山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题
山东省淄博市2017届高三数学仿真模拟(打靶卷)试题 理
山东省淄博市2017届高三数学仿真模拟（打靶卷）试题 理本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i - 2．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|=<B x x a ,若AB A =，则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4-B ．[33- C ．[ D ．2[,0]3- 5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,R n ax ax ax a a +++>∈的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．8(4)π+ B ．8(8)π+ C ．16(4)π+ D ．16(8)π+7．已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，1=AB ，2=AC ，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 A ．45 B ．45- C ．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．79．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,41 10．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()2()=--f x x f x ．当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ；若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为 ．12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．13．6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 ． 15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=tan AMC ∠= （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AM，求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =．（Ⅰ）证明：OB OA =； （Ⅱ）证明：AB OP ⊥；（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 18．(本小题满分12分)在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；（Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 19．(本小题满分12分)OBCPM∙已知数列{}n a 和{}n b 满足1232(N*)n bn a a a a n =∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+．（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意N*n ∈，均有n k S S ≥． 20．（本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ． （Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在，求n 的值；若不存在，说明理由．淄博市2016-2017学年度高三三模考试 数学试题参考答案及评分说明 2017．6第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若i iai212-=-，则=a A ．5 B ．5- C ．5i D ．5i - 2．已知集合{}2|0=-<A x x x ,{}|=<B x x a ,若AB A =,则实数a 的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞， 3．已知等比数列{}n a 满足14=a ，26414a a a =-，则2a = A ．2 B ．1 C ．12 D ．184．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是A ．3[,0]4-B ．[C ．[D ．2[,0]3- 5．下列四个结论中错误的个数是①若0.40.433,log 0.5,log 0.4===a b c ，则>>a b c②“命题p 和命题q 都是假命题”是“命题∧p q 是假命题”的充分不必要条件 ③若平面α内存在一条直线a 垂直于平面β内的无数条直线，则平面α与平面β垂直 ④已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据()121,1,1,0,+++>∈n ax ax ax a a R 的方差为12,则a 的值为2A ．0B ．1C ．2D ．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．8(4)π+B ．8(8)π+C ．16(4)π+D ．16(8)π+7．（文）已知向量()()1,23,2，==-a b ，若()()//3ka b a b +-，则实数k 的值为 A ．3 B 33D ．3- 7．（理）已知向量AB 与AC 的夹角为120︒1=AB ，2=AC ，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为A ．45B ．45-C．25D ．25-8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的k 值是A ．4B ．5C ．6D ．79．若直线)2(+=x k y 上存在点(),x y 满足011-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则实数k 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,1C ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，511 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-51,4110．（文）已知偶函数()()0≠f x x 的导函数为()，'f x 且满足()1=0，f 当0>x 时，()()2,'<xf x f x 则使得()0>f x 成立的x 的取值范围是( )A ．()()101，，-∞-B ．()()11，，+-∞-∞ C ．()()1001，，-D ．()()101，，-+∞ 10．（理）设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有2()2()=--f x x f x ，当(,0)x ∈-∞时，()2'<f x x ，若(2)()44+--≤+f m f m m ，则实数m 的取值范围是A ．(]1，-∞- B ．(]2，-∞- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为14． 12．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，则 33331+2+3+n =()2214n n + ． 