九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习1 (新版)新人教版
人教版九年级上第21章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(有答案)
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系【目标导航】1、经历从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系2、掌握一元二次方程根与系数的关系式3、能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根4、会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差【知识链接】法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有一种非常密切的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。
用于求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等都很方便。
【珍宝探寻】珍宝 一．一元二次方程根与系数的关系1． 设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=ca； 解析：（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1x 2∴x 1+x 2=2b b a -+-ba ，x 1·x 2=2b a -+·2b a --=ca即 这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。
2.使用一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数的关系时需注意：(1)先把方程化为一般形式，并要注意隐含条件a ≠0； (2)应用时一定要记住根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0这个前提条件； (3)写 时不要弄错符号. 【营养快餐】快餐 一 经典基础题例1：若1x ，2x 是一元二次方程0322=--x x 的两个根，则21x x 的值是（ ） A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3 分析：由有根与系数的关系12cx x a=＝－3。
解：因为0322=--x x ，中a ＝1，c ＝－3，所以12-31x x =＝－3 故选B点拨：本题利用两根之积与系数的关系.例2．1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+分析：由根与系数的关系可建立关于1x 和2x 的方程组12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，再把所求式子用它们表示出来，代入化简即得解：由一元二次方程根与系数的关系，得12123252x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩g ，进而（1）2221x x +＝212212)(x x x x -+＝417（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝213（3）原式＝)32()(2222221x x x x -++＝5417+＝4112点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、恒等式的变形等知识。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(含答案)-2021-2022学年九年级数学上册(人教版)
2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系分点训练知识点1利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1. 设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则α·β的值是( )A. 2B. 1C. －2D. －12. 下列方程两个实数根之和等于两个实数根之积的是( )A. x2－2x－2＝0B. x2＋x＋1＝0C. x2＋x－1＝0D. x2＋5x＋5＝03. 已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝.4. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积：(1)x2－9x－16＝0；(2)3x2－2＝2x；(3)3x(x－2)＝5.5. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个根.求(1)(x1－3)(x2－3)；(2)(x1－x2)2.知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0的两个不相等的实数根x1，x2满足x1x2－2x1－2x2－5＝0，那么a的值为( )A. 3B. －3C. 13D. －137. 关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是.8. 关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是23，求另一个根及m的值.9. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1，x2且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.强化提升10. 一元二次方程x2－5x－4＝0的两根为x1，x2，则下列正确的是( )A. x1＝－1，x2＝4B. x1＝1，x2＝－4C. x1＋x2＝5D. x1x2＝411. 定义运算：a ★b ＝a (1－b )，若a ，b 是方程x 2－x ＋m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 与m 有关12. 若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋b a的值是( ) A. 3 B. －3 C. 5 D. －513. 求下列方程两个根的和与积：(1)3x 2－5x ＝－2；(2)(x ＋1)(x ＋3)－6x ＝4.14. 已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)当21x ＋22x ＝6x 1x 2时，求m 的值.15. 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值.参考答案1. D 【解析】∵α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，∴α·β＝－1．