2018广东广州市第十八中学高三数学一轮复习专项检测试题 (8)
三角函数、解三角形及平面向量02
12.函数)(x f y =的图象向右平移6
π
单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)3
2cos(π
-x B ．()f x =)6
2cos(π
-x C ．()
f
x =)6
2cos(π
+
x D ．()f x =)3
2cos(π
+
x
【答案】B
【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π
个单位即得()y f x =的图象， 即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366
f x x x x x x π
π
πππ
π
=+
=+=-+=-+=- 13.设ω是正实数，函数x x f ωsin 2)(=在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-4,3ππ上是增函数，那么ω的最大值是 A ．3
2 B ．2
C ．
12
7
D ．3
【答案】A
【解析】若函数)(x f 在]4,
3[π
π-上单调递增，则)(x f 的周期一定不小于ππ3
4)3(4
=⋅-，即
πωπ
3
4
2≥ 得：2
3
≤ω 所以ω的最大值为：23，选A
14.若方程08349
2sin sin =-+⋅+⋅a a a x x
有解，则a 的取值范围 （ ）
A.0>a 或8-≤a
B.0>a
C.3180≤<a
D.23
72
318≤≤a
【答案】D 【解析】方程08349
2sin sin =-+⋅+⋅a a a x x
有解，
等价于求134928
sin sin +⋅+⋅=
x x a 的值域
∵]3,31[3
sin ∈x
∴13492sin sin +⋅+⋅x x ]31,923[∈ 则a 的取值范围为23
72318≤≤a .
15.已知函数()sin(
)(0)36
f x A x A π
π
=+>在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于
A ． 1
B ．2
C ． 4
D ．8 【答案】B
【解析】)(x f 取最高点时：1)6
3
sin(
=+
π
π
x ，在)(x f 的最小正周期内，当
2
6
3
π
π
π
=
+
x 时，
1)8
3
sin(
=+
π
π
x ，解得：1=x ；同理：当)(x f 取最低点时：
2
6
3
π
π
π
-
=+
x ，解得：2=x ；
设最高点为),1(A ，最低点为),2(A --则：25)2(322=+A ，解得：2=A
16.
【答案】B 【解析】
)(x f 向左平移
2
π
个单位后：])2(sin[)(ϕπω++=x A x f )2sin(ϕωπω++=x A
设)2sin()(ϕωπ
ω++=x A x g ，则)(x g 与)(x f 关于x 轴对称
∴)()(x f x g =，故：πϕϕωπk +=+2（其中Z k ∈，且k 为奇数）πωπ
k =⇒2
由题中各选项可得4=ω时，2=k ，与题意不符，故B 不对。
17.
【答案】C 【解析】)()2
()()4
(t f t f t f t f =+
⇒-=+
π
π
,故)(x f 周期为
2π，4227
2===π
ππω,
故m x x f ++=)4cos(2)(ϕ,由题意得：)4cos(2])4
(4cos[2ϕϕπ
+-=++
x x
)4cos(2)44cos(2ϕπ+=++⇒x x )4cos(2)4cos(2ϕϕ-=+-⇒x x
故：πϕϕk +-=（Z k ∈，且k 为奇数）
2
πϕk =
⇒ ∴m k x x f ++=)2
4cos(2)(π
（Z k ∈，且k 为奇数） 把)1,8
(
-π
代入)(x f 中得：
m m +-=++=-ϕϕπ
sin 2)2
cos(
21
∴1sin 2-=ϕm 又∵2
π
ϕk =
（Z k ∈，k 为奇数） ∴1sin -=ϕ或1sin =ϕ 故3-=m 或1=m
18.已知函数()sin()(0,0,||2
f x M x M π
ωϕωϕ=+>><
半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为
A ．()2sin()6
f x x π
=+
B ． ()2sin(2)6
f x x π
=-
C ．()2sin()6
f x x π
=-
D ．()2sin(2)6
f x x π
=+
【答案】A
【解析】由图象得：ππ
π
2)6
3
(
4=+
⨯=T ，12||==
T
π
ω，∵0>ω，∴1=ω 又∵)(x f 的最大值为2，且0>M ，1)sin(1≤+≤-ϕωx ，∴2=M ∴)sin(2)(ϕ+=x x f ，当3
π
=x 时，有：
ππ
ϕπ
k 22
3
+=
+，解得：ππ
ϕk 26
+=
又∵2
||π
ϕ<，∴6
π
ϕ=
，综上：)6
sin(2)(π
+
=x x f
19.函数)2
||,0,0)(sin()(π
φωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，将()y f x =的图象
向右平移
6
π
个单位后得到函数)(x g y =的图像，则)(x g 的单调递增区间为（ ） A.]
3
2,62[π
ππ
π+
-
k k B.]6
52,3
2[πππ
π+
+
k k C.]3
,6
[π
ππ
π+
-
k k D.]6
5,3
[πππ
π+
+
k k 【答案】C 【解析】由图象知
1=A ,=T ,2
62,2,234)61211(
π
φπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴,
),6
2sin()(π
+=∴x x f 将)(x f 的图象平移
6π
个单位后的解析式为 ).6
2sin(]6)6
(2sin[π
π
π
-=+
-
=x x y 则由：3
6
2
26
22
2π
ππ
ππ
ππ
π
π+
≤≤-⇒+
≤-
≤-k x k k x k ，Z k ∈.
