2015年皖北协作区高三年级联考理数试卷及答案详解

2015年皖北协作区高三年级联考参考答案
数 学（理科）
一、选择题 1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、C 8、D 9、D 10、A
二、填空题
11、[)0,1 12、7 13、968 14、[]2,2- 15、①③④⑤
三、解答题
16．解：
(1)由正弦定理得，
33.cosA cosC sinC sinA cosB sinB
--= 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，
化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，
所以sin C ＝3sin A ，因此
sin sin A C ＝13. -------------------------------------- 6分 (2)由sin sin A C ＝13
得c ＝3a . 由余弦定理及cos B ＝16
得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋9a 2－6a 2×
16＝9a 2. 所以b ＝3a .又a ＋b ＋c ＝14.从而a ＝2，因此b ＝6. ------------------------ 12分
17．解：
（1）p=33311334444444⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭=9927163232
+= ------------- 5分 （2）赢取大物件的概率:
p=22211223333333⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭=482092727
+= ------------- 7分 X 的分布列为：
X 0 1600 5400 7000
P 35
864 189864 100864 540864
-------------- 10分
或 X 0 1600 5400 7000
P 35
864 732 25216 58
-------------- 10分
35189100540()0160054007000864864864864
E X =⨯+⨯+⨯+⨯ =350+625+4375=5350（元） ----------------------12分
另注：若第一轮答题获得的物品价值记为1Y （单位：元），若第二轮答题获得的物品价值 记为2Y （单位：元）。

则：X = 1Y +2Y
122720()()()160054003227
E X E Y E Y =+=⨯
+⨯=1350+4000=5350（元） 18．解 ：
（1）当1m =-时 221()ln ln 22
f x x x e =-++,1()f x x x '=-+ (2)4f ∴=,3
(2)2f '=
切线方程为：34(2)2
y x -=- 即 3220x y -+= --------------------------------5分
（2）由已知可得 ()(1)m f x x m x
'=+-+，(0)x > 即 2(1)(1)()()x m x m x x m f x x x
-++--'== ----------------7分 ①当1m >时，
函数()f x 的递增区间为：（0，1） ，（ m ，＋∞） ，递减区间为：（1，m ）. ②当1m =时，
函数()f x 的递增区间为：（ 0，＋∞） .
③当01m <<时，
函数()f x 的递增区间为：（0，m ） ，（1，＋∞） ，递减区间为：（m ，1）.
④当0m ≤时，
函数()f x 的递增区间为：（1，＋∞）， 递减区间为：（0，1）. ---------12分
注：每对一种情况给1分。

19．解 ：
（1） 因为124PF PF +=，所以2a=4，a=2
所以E:22
214x y b
+=,将P 3(1,)2代入可得23b = 所以椭圆E 的方程为22
143
x y += ---------------------------------------4分 （2）
①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，11AC BD +=1173412
+=----------------5分 ②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y=k （x+1）， 代入椭圆方程22
143
x y +=，并化简得2222(34)84120k x k x k +++-=． 设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则221212228412,3434k k x x x x k k
-+=-=++ 212
222
12122(1)12(1)(1)[()4]34AC k x x k k x x x x k =+-+=++-=+ ------------------------9分
因为直线BD 的斜率为， 所以2222112(1())12(1)14334()k k BD k k
+-+==++- ---------------------------------11分 11AC BD +=22223443712(1)12(1)12
k k k k +++=++ 综上，11772,1224
AC BD λλ=+=∴=
所以，存在常数724λ=使得11,,AC BD
λ成等差数列。

----------------------------13分
20．解 ：
（1）设1AA 的中点为O ，连接OB , 1OA ，
因为四边形11AAC C 和11AA B B 都是菱形, 且1160ACC BAA ∠=∠=︒， 所以三角形1AA B 和三角形11AAC 都是等边三角形，
所以1OB OC ⊥
又1OB O OC =,所以11AA OBC ⊥平面
所以11AA BC ⊥ --------------------4分
（2）因为三角形111CC B CC B 和面积相等，
所以11A CC B V -=1111
13A CC B B CC A ACC V V S OB --===
所以四面体11A CC B -的体积为1. ---------------------------
8分
（3）由（1）知1AA OB ⊥，又因为平面11AA B B 和平面11AAC C 互相垂直， 所以11OB A C AC ⊥平面,
所以11,OA OC OB ，，三条直线两两垂直，
以O 为坐标原点，分别以11,OA OC OB ，为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系， (100)(003)(23,0)A B C --，，，，，，，, 1(03,0)C ，
1(103),(13,0),(13,0)AB AC AC ==-=，，，，
设平面1,ABC ABC 的法向量,m n 的坐标分别为111（a,b,c ）,（a ,b ,c ），
由,m AB m AC ⊥⊥可得30,30a c a b +=-+= 所以可取(3,1,1)m =-，同理可取(3,1,1)n =-- 3cos ,5
m n <>= 所以二面角1 C AB C --的正弦值为
45。

----------13分
21．解：（1）当=4πθ时，111,22n n n a a +-= 11221,n n n n a a -+-⋅= --------------------------2分
所以{}
12n n a -是以1为首项、1为公差的等差数列，12,n n a n -= 从而12n n n
a -=. -----------------------5分
（2）1233sin ,1,sin 1,28
n n n b b b b ππ====< 所以当1,2,3n =时，538n S π<+
成立； --------------------------6分 当4n ≥时，因为sin ,22n n n n n b ππ=< 4564563(),2222
n n n S π<++++⋅⋅⋅+ 令45656714561456,,222222222
n n n n T T +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 两式相减得4561414111115,2222224216n n n T +=+++⋅⋅⋅+-<+= 55,3.88
n T S π<<+所以 综上所述，对任意*5,3.8
n n N S π∈<+ ----------------13分。