带电粒子在匀强磁场中的运动(含答案)

带电粒子在磁场中的运动【例1】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图3所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间.【例2】如图所示，MN 为一竖直放置足够大的荧光屏，距荧光屏左边l 的空间存在着一宽度也为l 、方向垂直纸面向里的匀强磁强。

O ′为荧光屏上的一点，OO ′与荧光屏垂直，一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子（重力不计）以初速度v 0从O 点沿OO ′方向射入磁场区域。

粒子离开磁场后打到荧光屏上时，速度方向与竖直方向成30°角。

（1）求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子打在荧光屏上时偏离O ′点的距离； （2）若开始时在磁场区域再加上与磁场方向相反的匀强电场（图中未画出），场强大小为E ，则该粒子打在荧光屏上时的动能为多少【例3】一质量为m 、带电量为q 的带电粒子以某一初速射入如图所示的匀强磁场中（磁感应强度为B ，磁场宽度为L ） ，要使此带电粒子穿过这个磁场，则带电粒子的初速度应为多大？【例4】如图所示，在垂直xoy 坐标平面方向上有足够大的匀强磁场区域，其磁感强度Ｂ＝1Ｔ，一质量为ｍ＝3×10－16㎏、电量为 ｑ＝＋1×10－8Ｃ的质点（其重力忽略不计），以v ＝4×106m/s 速率通过坐标原点Ｏ，之后历时4π×10－8ｓ飞经ｘ轴上Ａ点，试求带电质 点做匀速圆周运动的圆心坐标，并在坐标系中画出轨迹示意图.【例5】如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60º.一质量为m 、带电量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场.已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）.M N O , LAOPLv 0 θ图A 1A 3A 430º 60º ⅠⅡ O y x A【例6】如图所示，在xoy 坐标平面的第一象限内有沿－y 方向的匀强电场，在第四象限内有垂直于平面向外的匀强磁场。

现有一质量为m ，带电量为＋q 的粒子（重力不计）以初速度v 0沿－x 方向从坐标为（3l ，l ）的P 点开始运动，接着进入磁场后由坐标原点O 射出，射出时速度方向与y 轴方向夹角为45°，求：（1）粒子从O 点射出时的速度v 和电场强度E；（2）粒子从P 点运动到O 点过程所用的时间。

【例7】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，左侧匀强电场的场强大小为E 、方向水平向右，其宽度为L ；中间区域匀强磁场的磁感强度大小为B 、方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感强度大小也为B 、方向垂直纸面向里.一个带正电的粒子(质量m ，电量q ，不计重力)从电场左边缘a 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a 点，然后重复上述运动过程.求： (1)中间磁场区域的宽度d .(2)带电粒子从a 点开始运动到第一次回到a 点时所用的时间t .【例8】如图甲所示，MN 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d ，两板中央有一个小孔OO ′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一群正离子在t =0时垂直于M 板从小孔O 射入磁场，已知正离子质量为m 、带电量为q ，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度的变化周期都为T 0.不考虑由于磁场的变化而产生电场的影响，不计离子所受重力．求：（1）磁感应强度B 0的大小；（2）要使正离子从O ′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v 0的可能值． P （3l ，l ）v 0 x yO 450v EB 2T o tO O ′ d MN BB o-B o T o 甲 乙 图1【例9】如图所示，在空间存在水平方向的匀强磁场（图中未画出）和方向竖直向上的匀强电场，电场强度为E ，磁感应强度为B.在某点由静止释放一个带电液滴a ，它运动到最低点处恰与原来静止在该处的带电液滴b 相碰（b 原来静止时只受重力和电场力），碰后两液滴合为一体，并沿水平方向做匀速直线运动.已知a 的质量为b 的质量的2倍，a 的电量为b 的电量的4倍，a 与b 间的库仑力可忽略不计.试求： （1）判定a 、b 液滴分别带何种电荷？（2）a 、b 液滴合为一体后，沿水平方向做匀速直线运动的速度多大？ （3）初始时刻a 、b 的高度差为多大？10如图(甲)所示，两平行金属板间接有如图(乙)所示的随时间t 变化的电压u ，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L =0.2m ，板间距离d =0.2m ，在金属板右侧有一边界为MN 的区域足够大的匀强磁场，MN 与两板中线OO′垂直，磁感应强度B =5×10－3T ，方向垂直纸面向里。

现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v 0=105m/s ，比荷q /m =108C/kg ，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。

（1）试求能够射出电场的带电粒子的最大速度。

（2）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN 上的入射点和出磁场时在MN 上的出射点间的距离为定值。

写出表达式并求出这个定值。

（3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场。

求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间。

25．（2007）两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x 和y 轴，交点O 为原点，如图所示。

在y>0，0<x<a 的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y>0，x>a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B 。

在O 点出有一小孔，一束质量为m 、带电量为q （q>0）的粒子沿x 周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。

