指数与指数幂的运算(二)
指数运算 幂运算
指数运算幂运算指数运算，也称为幂运算，是数学中一个重要的运算方法。
它使我们能够轻松地表示和计算大数的乘方。
在指数运算中，底数表示要乘方的数，指数表示乘方的次数，运算结果为底数的指数次幂。
指数运算的表示方法使用上标符号，如：a^n。
这表示底数a 乘以自身n次。
如果指数n为正整数，则相当于把底数重复乘以自身n次。
例如，2^3表示2乘以自身3次，即2^3=2*2*2=8。
指数运算有一些基本的性质，使得我们能够方便地进行计算和推导。
1. 同底数幂相乘：a^m * a^n = a^(m+n)例如，2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 1282. 同底数幂相除：(a^m) / (a^n) = a^(m-n)例如，3^5 / 3^2 = 3^(5-2) = 3^3 = 273. 幂的幂：(a^m)^n = a^(m*n)例如，(4^2)^3 = 4^(2*3) = 4^6 = 40964. 零幂：a^0 = 1 （a ≠ 0）任何非零数的0次方等于1。
例如，2^0 = 15. 负指数：a^(-n) = 1 / a^n （a ≠ 0）一个数的负指数等于这个数的倒数。
例如，2^(-3) = 1 / (2^3) = 1 / 8 = 0.1256. 幂的乘方：(a*b)^n = a^n * b^n例如，(2*3)^4 = 2^4 * 3^4 = 16 * 81 = 12967. 乘方的倒数：(1/a)^n = 1 / (a^n) (a ≠ 0)例如，(1/2)^3 = 1 / (2^3) = 1 / 8 = 0.1258. 不同底数的幂的乘方：(a*b)^n = a^n * b^n如果底数相乘后再进行指数运算，结果等于分别对底数进行指数运算后再相乘。
例如，(3^2 * 4^3)^2 = (9 * 64)^2 = 576^2= 331776通过利用指数运算的上述性质，我们可以简化复杂的计算并快速得到结果。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
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(绝对经典)指数与指数幂的运算
2
3 a2 a 3 (a 0),
1
b b 2 (b 0),
5
4 c5 c 4 (c 0).
我们规定正数的正指数分数幂
的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N *,且n 1).
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用,即对 于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
4. (a b)2 (a b).
4. (a b)2 (a b).
三、分数指数幂 探究:
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a4 )3 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有
解：a3
a
a3
1
a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
a2
2
a3
2 2
a 3
8
a3;
3 )2 (a 3 )2 a 3.
四、无理指数幂
探究:
在前面的学习中，我们已经把指数由正整数推广到 了有理数，那么，能不能继续推广到实数范围呢？
a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可以用两个指数为 p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而 得到(这个近似结果的极限值就等于ap)，故ap是一个确定 的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂 也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.
五、强化练习
练习1:比较 5, 3 11, 6 123的大小.
一、知识回顾
在初中，我们研究了正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个 a的连乘积，即
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2 课时）第一课时根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）0=1（a 0) ；0=1（a0) ；n * )a a a n N（； an a个a n1na(a 0, n N *)(2) m n m n m nmn n n na a a (m,n∈Z)；(a ) a(m,n∈Z)；(ab ) a b (n∈Z)（3）9 _____ ；- 9 _____ ；0 ______ （4）( a)2 _____( a 0) ；a2 ________（II ）讲授新课1 / 151.