20.已知)sin ()(ϕω
+=x x f ⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<∈2||,πϕωR ，满足)2()(π+-=x f x f ，21
)0(=f ，
0)0(<'f ，则)cos(2)(ϕω+=x x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为
A ．32-
B ．23-
C ．0
D ．1- 【答案】A 【解析】21)sin()0(21)0(==⇒=
ϕf f ，故ππ
ϕk 26
+= （Z k ∈） 又∵2
||π
ϕ<
，∴6
π
ϕ=
，又∵)2
()(π
+
-=x f x f ，∴)()(π+=x f x f
∴)(x f 的周期为π，则27
2||==
π
ω ωϕω⋅+=)cos()('x x f 0)cos()0('<⋅=⇒ωϕf 0<⇒ω
∴2-=ω，∴)6
2cos(2)62cos(2)(π
π-=+
-=x x x g 又∵20π≤≤x ∴πππ6
5
626≤-≤-x
故：当06
2=-π
x 时，)(x g 取最大值为2
当ππ
6
5
62=-
x 时，)(x g 取最小值为3- 故)(x g 最大值与最小值之和为32-
21.已知，则sin2x 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．。
2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题29函数综合测试题120171207136
函数综合测试题 011、设函数 f (x ) 2|x1||x 1|,求使f (x )2 2x 成立的 x 取值范围。
解：由于 y2x 是增函数， f (x ) 2 2 等价于| 1| | 1| 3xx......①2 （1）当 x 1时，| x1| | x 1|2 ，①式恒成立；（2）当1 x 1时，| x 1| | x 1|2x ，①式化为 2x 3 ，即 31x ；2 4（3）当 x1时，| x1| | x1|2 ，①式无解；综上， x 的取值范围是3 , 4。
2、设关于 x 的方程 2x 2ax 2 0 的两根为,()，函数4x a f (x )。
x 21（1）求 f () f () 的值；（2）证明 f (x )是,上的增函数；（3）试确定为何值时， f (x ) 在区间,上的最大值与最小值之差最小。
88解：（1） f () , f (), f () f ()4.a 16 a16 a 2a 2（2）定义法；略 （3）函数 f (x )在,上最大值 f () 0 ，最小值 f () 0, f () f () 4，当且仅当 f ()f () 2时， f ()f () f () f () 取最小值 4，此时 a 0, f () 2.- 1 -3、讨论函数axf(x)(a 0)在区间(1,1)上的单调性。
1x2ax ax a(x x )(1xx)解：设1x x 1,f(x)f(x)12则= 1212121222221x1x(1x)(1x)1212，且x1,x2(1,1),x1x2,x1x20,1x1x20,(1x12)(1x22)0,于是当a0时,f(x)f(x);当a 0时,f(x)f(x);1212故当a0时，函数在(1,1)上是增函数；当a0时，函数在(1,1)为减函数。
4、已知函数f(x)log(ax x)(a 0,a 1a为常数）。
（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a 2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性；（3）若函数y f(x)是增函数，求a的取值范围。
广东省广州市备战2018高三数学文科第一轮复习测试试题
2018广州市高考数学（文科）一轮复习测试题12本试题卷共8页，六大题22小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．2013i的值为（ ）A ．1B ．iC ．-1D ．i -【答案】B【解析】因为201350341i i i ⨯+==，所以选B. 2．命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤【答案】D【解析】全称命题的否定式特称命题，所以原命题的否定为x ∃∈R ，20x ≤，选D.3． 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】第一次循环，1,112i a ==+=；第二次循环，2,2215i a ==⨯+=；第三次循环，3,35116i a ==⨯+=；第四次循环，4,416165i a ==⨯+=，此时满足条件50a >，输出4i =，选B.4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A . 8πB . 7πC . 2π`D .74π【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个半径分别为2和32的同心圆柱，大圆柱内挖掉了小圆柱。
两个圆柱的高均为1.所以几何体的体积为23741()124πππ⨯-⨯=，选D.5．已知幂函数2()m f x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（ ） A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【解析】因为幂函数在[1,]m -上是奇函数，所以1m =，所以23()m f x x x +==，所以3(1)(11)(2)28f m f f +==+===，选A.6．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为P 10(0,)a，则线段AB 的长为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】B【解析】直线20x y -=的斜率为2，0x ay +=的斜率为1a -。
高三数学-2018广东广州质检 精品
高三数学训练题2018年2月12日15：00—17：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第 I 卷 （选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若U ＝｛1，2，3，4，5｝，M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则U （M ∩N ）＝（A ）｛4｝ （B ）｛1，2，3｝ （C ）｛1，3，4｝ （D ）｛1，2，3，5｝（2）2211lim 21x x x x →-=--（A ）12 （B ）23（C ）0 （D ）2（3）不等式 |x |≤|x ＋2| 的解集是 （A ）｛x |x ≥－1｝ （B ）｛x |x ≤－1｝ （C ）{x |－1≤x ＜1} （D ）{x |x ≥1} （4）直线y ＝m 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则m 的值是（A ）1 （B ）3 （C ）1或3 （D ）2或4（5）在△ABC 中，“A ＝3π”是“sinA 2（A ）充分而不必要条件 （B ）充分且必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）在等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 28＋a 29＋a 30＝165，则此数列前30项和等于（A ）810 （B ）840 （C ）870 （D ）900 （7）椭圆2291x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作PF 1⊥x 轴，交椭圆于点P ，则|PF 2|＝（A ）173 （B ）53 （C ）13 （D ）83（8）39(x-的展开式中常数项是（A ）84 （B ）－84 （C ）36 （D ）－36（9）已知球的表面积为4π，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A（B（C（D（10）函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （11）将4名医生分配到3间医院，每间医院至少1名医生，则不同的分配方案共有（A ）48种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）36种（12）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是 （A ）圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）直线_ B _1_ A _1_ D _1 _ C _1 _ C _ B_ A _ D_ P _ M高三数学训练题第 Ⅱ 卷 （非选择题 共90分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． ⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上.