2. C 【解析】选项A ，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2，方程两个实数根之和不等于两个实数根之积，此选项错误；选项B ，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝1，方程两个实数根之和不等于两个实数根之积，此选项错误；选项C ，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－1，方程两个实数根之和等于两个实数根之积，此选项正确；选项D ，x 1＋x 2＝－5，x 1x 2＝5，方程两个实数根之和不等于两个实数根之积，此选项错误.3.214 【解析】由根与系数的关系可得，m ＋n ＝52，m ·n ＝12，m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2m ·n ＝(52)2－2×12＝214. 4. 解：(1)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－16.(2)方程可化为3x 2－2x －2＝0，x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23. (3)方程可化为3x 2－6x －5＝0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－53. 5. 解：(1)★x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，★(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝1－3×4＋9＝－2.(2)(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝42－4×1＝12.6. B 【解析】由根与系数的关系可得，x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝a ，∴x 1x 2－2x 1－2x 2－5＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)－5＝a ＋8－5＝0，∴a ＝－3.7. m ＞12 【解析】设x 1，x 2为方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两个实数根，由已知得120•0x x ∆⎧⎨⎩＞，＜， 即80210m m -+⎧⎨⎩＞，＜， 解得m ＞12． 8. 解：设方程的另一个根是x 1，由一元二次方程根与系数的关系，得112332833m x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝－，①＝－，② 由★得x 1＝－4，代入★，得23＋(－4)＝－3m ，解得m ＝10，所以方程的另一个根是－4，m 的值是10. 9. 解：依题意得：x 1＋x 2＝4，又x 1＝3x 2，★x 1＝3，x 2＝1，把x 2＝1代入原方程得k ＝6.10. C 【解析】∵一元二次方程x 2－5x －4＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－4.11. A 【解析】由根与系数的关系可找出a ＋b ＝1，根据新运算找出b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )，将其中的1替换成a ＋b ，即可得出结论12. D 【解析】★a ，b 为方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根，★a ＋b ＝3，ab ＝p ，★a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝32－3p ＝18，★p ＝－3．当p ＝－3时，★＝(－3)2－4p ＝9＋12＝21＞0，★p ＝－3符合题意．ab ＋b a ＝22a b ab +＝222a b ab ab +-＝2()a b ab +－2＝－5. 13. 解：(1)方程化为3x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝23. (2)方程化为x 2－2x －1＝0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－1.14. 解：(1)★原方程有两个实数根，★Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，即4－4m ＋4≥0，★m ≤2.(2)★21x ＋22x ＝6x 1x 2，★(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6x 1x 2，即(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝0. ★x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1，★22－8(m －1)＝0，即4－8m ＋8＝0，★m ＝32. ★m ＝32＜2，★m 的值为32. 15. 解：设方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0的两个实数根为x 1，x 2，★x 1＋x 2＝2(2－m )，x 1x 2＝m 2＋4. ★这两根的平方和比两根的积大21，★21x ＋22x －x 1x 2＝21，即(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝21，★4(m －2)2－3(m 2＋4)＝21，m 2－16m －17＝0，解得m ＝17或m ＝－1. ★Δ＝4(m －2)2－4(m 2＋4)≥0，解得m ≤0.故m ＝17舍去，★m ＝－1.。
初中-数学-人教版-21.2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习(一)
21.2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习（一）一、单选题1、一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2为（ ）A. -2B. 1C. 2D. 02、若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有一个解为x =-1，则另一个解为（ ）A. 1B. -3C. 3D. 43、已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两个实数根，下列结论错误的是（ ）A. 12x x ≠B. 21120x x -=C. 122x x +=D. 122x x ⋅= 4、已知α，β是一元二次方程x 2+x -2=0的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ）A. 3B. 1C. -1D. -35、已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，则另一个根为（ ）A. 5B. -1C. 2D. -56、若α，β是方程2x 2x 20180+-=的两个实数根，则2α3αβ++的值为（ ）A. 2015B. 2016-C. 2016D. 20197、若2x 2-4x +c =0的一个根，则c 的值是（ ）A. 1B. 3C.D. 8、若a ≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 1 C. .4D. 3 9、关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A. 0或2B. -2或2C. -2D. 210、关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）A. -1或5B. 1C. 5D. -1二、填空题11、一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ，2x ，则2111242x x x x -+的值为______．