辽宁省大连市高三第一次模拟考试数学文试题 Word版含答案
2022-2023学年辽宁省大连市高三(下)第一次模拟数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年辽宁省大连市高三（下）第一次模拟数学试卷1. 已知，i 为虚数单位，若为实数，则( )A.B. C. 3 D.2. 如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，则( )A.B.C.D.3. 已知随机变量，且，则( )A.B.C.D.4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为( )A.B.C.D.5. 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是( )A.B.C.D.6. 牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为( )A. B. C.D.7. 已知对于每一对正实数x ，y ，函数满足：，若，则满足的n 的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在中，若，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10. 阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为…，其中…，k，为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列说法正确的是( )A. 四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B. 若，则四棱柱在顶点A处的离散曲率为C.若四面体在点处的离散曲率为，则平面D. 若四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面的夹角为11. 定义在R上函数，则( )A. 存在唯一实数a，使函数图像关于直线对称B. 存在实数a，使函数为单调函数C. 任意实数a，函数都存在最小值D. 任意实数a，函数都存两条过原点的切线12. 已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是( )A. 当时，，使得B. 当时，，C. 当时，，使得D. 当时，，13. 若，则______ .14. 已知单位向量，的夹角为，若，则记作已知向量，，则______ .15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为______ ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______ .16. 甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么做游戏次数是______ .17. 从①②③中选择一个条件补充到题目中：①，②，③，解决下面的问题.在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，且_____.求角A；若D为边AB的中点，，求的最大值.18. 如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD翻折，使点E翻折到点证明：；若，求二面角的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值.19. 在正项数列中，，求；证明：20. 国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第…，号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续比赛；③若第…，号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.令随机变量表示n名同学在第X轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；若把比赛规则③改为：若第…，号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示n名同学在第Y轮比赛结束.求随机变量的分布列；证明：随n增大而增大，且小于21. 已知双曲线和集合，直角坐标平面内任意点，直线l：称为点N关于双曲线C的“相关直线”.若，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：；若点，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：22. 已知函数，是的导函数，且求a的值，并证明函数在处取得极值；证明：在区间有唯一零点.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，由于为实数，则，所以，故选：求出，再由为实数，能求出本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则、实数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由Venn图可知，，因为，，则，，因此，故选：分析可知，求出集合A、、，即可得集合本题考查集合的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，知，故故选：根据正态分布的定义，先求出，再结合即可得到答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：如图，连接，BD，由正方体的结构特征可知，，异面直线直线与所成的角为，为等边三角形，故选：由，得异面直线与所成的角为，由为等边三角形，即可求出异面直线与所成的角．本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：分三种情况讨论：①三人每人2本，有种不同的分法，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法，③三人中一人4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则有种不同的分法，其中甲分得4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则甲得到4本的概率是故选：分三种情况讨论即可：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本．本题考查排练组合，考查古典概型，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：设，则，，，，则，令，解得，，，则，令，解得，故选：根据牛顿迭代法的运算法则，由求出再求出，结合选项得到最佳近似解．本题考查导数运算、考查数学运算能力，正确理解题意是关键，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：函数满足：，令得，，即，令得，，，，，，……，累加得，……，……，即当时，，令得，，解得或1，又，，即满足的n的个数是1个．故选：令得，，所以，先令求出的值，再利用累加法可求出的解析式，从而求出满足的n的个数．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了累加法求和，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：记坐标系二，三象限所在半平面为半平面，①当P在y轴左侧时，为平面解析几何问题②当P在y轴上及右侧时，如图建系，则，设，，，其中，，则，，，综上所述：A，P两点间距离的取值范围是故选：分当P在y轴左侧时与P在y轴上及右侧，分别进行计算可求A，P两点间距离的取值范围．本题考查圆的几何性质，考查翻折问题，属中档题．9.【答案】BD【解析】解：，，，，，，且，，A不一定等于B，错误，A错误；，且，，即，B正确；，且不一定等于，错误，C错误；，D正确．故选：根据及二倍角的正弦公式、切化弦公式、三角函数的诱导公式即可得出，从而得出，然后可判断A错误；根据即可判断B的正误；根据可判断C错误；根据可判断D的正误．本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；对于B，若，则菱形ABCD为正方形，平面ABCD，AB，平面ABCD，，，直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；对于C，在四面体中，，，，四面体在点上的离散曲率为，解得，由题意知，，，直四棱柱为正方体，平面，平面，，，，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，故C正确；对于D，直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则，是等边三角形，设，则是与平面的所成角，，故D错误．故选：根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理和性质能求出结果．本题考查直四棱柱、四面体的结构特征、离散曲率、立体几何等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立，所以且，所以，解得，且当时，，则，所以存在唯一实数a，使函数图象关于直线对称，故A正确；对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；对于C，由于，又令，则恒成立，所以在上单调递增，且，；，，故存在唯一的零点，使得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数a，函数都存在最小值，故C正确；对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，所以切线方程为，当切线过原点时，有，整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确．故选：根据对称性先用特殊值求得a的值，即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断本题考查导数的综合应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：，又，，故A错误；设AB的中点，，，，，两式相减得，又，，，，又，得到点M的轨迹方程为：，，故B正确；联立直线与椭圆方程可得，，解得，，，故C 正确；由点差法可得点M的轨迹方程为：，，故D正确．