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a可看作m na a ,所以m n m na a a 可以归入性质m n m na a a ；又因为an( ) 可看作bm na a ，所以na an n n n( ) 可以归入性质( ab) a b (n∈Z)）,这是为下面学习分nb b数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（n N* ）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫4 的平方根23=8 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根25=32 2 叫32 的 5 次方根⋯2n=a 2 叫 a 的 n 次方根2=4，则2叫4 的平方根；若23=8，2 叫做 8 的立方根；若25=32，则分析：若 22 叫做 32 的 5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nx a ，那么 x 叫做 a的 n 次方根（n th root）,其中n 1，且n N 。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
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的情事，经验的风土，如一瓢瓢水、一场场沛雨纳入河床，也逼宽了床面。孤灯下回澜，谛听狂涛呼啸，冥思桃瓣勾动水纹，感悟种种挟沙带泥的世事，单一面对时，固然沉甸、污秽，一旦掷入生命之川，只会壮丽水的气魄、温柔水的姿态。透过一次次感悟，更被生命吸引。那丛麻竹林， 象征着年轻岁月的险滩，它揭示生命自由不可理喻的暗礁，总有人在怀春的民谣里灭顶。巨礁固然凶险，但不是死路，何况激河冲出腹地，也不难在春日长出一席翠草，自己认得路回到温暖的草席上躺卧，看河水飞跃礁石，漫过草岸，搓揉受伤的脚趾。月光月光，水声水声…… ? 甘蔗 在故乡的田里抽长，等待柔软的女唇。我的同学进了成衣厂，无法为自己缝纫华丽衣裳。婚变之后，她带着空洞的眼神回到村里，每天徒步到河边，坐着，茫茫地远眺小镇那儿的夫家。河，早就瘦了，一个身躯臃肿的少妇找不到等量肥硕的河负载她，除了空茫茫坐着，喃喃自语一些旧事， 连野犬踅到身后嗅闻，也不惊了。 ? 女同学的病没好过，也好不了，那丛麻竹躲在新造的楼厝间，寒伧得可笑。我却相信女鬼还未走远，学会在空气中漫游，窃听月光小少女的心跳；她对大红喜饼仍然过敏，遂悄悄在饼面撒巫粉。她横了心穿一袭湿衣服，可是得让人知道湿的难受，仿 佛多一个女人霉了，她的衣服就干一寸。我那河畔同学并不知道自己是个传人，成了麻竹丛的新笋。 ? 生命，有时连鬼神也无法逾越那份孤寂。一个个攲睡在太阳底下，飘息于黑旷野的人，如尖利的犬牙反过来啃啮生命的颈脉。舍了身、化了尘，那口冤却不肯散，一朵朵乌云浮在人世 半空，狞笑活着的人，嫉妒活着的人。 炎夏街头陌生的女人，你在槭荫下，睡得生锈了，不知道颓丧的她从白椅站起，用一块钱币跟你打了招呼，倾诉只有女人能懂得耳语。尔后，她穿越灰烟漫漫的大街，上了楼，此刻疲惫地在我身旁午睡。我不会修正她醒后的去路，揣在衣袋的邀帖 也无须撕毁，她必须去，与众人一起赴宴，做自己的席、历尘世的险。 ?而我将守候在壮丽的河域，为她漂洗多尘的影子。她若好心眼，要三两个相惜的回来小聚，我自会抖一件晒酥了的衣，送给那位水淋淋、又哼着小曲的闺女。 烟波蓝 ?浮世若不扰攘，恩恩怨怨就荡不开了。 ?然而 江湖终究是一场华丽泡影， ?生灭荣枯转眼即为他人遗忘。中岁以後的领悟： ?知音就是熠熠星空中那看不见的牧神，知音往往只是自己。 ?海洋在我体内骚动，以纯情少女的姿态。 ?那姿态从忸怩渐渐转为固执，不准备跟任何人妥协，彷佛从地心边界向上速冲的一股势力，野蛮地粉碎 古老的珊瑚礁聚落，驱赶繁殖中之鲸群，向上窜升，再窜升，欲掴天空的脸。却在冲破海平面时忽然回身向广袤{1}的四方散去，骄纵地将自己掼向瘦骨嶙峋的砾岸。浪，因而有哭泣的声音。 ?我闭眼，感受海洋在胸臆之间喧腾，那澎湃的力量让我紧闭双唇不敢张口，只要一丝缝，我感 觉我会吐出一万朵蓝色桔梗{2}，在庸俗的世间上。 ?暮秋之夜，坐在地板上读你的字，凉意从脚趾缝升起。空气中穿插细砂般的摩挲声，像两座大洋跋涉万里後在耳鬓厮磨。我被吸引，倾听，这原本寻常的夜，因你的字而丰饶、繁丽起来，适於以酒句读{3}。 ?你的信寄到旧址，经三个 月才由旧邻托转，路途曲折。你大约对这信不抱太多希望，首句写著：「不知道你会不会看到这封信，你太常给别人废弃的地址。」 ?废了的，又何止一块门牌。 ?你一定记得，出了从北投开往新北投的单厢小火车，只有两条路可走：一条是油腻腻的大街，大多数学生走这儿到学校，路 较短但人车熙攘，活生生是一条食物大道。另一条是山路，铺了柏油，迂回爬升之後通往半山腰的学校後门，人虽少但多了一倍脚程。我们愿意走这儿。清早的山峦是潮湿的绿色，远近笼著晨雾，自成一场凄迷氛围，鸟，总有几只，不时跃至路面，或莫名地跳换枝桠，惊动了亘古不移的 宁谧，却也扩大了寂静的版图。 ?离山路几步之遥有一幢废屋，你也一定记得。从柏油小路岔入庭院的石径被野草嚼得只剩几口，废得日月皆断，恩义俱绝。你或许同意，台湾的山峦藏有繁复的人世兴味，好像见多了沧海桑田，尝尽了炎凉世情之後，有点累，想要坐下来，搥一搥膝头， 顺道原谅几个名字，想念几个人，因而那苍茫是带著微笑的。 ?那院门是两扇矮木栅，斑剥的蓝漆接近惨白，门都脱臼了，有一扇被野蔓缠住，刺了一身花花绿绿的七情六欲。那宽阔的院庭留给我忧伤印象，像渴爱的冤魂积在那儿，等人喊他们的名字。因有说不出口的苦，以致终年瘀著 散不去的冷。 ?我相信你不会忘记它，在全校美术比赛中，你以此为题材，摘下写生组第一名。