12、已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为______．13、设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为______．14、关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12-x1x2+x22的值是______．15、如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2015=______．三、解答题16、已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m的值为多少？答案第1页，共6页参考答案1、【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】∵一元二次方程x 2-2x =0的两根分别为x 1和x 2，∵x 1x 2=0．选D ．2、【答案】C【分析】设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于-b a，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：-1+x 1=2，解得：x 1=3，选C ．3、【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行提示即可．【解答】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x =0的两个实数根，这里a =1，b =-2，c =0，b 2-4ac =（-2）2-4×1×0=4＞0，∵方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意； 21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120c x x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 选D ． 4、【答案】B【分析】根据根与系数的关系得α+β=-1，αβ=-2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【解答】∵α，β是方程x 2+x -2=0的两个实数根，∵α+β=-1，αβ=-2，∵α+β-αβ=-1-（-2）=-1+2=1，选B ．5、【答案】B【分析】根据关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】∵关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为-2，设另一个根为m ，∵-2+m =−31， 解得，m =-1，选B ．6、【答案】C【分析】根据方程的解得概念可得222018αα+=，由根与系数的关系可得2αβ+=-，再代入2232ααβαααβ++=+++即可得出结论．【解答】αβ，是方程2220180x x +-=的两个实数根，2220180αα∴+-=，即2220182αααβ+=+=-，，则2232201822016ααβαααβ++=+++=-=．选C ．7、【答案】A【分析】把2x 2-4x +c =0就得到关于c 的方程，就可以解得c 的值．【解答】把2x 2-4x +c =0，得（22-4（2+c =0，解得：c =1． 选A ．8、【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++== ∴22111111444a b a b a b ab++=+=++ 又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a ，b 看做是方程2410x x -+=的两个根 ∴a +b =4，ab =1 ∴4=144a b ab +=⨯1故答案为B ．9、【答案】D答案第3页，共6页 【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－，利用根与系数的关系，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意．【解答】解：由根与系数的关系，得：12x x +＝k -1，122x x k +＝－，由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，∴，()2142(2)3k k ----+=-，化简，得：24k =，解得：k ＝±2，∵关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，∴，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝-2不符合，∴，k ＝2选：D ．10、【答案】D【分析】设方程的两根为1x 、2x ，根据根与系数的关系得到12x x a +=，122x x a ⋅=，由于22125x x =+，变形得到()2121225x x x x +-⋅=，则2450a a --=，然后解方程，满足0≥的a 的值为所求．【解答】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=，∴2450a a --=，∴15a =，21a =-，280a a =-≥，∴1a =-．选：D ．11、【答案】2【分析】根据一元二次方程根的意义可得2114x x -+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x =2，把相关数值代入所求的代数式即可得．【解答】由题意得：2114x x -+2=0，12x x =2，∴2114x x -=-2，122x x =4，∴2111242x x x x -+=-2+4=2，故答案为：2．12、【答案】1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】设x +1=t ，方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2+bt +1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：113、【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解答】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．14、【答案】4【分析】根据根与系数的关系结合x 1+x 2=x 1•x 2可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，从而可确定k 的值．【解答】∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2-k，∵x12+x22=4，∴（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）2-2（k2-k）=4，2k2+2k-4=0，k2+k-2=0，k=-2或1，∵△=（-2k）2-4×1×（k2-k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2-k=0，∴x12-x1x2+x22=4-0=4，故答案为：4．