故选：利用抛物线性质，结合每个选项计算可判断其正确性．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】【解析】解：若，所以，两边同时平方得，则故答案为：由已知结合和差距公式，二倍角公式及同角平方关系可求．本题主要考查了和差距公式，二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以，，故答案为：由数量积公式计算，再由模长公式计算本题考查了平面向量数量积和模长公式，属于中档题．15.【答案】，【解析】解：根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，由它们均过，代入可得，，解可得：，，可得桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，则右边第二个溢流孔所在方程为，则有，解可得：或即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为，故答案为：，根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得p，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求．本题考查抛物线标准方程的综合应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】略17.【答案】解：选①，由余弦定理得：，又，所以，得，因为，所以；选②，因为，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因为，所以；选③，因为，由正弦定理得：，即，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即；在中，设，由正弦定理得，所以，，其中，当时取等号，所以的最大值是【解析】选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解；在中，设，由正弦定理可得，进而得到，进而求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AD的中点O，连接OC、OE，是边长为2的等边三角形，，，翻折后有，，，，，，OP，平面POC，平面POC，，，平面POC，又平面POC，，解：由得，，二面角的平面角为，在中，，，由余弦定理得，，二面角的大小是，在平面POC内作，交PC于M，平面POC，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由得，四边形OABC为矩形，又，，则，，，，，，，，设平面PCD的一个法向量为，则，令，则，，平面PCD的一个法向量为，设直线PB与平面PCD所成角为，则，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为【解析】取AD的中点O，连接OC、OE，可得，进而可得，可证平面POC，可证结论；可求二面角的大小是，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量与直线PB的一个方向向量，可求直线PB与平面PCD 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：依题意，当时，由，可得，即，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，，，，，证明：由题意及，可得，故不等式对任意恒成立．【解析】由题意当时，由，可得，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；先将第题数列的通项公式代入题干表达式，再运用裂项相消法进行运算，最后根据不等式的性质即可证明不等式成立．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：由题设，可取值为1，2，3，，因此的分布列为：1 2 3P可取值为1，2，…，n，每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，所以时，；当时，故的分布列为：1 2 3…nP…证明：由知：，，故单调递增；由上得，故，，故【解析】由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；应用二项分布概率公式求取值1，2，⋯，n对应概率，即可得分布列；由分布列得，定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论．本题考查了独立事件乘法公式、互斥事件、二项分布和离散型随机变量的分布列，属于中档题．21.【答案】解：直线l与双曲线C相切，理由如下：联立方程组，①，，，即，代入①得，，，直线l与双曲线C相切；证明：由知，直线l与双曲线的一支有2个交点，则：，，，，，；证明：设，，设，，，则，代入双曲线C：，利用M在l上，即，整理得，，同理得关于的方程，即、是的两根，，，【解析】直线l与双曲线C相切，理由：联立直线方程和曲线C的方程消去y可得出①，然后根据得出，然后代入①，得出方程①有二重根即可；由知，然后根据直线l与曲线C的一支有2个交点可得出，然后根据可得出，而根据可得出，最后即可得出；可设，，根据题意设，根据，，得出，从而得出，然后代入双曲线方程，并根据M在l上可得出关于的方程，同理可得出关于的方程，这样即可得出、是的两根，从而得出，然后即可得出结论．本题考查了直线和双曲线相切时，联立直线方程和双曲线方程消去y，得到关于x的一元二次方程，该方程有二重根，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，点在直线或曲线上时，点的坐标满足直线或曲线的方法，考查了计算和推理能力，属于难题．22.【答案】解：，则，令，得，，，当时，，，故在单调递增；当时，令，则，在区间上，，故是上的减函数，，即在区间上，，是上的减函数，综上所述，在处取得极大值；证明：由知，，，，在区间至少有一个零点，以下讨论函数在区间上函数值的变化情况：由，令，则，令，上，解得，，①当时，在区间上，，递减，；在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，故在上，，递减，，在上，，递增，而，故在上，，当且仅当时，，故在上有唯一零点；②对任意正整数k，在区间上，，递减，，在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，在上，，，递减，在上，，，递增，，，，可得在上有唯一零点，即在上有唯一零点，综上，在区间有唯一零点．【解析】求出原函数的导函数，由可求得a，再由导数可得原函数的单调性，即可证明在处取得极值；由零点存在性定理可知在区间至少有一个零点，再分及k 为正整数讨论即可得证．本题考查导数运算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于较难题目．。
2021届辽宁省大连市高三第一次模拟数学(文)试题Word版含解析
2021届辽宁省大连市高三第一次模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得：，∴故选：C2．若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D3．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C．4．如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（）A. 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，，时，所以D选项满足要求．故选：D．5．函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6．等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前9项和是（）A. 9B. 81C. 10D. 90【答案】B【解析】设等差数列的公差是和的等比中项，，解得则数列的前项和故选7．某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，. 故选：B.8．已知首项与公比相等的等比数列中，满足（，），则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，即即故选9．过曲线上一点作曲线的切线，若该切线在轴上的截距小于0，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，切线斜率为切线方程为当时，则的取值范围是故选点睛：本题考查了导数的几何意义，运用导数先求出在切点处的切线方程，然后根据题意满足在轴上的截距小于0，从而计算出结果，本题较为简单，理清题目意思即可求解答案。
辽宁省大连市高三数学第一次模拟考试卷 文
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．球的表面积公式：24S R π=，其中S 表示球的表面积，R 表示球的半径．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B =，则y 的值为（ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e2．设复数11iz i -=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos 47cos 73︒︒-︒︒的结果等于（ ）A.21B. 33C.22D.234. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（ ）A.4B.6C.7D.12 5. 已知a b 、均为单位向量，且a b 3+=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π6. 若曲线22(1)(2)4x y -+-=上相异两点P Q 、关于直线20kx y --=对称，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线 画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 208. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为 （ ）A ．2,6πωπϕ==B ．,6πωπϕ==C ．