【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案11 函数与方程
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案71 基本算法语句
探究点一 输入、输出和赋值语句的应用 例 1 写出下列语句描述的算法的输出结果： (1) a＝5 b＝3 c＝a＋b/2 d＝c*c PRINT “d＝”；d a＝1 b＝2 (2) c＝a＋b b＝a＋c－b PRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c
变式迁移 1 请写出下面运算输出的结果__________． a＝10 b＝20 c＝30 a＝b b＝c c＝a PRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c 探究点二 条件语句的应用 例 2 阅读下面的程序， 当分别输入 x＝2， x＝1， x＝0 时， 输出的 y 值分别为________、 ________、________.
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学案 71
基本算法语句
自主梳理 1．INPUT “提示内容”；变量 PRINT “提示内容”；表达式 2.变量＝表达式 自我检测 1．D [由赋值语句知选 D.] 2．C [∵1<3，∴x＝1＋3＝4.] 3．C [当 x＝2 时，i＝1≤4，s＝0×2＋1＝1； i＝1＋1＝2≤4，s＝1×2＋1＝3； i＝2＋1＝3≤4，s＝3×2＋1＝7； i＝3＋1＝4≤4，s＝7×2＋1＝15； i＝4＋1＝5>4，输出 s＝15.] 4．990 解析 由题意 s＝11×10×9＝990. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边可以是一个 常量、变量或含变量的运算式．(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边 的表达式的值赋给赋值号左边的变量．如“A＝B”和“B＝A”的运行结果是不同的． a＋b 解 (1)∵a＝5，b＝3，c＝ ＝4， 2 ∴d＝c2＝16，即输出 d＝16. (2)∵a＝1，b＝2，c＝a＋b，∴c＝3，又∵b＝a＋c－b， 即 b＝1＋3－2＝2，∴a＝1，b＝2，c＝3， 即输出 a＝1，b＝2，c＝3. 变式迁移 1 a＝20，b＝30，c＝20 解析 经过语句 a＝b，b＝c 后，b 的值赋给 a，c 的值赋给 b，即 a＝20，b＝30，再经 过语句 c＝a 后，a 的当前值 20 赋给 c，∴c＝20.故输出结果 a＝20，b＝30，c＝20. 例 2 解题导引 计算机执行这种形式的条件语句时， 是首先对 IF 后的条件进行判断， 如果条件符合，就执行 THEN 后的语句；如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而 执行其他语句，嵌套时注意内外分层，避免逻辑混乱． 1,1，－1 解析 由程序可知分段函数是： x<1 y＝x ， x＝1 1 ， x>1 x－ 1
【步步高】届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案任意角的三角函数
第四章三角函数与三角恒等变换学案17 任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.课前准备区回扣载材夯实基础_______________________________________________【自主梳理】1. 任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置0B所成的图形•旋转开始时的射线OA叫做角的____________ ，射线的端点0叫做角的__________ ，旋转终止位置的射线0B叫做角的__________ ，按_______ 时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______ 时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________ 角.(1) 象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是___________ 角.(2) 象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为________________________ ；终边在y轴上的角表示为________________________________________________ ;终边落在坐标轴上的角可表示为_________________________________ .(3) 终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合_________________________ 或____________________________ ，前者a用角度制表示，后者a用弧度制表示.(4) 弧度制把长度等于_________ 长的弧所对的 ____________ 叫1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做_________ ，它的单位符号是 ________ ，读作_________ ，通常略去不写.(5) 度与弧度的换算关系360 °=______ r ad; 180 °=___ rad; 1°= _________ rad;1rad = ________________ ~ 57.30 °(6) 弧长公式与扇形面积公式1 = ________ ，即弧长等于_______________________________________________________ .S 扇= ________ = _____________ .2•三角函数的定义任意角的三角函数定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么① ___ 叫做a的正弦，记作sin a,即sin a= y；②_______ 叫做a的余弦，记作cos a,即cos a=x;③_________ 叫做a的正切，记作tan a,即tan a=0).x(1) 三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【自我检测】1 a= f” 是“ COS2 a=的 （）6 2A .充分而不必要条件B •必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. （2018 济宁模拟）点 P （tan2009 / cos2009 ）位于 （） A .