15、【答案】2026【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【解答】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，∴m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021=2+3+2021=2026．16、【答案】（1）k≤58；（2）k=-1．【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方答案第5页，共6页程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2+k-1=0有实数根，∴△≥0，即[-（2k-1）]2-4×1×（k2+k-1）=-8k+5≥0，解得k≤58；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1，x1x2=k2+k-1，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2+k-1）=2k2-6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2-6k+3=11，解得k=4，或k=-1，∵k≤58，∴k=4（舍去），∴k=-1．17、【答案】（1）34m≥-；（2）m的值为3．【分析】（1）根据△≥0即可求解，（2）化简11αβ+，利用根与系数的关系求出α+β，αβ，代入解方程即可．【解答】解：（1）由题意知，（2m+3）2-4×1×m2≥0，解得：m≥-34；（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2m+3），αβ=m2，∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1，∴2m3 m2+﹣（）=-1，整理得m2-2m-3=0解得：m1=-1，m1=3，由（1）知m≥-34，∴m1=-1应舍去，∴m的值为3．。
九年级数学上册21.2.4+一元二次方程的根与系数的关系同步测试+新人教版
一元二次方程的根与系数的关系■A且础逃标 *1已知X i, X2是一元二次方程x2— 2x= 0的两根，贝U X1 + X2的值是（B ）A . 0 B. 2 C. - 2 D . 42. [2013 湘潭]一元二次方程x2 + x— 2= 0 的解为Xi, X2,则Xi - X2= （ D ）A. 1B. - 1C. 2D. — 23. [2013包头]已知方程x2— 2x— 1= 0,则此方程（C ）A. 无实数根B. 两根之和为一2C. 两根之积为—1D. 有一根为一1 +艘4. 已知一元二次方程x2— 6x + c= 0有一个根为2,则另一根为（C ）A. 2B. 3C. 4D. 85. 已知方程x2— 5x+ 2 = 0的两个解分别为x1, x2,则X1 + x2— X1x2的值为（D ）A. - 7B. - 3C. 7D. 3【解析】由根与系数的关系得X1+ X2= 5 , X1 X2= 2,所以X1+ X2 —X1X2= 5—2 = 3.6. [2012攀枝花]已知一元二次方程x2— 3x— 1= 0的两个根分别是x〔，X2,贝U X12X2 + xg2的值为（A ）A. - 3B. 3C. - 6D. 6【解析】一元二次方程X2— 3x— 1 = 0的两个根分别是x1, x2, •■- X1 + x2= 3, x1x2= — 1 ,. 2 , 2X1 X2+ X1X2 = X1X2（X〔+ X2） = —1 >3= — 3.7. 设X1, X2是方程x2 + 3x— 3= 0的两个实数根，贝U癸+ "的值为（B .）X1 X2A. 5B. -5C. 1 D . - 18. 若X1, X2是方程X2 + x- 1 = 0的两个根，贝U X12+ X22= 3 .【解析】由根与系数的关系得X1 + X2 = —1 , X〔X2= —1,所以x/ + *2 =（X1 + X?）2 —2x〔X2=（一1）2— 2X（- 1） = 3.2 1 1 59 .已知m和n是方程2x — 5x — 3= 0的两根，贝U + = __々.m n _3—【解析】m和n是方程2x2— 5x-3= 0的两根，5. .m+n=== 5, mn— 3, ..【+ 1 = * = -22 2 2 m n mnX2⑶(X〔+〔)(X2+ 1) .解：由根与系数的关系得x1 + x2= — 6, x1x2= 3.(1)X12+ 展=(X1 + X2)2— 2x1X2= (—6)2— 2X3 5 3.10.已知X1, X2是方程X2+ 6x+ 3= 0的两实数根,试求下列代数式的值: (1)x12+ X22；⑵富 +=36 — 6= 30;2 , 2 __ x 2 , x 〔 x 2 + x 1 30(2)—-1 -- .. ----------- -- —= 10； x 1 x 2 x 1x 2 3 x 的一元二次方程x 1 2 3— 4x+ C= 0的一个根，求方程的另一个根. x 〔，由 x 〔 + 2—寸5 = 4,得 x 〔 = 2 + 寸5. x 2— mx-3 = 0的两实数根为x 〔，x 2,若x 1 + x 2= 2,求x 1, x 2的值.解：x 〔 + x2= 2, ■- m = 2. .■.原方程为 x — 2x — 3= 0,即(x — 3)(x+ 1) = 0,解得 x 〔 = 3, 乂2=— 1 或 x 〔=— 1, x ?= 3.13. 关于x 的一元二次方程 x 2— mx+ 2m — 1 = 0的两个实数根分别是 x 〔，x ?,且x 〔2+ x ?2=乙 则(x 〔一 x 2)2的值是(C )A. 1 B . 12C. 13D. 25【解析】 由根与系数的关系知：x 1 + x 2= m, x 1x 2 = 2m —1,x/ + x^ = (x 〔 + x z)? — 2x 1x 2= m^ — 2(2 m — 1) = m? — 4m + 2,m 2— 4m+ 2 = 7, m 2— 4m — 5 = 0,解得m = 5或m= — 1.当m = 5时，原方程为 x 2— 5x+ 9 = 0,△ = (- 5)2 — 4X 1 X 9 = 25- 36= - 11<0,此时方程无实根.当m = — 1时，原方程为 x + x — 3= 0,方程有实根，.■.当 m = — 1 时，x 〔 + x 2= — 1, x 〔x 2= — 3,2 2• (x 1- x 2) = (x 1 + x 2) — 4x 1x 2=(—1)2—4X(— 3) = 1 + 12= 13,故选 C.14. 设 a,A. 2 011C. 2 013 【解析】 17.设 【解析】 —3, a 一4 4. x 〔 + 乂2 = — =, m m x 2 c 4 . 八 --—2= , • .m = — 2. m 3是一元二次方程 x 2 + 3x-7= 0的两个根，则 因为 a, 3是一兀二次方程 x 2 + 3x — 7= 0的两个根，贝U / + 3 a — 7= 0 , a + 6= 2+ 4 a+ 片 a 2 + 3 a+ a+ 片 4. 元二次方程 x 2+ 3x+ m-1 = 0的两个实数根分别为 x 1, x 2. a, 18 .关于x 的a 2+ 4 a+ A _________ 4 _ ⑶(x i+ 1)(x2+ 1) =xi x 2 + (玉 + 乂2)+ 1 =3 — 6+ 1=— 2.11. 已知2 一寸5是关于 解：设方程的另一个根为 12. 已知关于x 的方程 b 是方程x 2 + x- 2 012 = 0的两个实数根，贝U a 2+ 2a+ b 的值为(A )B. 2 012D. 2 014••• a 是方程 x 2 + x-2 012= 0 的根，a 2+ a — 2 012= 0, a 2+ a= 2 012.