,3πωπϕ==D ．2,3πωπϕ==9．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ） A ．—1 B ．1 C ．—2 D ．210．下列说法正确的是（ ） A ．(0,)x π∀∈，均有sin cos x x >B ．命题“R x ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<”C ．“0a =”是“函数32()f x x ax x =++为奇函数”的充要条件D ．R x ∃∈，使得5sin cos 3x x +=成立11．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ）A ．1B ．1或3C ．2D ．2或612．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ）AB ][3,)+∞ C ][5,)+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上） 13.已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C 的值为 ．14. 已知双曲线CP 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．15．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===．则这个球的表面积为 ．16．已知函数()y f x =的定义域为R ，且具有以下性质：①()()0f x f x --=；②(2)(2)f x f x +=-；③)(x f y =在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：（Ⅰ）)(x f y =的图象关于原点对称 ； （Ⅱ）)(x f y =为周期函数，且4是一个周期；（Ⅲ）)(x f y =在区间[2，4]上为减函数．所有正确命题的序号为 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分) . 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n nn na a a a ++-=．前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[] 21,7,22.3（单位：cm）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列22⨯列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？甲工艺乙工艺合计一等品非一等品合计()2P kχ≥0.05 0.01k 3.841 6.635附：()21122122121+2++1+2-=n n n n nn n n nχ，（Ⅱ）若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，求出上述甲工艺所抽取的100件产品的单件利润的平均数.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为2，D 为11A C 中点．（Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）三棱锥1B AB D -的体积．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x 轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线330x y ++=相切，过点P 直线椭圆M 相交于相异两点A 、C ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求Q 点坐标．21.（本小题满分12分）已知R m ∈，函数2()2xf x mx e =-．（Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求m 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠； （Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上．(Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲是常数，a ∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．2013年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. B ；5.B ；6. D ；7．C ；8. C ；9. A ；10．C ；11．B ；12． A ． 二.填空题15．3π；16．（Ⅱ），（Ⅲ）．三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-=，∴11n n nnn a a a a ++-=3分1为首项，1为公差的等差数列．4分6分 2n n ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯． ②9分由①-②得121=2+2++22n n n S n +--⨯．∴1=(1)22n n S n +-+． 12分 法二：令212n n n b n c c +==-，令()2nn c An B =+，∴11()2()22n n nn n n b c c An A B An B n ++=-=++-+=．∴12A B ==-，． 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+． 12分18．解：（Ⅰ）22⨯列联表如下3分6分所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关． 8分（Ⅱ）甲工艺抽取的100件产品中，一等品有50件，二等品有30件，三等品有20件， 10分所以这100件产品单件利润的平均数为12分19．解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）如图，连结A1B 与AB1交于E ，连结DE ，则E 为A1B 的中点，∴BC1∥DE ， DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D , ∴1BC ∥平面1AB D ．6分（Ⅱ）过点D 作11DH A B ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -，∴1111AA A B C ⊥平面，1AA DH ⊥，1111AA A B A =，∴DH ⊥平面11ABB A ．DH 为三棱锥1D ABB -的高8分1122AB BB =10分12分 20.解：（Ⅰ）设以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ，∴1||NF a=，∵，∴2a c =，1||2F P a =． 3分∴2(,0)F c 是以1PF 为直径的圆的圆心，∴椭圆M 的方程为： 5分（Ⅱ）法一： 设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得8分 直线BC 的方程为：令0y =，则∴Q 点坐标为12分法二： 设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线方程为3x my =+．得22(34)18150m y my +++=，11 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得 122153y m =+8分 直线BC 的方程为：令0y =，则21534=m m +∴Q 点坐标为 12分21. 解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-． 令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， 2分当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '<∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤． ∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． 4分（Ⅱ）①若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴ 6分 当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，12 有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞． （注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增）． 12分 解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根． ∵()2()x h x m e '=-， 当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =， 当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '< ∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根 ∴m 的取值范围是(,)e +∞．8分22．解：（Ⅰ）证明,AC BD ABC BCD =∴∠=∠． 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ 7分 ∴△BEC ∽△CBD ，∴，∴BC =3． 10分23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ， 曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =， )0,2(到该直线距离为5分（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． 7分13 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得 θ不妨取锐角10分24．解：∴0)(≥x f 的解为． 5分 （Ⅱ）由0)(=x f得 7分作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． 10分。