第一象限B .第二象限 C .第三象限D .第四象限3. （2018 山东青岛高三教案质量检测）已知si n a <0且tano>0,则角a 是（）A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角 （2 n 2冗\ 4. 已知角a 的终边上一点的坐标为 Sin — , cos—，则角a 的最小正值为（）课堂潘动惬究砒考点硏析热点探究点一角的概念【例1】（1）如果角a 是第三象限角，那么一 a, n — a, n+ a 角的终边落在第几象限;.J +y+ 0XJy)+ -4-OX 0+Xsin a cosa（2）三角函数线下图中有向线段MP , OM , AT 分别表示tana___________________ 和A. 5 n IB.47 47⑵写出终边落在直线y= 1 3x上的角的集合；⑶若0= 168 °+ k 360 °（k€ Z），求在［0 °, 360 °）内终边与f角的终边相同的角.变式迁移1若a是第二象限的角，试分别确定 2 a,扌的终边所在位置.探究点二弧长与扇形面积［例2（2018金华模拟）已知一个扇形的圆心角是a，0<a<2n,其所在圆的半径是R.（1）若a= 60 ° R= 10cm,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；⑵若扇形的周长是一定值C（C>0），当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2 （1）已知扇形的周长为10,面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三三角函数的定义【例3】已知角a的终边在直线3x+ 4y= 0上，求sin a，cos a，tan a的值.变式迁移3已知角a的终边经过点P（- 4a,3a）（a* 0），求sin a，cos a，tan a的值.1. 角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯.象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础.2. 三角函数都是以角为自变量（用弧度表示），以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法.（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2018宣城模拟）点P从（1,0）出发，沿单位圆X2+ y2= 1逆时针方向运动f n弧长到达Q，则Q的坐标为（）1 J3 爲1A . （-2，2）B .（-T，-2）1 12. 若0<x< n,则使sinx>2和cosx<2同时成立的x的取值范围是（）n n n 5A.3<X<2B.3<X<6nn 5 n 2c.6<x<6 Q3<x<3n3. 已知a为第三象限的角，则扌所在的象限是（）A.第一或第二象限B .第二或第三象限C.第一或第三象限 D .第二或第四象限4. 若1弧度的圆心角所对弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于（）1 nA. sin7B.72 61 1C. D. 2sin.1 2 sin 25. 已知卜^,扌且sin 0+ cos0= a,其中a € （0,1），则关于tan B的值，以下四个答案中，可能正确的是（）亠1A . —3B. 3 或31 、1C . —3D. —3 或—3题号12345答案二、填空题（每、题4分，共12分）6 .已知点P（sin a—cos a, tan %）在第一象限，且 a € [0,2 n]则a的取值范围是（3n 3 nsin —, cos ■—落在角0的终边上，且值为_________ .&阅读下列命题：①若点P（a,2a）（a^ 0）为角a终边上一点，贝U si n a= 专;5-才的角有且只有一个；V5sin a=—5（0为象限角），则0在第一象限.___ .（将正确命题的序号填在横线上）三、解答题（共38分）9. （12分）已知扇形OAB的圆心角a为120 °半径长为6,（1）求AB的弧长；⑵求弓形OAB的面积.[0,2 n，则0的其中正确命题为1②同时满足sin a= 2，cos a=③设tan a= 2且n<a<3n，贝U④设cos（sin 0） tan（cos 0）>010. （12分）在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出角a的集合:(1)sin a i(2)COS a<— 211. (14分)(2018舟山月考)已知角a 终边经过点 P(x , — .2)(X M 0),且cos o=~^x.求1sin a+ 的值.tan a答案自主梳理1•始边顶点终边逆顺零(1)第几象限-1 k j(2){ a|a= k n, k € Z } *a| a= k 计 §， k € Z 广 a| a=才，k € Z 「(3){ 3 3= a + k 360° , k €的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积 弓厲曲勺•①y ②X ③丫 (2) a 的正弦线a 的余弦线 a 的2 2 X正切线自我检测1. A2.D3.C4.D 课堂活动区【例1】解题导引 ⑴一般地，角a 与—a 终边关于X 轴对称；角a 与n — a 终边关于y 轴对 称；角a 与n+ a 终边关于原点对称.⑵利用终边相同的角的集合S ={ 33= 2k n+ a, k 題}判断一个角3所在的象限时，只 需把这个角写成［0,2%)范围内的一角a 与2 n 的整数倍，然后判断角a 的象限.(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边 相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k 赋值来求得所需角.3 n解(1) n+ 2k n<o <2 + 2ku(k €), 3 n-•—2 — 2k nJ a < — n — 2k ^(k ),n即 2+ 2k n< a <n+ 2k n (k €).①• —a 角终边在第二象限.3 n又由①各边都加上 n,得~2 + 2k n < — a <2 n+ 2k n (k €).•n— a 是第四象限角.同理可知，n+ a 是第一象限角.⑵在(0, n 内终边在直线 y = -3X 上的角是n ， •终边在直线y = 3x 上的角的集合为 J n1Z }{ 3 3= a+ 2k n k € Z } (4)半径圆心角弧度制rad 弧度 (5)2冗命巴0 ° (6)| a| •-弧所对a a= 3+ k n k€ •(3) •••0= 168 °+ k 360 °k€),= 56°+ k -120° (k 題).3••0°< 56°+ k 120°<360°,, 0••k = 0,1,2 时，§q o ° 360° .