理论力学第十一章

质点对某定点的 动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对 同一点的矩。
11.2.1 质点的动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量 矩与对轴的动量矩的关系代入，得
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
LO=ΣMO(mivi)
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的 动量矩的代数和。
LZ=ΣMz(mivi)
质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的 投影，等于质点系对 该轴的动量矩。
[LO]z= Lz
刚体的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立 如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为 v ， 摆的偏角为 ，则
x
q
O
r
y
Q
质点的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。
[MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg· m2/s。
质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点 O 的动量矩等于各质点对同一点 O 的 动量矩的矢量和。
第11章 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
g 0 l
11.2.2 质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)
和内力Fi 。由质点的动量矩定理有
(i)
d M O (mi vi ) M O ( Fi (e) ) M O ( Fi (i) ) dt
这样的方程共有n个，相加后得
n n d (e) (i) M ( m v ) M ( F ) M ( F O i i O i O i ) i 1 d t i 1 i 1 n
11.2.1 质点的动量矩定理
因为 所以
d dr (mv ) F , v dt dt
MO(m v) MO(F ) x M O ( mv ) v mv r F dt
O
r
又因为
v mv 0, r F M O (F )
所以
d M O ( mv ) M O ( F ) dt
其中A和为积分常数，取决于 初始条件。可见单摆的微幅摆 动为简谐运动。摆动的周期为
d (ml 2 ) mgl sin dt
即
g sin 0 l
l T 2 g
显然，周期只与 l 有关，而与 初始条件无关。
这就是单摆的运动微分方程。 当 很小时摆作微摆动，sin ≈ ，于是上式变为
质点系的动量矩
例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一 绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转 动惯量为 J ，半径为 r ，角速度为 ，重物 A的 质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系 统对轴O的动量矩。

O
r
A
mv
解：
LO L块 L盘 m vr J 2 2 m r J (m r J )
11.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点 Q 的动量对于点 O 的 矩，定义为质点对于点 O MO(mv ) 的动量矩，是矢量。
z
A
Mz(mv)
mv

Q
A
MO (mv ) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平面 内的投影(mv)xy对于点O的 矩，定义为质点动量对于 z 轴的矩，简称对于 z 轴的 动量矩，是代数量。
4 定轴转动刚体的动量矩
Lz Mz (mi vi ) mi vi ri mi ri 2
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得

ri Mi
mi vi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对 转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
LO的转向沿逆时针方向。
11.2 动量矩定理
11.2.1 质点的动量矩定理
设质点 Q 对 定点 O 的动 量矩为MO(mv)，作用力F对 同一点的矩为MO(F) ，如图 所示。 将动量矩对时间取一 次导数，得 MO(mv ) z F mv
Q
MO(F)
O x
r
y
d d M O (mv ) (r mv ) dt dt dr d mv r (mv ) dt dt
由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项
(i) M ( F O i )0 i 1 n
11.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
d d n d M O (mi vi ) MO (mi vi ) LO d t i 1 dt i 1 d t
O
M z (mv) mvl ml 2
M z (F ) mgl sin
式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标 的正负号相反。它表明力矩总是有使 摆锤回到平衡位置的趋势。
Nl
y v
M mg
x
由
此微分方程的解为
d M z ( mv ) M z ( F ) dt
得
g A sin( t ) l