln 14.C x x dx+=+⎰arctan 125.C x xdx +=-⎰arcsin 126.C x dx x +=⎰sin cos7.C x xdx +-=⎰cos sin8.C x xdx +=⎰tan sec 29.⎰+-=C x xdx cot csc 210.C x xdx x +=⎰sec tan sec 11.C x xdx x +-=⎰csc cot csc12.C e dx e xx +=⎰13.C a adx a xx+=⎰ln 1 14.C chx shxdx +=⎰ 15.C shx chxdx +=⎰16.C x xdx +-=⎰cos ln tan 17.C x xdx +=⎰sin ln cot 18.C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 19.C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 20.C axa x a dx +=+⎰arctan 12221.C a x ax a a x dx ++-=-⎰ln 212222.C a xx a dx+=-⎰arcsin 2223.2222ln()dx x x a C x a =++++⎰24.2222ln()dx x x a C x a =+-+-⎰Ⅳ.换元积分法1. 第一类换元法.(凑微分法)dx x x f )()](['φφ⎰()()[()]f u du F u C F x C φ==+=+⎰()(x u φ=)(其中)(x φ可导，)(u F 为⎰)(x f 的一个原函数).2. 第二类换元法⎰dx x f )('1[()]()()[()]f t t dt F t C F x C ϕϕϕ-==+=+⎰()(t x ϕ=)(其中)(t x ϕ=单调可导，且0)(≠t ϕ，)(t F 为)()](['t t f ϕϕ的一个原函数) Ⅴ.分部积分法⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u (其中)(x u )(x v 具有连续导数)Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.(1)⎰-dx a x 1 (2) ⎰-dx a x n )(1(3)⎰+++dx q px x c bx 2 (4) ⎰+++dx q px x cbx n )(2而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.三角函数有理式的积分，总可用万能代换2tanxu =将原不定积分化为u 为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.三、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分四、例题解析Ⅰ、选择题例1若⎰)(x f 的导数是x cos ，则)(x f 有一个原函数为 ( )(A)x cos 1+ (B)x cos 1- (C)x sin 1+ (D) x sin 1-解应选(B).因为x x sin )cos 1('=-，而x x cos )(sin '= 例2设⎰)(x f 有原函数x x ln ，则=⎰xdx x ln （）(A))ln 4121(2C x x ++(B) )ln 2141(2C x x ++ (C))ln 2141(2C x x +- (D) )ln 4121(2C x x +- 解 ⎰⎰==2)()(2x d x f dx x xf ⎰-dx x f x x f x )(2)(2'22而1ln )ln ()('+==x x x x f ，xx f 1)('=，故 ⎰=dx x xf )(=-+⎰dx x x x 2)1(ln 22C x x x +-+4)1(ln 222=C x x x ++ln 2422所以应选(B).Ⅱ、填空题例3设)(x f 为定义区间上单调连续可微函数，)(1x f-为相应的反函数，若C x F dx x f +=⎰)()(，则⎰-dx x f )(1为解⎰⎰----=)()()(111x xdfx fx dx x f⎰----=)()]([)(111x dfx ff x xfC x f F x xf +-=--)]([)(11Ⅲ、讨论题例4 解下列各题，并比较其解法：(1)dx x x ⎰+22 (2) dx x x ⎰+222 (3) dx x x ⎰+232 (4) dx xx ⎰+242解 (1)C x x d x dx x x ++=++=+⎰⎰)2ln(21)2(212122222. (2) dx xdx x x dx x x )221(22)2(222222⎰⎰⎰+-=+-+=+ C x x +-=2arctan2.(3) 22222223)222(212212dx xx dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=+=+ C x x dx x++-=+-=⎰))2ln(2(21)221(2222(4) dx x x dx x x dx x x )242(2442222424⎰⎰⎰++-=++-=+ C xx x ++-=2arctan 22233比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。

注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。

由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。

例5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型 (设C u F du u f +=⎰)()()(1)⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f ⎰=du u f a )(1(b ax u +=) C u F a +=)(1C b ax F a++=)(1(2) ⎰⎰++=+-)()(1)(1b ax d b ax f an dx x b ax f n n n n ⎰=du u f an )(1 (b ax u n+=) C u F an +=)(1C b ax F ann ++=)(1如求 ⎰dx x x 243)(cos 解原式⎰424)(cos 141dx x C x +=)tan(414 (3)⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ⎰=du u f )(C u F +=)(C x f +=)(ln (x u ln =)如求⎰+dx xx3ln 2 解原式⎰++=)ln 2(ln 23x d x C x ++=34)ln 2(43(4)⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin C x F +=)(sin⎰⎰=x d x f xdx coxx f cos )(cos sin )(C x F +-=)(cos⎰⎰=x d x f dx xcox x f tan )(tan 1)(tan 2 C x F +=)(tan如求⎰+dx x x2cos 3cos解原式⎰-+=x d xsin sin 1312 ⎰-=x d x sin sin 412 ⎰++-=x d xx sin )sin 21sin 21(41 C xx +-+=sin 2sin 2ln 41 其它一些类型，例如dx x x f ⎰+211)(arctan ，⎰-dx x x f 211)(arcsin ，⎰dx e e f x x )( 等，请同学们自己加以总结.V. 