2020年大连高三第一次模拟考试数学文科试卷答案
2
2
所以 f (x) 的单调递增区间是[k − , k + ](k Z ) ．.. ................6 分
4
4
（Ⅱ）由 f ( B) = 2sin B −1 = 0 ，可得 sin B = 1 ，..... ............... ........8 分
2
2
由题意知 B 为锐角， B = ，. .............. ............... .......10 分 3
，所以 p = 3 ...... .......... .............. ........ ...................6 分 10
（Ⅱ）由已知可知，不超过 4 小时的人数为：50×0.05×2=5 人，..................7 分 其中女生有 3 人，所以男生有 2 人，因此经常锻炼的女生有 50×40％-3=17 人， 男生有 30-2=28 人...... .......... .............. ........ ...............8 分 所以 2×2 列联表为：
男生
女生
小计
经常锻炼
28
17
45
不经常锻炼
2
3
5
小计
30
20
50
..... .......... .............. ........ .. ...........................10 分
所以
.. ...........................11 分
所以没有 90％的把握说明， 经常锻炼与否与性别有关. ........................12 分
辽宁省大连高三第一次模拟考试 数学(文科)试题有答案
大连市高三第一次模拟考试数学(文科)能力测试第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、集合{|13}A x x =-<<，集合{|12}B x x =-<<，则A B =A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3 D ．()1,3-2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，12z i =+，则2z =A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i -- 3、已知向量(2,1),(0,1)a b =-=，则2a b +=A．．2 D ．4 4、已知函数()5log ,02,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f =A ．4B ．14C ．4-D ．14- 5、某集团为了解新产品的销售情况，销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x (元)与销售量y (万件)的统计资料如下表所示：已知销售量y (万件)与价格x (元)之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：ˆˆ40ybx =+，若该集团将产品定价为10.2元，预测该批发市场的日销售量约为 A ．7.66万件 B ．7.86万件 C ．8.06万件 D ．7.36万件 6、已知tan 2,αα=为第一象限角，则sin 2cos αα+的值为 A7、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段CD 中点，则三棱锥11P A B A -的左视图为8、将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移12π个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A．12 C ．12- D．-9、执行如图所示的程序框图，如果输入110011a =，则输出的结果是 A ．51 B ．49 C ．47 D ．4510、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，以F 为 圆心和双曲线C 的渐近线相切与双曲线C 在第一象限的交点为M ， 且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为 A．2BD ．2 11、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，满足 cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12、已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，且在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式1(ln )(ln()(1)2f x f xf -<的解集为A ．1(0,)e B ．(0,)e C ．1(,)e eD ．(,)e +∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
辽宁省大连市2024届高三下学期第一次模拟考试 数学含答案
2024年大连市高三第一次模拟考试数学（答案在最后）命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4， B.{16}，C.{3}5，D.{1}2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m > B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D .若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种6.若π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.17.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D .复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f= D.1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．2024年大连市高三第一次模拟考试数学命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4，B.{16}，C.{3}5，D.{1}【答案】C 【解析】【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值 D.x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m >B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠【答案】D 【解析】【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D.若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B 【解析】【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6.若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.1【答案】A 【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得()225cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞【答案】C 【解析】【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x x f x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe exxg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sin πe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a =====+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ===，所以==ce a.故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D.复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D .【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππcos isin i 1i 4422z ⎫⎫=-=-=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD .10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得062x -≤≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f = D.1x =是()f x 的极小值点【答案】ACD【解析】【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f =∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．【答案】0【解析】【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．【答案】①.24π②.