（13）设复数12z =-+，则2z z += （14）某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15∶3∶2.为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n ＝：______ ___________班别：___________姓名：_______ _______学号：_________封 线 内 答 题（15）设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则z ＝3x ＋y 的最大值是（16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分12分）如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关J A 、J B 、J C ，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合的概率分别是45、35、25，计算：（Ⅰ）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率.（18）（本题满分12分）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =.（Ⅰ）当a b ⊥时，求tan 2θ； （Ⅱ）求｜a b +｜的最大值.（19）（本题满分12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝12AA 1，点G 为CC 1上的点， 且114CG CC . （Ⅰ）求证：C D 1⊥平面ADG ；（Ⅱ）求二面角C －AG －D 的大小（结果用反余弦表示）：_________________班别：____________姓名：______________学号：______________ D（20）（本题满分12分）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，3(1)2n n S a =-（n ∈N *）（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）求1lim n n n SS →∞+．（21）（本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，以双曲线22115y x -=的左准线为准线.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线:1(1)l y k x -=-（k ≠0）垂直平分抛物线C 的弦，求实数k 的取值范围._______班别：____________姓名：________ ______学号：_________不 要 在 密 封 线 内 答 题（22）（本题满分14分）f x a x（a∈R）设()ln（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明ln x<高三数学训练题参考答案一、DBACA BAADC DB 二、（13）－1 （14）40 （15）3 （16）①、②、④ 三、（17）解：（Ⅰ）记这段时间内开关J A 能够闭合为事件A ，开关J B 能够闭合为事件B ，开关J C 能够闭合为事件C ，则4()5P A =，3()5P B =，2()5P C = … … … … … 3分根据相互独立事件同时发生的概率公式，在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是43224()()()()555125P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=… … … … … 5分 答：在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是24125… … … … 6分（Ⅱ）依题意在这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合. 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是1236()()()()[1()][1()][1()]555125P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=⨯⨯=… 9分 因此，这段时间内线路正常工作的概率是1191()125P A B C -⋅⋅= … … … …11分答：在这段时间内线路正常工作的概率是119125… … … … … 12分（18）解：（Ⅰ）3cos sin 0a b θθ⊥⇔+= … … … … … 2分tan 0tan θθ+=⇔= … … 4分∴22tan tan 21tan θθθ==- … … … … … 6分（Ⅱ）(cos ,sin ))(cos 1)a b θθθθ+=+=+ … … … … 7分 ｜a b +｜ … … 8分== … … … … … 9分2= … … 10分当0sin(60)1θ+=时，max ||53a b += … … 12分 （19）解法1（空间向量法）设AB ＝1，11,,2DA i DC j DD k ===，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz … … … … … 1分则D （0,0,0），A （1,0,0），C （0,1,0），D 1（0,0,2），B （1,1,0），G （0,1,12）…… 2分（Ⅰ）∵DA ＝（1，0，0），DG ＝（0，1，12）， 1CD ＝（0，－1，2）∴DA ·1CD ＝0， 10DG CD ⋅= ∴1CD DA ⊥，1CD DG ⊥ … … … … 4分 由线面垂直判定定理知CD 1⊥平面ADG（Ⅱ）∵BD ＝（－1，－1,0），AG ＝（－1,1，12），CG ＝（0,0，12） ∴BD ·AG ＝0，BD ·CG ＝0 ∴BD ⊥AG ，BD ⊥CG∴BD ⊥平面CAG ，即BD 为平面CAG 的法向量… … … … 8分 又C D 1⊥平面ADG ，即1CD 为平面AGD 的法向量∴〈BD ，1CD 〉是二面角C －AG －D 的平面角 … … … … 9分 且cos 〈BD ，1CD〉11||||2BD CD BD CD ⋅===…… … 11分 故二面角C －AG －D 的大小为 … … … … 12分 解法2（综合推理法）（Ⅰ）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AD ⊥平面CDD 1，D 1C ⊂平面CDD 1 ∴CD 1⊥AD … … … … 1分在Rt △CDD 1与Rt △GCD 中，1112CD AB DD AA ==，11142CC GC CD AB ==∴1CD GC DD CD= ∴Rt △CDD 1∽Rt △GCD … … … … 3分 ∴∠CD 1D ＝∠GDC ，∠CDG ＋∠DCD 1＝900 ∴CD 1⊥DG … … … … 4分又AD ∩DG ＝D ，AD ⊂平面ADG ，DG ⊂平面ADG ， ∴CD 1⊥平面ADG … … … … 6分（Ⅱ）记DG ∩CD 1＝E ，在平面ACG 中，作CH ⊥AG ，交AG 于H ，连结HE . …7分 又CD ⊥平面ADG ，由三垂线定理的逆定理知，EH ⊥AG∴∠CHE 是二面角C －AG －D 的平面角 … … … 9分设CG ＝1，则CC 1＝4CG ＝4，AB ＝AD ＝12AA 1＝12CC 1＝2在Rt △GCD 中，CD CG CE DG ⋅===在Rt △ACG 中，AC CG CH AG ⋅=在Rt △CEH 中，EH∴cosEH CHE CH ∠==CHE ∠=为所求 … … … 12分 （20）解（Ⅰ）方法1．