故在［0 ° 360°内终边与3角的终边相同的角是56° 176°296° 变式迁移1解Ta是第二象限的角，• 360°+ 90° a<k 360°+ 180°(k 題).(1) '.2k 360 °+ 180 °2 a<2k 360 °+ 360 °(k^Z),••2 a的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上.(2) --k 180 °+ 45 °2<k 180 °+ 90 ° (k^Z),当k = 2n (n®)时，an 360 °+ 45 °<^< n 360 °+ 90 °当k = 2n + 1 (n^Z)时，an 360 °+ 225 °<^< n 360 °+ 270 °a「2■是第一或第三象限的角.a•3的终边在第一或第三象限.【例2】解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起.确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解.解(1)设扇形的弧长为I，该弧所在弓形的面积为S,如图所示,n 当a= 60°= 3,R= 10cm 时，可知I = aR= fm.,. I I 2 刃而S= S 扇一S ZOAB= ?IR —?R sin§⑵已知2R+ l = C,即卩2R+ aR= C,1 2 1 1S 扇=aR = aR R= 4 aR 2R'；R+2RZ = 1 f C x 2 = C 2 -^― ! = 4迈丿=活当且仅当 C 2.变式迁移2解设扇形半径为 R ,圆心角为 0所对的弧长为值就相应确定了.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数 值有两组，要分别求解.解•••角a 的终边在直线3x + 4y = 0上，•••在角a 的终边上任取一点 P(4t ,— 3t) (t 丰0), 贝U x = 4t , y =— 3t , r = 'x 2+ y 2= ‘4t 2+ — 3t 2=5|t|,当 t>0 时,r = 5t ,y Sin a= r = 5t =x 4t 4 COS a= r =5t =5， tan = y == — 3； tan a= x = 4t = — 4； 当 t<0 时，r = — 5t ,y —3sin a= r = — 5t = 5,x 4tCOS a= _= =—2 0R= 4,(1)依题意，得」R+ 2R = 10,：2 0— 17 0+ 8 =0.「.0= 8 或 1.厶亠 1••8>2n,舍去，• 0= 2.⑵扇形的周长为 40,即0+ 2R = 40,1 1 7 1 八 * 1 0R+ 2R S = [R =2 0R= 4 0R 2R W 4 =100.2当且仅当0R= 2R ,即R = 10, 0= 2时扇形面积取得最大值， 【例3】解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，最大值为 100.当终边确定时三角函数aR= 2R ,即a= 2时，等号成立，即当 a 为2弧度时，该扇形有最大面积 l.35,4 5,r—5t伽=y=—=— 3 tan a= x= 4t =—4.3 4 3综上可知，t>0 时，sin a=—;, cos a= , tan a=—二;5 5 4z 3 4 3t<0 时，sin a= 5, COS a=—5, tan a= —4.变式迁移 3 解r =—4a 2+ 3a 2= 5RI.若a>0,则r = 5a , a 角在第二象限,y 3a 3 sin a=_=二=匚， r 5a 5—4a 4~5F = — 5，tan a= xy_ 3a =3 = —4.若 a<0, 则 r = — 5a , a 角在第四象限， sin 心 y3a —5a 35, x COS a= 一 r —4a 4 —5^ = 5, 3 —4a *课后练习区 1. A2.B3.D4.C5.C5 n冗，丁tan a= y3a6.解读由已知得sin a>cos a,tan a >0,n n • '4 + 2k n<<2 + 2k n 或 n+ 5 n 2k n<a <"4 +2k n, k^Z.n n 5 n••0< a< 2 n •••当 k = 0 时，；< a <o 或 n<<丁. 4247 7・4n解读由三角函数的定义,cos ‘y4tan 0= ==— 1.x 3 nsin ~43 n 3 n . 7 n 又-.sin[>0, cos_<0,「.P 在第四象限，• 0= _.&③ 解读①中，当a 在第三象限时， sin a=—今5，故①错.5 7n②中，同时满足 sin a= 2 , COs a=于的角为 a= 2k n+ - (k €Z)，不只有 错•③正确•④0可能在第一象限或第四象限，故④错•综上选③ ” o 2n 9.解⑴-a= 120 = 3 , r = 6, • AB 的弧长为 I =ar 严>< 6 = 4n •: ................................................................... 1 1 (2) '-S 扇形 OAB =尹=4 n X 6=12 n, ............................................2' ，故②(4分) …(7S ZABO =扩 sin^62X 宁=9 3 , ........................................(10xCOS a=r11 / 9•'S 弓形 OAB = S 扇形 OAB — S ^ABO = 分） 10.解（1）作直线y =~2^交单位圆于A 、n 2n的集合为 1 a|2k n+ aW 2k n+ —, k ».1作直线x =— 2交单位圆于C 、D 两点，连结 OC 、OD ，贝y OC 与OD 围成的区域（图中 阴影部分）即为角a 终边的范围•故满足条件的角a 的集合为2 n 4 n* o|2k n+§三 aW 2k n+-3, k 題•- 11.解-.P （x , — ,2） （x 工 0）, •••点P 到原点的距离 r = x 2+ 2.又 亚又 COS a= — X ,6 x V 3 I —「COS a= ------ = tT X.伙工 0 ,「X =± 10 ,V X 2^ 6 ， •丫 = 2"；.'3 ................................................ 当x = 10时，P 点坐标为（.10, — ,2）, 由三角函数的定义， 6有 Sin a=——, （6分）1 • sin a+ =— tan a当 x =— .10时,盘一5, - 5 =-6 .' 5 + ■, 6;（10 分）同样可求得sin a+1 tan a（14 分）（12（6分）（12分）（2则0A 与0B 围成的区域即为角。