[]π,6π【解析】【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r ====（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________【答案】【解析】【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫==⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出AP AD 的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）14AP AD =，作图见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【小问1详解】在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；【小问2详解】FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,,1,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-===- ⎝ ，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m = ，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,,5542cos ,22n m n m n m ⎛⋅- ⋅==-⋅ ，所以平面与BCEF 与平面FGH成角的余弦值为22；【小问3详解】如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．【答案】（1）1a ≥-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x x x x x ->，1x >，再构造函数得到e e x x >，得到()()e 1e 1x x x x ->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【小问1详解】由已知得，1ln a x x -≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x -=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；【小问2详解】法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x x x x x->，设()()e e ,e e x x h x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e 1x x x x ->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x ->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1x x x >-成立．即证11ln e x x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e 2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．【答案】（1）335（2）分布列见解析，()275E X =（3）()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【小问1详解】设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；【小问2详解】X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X 3456P 1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r ，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．【答案】（1）24y x =-（2）（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【解析】【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【小问1详解】设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+=uuu r uuu r，()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++∴-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；【小问2详解】（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛-⎝（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，02,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()22200001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+-点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()001200208401x a y k k y y y-+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．【答案】（1）0，1，1（2）不会，理由见解析（3）507【解析】【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【小问1详解】由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.【小问2详解】数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；【小问3详解】数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
辽宁省大连市数学高三上学期文数一模试卷
辽宁省大连市数学高三上学期文数一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，函数的定义域为集合B，则（）A . {1,2,3}B . {2,3}C . (1,3]D . [1,3]2. （2分） (2020高二下·吉林月考) 复数等于（）A .B .C .D .3. （2分）设，则（）A .B .C .D .4. （2分）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出四个命题①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；其中真命题的个数是（）．A . 3B . 2C . 1D . 05. （2分）(2016·上饶模拟) 已知定义在[﹣， ]的函数f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）仅有一个零点，则实数a的取值范围是（）A . （，2]B . （﹣∞，）∪[2，+∞）C . [﹣，）D . （﹣∞，﹣]∪（，+∞）6. （2分） (2019高一上·项城月考) 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·衡水期中) 已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A . 有最大值eB . 有最大值C . 有最小值eD . 有最小值8. （2分）(2016·江西模拟) 设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）﹣log2x]=6．若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且，则a=（）A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分）已知函数，若对于任意的，，函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则实数t的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·湖北模拟) 已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）若函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，又f（2）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A . （﹣2，2）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，2）C . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D . （﹣2，0]∪（2，+∞）12. （2分）曲线y=cosx（）与两坐标轴所围成的图形的面积为（）A . 4B . 2C .D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·东莞期末) 函数在处的切线方程为________.14. （1分） (2019高一上·南海月考) 计算： ________；15. （1分） (2016高一上·澄海期中) 函数f（x）=x2﹣2x+b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．16. （1分）关于x的方程x3﹣3x2﹣a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共7题；共40分)17. （5分）(2018·徐州模拟) 在中，角，，所对的边分别为，，，且 ,.（1）求的值；（2）若，求的面积.18. （5分） (2019高三上·霍邱月考) 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．19. （5分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，点M在线段EF上．（I）求证：BC⊥平面ACFE；（II）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．20. （5分） (2018高三上·云南期末) 已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若，是椭圆上两个不同的动点，且使的角平分线垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21. （5分） (2020高二下·上海期末) 已知函数的定义域为D，值域为A，其中．（1）若D关于原点对称，求实数a的取值范围；（2）试判断1是否在集合内，并说明理由；（3）是否存在实数，使得对任意，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．22. （5分）(2018·安徽模拟) 在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。