我们从未谈过对荒芜庭园的感觉，但我确信自己对同质者有一份灵犀，如揽镜自照，知道你与我一样，灵魂常在那儿栖息。 ?你的画让人停下脚步，思绪澄净，静静聆听色彩与光影的对话而让 思维渐次获得转折、攀越。你题为「时间」。 时间，让盟誓过的情爱灰飞烟灭，也让颤抖的小草花拥有它自己的笑。你的画如是叙述。 不久，我们将沉入冷冷的幽暗里， 别矣！我们夏日太短的强光！ 我已听到悲伤碰撞的落地声， 响亮的木头落在庭院石板上。 我抄下波特莱尔{4}的 诗〈秋歌〉首段，趁老师回身写黑板时传纸条给你。我不赞成你藉轻盈的草花色彩、明亮的光影试图释放死亡的压迫力道。 从一开始，我们即是同等质地却色泽殊异的两个人。然而，即使是现在，行走於烟尘世间多年之後，我看到大多是活得饥渴、狼狈的人，勤於把自己的怨怼削成尖 牙利爪伺机抓破他人颜面的嫉世者，鲜有如你一般雍容大度。你的眼睛里有海，烟波蓝，两颗黑瞳是害羞的，泅泳的小鲸。 起初，我并不欣赏你。正由於你太晴朗了，而我情愿把自己缩至孤傲地步，如一枚蚕茧化石，埋入永不见天日的冰原底层。如今想来，对你的好感是从嫉妒开始的。 我以为我是最好的，直到素描课告一段落进入水彩阶段，美术老师在画室中央高台上摆了瓶花要我们临摹，我才知道从小到大积存的绘画信心竟是那么不堪一击。我只画玫瑰，枯萎的玫瑰田一隅；画尚未完成，劣质画纸因承受过量颜色而起绉。她站在背後，以失去理智的尖锐声调批评： 「你这是什么画？」然後，轻蔑地「哼」了一声。她要我看看你的，她说你画得非常之好。 必须等到数年之後，我才消弭余怨并且承认，那日是生命中险峻的大弯道，促使我毁弃那幅枯玫瑰的不是美术老师的讥讽，而是看到你的才华那般亮丽耀眼，遂自行折断画笔，以憾恨的手势。 遗 憾像什么？像身上一颗小小的痣，只有自己才知道位置及浮现的过程。 青春是神秘且炽烈的，凡我们在那年岁起身追寻、衷心赞叹之事，皆会成为一生所珍藏。 才华既是一种恩赐亦是魔咒，常要求以己身为炼炉，於熊熊烈焰中淬砺其锋芒。然而锻铸之後，江湖已是破败之江湖，知音不 耐久候，流落他方。彼时，才赋反成手铐脚镣，遂无罪而一生飘零。 首先，你的家庭遭逢变故，一夜之间变成无家可归的人，接著是情变。我以为你的一生应该像姣好的容颜般风和日丽，至少，不应有那么多根鞭子，四面八方折磨你。 然而在我心目中，你是最亮的，命运可以欺负人， 但才华骗不了人。我祈求你不要溃倒，一旦崩溃，人生这场棋局便全盘皆输。 活著，就要活到袒胸露背迎接万箭钻心，犹能举头对苍天一笑的境地。因为美，容不下一点狼狈，不允许掰一块尊严，只为了妥协。 人的一生大多以缺憾为主轴，在时光中延展、牵连而形成乱麻。常常，我们 愈渴慕、企求之人事，愈不可得。年轻时，我们自以为有大气力与本领搜罗奇花异卉，饱经风霜後才懂得舍，专心护持自己院子里的树种，至於花团锦簇、莺啼燕啭，那是别人花园里的事，不必过问。 收到你寄来的结婚照，依稀是夏天刚过完时。照片背面，你说「终於有个家了」，一 笔一划都抖著幸福。 当我们寻觅家，其实是追求恒久真爱，用以抵御变幻无常的人生，让个我生命的种子找到土壤，把根须长出来。情爱，是最美的炼狱，也最残酷。毕竟，两情相悦容易，与子偕老难。愿意将所有的情爱能量交予对方，相互承诺、践行的情偶，乃累世修得之福报。多 数恋人，这生才相逢、相识，缠缚、瞋恨的课业正当开始，或虽积了一些，尚差一截痛、几行泪水，也就无法於今生成全。对带著宿世之爱来合符{5}的两人而言，真爱无须学习，乃天生自然如水合水、似空应空。 只有在炼狱中的人，才须耗费心神去熔铸、焊接，成形之後，还是一块冷 铁。 冷铁无处去，要用牙齿一口一口嚼烂，成灰成土了，才还你自由。 梵谷「星夜」明信片背面，你写著：巴黎的冬季冷得无情无义，但比伤心的婚姻还暖些。星夜，有著诡异的笔法，形成漩涡、潮骚，似不可违逆的力量，把人卷至高空，获得俯瞰的视界，但也从此囚禁在无边际的虚 无之中。你淡淡下笔；生命里好多东西都废了，来这儿看能不能找回什么。冬天实在太冰，把颜料冻裂。 废了的，又何止一块门牌。 你没留地址，想必是居所不定。巴黎，被称为艺术心灵的故乡，但我相信对一个娇弱的东方女子而言，现实比铜墙铁壁还重。唯一能给你热的，不是家人、 朋友或前夫、情侣，是你自身对艺术的梦──从少女时代，你那闪动著烟波蓝的眼睛便痴痴凝睇{6}的一个梦。 我想像，当异国风雪拍击赁居公寓的窗户，唯一能给你热的，只有梦。 数年，失去消息，无人知晓你在世界的哪一个角落？ 生命的秋季就这么来了。白发像敌国间谍，暗夜潜 入，悄悄鼓动黑发变色。起初还会愤愤地对镜扑灭，随後也懒了，天下本是黑白不分，又何况小小头颅。中年的好处是懂得清仓，扔戏服般将过期梦想、浮夸人事剔除，心甘情愿迁入自己的象牙小塔，把仅剩的梦孵出来。 浮世若不扰攘，恩恩怨怨就荡不开了。然而江湖终究是一场华丽 泡影，生灭荣枯转眼即为他人遗忘。孵出来的一粒粒小梦，也不见得要运到市集求售，喊得力竭声嘶才算数。中岁以後的领悟：知音就是熠熠星空中那看不见的牧神，知音往往只是自己。 忽然，暮秋时分，老邻居转来你的信。 是张画卡，打开後一边是法文写的画展消息，另一边是你的 字迹。第一次个展，与老朋友分享喜悦，你写著。 是啊！时间过去了，梦留下来，老朋友也还在。 印在正面的那幅画令我心情激越。画面上，宝蓝、淡紫的桔梗花以自由、逍遥的姿态散布著、幽浮著，占去二分之一空间，你挥洒虚笔实线，游走於抽象与实相边缘。画面下半部，晕黄、 月牙白的颜色回旋，如暴雪山坡，更似破晓
2.1.1指数与指数幂的运算课件
(2) 运算性质：
a a ______ (m, n Z ), a
m n
mn
a (a ) ______ ( m, n Z ),
m n
mn
(ab) _______ a b (n Z ).