又由根与a + b=- 1, ..a 2+ 2a+b = a 2 + a+ (a + b)= 2 012- 1= 2 011,故选 A.n 是方程x 2 + 2*x+ 1 = 0的两根，则代.数式^m 2+ n 2+ 3mn 的值为(C )C. 3D. 5x 的一元二次方程mx2— 4x+ 6= 0的两根为 x 1, x 2，且 x 1 + x 2= — 2,贝U m=(1)求m的取值范围；⑵若2(X1 + X2)+ X1X2 + 10 = 0,求m 的值.解：(1)：原方程有两个实数根，13. . △ = 9— 4(m— 1) >Q 解碍m^4，⑵由根与系数的关系，得X1 + x2=—3, X1X2= m—4 5 ,2 x (— 3) + (m — 1) + 10 = 0,解得m= — 3,符合题意.而履削新【解析】系数的关系得15. 已知m,A . 9B . 416. 已知关于(2) 若此方程有两个实数根X1, X2,且|X〔一X2 1=2,求k的值.解：(1)证明：△ = [ —(3k— 1)]2— 4k 2(k — 1) = k2+ 2k+ 1 = (k+ 1)2>0, 所以无论k为何实数，方程总有实数根；k(2)由根与系数关系，得X1+ X2=丝m, X1X一， 2 2• • (X1 —X2) = 4,即(X1 + X2) — 4X1X2= 4,整理，得3k2—2k—1 = 0. k ' k故(冷)2— (1)解碍k〔 = 1, k2 = 一三.3经检验，k〔= 1, k2= —1都是原分式方程的解，3. 」. 1• k1 = 1, k2= 一19.已知：关于X 的方程kX2- (3k- 1)X+ 2(k- 1)= 0.5 求证：无论k为何实数，方程总有实数根；。
人教版九年级数学上册同步练习 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(含答案)
一元二次方程的根与系数的关一、选择题1．[一元二次方程x 2－2x ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．02．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为 ( )A ．1B ．－3C ．3D ．43．若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是 ( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.58274．已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝1B ．x 1·x 2＝－1C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12＋x 1＝125．若关于x 的方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或26．若关于x 的方程x 2－(m 2－4)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4二、填空题7．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝________．8．写出以3，－5为根且二次项系数为1的关于x 的一元二次方程是____________________．9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝1，则x 1＝________，x 2＝________．10．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则12x 1＋1＋12x 2＋1的值是________.11．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．12．若关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－1＝0的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝3，则m ＝________．三、解答题13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.14．已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两个根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．16．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．17．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，求k 的值与方程的另一个根．18．已知关于x 的方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求α1＋α＋β1＋β的值．18 已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a ＝31，且两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．答案1．D.2．C.3．C.4．D.5．C.6．A.7．－3.8．x2＋2x－15＝09．x1＝－2，x2＝3.10．6.11．2.12．[0.13．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得a≤1.由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得a＞－2，∴－2＜a≤1.14．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，∴m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3.15．解：(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.∵b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值，此方程总有两个实数根．(2)∵原方程的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p.又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1，∴52－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1，∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1，∴3p ＝－6，∴p ＝－2.16．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，解得k ＞34. (2)∵k ＞34，∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0. 又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1.∵|x 1|＋|x 2|＝x 1x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1，解得k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2. 