辽宁省大连市数学高三文数第一次模拟考试试卷
辽宁省大连市数学高三文数第一次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={1,2,3}，，则为（）.A .B . {1}C . {2}D . {1,2}2. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知复数z1=3+4i，z2=t﹣i，且z1• 是实数，则实数t=（）A .B .C . ﹣D . ﹣3. （2分）设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-1)=（）A . -3B . -1C . 1D . 34. （2分）设函数。
若，则的最大值为（）A .B . 6C . 7D . 105. （2分） (2016高二下·宜春期末) 已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，，，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）在面积为9的正方形ABCD内部随机取一点P，则能使的面积大于3的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·海南模拟) 已知数列为等比数列，，数列的前项和为，则等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·海南期中) 某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5，57，则判断框内应为（）A . k≤6？B . k≤5？C . k＞5？D . k＞4？9. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·广东期末) 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·邵东期末) 函数图象的一条对称轴方程可以为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·江北期中) 圆x2+（y﹣1）2=1被直线x+y=0分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A . 1：1B . 2：1C . 3：1D . 4：1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·重庆模拟) 若，则 =________.14. （1分） (2016高一下·徐州期末) 在等差数列{an}中，a1=1，a4=7，则{an}的前4项和S4=________．15. （1分）(2017·漳州模拟) 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是________．16. （1分）若一个球的表面积为36π，则它的体积为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且• =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．18. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．19. （10分）某学校为了制定治理学校门口上学，放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查，得到了如下的列联表（单位：人）同一限定区域停车不同一限定区域停车合计男5女10合计50已知在抽取的50分调查问卷中速记抽取一份，抽到不同意限定区域停车问卷的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握恩威是否同意限定区域停车与家长的性别有关？请说明理由．附临界表及参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2= ，其中n=a+b+c+d．20. （10分） (2019高二上·台州期末) 如图，已知椭圆：的左右顶点分别为A，B，过点的直线与椭圆交于C，D两点异于A，，直线AC与BD交于点P，直线AD与BC交于点Q．Ⅰ 设直线CA的斜率为，直线CB的斜率为，求的值；Ⅱ 证明：直线PQ为定直线，并求该定直线的方程；Ⅲ 求面积的最小值．21. （10分）(2017·山南模拟) 已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2019高二下·凤城月考) 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．23. （10分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
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大连市2017年高三第一次模拟考试数学（文科）能力测试 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12z i =+，则z =（ ）A ． 12i -B ．54i +C ． 1D ．2 2.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+<，{|1}B x x =>，则AB =（ ）A ．{|3}x x >B ．{|1}x x >C ．{|13}x x -<<D ．{|13}x x <<3. 设,a b 均为实数，则“a b >”是“33a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4.直线430x y -=与圆22(1)(3)10x y -+-=相交所得弦长为（ ） A ． 6 B ．3 C.．5.下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α外的直线a 不平行于平面α内不存在与a 平行的直线B ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么直线l ⊥平面γC.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D ．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交 6. 已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，15a =-，则126||||||a a a +++=（ ）A ． 30B ． 18 C. 15 D ．97. 在平面内的动点(,)x y 满足不等式30100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ． 6B ．4 C. 2 D ．08.函数xe y x=的图象大致是（ ）A ．B ． C.D ．9. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ． 4B ．73 C. 43 D ．8310. 运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）A ．118 B ．54 C. 32 D ．231611. 若方程2sin(2)6x m π+=在[0,]2x π∈上有两个不相等实根，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．[0,2] C. [1,2) D ．[1 12. 已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式12()(0)()(1)f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C. 1(,1)2D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为 ． 14. 已知函数()sin x f x e x =，则'(0)f = ．15. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ．16. 我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点P ，(cos ,sin )Q x x ，O 为坐标原点，函数()f x OP QP =∙. （1）求函数()f x 的最小值及此时x 的值；（2）若A 为ABC ∆的内角，()4f A =，3BC =，ABC ∆的面积为4，求ABC ∆的周长.18. 某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AD AP ==，AB =E 为棱PD 中点.（1）求证：PD ⊥平面ABE ；（2）求四棱锥P ABCD -外接球的体积. 20. 已知函数()ln f x ax x =-.（1）过原点O 作函数()f x 图象的切线，求切点的横坐标；（2）对[1,)x ∀∈+∞，不等式2()(2)f x a x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21. 已知椭圆Q ：2221(1)x y a a+=>，12,F F 分别是其左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与椭圆Q 有且仅有两个交点. （1）求椭圆Q 的方程；（2）设过点1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是1[,0)4-，求||AB 的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为151x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()|||2|f x x a x b =++-的最小值为1. （1）求证：22a b +=；（2）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.2017年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准一．选择题（1）A ；（2）D ；（3）C ； （4）A ；（5）C ；（6）B ；（7）A ；（8）B ；（9）D ；（10) B ； （11）C ； （12）D ． 