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案14 导数在研究函数中的应用
学案14 导数在研究函数中的应用导学目标： 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是______函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为______函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为______函数．2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程________的根；③检查f ′(x )在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得________．自我检测1.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则 ( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )是R 上的增函数D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 3．(2011·济宁模拟)已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.探究点一 函数的单调性例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二 函数的极值例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 求闭区间上函数的最值 例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1<x 2，问题等价于f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，故问题等价于y ＝f (x )＋x 是单调增函数．【答题模板】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )x.[2分]①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2x.故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a －1<1，而a >1，故1<a <2时，则当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，a －1)及x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减， 在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分](2)证明 考虑函数g (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x .则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1x ≥2x ·a －1x－(a －1)＝1－(a －1－1)2.由于1<a <5，故g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，从而当x 1>x 2>0时，有g (x 1)－g (x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)＋x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[10分]当0<x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>－1.综上，若a <5，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[12分]当堂检测(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·大连模拟)设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a >－3 B ．a <－3C ．a >－1D ．a <－16．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论： ①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； ③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．。
【步步高】2015届高考数学总复习 第二章 2.4二次函数与幂函数课件 理 北师大版
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
(1)当 a＝－2 时， 求 f(x)的最值； 即 a≤－6 或 a≥4.
2 (3) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ＝ x ＋2x＋3， (2)求实数 a 的取值范围，使 y ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3， 此时定义域 ＝ f(x) 在区间 [ － 4,6] 上是单调 为 x∈[ －6,6] ， 且 f(x)＝ 函数； 2 x ＋2x＋3，x∈0，6] (3)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调 2 ， x － 2 x ＋ 3 ， x ∈ [ － 6 ， 0] 区间． ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
(2)构造函数 y＝ x ，利用函数单调性求 m 范围．
1 2
题型分类·深度剖析
题型三
解析
幂函数的图像和性质
2
【例 3】 (1)已知幂函数 f ( x) (n2 2n 2) xn 3n (n∈Z)的图像关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为 ( ) 解得 n＝1 或 n＝－ 3，经检验只有 n＝1 适合题意，故选 B. 1 A ．－ 3 C． D．1 或 2 2 1的定义域为 (2) 因为函数 y＝B． [02 ，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以－a≤－5 或－a≥5，即 a≤－5 或 a≥5.