n
n
n
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半 衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
*
提问：正整数指数幂1.073x的含义是什么？ 它具有哪些运算性质？
(1) 整数指数幂的概念：
a ______ ( n N ),
n
n个
a a a a
a ______ (a 0),
0
a
n
1 1
n
a ______ (a 0, n N ).
3 1 2 2
例4 计算下列各式(式中字母都是正数)
(1) ( 2a b )( 6a b ) ( 3a b ); ( 2) ( m n ) ; ( 3) ( 25 125 ) 5 ; 2 a ( 4) . 3 2 a a
3 4 1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
( m, n Q ),
(a ) a
m n
mn
(ab) a b ( n Q ).
n n n
例2 求值：
2 3
1 3 16 8 , 100 , ( ) , ( ) . 4 81
解：
1 2
3 4
8 =(2 ) 2
根式与分数指数幂计算
指数与指数幂的运算（一）一、学习目标1.了解指数函数的产生背景，认识学习指数与指数幂运算的必要性，理解根式的概念。
2.通过列举，认识根式产生的背景，理解根式的表示、含义，掌握根式化简公式与方法，培养观察、概括能力。
3.于学习过程中理解运算及其要义，建构正确的运算心理与观点。
二、学习过程（一）阅读课本，梳理知识1.阅读课本4750P P -的内容。
2.梳理知识：（1）n 次方根的定义：（2）____，它是____运算的结果，n 叫做____，a 叫做_______。
（3）乘方与开方互为逆运算。
因此：①_____n= ；②2_____= ，_____=。
（二）基础自测1.下列说法正确的是___________(符合条件的都填上)（1）加法运算的结果叫和；（2）减法运算的结果叫差；（3）乘法运算的结果叫商；（4）除法运算的结果叫积；（5）乘方运算的结果叫幂；（6）开方运算的结果叫方根。
____=，____=。
____=____=，____=。
4.2____=，(2____=，5____=，(5____=。
____=____=，____=，____=。
（三）疑惑摘要自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面，课堂上我们共同探讨：三、课中互动 （一）概念形成1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？2.小组合作，解决自学“疑惑”，举正、反例理解核心概念。
（二）展示交流例1 求下列各式的值：(1)(2)； (3)； (4)。
例2 设33x -<<例3 2x =-，求x 的取值范围。
（三）课堂小结四、课外延伸 （一）练习1．下列说法错误的是（ ）A ．正数有两个偶次方根B ．零的偶次方根是零C ．负数只有一个偶次方根D ．负数没有偶次方根2．已知53x =，则x = ________。
3．化简：2____= 。
4．已知0,1a b n <<>且n N *∈指数与指数幂的运算（二）一、学习目标1. 理解分数指数幂的概念，了解幂的运算性质由整数推广到实数的历程。
七年级同步第5讲：幂的运算(二) - 教师版
1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：()33---=-⎡⎤⎣⎦；()33-+-=⎡⎤⎣⎦． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．3、特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 4、运算法则：（1）同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）． （2）幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）．（3）积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：()nn n ab a b =（n 是正整数）． （4）同底数幂相除．同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m ，n 都是正整数）．（5）规定()010a a =≠；1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数）．幂的运算（二）一、选择题1. 化简()()23x x -⋅--⎡⎤⎣⎦，结果是（） A ．6x - B ．6xC ．5xD ．5x -【答案】D【解析】()()23325=x x x x x -⋅---⋅=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂的运算，运算中注意式子符号．2. 下列各式计算过程正确的是（ ） A ．33336x x x x +==＋B ．333·2x x x = C ．350358··x x x x x ==＋＋D ．()32235x x x x +⋅-=-=-【答案】D【解析】A 的正确结果是32x ，B 的正确结果是6x ，C 的正确结果是159335··x x x x x ++==． 【总结】本题主要考查幂的运算的基本法则，熟练掌握相关法则．3. 下列计算：①()2525x x =；②()257x x ＝；③()5210x x ＝；④()752·x y xy =；⑤()1052·x y xy =；⑥()555x y xy =；其中错误的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】①②③本题主要考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，①②错误；④⑤⑥主要考查积的乘方运算，底数相乘，指数不变，④⑤错误．【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．4. 下列计算中，运算错误的式子有（ ）（1）33354a a a -=；（2）2m m m x x x =＋；（3）62·3n m n m =＋；（4）12·m m a a a =＋＋．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】本题主要考查幂的运算和合并同类项相关知识，一定注意运算中是乘号还是加号，分清楚是幂的运算还是合并同类项计算，故（2）（3）错误．【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．5. 计算()()1009922-+-所得的结果是（）A ．－2B ．2C ．992-D ．992【答案】D【解析】原式=()1009999999999222222122-=⨯-=-⨯=． 【总结】本题在计算时要注意“奇负偶正”的运用．6. 计算()()()22b a a b b a ---的结果是（）A ．()5a b - B ．()5a b --C ．()6a b - D ．()6a b --【答案】B【解析】()()()()()()225252()()b a a b b a b a b c b a a b a b =---=-=-----． 【总结】本题在计算时要将底数全部化作相同，按照同底数幂的运算法则计算．7. 当n 是正整数时，下列等式成立的有（ ）（1）()22m m a a =（2）()22m m a a =（3）()22m m a a =- （4）()22mm a a =-A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】（1）（2）根据幂的乘方运算法则，正确；（3）正确，左侧式子确定为非负数；（4）不能确定正负．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算及其逆用，注意法则的准确运用．8. 计算：()3211n n x x x -+⋅⋅的结果为（） A ．33n x + B ．63n x +C ．12n xD ．66n x +【答案】D【解析】()3211211322366()()n n n n n n x x x x x x -++-++++⋅⋅===【总结】本题主要考查同底数幂和幂的乘方的运算法则．9. 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【答案】B【解析】()22220.394839.4810039.48100=÷=÷，由已知2339.48 1.5610=⨯，可知2320.3948 1.5610100 1.56100.156=⨯÷=÷=【总结】本题主要考查同底数幂相除的运算，但是要注意39.48与0.3948的关系．二、填空题（1）()()()()()235x x x x x -⋅-⋅-+-⋅-=________；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=_________．