由113(1)2S a =-，得113(1)2a a =-，∴13a = … … … 1分当n ≥2时，1133(1)(1)22n n n n n a S S a a --=-=---13n n a a -= … … … … … … 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为3，公比为3的等比数列 … … … … 6分 ∴a n ＝3n … … … … … … 8分方法2．由1113(1)2a S a ==-，得13a = … … … … … … 1分由21223(1)2S a a a =+=-，得29a = … … … … … … 2分猜想a n ＝3n（n ∈N ＊） … … … … … … 3分 用数学归纳法证明之（略） … … … … … … 8分（Ⅱ）∵a n ＝3n ，∴33(1)(31)22n n n S a =-=- … … … … … … 9分∴1111()311013lim lim lim1313313()3nnn n n n n nn S S +→∞→∞→∞+---====--- … … … … 12分 （21）解（Ⅰ）双曲线22115yx -=的左准线方程是14x =- … 2分故抛物线C 的方程为2y x = … 4分（Ⅱ）设抛物线C 被直线l 垂直平分的弦PQ 的方程为0x ky c ++= … 5分 2200y x y ky c x ky c ⎧=⇒++=⎨++=⎩ … … 6分 ∴△＝240k c -> … … ① … … 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则2121212,()()2y y k x x ky c ky c k c +=-+=-+-+=-又PQ 中点G 22(,)22k c k--在直线1(1)y k x -=-上∴221(1)22k k c k ---=- 即 322k k c k -+=… … … … 9分 代入①得322(2)0k k k k-+-> … … … … 10分即 32240,(2)(22)0k k k k k k k-+<+-+<解之得 20k -<<. 故k 的取值范围是（－2,0）. … … … … 12分（22） 解（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞） … … … … 1分()af x x' （x ＞0） … … … … 3分①若0a ≤，则()a f x x'=-＞0对一切x ∈（0，＋∞）恒成立 … … 4分 ②若a ＞0，则当x ＞0时，()0af x x'>⇔> 2x ⇔>222440x a x a ⇔--> … … … … 5分∴ 222x a >+ … … … … 6分222()0440f x x a x a '<⇔--<∴ 2022x a <<+ … … … … 7分 综上所述，当0a ≤时，f (x )在（0，＋∞)内单调递增；当a ＞0时，f (x )在（0，222a +）内单调递减，在（222a +，＋∞)内单调递增. … … … 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x )＝ln x 在（0，2+）内单调递减，在（2+，＋∞)内单调递增. … … … 9分min ()(2ln(2g x g =+=+1ln(2=+ … … … 10分∴ln 1ln(2x ≥+. … … … 11分又 2+5＜2e ，∴ 21ln(21ln 10e +>=> … … … 13分∴ ln x > … … … 14分。
2018广东广州市第十八中学高三数学一轮复习专项检测试题：09 含解析
三角函数、解三角形及平面向量0322.已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为（ ） A. 22 B. 2 C.22 D.42 【答案】D【解析】AA A A AB A A B A A B A B tan 2tan 1tan 21tan tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan 2+=+=++-+=-+=， 又0tan >A ，则22tan 2tan ≥+AA 则42221tan =≤B . 23.设函数x x x f cos sin )(+=，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m 平移后的图象 恰好为函数)('x f y =的图象，则m 的最小值为 A.4π B .3π C.2π D.32π【答案】C【解析】⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx x x x f ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=4sin 2sin cos )('πx x x x f ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42sin 224sin 2ππππx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4cos 2πx .4sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx 24.设α为锐角，若54)6cos(=+πα，则)122sin(πα+的值为 【答案】50217【解析】∵α为锐角，且54)6cos(=+πα，∴53)6sin(=+πα ∴2323466ππαπππαπ<+<⇒<+<∵252453542)6(2sin )32sin(=⨯⨯=+=+παπα∴257)32cos(=+πα，50217]4)32sin[()122sin(=-+=+ππαπα 25.函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+，()x R ∈是 A 周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C,周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】∵2222()cos ()cos ()cos ()sin ()4444f x x x x x ππππ=--+=--- 22cos ()sin ()cos 2()sin 2444x x x x πππ=---=-=∴函数()f x 是周期为π的奇函数 26.若tan α+=，α∈（，），则sin （2α+）的值为（ ）A. C. D.27.在ABC ∆中。
2018广东广州市第十八中学高三数学一轮复习专项检测试题 (4)
集合与常用逻辑用语、函数及不等式 0320.若函数 y A. a 1 【答案】 B1 1 在 2, 上单调递增，那么 a 的取值范围是（ x ax a 22）B. 4 a 1 2C. 1 a 1 2D. a 1 2a 1 1 2 2 【解析】若令 f ( x) x 2 ax a 只要 1 a 1 2 f ( ) f (2) 0 2 【规律解读】已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘题目的隐含条件。
讨论函数的单调性时要注意:必须在定义 域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集。
21.设 f x 是定义在 x R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x (0,1) ， f x log 1 1 x ，则函数2f x 在 (1, 2) 上() B．是增函数且 f x 0 D．是减函数且 f x 0A．是增函数且 f x 0 C．是减函数且 f x 0 【答案】D.【解析】已知 x (0,1) ， f x log 1 1 x 单调递增；因为函数 f x 是偶函数所以函数 f x 在2(1, 0) 上单调递减；又因为 f x 是以 2 为周期的函数，所以函数 f x 在 (1, 2) 上单调递减，选择 D.1 22.函数 f ( x ) log 2 x 的零点所在区间为（ ） x 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1, 2) D. (2,3) 2 2 【答案】C【解析】函数的定义域是 (0, ) ， y log2 x 是增函数， y 1 1 是减函数所以 f ( x ) log 2 x 为 x x1 1 其定义域上的增函数， f ( ) 3 0 ， f (1) 1 0 ， f (2) 0 ，所以 f (3) 0 ,由函数零点存 2 2在条件知零点所在区间为 (1, 2) .选择 C。