故 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习章末检测：第九章 解析几何
20． (12 分)设直线 l： y＝k(x＋1) (k≠0)与椭圆 x2＋3y2＝a2 (a>0)相交于两个不同的点 A、 B，与 x 轴相交于点 C，记 O 为坐标原点． 3k2 (1)证明：a2> ； 1＋3k2 → → (2)若AC＝2CB，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．
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10．A 11.D
12.C 14. 6 3
13．(x－1)2＋y2＝4
x2 y2 15. ＋ ＝1 5 4 解析 由题意可得切点 A(1,0)． 1 n－ 2 m 切点 B(m，n)满足 m－1＝－ n ，
m ＋n ＝1，
2 2
3 4 解得 B( ， )． 5 5
∴过切点 A，B 的直线方程为 2x＋y－2＝0. 令 y＝0 得 x＝1，即 c＝1； 令 x＝0 得 y＝2，即 b＝2. x2 y2 ∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为 ＋ ＝1. 5 4 16．② 17．解 (1)∵kAB＝－ 2，AB⊥BC，∴kCB＝ ∴lBC：y＝ 2 . 2
21．(12 分)(2011· 福建)已知直线 l：y＝x＋m，m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程． (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′，问直线 l′与抛物线 C：x2＝4y 是否相切？说明 理由．
x2 y2 22．(12 分)(2011· 山东)已知动直线 l 与椭圆 C： ＋ ＝1 交于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不 3 2 6 同点，且△OPQ 的面积 S△OPQ＝ ，其中 O 为坐标原点． 2 2 2 2 (1)证明：x1 ＋x2 和 y ＋ y 均为定值． 2 1 2 (2)设线段 PQ 的中点为 M，求|OM|· |PQ|的最大值． 6 (3)椭圆 C 上是否存在三点 D，E，G，使得 S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝ ？若存在，判断 2 △DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
【步步高】2015届高考数学总复习 算法与程序框图学案 理 北师大版
第十二章算法初步、复数学案70算法与程序框图导学目标：1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．自主梳理1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的________和________的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．2．程序框图又称________，是一种用________、________及____________来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由________和________组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；________带方向箭头，按照算法进行的顺序将________连结起来．3．顺序结构是由________________________组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为5．循环结构是指__________________________________________________________．反复执行的步骤称为________．循环结构又分为________________和________________．其结构形式为6．算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性． 自我检测1．(2010·陕西)如图所示是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )A ．S ＝S ＋x nB ．S ＝S ＋x nnC ．S ＝S ＋nD ．S ＝S ＋1n第1题图 第2题图2．(2010·全国)如果执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( ) A .54B .45C .65D .563．(2011·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．－3B ．－12C .13D ．2第3题图第4题图4．(2011·山东)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一算法的顺序结构例1已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出程序框图．变式迁移1阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是()A．75、21、32B．21、32、75C．32、21、75 D．75、32、21探究点二 算法的条件结构例2 (2011·杭州模拟)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x>0)0 (x ＝0)2 (x<0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．变式迁移2 给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4探究点三 算法的循环结构例3 写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出程序框图.变式迁移3 (2011·天津和平区模拟)在如图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出s的结果是______．1．程序框图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂程序框图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填()A．y＝7＋2.6x B．y＝8＋2.6xC．y＝7＋2.6(x－2) D．y＝8＋2.6(x－2)第1题图第2题图2．(2010·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于() A．2 B．3 C．4 D．53．(2010·浙江)某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?第3题图第4题图4．(2010·辽宁)如果执行如图所示的程序框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于() A．720 B．360 C．240 D．1205．阅读下面的程序框图，则输出的S等于()A．14 B．20 C．30 D．55二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·浙江)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是__________．第6题图第7题图7．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.8．(2010·江苏改编)如图是一个程序框图，则输出的S的值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·包头模拟)对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8a i40 41 43 43 44 46 47 48在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a是这8个数据的平均数)，求输出的S的值．