二.填空题（13）95； （14）1； 16．128. 三.解答题 （17）解：（I ）∵(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--，∴()31sin 42sin()3f x x x x π=+-=-+，∴当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值2．(2) ∵()=4f A ，∴23A =π， 又∵3BC =，∴22222cos 3a b c bc =+-π，∴29()b c bc =+-．1sin 24ABC S bc A ∆==，∴3bc =．∴b c +=3+.(18)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大.（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为,,,A B C D ，评分不小于90分的人数为2，记为,a b ，从6人人任取2人，基本事件空间为{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ω=(),(),(),(),()}Ca Cb Da Db ab ，共有15个元素. 其中把“两名用户评分都小于90分”记作M ，则M ={(),(),(),(),(),()}AB AC AD BC BD CD ，共有6个元素.所以两名用户评分都小于90分的概率为62155=. (19)解：(I)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ， ∴PA AB ⊥，又∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，PAAD A =，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AB PD ⊥，AD AP =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥，AEAB A =，AE ⊂平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，∴PD ⊥平面ABE .(II)法一：四棱锥P ABCD -外接球球心在线段BD 和线段PA 的垂直平分线交点O ，由已知BD ==设C 为BD 中点，∴112AM OM AP ===，∴3OA =，∴四棱锥P ABCD -外接球是34363AM =ππ．法二：四棱锥P ABCD -外接球和过,,,,P A B C D 的长方体外接球相同， 球心在对角线的中点6， ∴球的半径为3，∴四棱锥P ABCD -外接球是34363AM =ππ． (20)解：（Ⅰ）设切点为0x M （，))(0x f ，直线的切线方程为)()(00x x k x f y -=-，x a x f 1)(-=' ，001)(x a x f k -='=∴， 即直线的切线方程为))(1(ln 0000x x x a x ax y --=+-， 又切线过原点O ,所以1ln 000+-=+-ax x ax ， 由1ln 0=x ，解得e x =0，所以切点的横坐标为e .（Ⅱ）方法一：∵不等式)2(ln 2x x a x ax -≥-对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.设x ax ax x g ln )(2--=，1[∈x ，)∞+，xa ax x g 12)(--='. ①当0≤a 时，01)12()(<--='xx a x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递减， 即0)1()(=≤g x g ，0≤∴a 不符合题意.②当0>a 时，x ax ax x g 12)(2--='.设18)41(212)(22---=--=ax a ax ax x h ，在1[，)∞+上单调递增，即()(1)1h x h a ≥=-.（ⅰ）当1≥a 时，由0)(≥x h ，得0)(≥'x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递增，即0)1()(=≥g x g ，1≥∴a 符合题意；（ii ）当10<<a 时，01<-a ，1[0∈∃∴x ，)∞+使得0)(0=x h ， 则)(x g 在1[，)0x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，0)1()(0=<∴g x g ，则10<<a 不合题意.综上所述，1a ≥.（Ⅱ）方法二：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.当0a ≤时，2ln 0ax ax x --≤；当01a <<时，2ln g x ax ax x --（）=，3ln30g a -≥（）=6不恒成立；同理x 取其他值不恒成立. 当=1x 时，2ln 0ax ax x --≥恒成立； 当1x >时，2ln x x a x≥-，证明2ln 1x x x x ≤-≥（）恒成立. 设2ln g x x x x =-+（），1[∈x ，)∞+，212+0x x g x x-'=≤（）.∴g x （）在1[∈x ，)∞+为减函数． 1g x g ≤（）（）=0，∴1a ≥.（Ⅱ）方法三：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立, ∴等价于2ln a x x x -≥（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立. 设212=ln y a x x y x =-（）,，当0a ≤时，12y y ≤；∴0a >，函数1y 过点（0,0）和（1,0），函数2y 过点（1.0），12y y ≥在1x ≥恒成立，一定存在一条过点（1,0）的直线和函数1y 、2y 都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线2y 相切和函数1y 相交，但交点横坐标小于1，当都相切时1212=1y ax a a y x''=-==,． 33ln3g a a --（）=9不大于等于0. ∴1a ≥.(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） 由题意可知1c b ==，∴a =2212x y +=. (Ⅱ) 设直线l 方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ，∴22121222422(),1212k k x x x x k k-+=-⋅=++. ∴2012002212(),(1)21212k kx x x y k x k k =+=-=+=++ ∴AB 的垂直平分线方程为001()y y x x k -=--， 令0y =，得00211242P x x ky k =+=-++∵1[,0)4P x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤．21|||AB x x =-=2112[+]22(21)k =≥+，min ||2AB =． (22)（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（Ⅱ）),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++，:230l x y +-=．M 到l 的距离|sin()|54d πα==+，(23)解：（Ⅰ）法一：()|||2|=||||||22b bf x x a x b x a x x =++-++-+-，∵|||||()()|222b b b x a x x a x a ++-≥+--=+且||02bx -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2ba +，∴12ba +=，22ab +=.法二：∵2b a -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b-∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为()22b bf a =+， ∴12ba +=，22a b +=. （Ⅱ）方法一：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a ba b ab b a b a b a +=+=++=+++19(1422≥++= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92. 方法二：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a bt ab+≥恒成立， 212a b t ab b a+≤=+恒成立，21214(12)9222b a b a b a ++=+≥=+ ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92. 方法三：∵2a b tab +≥恒成立，∴2(2)(2)a a ta a +-≥-恒成立， ∴22(32)40ta t a -++≥恒成立， ∴2(32)3260t +-≤，∴1922t≤≤，实数t的最大值为92.2017年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（1）A ；（2）D ；（3）C ； （4）A ；（5）C ；（6）B ；（7）A ； （8）B ；（9）D ；（10) B ； （11）C ； （12）D ． 二.填空题（13）95； （14）1； 16．128. 三.解答题（17）(本小题满分12分)解：（I ）∵(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--，3分∴()31sin 42sin()3f x x x x π=+-=-+， ········ 5分∴当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最小值2． ········· 6分(2) ∵()=4f A ，∴23A =π， 7分 又∵3BC =，∴22222cos 3a b c bc =+-π，∴29()b c bc =+-． 9分1sin 24ABC S bc A ∆==，∴3bc =． 