广东广州市第十八中学高三数学一轮复习专项检测试题：14 Word版含解析
数列及数列的应用0327.已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，21249a a ∙=，则7a 的最小值为（ ） A.7 B. 8C. 9 D. 1028.在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是 A ．3 B ．6 C ．9 D ．36 【答案】C【解析】在等差数列中，121030a a a +++=，得1105()30a a +=，即110566a a a a +=+=，由56a a +≥6≥569a a ≤，当且仅当56a a =时取等号，所以56a a 的最大值为9，选C.29.已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于 A.16 B.8 C.22 D.4 【答案】D【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。
选D.30.在圆x y x 522=+内，过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为d∈[61，31]，那么n 的取值集合为A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. { 3.4.5,6,7} 【答案】A【解析】圆的标准方程为22525()24x y -+=，所以圆心为5(,0)2，半径52r =，则最大的弦为直径，即5n a =，当圆心到弦的距离为32时，即点（25，23）为垂足时，弦长最小为4，即14a =，所以由1(1)n a a n d =+-得，1541111n a a d n n n --===---，因为1163d ≤≤，所以111613n ≤≤-，即316n ≤-≤，所以47n ≤≤，即4,5,6,7n =，选A.31.已知方程x 2﹣9x+2a =0和x 2﹣6x+2b =0分别存在两个不等实根，其中这四个根组成一个公比为2的等比数列，则a+b=（ ）A .3 B. 4 C. 5 D . 6 【答案】D【解析】设方程x 2﹣9x+2a =0的两根为x 1，x 4，方程x 2﹣6x+2b =0的两根为x 2，x 3，则x 1x 4=2a ，x 1+x 4=9，x 2x 3=2b ，x 2+x 3=6∵四个根组成一个公比为2的等比数列，∴x 1=1，x 2=2，x 3=4，x 4=8， ∴2a =8，2b =8，∴a=b=3 ∴a+b=6 故选D ．32.数列{n a } 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{n a }前12项和等于（） A ．76 B ．78 C ． 80 D ．8232.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<【答案】C【解析】由题意，得：11111+0m m m m a a a a a a a ++>⎧-<<-⇔⎨+<⎩。
广东省广州市2018届高考数学一轮复习模拟试题精选专题圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的焦点为F,过F 的直线与该抛物线相交于两点,则的最小值是( ) A ． 4 B ． 8 C ． 12 D ． 16 【答案】B2．已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 外一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相较于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线一支 【答案】D3．若直线mx- ny = 4与⊙O: x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22194x y += 的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0【答案】B4．椭圆()222210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．（0，2）B ．（0，12） C ．1，1]D ．[12，1]【答案】D5．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则双曲线E 的方程为( )A ．22136x y -= B ．22163x y -= C ．22145x y -= D ．22154x y -= 【答案】C6．抛物线22 y p x = 的焦点为F ，点ABC 在此抛物线上，点A 坐标为（1,2）.若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( ) A ． 0x y += B ． 210x y +-= C ． 0x y -= D ． 210x y --=【答案】B7．已知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A8．抛物线 22y x -=的准线方程是( )A ．21=y B ．81=y C ．41=x D ．81=x 【答案】D9．方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是( )【答案】D10．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是( )A ．221169x y += B ．2211612x y += C ．22143x y += D ．22134x y += 【答案】C11．我们把离心率为黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”．设12222=+b y a x (a>b>0)为“优美椭圆”，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°【答案】C12．设双曲线222:1,(0,1),10x M y C x y a-=-+=点若直线交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且2BC AC =，则双曲线的离心率为( )A B C D 【答案】B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知过点P （1，0）且倾斜角为60°的直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，则弦长|AB|= . 【答案】16314．设F 为抛物线241x y -=的焦点，与抛物线相切于点)4,4(--P 的直线l 与x 轴的交点为Q ，则PQF ∠的值是 ．【答案】2π 15．已知P 为椭圆221259x y += 上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________; 【答案】916．已知椭圆1162522=+y x 的焦点为F 1、F 2，直线CD 过焦点F 1，则∆F 2CD 的周长为_______【答案】20三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知直线L ：1y kx =-与抛物线C ：2y x =，相交于两点,A B ，设点(0,2)M ，MAB ∆的面积为S .(Ⅰ）若直线L 上与M 连线距离为1的点至多存在一个，求S 的范围。
2018年广东广州市高考数学一轮复习精选试题三角函数(选择与填空)及答案