10．(12分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n}的各项均为正数，观察程序框图，若k＝5，k＝10时，分别有S＝511和S＝1021.(1)试求数列{a n}的通项；(2)令b n＝2a n，求b1＋b2＋…＋b m的值．11．(14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t 的值； (2)求程序结束时，共输出(x ，y)的组数； (3)求程序结束时，输出的最后一个数组．学案70 算法与程序框图自主梳理1．明确 有限 2.流程图 程序框 流程线 文字说明 程序框 流程线 流程线 程序框 3.若干个依次执行的步骤 5.从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况 循环体 当型(WHILE 型) 直到型(UNTIL 型)自我检测1．A [由循环结构的程序框图可知需添加的运算为S ＝x 1＋x 2＋…＋x 10的累加求和．] 2．D [第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S.]3．D [由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2.]4．68解析 当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.课堂活动区例1解题导引顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．解算法如下：第一步，输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.第二步，计算Z1＝Ax0＋By0＋C.第三步，计算Z2＝A2＋B2.第四步，计算d＝|Z1|.Z2第五步，输出d.程序框图：变式迁移1A[由程序框图中的各个赋值语句可得x＝21，a＝75，c＝32，b＝21，故a、b、c分别是75、21、32.]例2解题导引求分段函数函数值的程序框图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解算法如下：第一步，输入x；第二步，如果x>0，则y ＝－2；如果x ＝0，则y ＝0；如果x<0，则y ＝2；第三步，输出函数值y.相应的程序框图如图所示．变式迁移2 C [本问题即求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x>5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0；若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x>5，由x ＝1x得，x ＝±1，不符合． 故符合要求的x 值有3个．] 例3 解题导引 数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 第一步，设S 的值为1.第二步，设i 的值为2.第三步，如果i ≤100执行第四步，否则转去执行第七步．第四步，计算S 乘i 并将结果赋给S.第五步，计数i 加1并将结果赋给i.第六步，转去执行第三步．第七步，输出S 的值并结束算法．根据自然语言描述，程序框图如下：变式迁移3 286 解析 数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．D [根据题意可知x>2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．]2．C [由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，i ＝i ＋1＝3＋1＝4.]3．A [当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k>4？”．]4．B [由框图可知：当n ＝6，m ＝4时，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3，k ＝2.第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3.第三次循环：p ＝(6－4＋3)×12＝60，k ＝4.第四次循环：p ＝(6－4＋4)×60＝360，此时k ＝m ，终止循环．输出p ＝360.]5．C [第一次循环：S ＝12；第二次循环：S ＝12＋22；第三次循环；S ＝12＋22＋32；第四次循环：S ＝12＋22＋32＋42＝30.]6．5解析 初始值：k ＝2，执行“k ＝k ＋1”得k ＝3，a ＝43＝64，b ＝34＝81，a>b 不成立； k ＝4，a ＝44＝256，b ＝44＝256，a>b 不成立；k ＝5，a ＝45＝1 024，b ＝54＝625，a>b 成立，此时输出k ＝5.7．30解析 按照程序框图依次执行为S ＝5，n ＝2，T ＝2；S ＝10，n ＝4，T ＝2＋4＝6；S ＝15，n ＝6，T ＝6＋6＝12；S ＝20，n ＝8，T ＝12＋8＝20；S ＝25，n ＝10，T ＝20＋10＝30>S ，输出T ＝30.8．63解析 当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33.故S ＝63.9．解 该程序框图即求这组数据的方差，∵a ＝44，(2分)∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7.(12分)10．解 由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)．(4分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021. ∴⎩⎨⎧ 1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(8分)(2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝23(4m －1)． (12分)11．解 (1)循环体运行结果如下： 输出(1，0)n ＝3x ＝3y ＝－2n<2 011 输出(3，－2)n ＝5x ＝9y ＝－4n<2 011 输出(9，－4)n ＝7x ＝27y ＝－6n<2 011∴输出数组(9，t)中的t 值是－4.(4分)(2)计数变量n 的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m －1)×2＝2 011.解得m ＝1 005，由于当m＝1 005时，n＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(8分)(3)程序输出的数组(x n，y n)按输出的先后顺序，横坐标x n组成一个等比数列{x n}，首项x1＝1，公比q＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n}，首项y1＝0，公差d＝－2.∴x1 006＝31 005，y1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)。
【步步高】2015届高考数学总复习 第十二章 12.3几何概型课件 理 北师大版
题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华
【 例 2 】 (1)(2012· 北京 ) 设不等式组 0≤x≤2， 表示的平面区域为 D， 在 0 ≤ y ≤ 2 区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是 ( D ) π－ 2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心，在这个圆柱内随机取一点 P，则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为