计算题例6 求dx xxx ⎰+221arctan 分析此题先把被积函数写成221arctan x x x +xx x arctan 11122+-+=x x x arctan 11arctan 2+-= 拆成两项再进行积分较方便.解 dx xxx ⎰+221arctan ⎰+-=xdx x arctan )111(2 dx x x xdx ⎰⎰+-=21arctan arctan⎰⎰-+-=x xd dx x x x x arctan arctan 11arctan 2C x x x x +-+-=22)(arctan 21)1ln(21arctan例7 求 ⎰-dx e xe x x2)1( 解 ⎰-dx e xe x x 2)1(⎰-=xx de e x 2)1(⎰--=11x e xd dx e e x x x ⎰-+--=111dx e e e e x xxx x ⎰---+--=111 dx e e e x x xx ⎰--+--=)11(1C e x e x x x+-+---=1ln 1 例8 求dx xx ⎰-221 解令t x sin =，则tdt dx cos =dx xx ⎰-221⎰⎰==tdt tdt t t 22cot cos sin cos ⎰-=dt t )1(csc 2C t t +--=cotC x xx +---=arcsin 12例9 求⎰+dx e e xx 21解令t e x =2，即t x ln 2=，dt tdx 2=⎰+dx e e xx 21⎰+=dt tt t 212⎰+=dt t t )1(22 ⎰+++=dt t t t t )1()1(2222⎰++-=dt t t t )111(22C t t t+++--=)1ln ln 1(2 C x e e x x+--+=-222)1ln(2例10 求⎰+dx x x x 232)1(arctan解令t x tan =，tdt dx 2sec =⎰+dx x x x 232)1(arctan dt t ttt ⎰⋅=23sec sec tan ⎰=tdt t sin ⎰-=t td cos ]cos cos [⎰--=tdt t t C t t t +-=cos sin C x xxx ++-+=arctan 11122例11求 ⎰+-dx e x x x22)11(解 ⎰+-dx e x x x 22)11(⎰++-=dx e x x x x222)1(21 ⎰⎰+-+=dx x xe dx x e x x 222)1(21⎰⎰+++=22111x d e dx x e xx ⎰⎰+-+++=dx x e x e dx x e x x x 222111C xe x ++=21注：最后一步等号成立是因为可设21x e x+的一个原函数为)(x F ，于是⎰⎰+-+++dx xe x e dx x e xx x 222111 ))((1)(221C x F x e C x F x +-+++=C x e x ++=21例12 求⎰dx x m sin 1的递推公式解记 ⎰=I dx xmm sin 1，则C x x +-=I cot csc ln 1. 当2≥m 时，dx xx x dx m m m 22sin 1sin 1sin ⎰⎰-==I x d x m cot sin 12⎰--= ⎰-----=dx xx x m x x m m 12sin cos cot )2(sin cot ⎰---=-dx x xm x x m m sin cos )2(sin cos 21⎰----=-dx x x m x x mm sin sin 1)2(sin cos 21 ⎰⎰---+---=dx x m dx x m x x m m m 21sin 1)2(sin 1)2(sin cos 21)2()2(sin cos --I -+I ---=m m m m m xx 即 2112sin )1(cos --I --+--=I m m m m m x m x 例13 求⎰++-dx x x x x )1()2(122解12)2()1()2(1222122++++-+-+=++-x x DCx x B x B x A x x x x 去分母后，再比较两边同次幂的系数得41=A ，1411=B ，196172=B ，498-=C ，493-=D 于是⎰++-dx x x x x )1()2(122=dx x dx x ⎰⎰-+2)2(14141⎰⎰+++---dx x x x dx x )1(49)38()2(196172而dx x x x dx x x x ⎰⎰++-++=+++1)283()12(2813822 ⎰⎰+++-++++=43)21()21(1)1(4222x x d x x x x d C x x x ++-++=312arctan 32)1ln(42 从而⎰++-dx x x x x )1()2(1222ln 1961721141ln 41----=x x x C x x x +++++-312arctan 3492)1ln(4942例14 求⎰-dx x x 527)1( 分析被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用较灵活的基本积分方法. 此题利用换元法计算较简便. 解令t x sin =，tdt dx cos =dx x x ⎰-527)1( tdt tt cos cos sin 107⎰=tdt t 27sec tan ⎰= t td tan tan 7⎰=C t +=8tan 81C x x +-=428)1(8. 例15 求dx x x ⎰3cos sin 1分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令2tanxu =”之外，往往可考虑用前面的基本积分方法.解 dx x x ⎰3cos sin 1 = dx xx xx ⎰+322cos sin cos sin =dx x x ⎰3cos sin + dx x x ⎰cos sin 1= -x d x cos cos 13⎰ + x d x tan tan 1⎰ = x2cos 21+ x tan ln +C .