三角函数01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在一幢20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么该塔吊的高是( )A ．201⎛⎝⎭m B ．20(1m C ．10m D ．20m【答案】B2．已知32cos sin =+αα，则=+ααcot tan ( )A ．95-B ．95 C ．518D ．518-【答案】D3．已知函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是( ) A ．(0)16π，B ．(0)9π，C ．(0)4π，D ．(0)2π，【答案】D4．5cos()6π-的值是( )A ．B ． 12C ．D ． 12-【答案】C5．将函数sin()3y x =-π的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )A ．1sin()26y x =-πB ．1sin()23y x =-πC ．1sin 2y x= D ．sin(2)6y x =-π【答案】A6．若tan α=21，tan β=31，则tan(αβ+)=( )A ．75B ．65C ．1D ．2【答案】C7．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>，，02πωϕ><，）的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是( )A ．()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RB ．()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC ．()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RD ．()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R【答案】A9．要得到函数)42cos(π-=x y 的图像，只需将函数x y 2cos =的图像( )A ．向左平移8π个长度单位B ．向右平移8π个长度单位C ．向左平移4π个长度单位D ．向右平移4π个长度单位【答案】B10．在ABC ∆中, 已知向量cos18,cos72AB =（）, 2cos63,2cos27BC =（）,则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．4C ．D 【答案】A11．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为( )A ．mB ．mC ．mD ．2m 【答案】A12．已知锐角α的终边上一点P （sin 40︒，1cos 40+︒），则α等于( )A ．010B ．020C ． 070D ．080【答案】C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．tan 390=14．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是 . 【答案】π15．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东060，行驶h 4后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东015，这时船与灯塔距离为 km. 【答案】23016．已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R （定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为2tan 2R α，则按图二作出的矩形面积的最大值为 ．图二图一2α【答案】21tan 2R α。
2018广东广州市高三数学一轮复习专项检测试题：17 Word版含解析
概率、算法及复数与推理证明0332.设随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，函数ξ++=x x x f 4)(2没有零点的概率是21，=μ ( ) A. 1 B. 4 C. 2 D. 不能确定 【答案】B【解析】由ξ++=x x x f 4)(2没有零点则1640,ξ∆=-<解得4,ξ>故1(4)2P ξ>=,又正态分布是对称的，所以=4μ，选择B33.设随机变量ξ服从正态分布)4,3(N ，若)2()32(+>=-<a P a P ξξ，则a 的值为A ．5B ．3C ．35D ．37【答案】D【解析】因为ξ服从正态分布)4,3(N ，所以随机变量ξ关于直线3x =对称，因为)2()32(+>=-<a P a P ξξ，所以23,2x a x a =-=+关于3x =对称，所以23232a a -++=，即37a =，解得73a =，选D.34.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是A. 13B. 12C. 23D. 56【答案】C【解析】从袋中任取2个球，恰有一个红球的概率1122244263C C P C ===，选C.35.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中之多命中一次的概率为1625，则该队员的每次罚球命中率为 A.12 B.35 C.34 D.45【答案】B【解析】设该队员的每次罚球命中率为p ，则两次罚球中至多命中一次的概率为21p -=1625，解得p =35，故选B.36.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（ ）A.()1P ξ=B.()1P ξ≤C.()1P ξ≥D.()2P ξ≤【答案】B【解析】()1P ξ==1457512C C C ,57512C (0)C P ξ==,所以514757551212C C C (0)(1)C C P P ξξ=+==+，选B.37. 已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于 . 【答案】0.3【解析】8.0)4(=<ξP ，则2.0)4(=>ξP ，又分布图像关于直线2=x ， 2.0)4()0(=>=<ξξP P ，则6.0)40(=<<ξP ， 3.0)20(=<<ξP38.已知833833,322322=+=+， ,15441544=+，若t a t at a ,(,66=+均为正实数），类比以上等式，可推测a,t 的值，则t a -=_________. 【答案】-29【解析】类比等式可推测35,6==t a ，则.29-=-t a39.已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…,则第57个数对是_______ 【答案】5【解析】发现如下规律，即可得第57个数对是(2,10)（1，1）和为2，共1个 （1，2），（2，1）和为3，共2个（1，3），（2，2），（3，1）和为4，共3个 （1，4），（2，3），（3，2），（4，1）和为5，共4个（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）和为6，共5个40.已知点1212(,)(,)x x A x a B x a 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点A （x 1，sinx l ）、B （x 2，sinx 2）是函数y=sinx （x ∈（0，π））的图象上的不同两点，则类似地有____成立． 【答案】1212sin sin sin 22x x x x++<；【解析】函数sin y x =在 x ∈（0，π）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的下方，所以1212s i n s i n s i n 22x x x x ++<.41.已知n 为正偶数，用数学归纳法证明11111111...2(...)2341242n n n n-+-++=++++++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =（ ）时等式成立A ．1n k =+B ．2n k =+C ．22n k =+D ．2(2)n k =+【答案】B【解析】根据数学归纳法的步骤可知，则2(≥=k k n 为偶数）下一个偶数为2k +，故答案为B.42.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012]，内所有“简易数”的和为 .43.已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】2i(23i)=2i 3i 2i 332i --=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限44.复数z 满足2)1(=-i z （其中i 为虚单位），则=z . 【答案】i +1 【解析】i i i z +=+=-=12)1(21245.执行如图所示的程序框图，若输入2=x ，则输出y 的值为 A ．5 B. 9 C.14 D.41【答案】D【解析】依程序运算得,41,14==y x 满足“是”，输出. 46.阅读下面算法语句：则执行图中语句的结果是输出 . 【答案】i=4【解析】这是当型循环语句，输出结果不是数字4，而是i=4.提醒学生注意细节. 47. 若复数i z -=2，则zz 10+等于 A. i -2 B. i +2 C. i 24+ D. i 36+ 【答案】D 【解析】().3652102210210i i i i i z z +=+++=-++=+i=1WHILE i *(i+1)<20 i=i+1 WEND PRINT “i=”；i END48. 若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】由题意，得：5,016,18,24,32,41,5n k n k n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒==⇒终止当2n =时，执行最后一次循环；当1n =时，循环终止，这是关键。