10分∴b c +=3+ 12分(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：12分………………………………………………………………………………………4分由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. ……………………………………6分（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为,,,A B C D，评分不小于90分的人数为2，记为,a b，从6人人任取2人，基本事件空间为{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CDΩ=(),(),(),(),()}Ca Cb Da Db ab，共有15个元素. …………………………………8分其中把“两名用户评分都小于90分”记作M，则M={(),(),(),(),(),()}AB AC AD BC BD CD，共有6个元素. …………10分所以两名用户评分都小于90分的概率为62155=.………………………………12分(19)(本小题满分12分)解：(I)证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面 ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE. …………………………………6分(II)法一：四棱锥P-ABCD外接球球心在线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，…8分由已知BD==9分设C为BD中点，∴112AM OM AP===，C∴3OA =，………………………………………11分∴四棱锥P-ABCD 外接球是34363AM =ππ． ············ 12分 法二：四棱锥P-ABCD 外接球和过P 、A 、B 、C 、D 的长方体外接球相同，……8分 球心在对角线的中点………………………………………………………………9分6=，…………………10分 ∴球的半径为3，…………………………………………………………………11分 ∴四棱锥P-ABCD 外接球是34363AM =ππ． ············ 12分(20) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设切点为0x M （，))(0x f ，直线的切线方程为)()(00x x k x f y -=-，x a x f 1)(-=' ，001)(x a x f k -='=∴， ……………………………2分 即直线的切线方程为))(1(ln 0000x x x a x ax y --=+-， 又切线过原点O ,所以1ln 000+-=+-ax x ax ，由1ln 0=x ，解得e x =0，所以切点的横坐标为e .……………………4分 （Ⅱ）方法一：∵不等式)2(ln 2x x a x ax -≥-对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.设xax ax x g ln )(2--=，1[∈x ，)∞+，xa ax x g 12)(--='.……………………………………………………5分 ①当0≤a 时，01)12()(<--='x x a x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递减，即0)1()(=≤g x g ，0≤∴a 不符合题意. …………………7分②当0>a 时，x ax ax x g 12)(2--='.设18)41(212)(22---=--=ax a ax ax x h ，在1[，)∞+上单调递增，即()(1)1h x h a ≥=-. ……………9分（i ）当1≥a 时，由0)(≥x h ，得0)(≥'x g ，)(x g ∴在1[，)∞+上单调递增，即0)1()(=≥g x g ，1≥∴a 符合题意； …………………10分（ii ）当10<<a 时，01<-a ，1[0∈∃∴x ，)∞+使得0)(0=x h ， 则)(x g 在1[，)0x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，0)1()(0=<∴g x g ，则10<<a 不合题意. …………………11分综上所述，1a ≥. ………………………12分（Ⅱ）方法二：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴2ln 0ax ax x --≥对1[∈∀x ，)∞+恒成立.当0a ≤时，2ln 0ax ax x --≤；当01a <<时，2ln g x ax ax x --（）=，3ln30g a -≥（）=6不恒成立；同理x 取其他值不恒成立.……………………6分 当=1x 时，2ln 0ax ax x --≥恒成立； 当1x >时，2ln x x a x≥-，证明2ln 1x x x x ≤-≥（）恒成立. ………………10分 设2ln g x x x x =-+（），1[∈x ，)∞+，212+0x x g x x-'=≤（）.∴g x （）在1[∈x ，)∞+为减函数．…………………11分 1g x g ≤（）（）=0，∴1a ≥.…………………………………………………………12分（Ⅱ）方法三：∵不等式2ln 2ax x a x x -≥-（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立,∴等价于2ln a x x x -≥（）对1[∈∀x ，)∞+恒成立. …………………………5分 设212=ln y a x x y x =-（）,，当0a ≤时，12y y ≤；∴0a >，………………6分 函数1y 过点（0,0）和（1,0），函数2y 过点（1.0），12y y ≥在1x ≥恒成立， 一定存在一条过点（1,0）的直线和函数1y 、2y 都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线2y 相切和函数1y 相交，但交点横坐标小于1，………………………10分当都相切时1212=1y ax a a y x''=-==,． …………………………………11分33ln3g a a --（）=9不大于等于0. …………………………………………6分 ∴1a ≥.……………………………………………………………………………12分(21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 由题意可知1c b ==，…………………………………………………2分∴a =2212x y +=.……………………………………4分 (Ⅱ) 设直线l 方程为(1)(y k x k =+≠，代入2212x y +=有2222(12)4220k x k x k +++-=， …………………………………………5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)N x y ， ∴22121222422(),1212k k x x x x k k-+=-⋅=++.………………………………………6分 ∴2012002212(),(1)21212k k x x x y k x k k=+=-=+=++………………………7分 ∴AB 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--， 令0y =，得00211242P x x ky k =+=-++………………………………………9分 ∵1[,0)4P x ∈-，∴21114242k -≤-++，∴2102k <≤．……………………10分21|||AB x x =-=2112[+]22(21)k =≥+，min ||2AB =12分 ．(22)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由221:40,C x y x +-=………………………………………2分 :230l x y +-=. ……………………………………………………5分（Ⅱ）),4P π直角坐标为(2,2)，…………………………………6分1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++，:230l x y +-=．……8分 M 到l的距离|sin()|4d πα==+，…9分………………………………………10分 (23)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）法一：()|||2|=||||||22b b f x x a x bx a x x =++-++-+-， ……2分∵|||||()()|222b b b x a x x a x a ++-≥+--=+且||02b x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +，……4分∴12b a +=，22a b +=. …………5分 法二：∵2b a -<，∴3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，3分 显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b +∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()22b b f a =+， ………4分 ∴12b a +=，22a b +=. …………………5分（Ⅱ）方法一：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立，……………7分212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a+=+=++=+++19(1422≥++= …………………………………………9分当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，∴92t ≥，即实数t 的最大值为92.………………………………………10分 方法二：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab+≥恒成立，……………7分212a b t ab b a +≤=+恒成立， 21214(12)9222b a b a b a ++=+≥=+…………………………………………9分 ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92.………………………………………10分 方法三：∵2a b tab +≥恒成立，∴2(2)(2)a a ta a +-≥-恒成立，………7分 ∴22(32)40ta t a -++≥恒成立，∴2(32)3260t +-≤，…………………………………………………9分 ∴1922t ≤≤，实数t 的最大值为92.…………………………………10分。