17．解：将x ＝－2代入原方程中，得4－2(k ＋3)＋k ＝0，解得k ＝－2.∵两根之积为k ，∴方程的另一个根为k －2＝－2－2＝1. 即k 的值为－2，方程的另一个根为1.18．解：(1)b 2－4ac ＝4＋4k.∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，即4＋4k ＞0，∴k ＞－1.(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k ，∴α1＋α＋β1＋β＝α（1＋β）＋β（1＋α）（1＋α）（1＋β）＝α＋β＋2αβ1＋α＋β＋αβ＝－2－2k 1－2－k＝2. 17 解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝4(k －32)2＋4＞0恒成立， ∴无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)根据勾股定理，得b 2＋c 2＝a 2＝31.∵两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵(b ＋c)2－2bc ＝b 2＋c 2＝31，∴(2k ＋1)2－2(4k －3)＝31，整理，得4k 2＋4k ＋1－8k ＋6－31＝0，即k 2－k －6＝0，解得k 1＝3，k 2＝－2(舍去)．∵b ＋c ＝2k ＋1＝7，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝31＋7.。
人教版九年级上册数学21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习(word、含简单答案)
人教版九年级上册数学21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习一、单选题1．已知m ，n 是方程230x x +-=的两个实数根，则22022m n -+的值是（ ） A ．2026 B ．2025 C ．2024 D ．2023 2．设方程2840x x -+=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．2 3．设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ＋3＝0的两个实数根，则x 12x 2＋x 1x 22的值为（ ） A ．9 B ．﹣9 C ．1 D ．﹣1 4．下列一元二次方程两实数根和等于-4的是（ ）A ．2340x x +-=B ．2440x x -+=C ．2450x x ++=D ．2440x x ++= 5．若关于x 的方程220x x a ++=两根异号，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．1a > C ．0a < D ．01a << 6．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A ．1 B ．2 C ．2- D ．3 7．一元二次方程220x x --=的两个实数根为12x x ，，则21212x x x x ++的值是（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 8．设α，β是一元二次方程2210x x +-=的两个根，则22αβ+的值是（ ） A ．－2 B ．2 C ．4 D ．6二、填空题9．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别是x 1＝－3，x 2＝5，则b ＋c ＝________．10．已知实数m ，n 分别满足等式2m 2+4m +1=0，2n 2+4n +1=0，则n m m n +=________． 11．设x 1，x 2是方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0的两个根．若x 1+x 2＝3，则x 1x 2＝_____． 12．若一元二次方程2210x x --=的两根分别为12x x ，，则1212x x x x --的值为________．13．若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ＋2＝0的两个根，则x 12＋x 22＝________．14．已知关于x 的方程x 2+kx +4＝0的一个根为﹣3，则k ＝_____，另一个根为 _____．15．若x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x +3＝0的两个实数根，则x 1+x 2﹣x 1x 2＝_____． 16．一元二次方程2x 2﹣x ﹣1＝0与2x 2﹣x +1＝0的所有实数根的和等于_____．三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m ﹣1＝0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)设方程的两个根为x 1，x 2，且221210x x +=，求212()x x -．18．已知关于x 的方程x 2﹣4x ＋m ＝0的一个根为2(1)求m 的值及方程的另一个根．(2)设方程的两个根为x 1，x 2，求20212022121x x x +的值．19．已知关于x 的方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣2＝0．(1)若方程有两个实数根，求a 的取值范围；(2)若x ＝2是方程的一个根，求另一个根．20．已知关于x 的一元二次方程()2120x t x t --+-=． (1)求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；(2)当t 为何值时，方程的两个根互为倒数．参考答案：1．A2．A3．A4．D5．D6．B7．D8．D9．17-10．2或611．212．3-13．514．13343-15．116．117．(2)4或1618．(1)m＝1，另一个根为2(2)419．(1)112a≥-且0a≠(2)4a=，另一个根为14 x=20．(2)3t=。
九年级上册数学 《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》同步习题(含答案)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是(A)A ．－10B ．10C ．－16D ．162．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－33．(凉山中考)已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是(D)A ．－43 B.83 C ．－83 D.434．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4．5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1＋x 2；解：x 1＋x 2＝3.(2)x 1x 2；解：x 1x 2＝－1.(3)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(4)1x 1＋1x 2； 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.