【答案】（1）62x ；（2）0【解析】（1）原式()()666==2x x x -+-；（2）原式6666()()()()0a b b a a b a b =---=---=． 【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则．10. 计算：()()2003200422______-+-=．【答案】20032．【解析】原式=()200420032003200320032003222222122-=⨯-=-⨯=． 【总结】本题主要考查同底数幂运算法则的逆用，m n m n a a a +=⋅． 11. 计算：()()20052004232-+⨯-=_______________．【答案】20042．【解析】原式=()20042005200420042004200432232223222⨯-=⨯-⨯=-⨯=．【总结】本题一方面考查同底数幂运算法则的运用，另一方面考查负底数幂的运算．12. 比较大小：（1）()()422_____4--；（2）()()355_____3--．【答案】（1）=；（2）>．【解析】（1）因为()()42216416-=-=，，因此()()4224-=-；（2）因为()()3551253243125243-=--=-->-，，，因此()()3553->-．【总结】本题主要考查负底数幂的运算，当底数为负数，但指数是偶数时，结果为正数；当 底数为负数，但指数是奇数时，结果为负数．13. 计算：()32122n m n m ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭=_______________．【答案】5142m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】原式=23511124222m n m n m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，但是要注意先要将底数化为相同．14. 长为32.210⨯米，宽是41.510⨯厘米，高是2410⨯米的长方体的体积为____________．【答案】831.3210m ⨯【解析】421.510 1.510b cm m =⨯=⨯，322832.210 1.510410=1.3210V abh m ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【总结】本题一方面考查长方体的体积公式，另一方面考查同底数幂相乘的法则． 15. 若25m =，26n =，则212m n ++=_______________．【答案】360．【解析】()221222222222562360m n m n m n ++=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则．16. 已知2m a =，3n a =，则32m n a +=__________．【答案】72【解析】()()323232322372m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，注意有时要对法则进行逆用．17. 若53022x y +-=，则432x y ⋅=_______________．【答案】8 【解析】由53022x y +-=，得253x y +=，故()()25252534322222228x y x y x y x y +⋅=⋅=⋅===． 【总结】本题一方面考查同底数幂的运算法则，另一方面考查整体代入思想的运用．18. 设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小，用<号连接：________________．【答案】c a b <<．【解析】因为()105051033243a ===，()104041044256b ===，()103031055125c ===，所以c a b <<．【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．19. 若111999a =，222111b =，则a 、b 的大小关系，用<号连接：_________________．【答案】a b <．【解析】因为()1112222111111b ==，又2999111<，所以a b <．【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．20. 已知：227371998a b c ⋅⋅=，其中a 、b 、c 是自然数，则()2016a b c --=_________________．【答案】1【解析】因为3322737233719982337a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯，又a 、b 、c 是自然数，故可得111a b c ===，，，代入可得()20161111--=．【总结】本题一方面考查幂的乘方的逆用，另一方面考查对1998的分解．21. 你能比较两个数20092008和20082009的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n n +的大小(n 是自然数)，然后，我们分析1n =，2n =，3n =，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号)①21____12；②32____23；③43____34；④54____45；⑤65____56…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出1n n +和()1nn +的大小关系是_______． （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20092008____20082009．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>； （2）()111(2)(1)(2)n n n n n n n n n n ++⎧<+≤⎪⎨>+>⎪⎩；（3）>．【解析】通过代入数值进行计算后，发现其中的大小关系，再进行比对．三、简答题22. 计算： （1）()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-；（2）()()()()()2345a a a a a -⋅-⋅-⋅-⋅-； （3）()()()()n a ba b a b a b a b +++++个；（4）()()66666-⨯⨯-⨯⨯-．【答案】（1）5135-⨯；（2）15a -；（3）()na b +；（4）56-．【解析】（1）原式()5511=3355⨯-=-⨯；（2）原式()1515a a =-=-；（3）原式()n a b =+；（4）原式56=-．【总结】本题主要考查乘方的概念．23. 计算：（1）()()32422393m n m n +-；（2）()()32242433a b ab a ⋅-⋅；（3）()()()()32232238a b a a b -+⋅-⋅-；（4）()()()33223733345a a a a a a -⋅+-⋅-⋅．【答案】（1）4618m n ；（2）6424a b ；（3）6335a b -；（4）91211125a a --【解析】（1）原式4646469918m n m n m n =+=； （2）原式64646427324a b a b a b =-=； （3）原式63636327835a b a b a b =--=-；（4）原式9912912271612511125a a a a a =-+-=--．【总结】本题主要考查幂的运算，并作合并同类项运算，注意运算符号．24. 计算：()()()3421332229m n n m n m ⎡⎤----⎣⎦【答案】()11144m n -．【解析】原式=()()()()()46111141132832814499m n m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤-----=⨯⨯⨯-=-⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭． 【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则和积的乘方的运算法则，注意符号的变化．25. 计算：()()43242142x y x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【答案】()20256x y -+．【解析】原式=()()()()48122020661144256216x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+⋅-+=-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意符号的变化．26. 当n 是正整数时，求()()212222n n+-+⋅-.的值．【答案】0【解析】因为n 是正整数，所以2n 是偶数，21n +是奇数，所以()()2122122222n nn n ++-=--=，；所以原式=2212220n n +⋅-=．