广东省广州市备战2018高三数学文科第一轮复习测试试题及答案01 含答案
2018广州市高考数学（文科）一轮复习测试题01本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是A ．2,11x x ∀∈+<RB ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R 3．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出s 的值是 A ．10 B ．15 C ．20 D ．304．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =A ．2B ． 2-C ．8D ．8-5．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．6 6．已知集合{}2log (1)2M x x =-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b =,则a b +=A ．4B ．5C ．6D ．77．函数2()2xf x e x =+-在区间()2,1-内零点的个数为.A ． 1B ．2C ．3D ． 48．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b+=（0a b >>）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为A ．13 B ．12 C D9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为10．设二次函数2()4()f x ax x c x=-+∈R的值域为[0,)+∞，则19c a+的最小值为A．3B．92C．5D．7二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题(11～13题)11．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为．12．函数sin sin3y x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为，最大值是．13．观察下列不等式：1<<<；…则第5个不等式为．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R）垂直，则直线l极坐标方程为．15．（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交,AD AC于点,E F．若3AD AE=，则:AF FC=．.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）如图，在△ABC中，45C∠=，D为BC中点，2BC=.记锐角ADBα∠=．且满足7cos225α=-．（1）求cosα；（2）求BC边上高的值．第15题图FA BCDEMlC BDA17．（本题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）：（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．18．（本题满分14分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D 为 线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点， 且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为 点D ，PD BD =．（1）求证：CD ⊥平面PAB ； （2）求点D 到平面PBC 的距离． 19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列,且1311,,b b b 成等比数列． （1）求123,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （3）求证：3121235nnb b b b a a a a ++++<．. 20．（本题满分14分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)C m n ．（1）若1m =，n =ABC ∆的外接圆的方程；（2）若以线段AB 为直径的圆O 过点C （异于点,A B ），直线2x =交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）设函数1()x e f x x-=，0x ≠．（1）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．2 12．2π（2分）（3分） 13++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ=）15．1:4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解析：（1）∵27cos 22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=， ∵(0,)2πα∈，∴3cos 5α=． - . -----------5分（2）方法一、由（1）得4sin 5α==，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴sin sin()sin cos cos sin 44410CAD πππααα∠=-=-=，-----------------9分在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD AD CAD C=∠∠，∴1sin 5sin CD CAD CAD⋅∠===∠，-----------------11分则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=．方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==， 则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m == -------8分 注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ，则134m m += -----10分 所以1m =，即4AH = -----12分 17．（本题满分12分） 解析：（1）1(2.527.5612.5417.5222.51)15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1157.5=10.515=⨯min ．-----------------3分（2）候车时间少于10分钟的概率为3681515+=， -----------------4分所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人． -----------------6分（3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ，23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ， 343132(,),(,),(,)a a a b a b ， 4142(,),(,)a b a b ，12(,)b b ， - . --------10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为815． -----------------12分 18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， ∵在Rt ABC ∆中，4AB =，∴由3AD DB =BC =得，3DB =，4AB =，BC =∴2BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．