概型． 2．几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的 概率是 体积 之比或 长度 之比． 3．借助 模拟方法 可以估计随机事疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) √ (2) √ (3) √ (4) √
解析
B
2 3 1 3 2 5
题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
【 例 2 】 (1)(2012· 北京 ) 设不等式组 思维启迪 解析 答案 思维升华 0≤x≤2， 以 O 为球心， 1 为半径且在圆柱 表示的平面区域为 D， 在 0≤y≤2 内部的半球的体积 1 4 2 区域 D 内随机取一个点，则此点到坐 V 半球＝ × π×13＝ π. 2 3 3 标原点的距离大于 2 的概率是 ( ) π－ 2 4－π π π 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 A. B. C. D. 4 2 6 4 2 3π 1 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 1 的概率为2π＝3， 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心，在这个圆柱内随机取一点 P，则 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 率为 1－1＝2. 3 3 ________．
【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案：学案53 抛物线
学案 53
自主梳理 1．相等 焦点 准线 自我检测 1．C
抛物线
p [因为抛物线的准线方程为 x＝－2，所以 ＝2，所以 p＝4，所以抛物线的方程是 2 y2＝8x.所以选 B.] 3．B 4.C 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离 与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 解 2．B
2 2 2
y2 p p2 1 → → p － ，－ y － ， y － ，－ AO＝(－x1，－y1)＝ 2p 1 ，OD＝ y ， 2 2＝ 2
1
－2p＝－2λ → → 假设存在实数 λ，使AO＝λOD，则 p －y ＝－y λ
2 1 1
y2 1
p
y2 y2 1 1 ，解得 λ＝ 2，∴存在实数 λ＝ 2， p p
自我检测 1．(2010· 四川)抛物线 y2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 x2 y2 2 2．若抛物线 y ＝2px 的焦点与椭圆 ＋ ＝1 的右焦点重合，则 p 的值为( ) 6 2 A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 4．已知抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物 线上，且 2x2＝x1＋x3，则有( ) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|· |FP3| 5．(2011· 佛山模拟)已知抛物线方程为 y2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂 直的直线 AB 交抛物线于 A、B 两点，过点 A、点 B 分别作 AM、BN 垂直于抛物线的准线， 分别交准线于 M、N 两点，那么∠MFN 必是( )
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解 设 f(x)＝2x ＋3x－3. 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0， 所以函数在(0,1)内存在零点， 即方程 2x3＋3x－3＝0 在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)<0， 又 f(1)>0，所以方程 2x3＋3x－3＝0 在(0.5,1)内有解， 如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表. (a，b) (a，b) a＋b 的中点 f 2 (0,1) 0.5 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 至此，可以看出方程的根落在区间长度小于 0.1 的区间(0.687 5,0.75)内，可以将区间端 点 0.687 5 作为函数 f(x)零点的近似值．因此 0.687 5 是方程 2x3＋3x－3＝0 精确度 0.1 的一 个近似解． 1 3 x＋1中的 x3 及 lnx＋1 在 变式迁移 2 D [由于 f(0)<0，f >0 ，而 f ( x ) ＝ x ＋ ln 2 2 2 －1，＋∞上是增函数，故 f(x)在－1，＋∞上也是增函数， 2 2 1 1 故 f(x)在 0，2上存在零点，所以 x0∈0，2， 1 第二次计算应计算 0 和 在数轴上对应的中点 2 1 0＋ 2 1 x1＝ ＝ .] 2 4 例 3 解 若 a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以 a≠0. 令 Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0， －3± 7 解得 a＝ . 2 －3－ 7 3－ 7 ①当 a＝ 时，f(x)＝0 的重根 x＝ ∈[－1,1]， 2 2 －3＋ 7 3＋ 7 当 a＝ 时，f(x)＝0 的重根 x＝ ∉[－1,1]， 2 2 ∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上； ②当 f(－1)· f(1)＝(a－1)(a－5)<0， 即 1<a<5 时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点． ③当 y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则
10． (12 分)已知二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]内至少存在一个 实数 c，使 f(c)>0，求实数 p 的取值范围．
a 11．(14 分)(2011· 杭州调研)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(1)＝－ ，3a>2c>2b，求证： 2 b 3 (1)a>0 且－3< <－ ； a 4 (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
∴函数在(1,3)上存在唯一零点． 方法二 在同一坐标系画出 y＝ln x 与 y＝6－2x 的图象， 由图可知两图象只有一个交点， 故函数 y＝ln x＋2x－6 只有一个零点． 变式迁移 1 B [由题意知 f(x)是偶函数并且周期为 2.由 f(x)－log3|x|＝0， 得 f(x)＝log3|x|， 令 y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数 y 轴右
边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在 x≠0，x∈R 的范围内共 4 个．] 例 2 解题导引 ①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的 各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在 区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程； ②在确定方程近似解所在的区间时， 转化为求方程对应函数的零点所在的区间， 找出的 区间[a，b]长度尽可能小，且满足 f(a)· f(b)<0； ③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度 ε，是指在计算过 程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|<ε 时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最 后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．