【总结】本题主要考查负底数幂的乘方，注意指数是奇数和偶数时的区别．27. 比较大小：20.4a =-，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()24c =-，214d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【答案】c d b a >>>．【解析】因为()2222114444c d ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以0c d >>；又因为2220.45a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以0a b <<，所以c d b a >>>．【总结】本题主要考查幂的乘方，计算时先确定正负，再根据有理数大小比较法则判断大小．28. 已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，试比较a 、b 、c 、d 、e的大小关系．【答案】c a b d e >===．【解析】根据幂的乘方运算法则，可得122a b d e ====；又()()4434242839a c ====，，可得c a >；由此c a b d e >===．【总结】本题主要是考查幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘．29. 计算：（1）1011000.254⨯；（2）()()200220030.1258-⨯-．【答案】（1）0.25；（2）8-．【解析】（1）原式=()1001001000.250.2540.2540.250.25⨯⨯=⨯⨯=；（2）原式=()()()()2002200220020.125880.125888⨯-⨯-=⨯-⨯-=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法和积的乘方运算的逆用．30. 计算：()()25331133223a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】()111312a b -． 【解析】原式=()()()()2231151113(3)3332312a b b a a b b a a b ⎛⎫⋅-⋅-⋅-⋅-=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意将底数化作相同．31. 已知：5n a =，3n b =，求()2nab -．【答案】225．【解析】()()()()()2222253225n n n n n ab ab ab a b ⎡⎤-===⋅=⨯=⎣⎦． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．32. 已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >．求下列各式的值：（1）()4m a ；（2）()3m n a +．【答案】（1）81；（2）216．【解析】（1）()44381m a ==； （2）()()()33332216m n m n a a a +=⋅=⨯=． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．33. 若15m x =，3n x =，求()42m n x +-的值． 【答案】9625． 【解析】原式=()()442424221935625m n m n m n x x x x x +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．34. 已知4m a =，3n a =，22p a =，求324m n p a ++的值．【答案】2304【解析】()()()32232432423224322304m n p m n p m n p a a a a a a a ++=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=． 【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用以及整体思想的应用．35. 已知5x a =，25x y a +=，求x y a a +的值．【答案】10【解析】因为25x y x y a a a +=⋅=，由5x a =，可得5y a =，所以10x y a a +=．【总结】本题主要考查同底数相乘法则的逆用．36. 若2340x y +-=，求927x y ⋅的值．【答案】，【解析】由2340x y +-=，得234x y +=；所以()()232323492733333381x yx y x y x y +⋅=⋅=⋅===． 【总结】本题主要考查幂的乘方以及整体思想的应用．37. 已知：13205x y +-=，12305x y --=，求832x y ⋅．【答案】64． 【解析】由方程组1320512305x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可解得135x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以()()331535353565832222222264x y x y x y x y ⨯+⨯+⋅=⋅=⋅====．【总结】本题主要考查幂的乘方法则的运用．38. 已知22n a =，求()()223223nn a a -的值．【答案】20．【解析】原式=()()326422324343423220n n n n a a a a -=-=⨯-⨯=． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．39. 已知：232122192x x ++-=，求x ．【答案】52x =． 【解析】22121222192x x ++⋅-=2162642x +==52x = 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．40. 解方程：313333648x x ++-=-．【答案】1x =．【解析】31312333648x x ++-⋅=-3183648x +-⋅=- 3143813x +==1x =【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．41. 已知742521052m n ⋅⋅=⋅，求m n ，的值．【答案】23m n ==，．【解析】因为()()221742521052255252m n m n m n n ++⋅⋅=⋅⋅⨯=⋅=⋅，所以2714m n n +=⎧⎨+=⎩，则23m n =⎧⎨=⎩． 【总结】本题一方面考查同底数幂的相乘，另一方面考查积的乘方的逆用．42. 如果()2323k a b c+比()24582ka a a a bc ⎡⎤⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦的次数大1，那么k 的值是多少？【答案】1k =．【解析】因为第一个单项式次数为()()3232816k k +++=+，第二个单项式次数为 ()4582211617k k +++⨯++=+，依题意有()()8166171k k +-+=，解得1k =． 【总结】本题一方面考查单项式的次数的概念，另一方面考查同底数幂相乘的运算法则．43. 比较552，443，335，226这4个数的大小关系．【答案】334422555362>>>．【解析】因为()()()()111111115551144411333112221122323381551256636========，，，， 又125813632>>>，所以11111111125813632>>>，即334422555362>>>．【总结】本题主要是利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作指数相同，比较底数大小即可．44. 比较1615与1333的大小关系．【答案】13163315>．【解析】因为16166415162<=，131********>=，又656422>，所以13163315>．【总结】本题主要考查两个数的大小比较方法，选取合适的中间量进行大小比较．45. 比较5553、4444、3335的大小．【答案】444555333435>>．【解析】因为()()()1111111115555111444411133331113=3=2434=4=2565=5=125，，，又256243125>>， 所以111111111256243125>>，即444555333435>>．【总结】本题主要考查几个数的大小比较，常用的方法是将它们化为底数相同或者是指数相同再进行比较．46. 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．【答案】a b c >>．【解析】因为()()()31416131412441312361212281332733933======，，，所以31416181279>>． 【总结】本题主要考查利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作底数相同，比较指数大小即可．