(5)(x 1－1)(x 2－1)；解：(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－1－3＋1＝－3.(6)x 2x 1＋x 1x 2. 解：x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝11－1＝－11.知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．47．(新疆中考)已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是(A)A ．－3B ．－2C ．3D ．68．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为－3和－1，则p ，q 的值分别为4，3．9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0.(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝－12，求m 的值． 解：(1)证明：∵a ＝1，b ＝4m ＋1，c ＝2m －1，∴Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5.∵16m 2≥0，∴Δ＞0.∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1，∵1x 1＋1x 2＝－12，∴x 1＋x 2x 1x 2＝－12. ∴－（4m ＋1）2m －1＝－12， ∴m ＝－12.易错点 忽视隐含条件10．若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，求a 的值．解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a 2＝1．解得a ＝±1．当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a ＝1．所以a ＝－1．02 中档题11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4的是(D)A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝012．(烟台中考)若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为(D)A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．113．(达州中考)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝2__016．14．在解某个关于x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，2，则这个方程为x 2－10x ＋9＝0．15．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m ≠n ，则n m ＋m n ＝－225． 16．(十堰中考)已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22＝16＋x 1x 2，求实数k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54. ∴实数k 的取值范围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k)2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a 为31，且两条直角边的长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝(2k －3)2＋4.∵(2k －3)2≥0，∴(2k －3)2＋4＞0，即Δ＞0，∴无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵b ，c 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵a 2＝b 2＋c 2，a ＝31，∴k 2－k －6＝0.∴k 1＝3，k 2＝－2.∵b ，c 均为正数，∴4k －3＞0.∴k ＝3.此时原方程为x 2－7x ＋9＝0，∴b ＋c ＝7.∴△ABC 的周长为7＋31.03 综合题18．(换元思想)阅读材料：材料1 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 材料2 已知实数m 、n 满足m 2－m －1＝0，n 2－n －1＝0，且m ≠n ，求n m ＋m n的值． 解：由题知m ，n 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m ＋n ＝1，mn ＝－1.∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝1＋2－1＝－3. 根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－3；(2)已知实数m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，且m ≠n ，求m 2n ＋mn 2的值；(3)已知实数p ，q 满足p 2＝3p ＋2，2q 2＝3q ＋1，且p ≠2q ，求p 2＋4q 2的值．解：(2)∵m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，∴m ，n 可看作方程2x 2－2x －1＝0的两实数根．∴m ＋n ＝1，mn ＝－12. ∴m 2n ＋mn 2＝mn(m ＋n)＝－12×1＝－12. (3)设t ＝2q ，代入2q 2＝3q ＋1化简为t 2＝3t ＋2，则p 与t(即2q)为方程x 2－3x －2＝0的两实数根，∴p ＋2q ＝3，p·2q ＝－2，∴p 2＋4q 2＝(p ＋2q)2－2p·2q ＝32－2×(－2)＝13.。
21.2.4(1)一元二次方程的根与系数的关系
(1) x 6 x 15 0
2
(2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值 2 例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴
k 1 2 k 3 ( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2
, x 1x2=
k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
即
m>0 m-1<0
∴0<m<1
两个正根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根 一正根，一负根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＜0 △＞0 X1X2＜0
三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.
变式：且二次项系数为5
三、构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*求未知系数的取值范围
*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?