-----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=， ∵4AB =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=，∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥．-----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ．----- . ---6分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可知CD ，3PD DB ==，--------7分（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要求出线段的长度，酌情给分．）∴111113333232P BDC BDC V S PD DB DC PD -∆=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=--------10分又PB ==PC ==BC =∴PBC ∆为等腰三角形，则122PBC S ∆=⨯．--------12分 设点D 到平面PBC 的距离为d ， 由P BDC D PBC V V --=得，132PBC S d ∆⋅=，解得5d =．--------14分 法2：由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，过点D 作DE CB ⊥，垂足为E ，连接PE ，再过点D 作DF PE ⊥，垂足为F分∵PD ⊥平面ABC ，又CB ⊂平面ABC ， ∴PD CB ⊥，又PD DE D =， ∴CB ⊥平面PDE ，又DF ⊂平面PDE ， ∴CB DF ⊥，又CB PE E =，∴DF ⊥平面PBC ，故DF 为点D 到平面PBC 的距离．--------10分 在Rt DEB ∆中，3sin 302DE DB =⋅=，PE == 在Rt PDE ∆中，335PD DE DF PE ⨯⋅===，即点D 到平面PBC．-------14分 19．（本题满分14分） 解析：（1）∵22n n S a =-，.∴当1n =时，1122a a =-，解得12a =；当2n =时，212222S a a a =+=-，解得24a =； 当3n =时，3123322S a a a a =++=-，解得38a =． -----------------3分 （2）当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， . -----5分 得12n n a a -=又11122a S a ==-，12a =，∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以数列{n a }的通项公式为2n n a =． -----------------7分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， -----------------8分 解得0d =（舍去）或3d =， ----------------9分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-．-----------------10分 （3）令312123nn n b b b b T a a a a =++++123258312222nn -=++++， 121583122222n n n T --=++++，-----------------11分 两式式相减得12133********n n nn T --=++++-，∴131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--，-----------------13分又3502nn +>，故5n T <．-----------------14分 20．（本题满分14分）解析：（1）法1：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得420420130D F D F D F ⎧-+=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得0,4D E F ===-，∴ABC ∆的外接圆方程为2240x y +-=，即224x y +=．-----------------6分法2：线段AC的中点为1(2-，直线AC的斜率为1k =， ∴线段AC的中垂线的方程为1)2y x =+， 线段AB 的中垂线方程为0x =，∴ABC ∆的外接圆圆心为(0,0)，半径为2r =， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分 法3：||2OC ==，而||||2OA OB ==，∴ABC ∆的外接圆是以O 为圆心，2为半径的圆， ∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分法4：直线AC 的斜率为1k =，直线BC 的斜率为2k = ∴121k k ⋅=-，即AC BC ⊥，.∴ABC ∆的外接圆是以线段AB 为直径的圆，∴ABC ∆的外接圆方程为224x y +=．-----------------6分.（2）由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为224x y +=，设点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，----------------8分而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2mn mk n n==--，-----------------12分 ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 所以直线CD 与圆O 相切． -----------------14分 21．（本题满分14分）解析：（1）22(1)(1)1()x x x xe e x e f x x x ---+'==，-----------------2分令()(1)1xh x x e =-+，则()(1)xxxh x e e x xe '=+-=， 当0x >时，()0x h x xe '=>，∴()h x 是()0,+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h >=， 故2()()0h x f x x'=>，即函数()f x 是()0,+∞上的增函数． -----------------6分（2）11()11x x e e x f x x x----=-=， 当0x >时，令()1xg x e x =--，则()10xg x e '=->， --8分故()(0)0g x g >=，∴1()1x e x f x x---=，原不等式化为1x e x a x--<，即(1)10x e a x -+-<，---------10分 令()(1)1x x e a x ϕ=-+-，则()(1)x x e a ϕ'=-+，由()0x ϕ'=得：1x e a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0x ϕ'<；当ln(1)x a >+时，()0x ϕ'>．故当ln(1)x a =+时，()x ϕ取最小值[ln(1)](1)ln(1)a a a a ϕ+=-++， -----12分 令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0a a a a ϕ+=-++<．.因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立．----------------14分。