47. 若n 为不等式2003006n >的解，求n 的最小正整数值．【答案】n 的最小正整数值是15．【解析】因为2003006n >，即()()100100231006216n >=，故2216n >． 所以n 的最小正整数值是15．【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．48. 已知：123n a ++++=，求代数式()()()()()122321n n n n nx y x y x y x y xy ---的值．【答案】a a x y ．【解析】原式=()()13211231n n n n a a x y x y +-+⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+-+⋅=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则以及整体代入思想的运用．49. 已知：22737471998a b c d ⋅⋅⋅=，其中a 、b 、c 、d 为自然数，求a b c d --+的值．【答案】1-．【解析】因为2273747199822737a b c d ⋅⋅⋅==⨯⨯，又a 、b 、c 、d 为自然数，所以 1110a b c d ====，，，，故11101a b c d --+=--+=-．【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用，另外注意01a =的运用．50. 已知2001200367M =+，2003200167N =+，试比较M 、N 的大小关系．【答案】M N >．【解析】因为()()()()20012003200320012001200122001220016767666777M N -=+-+=-⋅+⋅-20012001487356=⨯-⨯，又20012001483576>>，，所以20012001487356⨯>⨯．即200120014873560⨯-⨯>． 所以M N >．【总结】本题主要考查利用直接作差法来比较两个数的大小．。
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指数与指数幂的运算(二)学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．知识点一 分数指数幂思考 根据n 次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？①5a 10＝5(a 2)5＝a 2＝105a (a >0)； ②a 8＝(a 4)2＝a 4＝82a (a >0)； ③4a 12＝4(a 3)4＝a 3＝124a (a >0)．答案 当a >0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数． 梳理 分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m na ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：1m n m na a-=(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 知识点二 有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a a ＝a ＋(a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 知识点三 无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．6342(2)(2).-=-( × )2．111222[(2)(3)](2)(3).-⨯-=--( × ) 3．当a >0时，(a r )s ＝(a s )r .( √ )4．.∈R ( √ )类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1 分数指数幂化根式 例1 用根式的形式表示下列各式(x >0)．25(1);x 53(2).x -考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 解 (1) 25x ＝5x 2. (2)53x -＝13x 5.反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握． 跟踪训练1 用根式表示2132x y -(x >0，y >0)． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 解221332121x y y x-=⋅=命题角度2 根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0. (1)5a 6； (2)13a 2；(3)4b 3a2； (4)(－a )6. 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂解 65.a =23231.a a-==(3)4b 3a 2132133444242.b b a a a a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭632.a a ==反思与感悟 指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a ≤0时，m na有时有意义，有时无意义．如13(1)1,-==-但12(1)-就不是实数了．为了保证在mn 取任何实数时，mn a 都有意义，所以规定a >0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分． 跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂： (1)682；(2)a a (a >0)；(3)b 3·3b 2；(4)13x (5x 2)2.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 解1776212(2)2;===313224();a a === (3)2113333;b b b b =⋅=3591353511.()x x x-======类型二 运用指数幂运算公式化简求值 例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.5233177(0.027)2;1259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的加减运算解 10.5233177(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 解 原式＝2111150326236[2(6)(3)]44.a bab a +-+-⨯÷－－＝(3)111222.m m mm--+++考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 解1111122222111122222().m m mm mm mmmm-----+++==+++反思与感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3 (1)化简：130.256178;86-⎛⎫⎛⎫⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解 原式＝1111131(1)()36623334424481(2)2(2)(3)2223112.-⨯-+⨯+⨯+⨯=+++=(2)化简：213211113625;1546x yx y x y ---⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算解 212111132(1)()332261111362565(4)51546x y x y x y x y -⎛⎫------- ⎪⎝⎭--⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110662424.x y y ==(3)已知11225,x x -+=求x 2＋1x 的值．考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值解 由11225,x x -+=两边同时平方得x ＋2＋x －1＝25，整理，得x ＋x －1＝23，则有x 2＋1x ＝23.类型三 运用指数幂运算公式解方程例4 已知a >0，b >0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值． 考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值解 方法一 ∵a >0，b >0，又a b ＝b a ，1119()()(9),a b a b b b a b a b a a ∴=⇒=⇒=81829993a a a ∴=⇒=⇒=方法二 ∵a b ＝b a ，b ＝9a ，∴a 9a ＝(9a )a ， 即(a 9)a ＝(9a )a ，∴a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43.