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一元二次方程的根与系数的关系
要点感知若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=______,x1·x2=______
预习练习设一元二次方程x2-7x+3=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=______,x1·x2=______
知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1.(钦州中考)若x1、x2是一元二次方程x2+10x+16的两个根，则x1+x2的值是( )
A.-10
B.10
C.-16
D.16
2.(昆明中考)已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2等于( )
A.-4
B.-1
C.1
D.4
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1，x2，则x1+x2-x1·x2的值为( )
A.-7
B.-3
C.7
D.3
4.已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根，则(x1-2)(x2-2)=______.
5.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2+2x+1=0；(2)3x2-2x-1=0；(3)2x2+3=7x2+x；(4)5x-5=6x2-4.
6.已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)x1+x2；(2)x1x2；(3)2
2
2
1
x
x+；(4)
2
1
1
1
x
x
+.
知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则( )
A.b>0
B.b=0
C.b<0
D.c=0
8.(鄂州中考)已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6，则a的值为( )
A.-10
B.4
C.-4
D.10
9.已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x-(2m-2)=0的两根之和等于两根之积，则m的值为( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
10.孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为______.
11.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.
12.已知一元二次方程x2-x+2=0，则下列说法正确的是( )
A.两根之和为1
B.两根之积为2
C.两根的平方和为-3
D.没有实数根
13.(来宾中考)已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是( )
A.x2-6x+8=0
B.x2+2x-3=0
C.x2-x-6=0
D.x2+x-6=0
14.(包头中考)关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2且x1+x2>0,x1x2>0，则m的取值范围是( )
A.m≤
2
1
B.m≤
2
1
且m≠0 C.m<1 D.m<1且m≠0
15.(威海中考)方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是( )
A.-2或3
B.3
C.-2
D.-3或2
16.(玉林中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2-mx+m-2=0的两个实数根，是否存在实数m使
2
1
1
1
x
x
+=0成立？则
正确的结论是( ) A.m=0时成立 B.m=2时成立 C.m=0或2时成立 D.不存在
17.(烟台中考)关于x 的方程x 2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是( )
A.-1或5
B.1
C.5
D.-1
18.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为-9，-1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为______.
19.关于x 的一元二次方程x 2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x 1,x 2.
(1)求m 的取值范围；
(2)若2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0，求m 的值.
挑战自我
20.(鄂州中考)一元二次方程mx 2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两实数根，求m 的范围.
(2)设方程两实根为x 1,x 2，且|x 1-x 2|=1，求m.
参考答案
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
要点感知
-a b ，a
c 预习练习 7,3
1.A
2.C
3.D
4.-4.
5.(1)x 1+x 2=-2, x 1·x 2=1.
(2)x 1+x 2=
32 ,x 1·x 2=-31.
(3)x 1+x 2=-51,
x 1·x 2=-53.
(4)x 1+x 2=65, x 1·x 2=6
1.
6.(1)x 1+x 2=3.
(2)x 1x 2=-1.
(3)2
221x x =(x 1+x 2)2-2x 1x 2=32-2×(-1)=11.
(4)
2
1
1
1
x
x
+=
2
1
2
1
x
x
x
x+
=-3.
7.B 8.C 9.A10.2.
11.由根与系数的关系，得{，①4=x+x②3.-k=x x2121
又∵x1=3x2，③，
联立①、③，解方程组，得{，3=x1=x12
∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
答：方程两根为x1=3,x2=1;k=6.
12.D 13.D 14.B 15.C 16.A 17.D
18.x2-10x+9=0.
19.(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1，x2.
∴Δ≥0.即32-4(m-1)≥0，解得m≤
4
13
；
(2)由根与系数的关系得
x1+x2=-3，x1x2=m-1.
∵2(x1+x2)+x1x2+10=0，
∴2×(-3)+m-1+10=0.
∴m=-3.
挑战自我
20.(1)根据题意得Δ=(-2m)2-4m(m-2)≥0,
且m≠0,
解得m＞0.∴m的范围为m＞0.
(2)∵方程两实根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1·x2=
m
m2
-
，
∵|x1-x2|=1，
∴（x1-x2）2=1，
∴（x1+x2）2-4x1x2=1，
∴22-4×
m
m2
-
=1，
解得m=8.
经检验m=8是原方程的解.
∴m的值是8.。