例16 求 dx x x⎰-2sin 2sin 解 dx x x ⎰-2sin 2sin =dx xx x x x ⎰-++-2sin 2)cos (sin )cos (sin 21 =21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-⎰⎰22)cos (sin 1)cos (sin )(sin 3)cos (sin x x x x d coxs x x x d ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--+++-⎰⎰2)cos (sin 1)cos (sin )cos sin 3)(cos sin 3()cos (sin 21x x x x d x x x x x x d =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++-+)cos arctan(sin 3cos sin 3cos sin ln 32121x x x x x x +C . 例17 求 ⎰+=dx x x x I sin 3cos 2sin 1 , ⎰+=dx x x xI sin 3cos 2cos 2 .解 x dx I I ==+⎰2123+1C 221sin 3cos 2ln sin 3cos 2cos 3sin 232C x x dx x x xx I I ++=++-=+-⎰由此得[]C x x x I ++-=sin 3cos 2ln 231311 []C x x x I +++=sin 3cos 2ln 321312 .例18 求dx x⎰+311解令t x =+31，23)1(-=t x ，则 dt t t dx )1(632-= .⎰+dx x311= ⎰-dt t t t )1(6132 = ⎰-dt t t )1(63=C t t +-25356 = 3235)1(3)1(56x x +-++C .例19 计算下列各题(1) dx x f x f x f x f x f ⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧'''-'32)]([)()()()(.(2) 设x x f 22tan sin )2(cos +=+'，求)(x f . (3) 设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )(. (4) 已知1cos )(sin 2-='x x f 且0)0(=f ，求dx x xf ⎰)(sin cos .解 (1) 原式 =⎰'''-'dx x f x f x f x f x f 322)]([)()()]()[( =⎰'''-'⋅'dx x f x f x f x f x f x f 22)]([)()()]([)()( =⎰''])()([)()(x f x f d x f x f =C x f x f +'2])()([21. (2) 设 t x =+2cos ，则 xxx x x 22222cos cos 1cos 1tan sin -+-=+ =x x 22cos )(cos 1-=22)2()2(1---t t 即 22)2()2(1)(---='t t t f . dx x x dx x f x f ⎰⎰---==])2()2(1[)()(22'，即 C x x x f +----=3)2(3121)(.(3) x x e e x f ln ln )1ln()(ln +=, 即有 xx e e x f )1ln()(+=. ⎰⎰⎰-+-=+=x x xx de e dx ee dx xf )1ln()1ln()( ⎰+++-=-xx xe dxe e1)1ln( C e e x xx+++-=-)1ln()1(. (4) x x x f 22sin 1cos )(sin -=-='，即 2)(u u f -='，C u u f +-=331)(.由 00)0(=⇒=C f ，331)(u u f -=.⎰⎰=x d x f dx x xf sin )(sin )(sin cos ⎰-=x xd sin sin 313C x +-=4sin 121. 例20 设 ⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(x x x xx f ，求 dx x f ⎰)(.解由于 0)0()(lim 0==→f x f x ，可知)(x f 在(+∞∞-,)上连续.因此)(x f 的原函数一定存在，设)(x F 为)(x f 的一个原函数. 因为)(x F 可导，则)(x F 必连续.⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0cos 021)(2x x x x x F α0)(lim 0=-→x F x ，α+-=+→1)(lim 0x F x . )(x F 在0=x 处连续，即有 α+-=101=⇒α.则)(x f 的一个原函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=01cos 021)(2x x x xx F .故⎪⎩⎪⎨⎧≥++-<+=+=⎰01cos 021)()(2x Cx x Cx C x F dx x f .注：求连续分段函数)(x f 的原函数)(x F 时，一定要保证)(x F 的连续性，而这时)(x F 的可导性就可以得到满足.例21 设)(x f y =在0≠∀x 处满足)(2x x xye y x ∆+∆-=∆ο，求满足条件0)1(=f 的)(x f .解由微分定义可得 xye y x -='2，即 x e y y x 2=+'，x e xy 2)(='，C e xy x +=221，)21(12C e x y x +=. 由条件2210)1(e C f -=⇒=，则 )2121(1)(22e e x x f x -=.例22 设)(x F 为)(x f 的原函数，且当0≥x 时，)2(cos )()(2x x F x f =.已知1)0(=F ，0)(>x F . 试求)(x f .解由 )()(x f x F =' 得 )2(cos 2)()(22x x F x F ='，即 )2(cos 2])([22x x F ='.∴C x x dx x dx x x F ++=+==⎰⎰4sin 41)4cos 1()2(cos 2)(22. 由 11)0(=⇒=C F ，于是 14sin 41)(2++=x x x F . 又 0)(>x F ，从而 14sin 41)(++=x x x F ，所以 1sin 41)2(cos )()2(cos )(22++==x x x x F x x f .。