反思与感悟 指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到代入、消元等目的．跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求3x －4y 的值．考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值解 由67x ＝33，3673,x=得由603y＝81，46033,y=得433y x-∴＝60367＝9＝32，∴4y －3x ＝2，故3x －4y ＝－2.1．化简238的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 B2．1225-等于( ) A ．25 B.125 C ．5 D.15 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝12()(0)x x -> B.6y 2＝13(0)y y <C ．340)xx -=> D ．130)x x -=≠考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案 C4．(36a9)4＝________.考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案a25．计算122-⨯________．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算答案161．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．2．指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．一、选择题1．化简式子122[(]-的结果是( )A. 3 B ．－3 C.33 D ．－33 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 C解析 11222[(]3--=== 2．化简3－a ·6a 的结果为( )A ．－aB ．－－a C.－aD.a考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 A 解析 显然a ≥0.11111636362·a a a aa +=－＝－=-3.3a 2·a 等于( )57511681212A B C D a a a a ．．．．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 B解析21113412.aa +==4．34(32)x --中x 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 C 解析34341(32)(32)x x --==-要使该式有意义，需3－2x >0，即x <32.5．1113622,3,6这三个数的大小关系为( ) A ．111632632<< B ．111632623<< C ．111362236<<D ．111362326<<考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 B解析3121163662223=======∵66<68<69，111632263.<∴<6．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1 D.x x －1 考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值答案 D解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝xx －1.7．设1122.a a m --=则a 2＋1a 等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 C 解析 将1122a am --=两边平方，得211222,a a m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a ＝m 2＋2.8．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 D解析 设a b －a －b ＝t .∵a >1，b >0， ∴a b >1，a －b <1，∴t ＝a b －a －b >0，则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴t ＝2. 二、填空题9．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3213-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42＝________. 答案 2解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.10．若a >0，且a x ＝3，a y＝5，则22y x a +=________.考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 9 5解析 11222222()()35y x x y aa a +=⋅=⋅=11．(3＋2)2 015×(3－2)2 016＝________. 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 答案3－ 2解析 (3＋2)2 015×(3－2)2 016 ＝[(3＋2)(3－2)]2 015×(3－2) ＝12 015×(3－2)＝3－ 2.334b a ⎝⎭+5a ·3a答案 a 2 解析 原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a aa ab a aa ab b a a a b a --⋅÷⨯=-⨯⨯=+⋅+⋅- 三、解答题 13．计算： (1)733－3324－6319＋4333；(2)111201130.2534730.00813813100.027.88-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 解(1)原式＝1121113333347333263---⨯-⨯⨯-⨯11332230.=⨯-⨯= (2)原式=1141142113333(31)310(0.3)102-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯+-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123112101100.330.1033333--⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 四、探究与拓展14．已知2·3＝2·3＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)·(c－1)．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值证明∵2a·3b＝6＝2×3，∴2a－1·3b－1＝1.∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1. ①又2c·3d＝6＝2×3，∴2c－1·3d－1＝1.∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1. ②由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．15．已知函数f(x)＝11335x x--，g(x)＝11335x x-+.(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(已知y＝13x在R上是增函数)(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算(1)证明设x1>x2>0，∵y＝13x在R上是增函数，1133 12.x x ∴>又∵()13120x x->，∴f (x 1)－f (x 2)＝111111133333331122121211()()1()0.55x x x x x x x x ---⎡⎤--+=-+>⎢⎥⎣⎦∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 经计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0，由此猜想：f (x 2)－5f (x )g (x )＝0. 证明如下： f (x 2)－5f (x )g (x )221111222233333333331111()()()()()0.5555x x x x x x x x x x -----=--+-=---=。