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探究点三 利用函数的零点确定参数 例 3 已知 a 是实数，函数 f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数 y＝f(x)在区间[－1,1]上有 零点，求 a 的取值范围．
变式迁移 3 若函数 f(x)＝4x＋a· 2x＋a＋1 在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数 a 的取值 范围．
探究点一 函数零点的判断 例 1 判断函数 y＝ln x＋2x－6 的零点个数．
变式迁移 1 (2011· 烟台模拟)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)， 且当 x∈[0,1] 时，f(x)＝x，则函数 y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 ( ) A．多于 4 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 探究点二 用二分法求方程的近似解 例 2 求方程 2x3＋3x－3＝0 面认识深刻理解函数零点： (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)＝0 的实数 x； (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标； (3)若函数 f(x)的图象在 x＝x0 处与 x 轴相切，则零点 x0 通常称为不变号零点； (4)若函数 f(x)的图象在 x＝x0 处与 x 轴相交，则零点 x0 通常称为变号零点． 2．求函数 y＝f(x)的零点的方法： (1)(代数法)求方程 f(x)＝0 的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y＝f(x)的图象联系起来，并利 用函数的性质找出零点； (3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件 f(a)· f(b)<0 表明：用二分法求 函数的近似零点都是指变号零点． 3．有关函数零点的重要结论： (1)若连续不间断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点； (2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
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(3)设 x1，x2 是函数 f(x)的两个零点，则 2≤|x1－x2|<
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答案 自主梳理 1．(1)f(x)＝0 (2)x 轴 零点 2.f(a)· f(b)<0 (a，b) f(c) ＝ 0 c 3.(x1,0) (x2,0) (x1,0) 两个 一个 无 4.f(a)· f(b)<0 f(c) ①f(c)＝0 ②f(a)· f(c)<0 ③f(c)· f(b)<0 自我检测 1．C [当 x≤0 时，令 x2＋2x－3＝0， 解得 x＝－3； 当 x>0 时，令－2＋ln x＝0，解得 x＝e2， 所以已知函数有两个零点．] 2．B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例 1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令 f(x)＝0， 转化为方程根的个数， 解出方程有几个根，函数 y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断： 方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方 法二是数形结合法，要注意作图技巧． 解 方法一 设 f(x)＝ln x＋2x－6， ∵y＝ln x 和 y＝2x－6 均为增函数， ∴f(x)也是增函数． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(x)在(1,3)上存在零点．又 f(x)为增函数，
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4．函数 f(x)＝(x－2)(x－5)－1 有两个零点 x1、x2，且 x1<x2，则 ( ) A．x1<2,2<x2<5 B．x1>2，x2>5 C．x1<2，x2>5 D．2<x1<5，x2>5 4x－4， x≤1 5．(2011· 厦门月考)设函数 f(x)＝ 2 ，g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝f(x)－ x －4x＋3，x>1 g(x)的零点个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x>0 时，f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为________． 7．(2011· 深圳模拟)已知函数 f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－ x－1 的零点分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3 的大小关系是______________． 8．(2009· 山东)若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围 是________． 三、解答题(共 38 分) x 1 9．(12 分)已知函数 f(x)＝x3－x2＋ ＋ . 2 4 1 证明：存在 x0∈(0， )，使 f(x0)＝x0. 2
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A．①② B．①③ C．①④ D．③④ x 4．设 f(x)＝3 ＋3x－8，用二分法求方程 3x＋3x－8＝0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间是 ( ) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定 5．(2011· 福州模拟)若函数 f(x)的零点与 g(x)＝4x＋2x－2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 f(x)可以是 ( ) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 x C．f(x)＝e －1 D．f(x)＝ln(x－0.5)
(满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．(2010· 天津)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 1 x 若实数 x0 是方程 f(x)＝0 的解， 2． (2011· 福州质检)已知函数 f(x)＝log2x－ 且 0<x1<x0， 3 ， 则 f(x1)的值 ( ) A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零 3．下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( )