入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。

已知速度最大的粒子在0<x<a 的区域中运动的时间与在x>a 的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中做圆周运动的周期。

试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

bEa25.（2008）如图所示，在坐标系xOy 中，过原点的直线限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y 轴、左边界为图中平行于y 轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里。

一带正电荷q 、质量为m 的粒子以某一速度自磁场左OC 与x 轴正向的夹角φ=120°，在OC 右侧有一匀强电场；在第二、三象边界上的A 点射入磁场区域，并从O 点射出，粒子射出磁场的速度方向与x 轴的夹角θ＝30°，大小为v 。

粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。

粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O 点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。

已知粒子从A 点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。

忽略重力的影响。

求（1）粒子经过A 点时速度的方向和A 点到x 轴的距离； （2）匀强电场的大小和方向；（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。

参考答案【例1】解:电子所受重力不计.它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R .圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图所示，连结OB ，∵△OAO ″≌△OBO ″，又OA ⊥O ″A ，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP =∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯＯ＇P 中，O ＇P =(L +r )tanθ，而)2(tan 1)2tan(2tan 2θθθ-=，Rr =)2tan(θ,所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用t =VRV AB θ=来求得. 由R V m BeV 2=得R=θtan )(.r L OP eBmV+=M O ,LAOθ BmVeBrR r ==)2tan(θ 2222222)2(tan 1)2tan(2tan r B e V m eBrmV -=-=θθθ 22222,)(2tan )(r B e V m eBrmVr L r L P O -+=+=θ， )2arctan(22222rB e V m eBrmV-=θ)2arctan(22222r B e V m eBrmV eB m V R t -==θ【例2】解:（1）粒子从O 点射入，P 点射出，沿直线运动到荧光屏上的S 点，如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中作匀速圆周运动转过的圆心角60=θ ① 运动轨道半径为：60sin lR =②而 rv m qvB 2= ③由②、③解得：B=qlmv 230④ 根据几何关系可知：30cot ⋅=l SQ ⑤ O ′Q=R －Rcos60° ⑥ 由②、⑤、⑥解得334l SQ Q O S O =+'=' ⑦（2）再加上电场后，根据运动的独立性，带电粒子沿电场方向匀加速运动，运动加速度mqEa =⑧ 粒子在磁场中运动时间为：09323v d v R t ππ== ⑨则粒子离开复合场时沿电场方向运动速度为 0932mv qEl at v Eπ== ⑩粒子打在荧光屏上时的动能为：222022027)(2212121mv lqE mv mv mv E E k π+=+= 【例3】解:注意带电粒子的电性.若粒子带负电,则按图形运动,则有:L r r =+θcos 由r mv qBL /2=可解得: =v /(1cos )qBL m θ+【例4】解:因带正电质点在匀强磁场中做匀速圆周运动，先后通过ab 两点，其圆心应在ab 弦中垂线上．其圆运动半径为Ｒ，由牛顿第二定律及向心加速度公式R mv F /2=，圆运动所需向心力为洛伦兹力，故有R mv qvB /2=∴.12/cm Bq mv R ==∵s Bq m v R T 2106/2/2-⨯===πππ∴︒===1203/4/2ππθT t 若磁场方向垂直纸面向里，由左手定则知其圆心应在第Ⅳ象限（如图甲所示），由几何关系可知，圆心Ｏ1其坐标应为︒-=︒=30sin ,30cos 11R y R x ，即cm x 361=，cm y 61-=若磁场方面垂直纸面向外，则由左手定则判断其圆心应在第Ⅰ象限（如图乙所示），由几何关系可知，圆心Ｏ2其坐标应为：︒=︒=30sin ,30cos 22R y R x ，即cm x 361=，cm y 61=．【例5】解:设粒子的入射速度为v ，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A 4点射出，用B 1、B 2、R 1、R 2、T 1、T 2分别表示在磁场Ⅰ区Ⅱ磁感应强度、轨道半径和周期211v q v Bm R = ① 222v qvB m R = ②11122R mT v qB ππ== ③ 22222R mT v qB ππ== ④ 设圆形区域的半径为r ，如答图5所示，已知带电粒子过圆心且垂直A 3A 4进入Ⅱ区磁场，连接A 1A 2，△A 1OA 2为等边三角形，A 2为带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心，其半径：某些方面1122R A A OA r === ⑤圆心角1260A A O ∠=，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为： 1116t T = ⑥ 带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA 4的中点，即： R=12r ⑦ 在Ⅱ区磁场中运动时间为：2212t T =⑧ 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间：12t t t =+ ⑨ 由以上各式可得156M B qt π=⑩ 153MB qtπ= ○11【例6】解：根据题意可推知：带电粒子在电场中作类平抛运动，由Q 点进入磁场，在磁场中作匀速圆周运动，最终由O 点射出。