13．（文）若命题“0x ∃∈R ，使得2+20x x a +≤” 是假命题，则实数a 的取值范围是()1+∞，． 13．（理）6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为 144 ． 14．已知()lg2x f x x =-，若()()0f a f b +=，则41a b+的最小值是 92 ．15．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做x 轴的垂线交双曲线于,B C 两点，若12A B A C ⊥1． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（文科 本小题满分12分） 已知函数()()22coscos 2x f x a x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，且02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()πθ，，0∈∈R a ．（Ⅰ）求θ，a 的值； （Ⅱ）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，2()cos()cos 202854f αππαα+++=，求cos sin αα-的值．解：（Ⅰ）因为()2()2cos cos 2x f x a x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，所以()()222cos cos 2cos cos 22x x a x a x θθ⎛⎫⎛⎫++=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，cos cos 0x θ=，即cos 0θ= ……………………………………2分又()0,θπ∈，得2πθ= ……………………3分所以()2sin (2cos )2x f x x a =-⋅+ ……………………4分由02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得(1)0a -+=，即 1.a =- ……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 22f x x =- ……………………………………7分2()cos()cos 202854f αππαα+++=⇒4sin()cos()cos 2454ππααα+=+ 因为cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++所以28sin()cos ()sin()4544πππααα+=++ 又,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin()04πα+=或25cos ()48πα+= …………………9分①由3sin()044ππαα+=⇒=所以33cos sin cos sin 44ππαα-=-=……………………………10分 ②由25cos ()48πα+=，35444πππα<+<得cos()sin )4πααα+=⇒-=所以cos sin αα-= ……………………………………11分综上，cos sin αα-=或cos sin αα-= …………………12分16．（理科 本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 是边BC的中点，cos BAM ∠=tan 2AMC ∠=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若角6BAC π∠=，BC 边上的中线AMABC ∆的面积．解：（Ⅰ）由cos BAM ∠=得sin BAM ∠=，所以tan BAM ∠=……………………………………2分 又AMC BAM B ∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan AMC BAMB AMC BAM AMC BAM∠-∠=∠-∠=+∠∠--== ……………………………………4分 又()0,B π∈ ， 所以23B π= …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=，且6BAC π∠= 所以，6C π=，则AB BC =…7分 设BM x =，则2AB x =在AMB ∆中由余弦定理得2222cos AB BM AB BM B AM +-⋅=，………9分 即2721x =解得x =…………………10分故2124sin 23ABC S x π∆=⨯⨯=． ………………………………12分17．（文科 本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA =．（Ⅰ）证明：OB OA =；（Ⅱ）证明：平面⊥PAB 平面POC ； 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直， 所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+ ……………………………………3分又△ABC 为等边三角形，BC AC =所以=+22OC OA 22OC OB + …………………4分 故OB OA = ………………………………5分（Ⅱ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直所以OC ⊥平面OAB …………………………6分AB ⊂平面OAB ，所以OC ⊥AB ……………7分取AB 的中点D ,连接OD 、PD …………………9分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥OD PD D =,所以AB ⊥平面POD所以AB PO ⊥ ……………………………… 11分 又COPO O =,所以AB ⊥平面POC因为AB ⊂平面PAB ,所以平面⊥PAB 平面POC ………………………………12分17．（理科 本小题满分12分）如图，已知三棱锥O ABC -的三条侧棱OA ，OB ，OC两两垂直，ABC ∆为等边三角形， M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PA PB =． （Ⅰ）证明：OB OA =；（Ⅱ）证明：AB OP ⊥；POOABCPM∙P（Ⅲ）若::AP PO OC =，求二面角B OA P --的余弦值． 证明：（Ⅰ）因为OA ，OB ，OC 两两垂直，所以222AC OC OA =+，222BC OC OB =+……………1分 又△ABC 为等边三角形，BC AC =所以=+22OC OA 22OC OB + …………………2分 故OB OA = …………………………3分 （Ⅱ）取AB 的中点D ，连接OD 、PD ………4分 因为OB OA =，PB PA =，所以,OD AB PD AB ⊥⊥OD PD D =，所以AB ⊥平面POD所以AB PO ⊥ …………………6分 （Ⅲ）如图建立空间坐标系因为::AP PO OC =，可设1OC =,则AP PO ==由（Ⅰ）同理可得1OA OB OC === …………………7分 因为222PO AP OA =+，所以 OA AP ⊥ …………………8分 所以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 设(,,)P x y z（0,0,0x y z >>> ）所以2220101001266OA AP x x AB OP x y y z x y z OP ⎧⋅=⎧-==⎧⎪⎪⎪⎪⋅=⇒-+=⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪=++=⎩=⎩⎪⎩所以(1,1,2)P …………………………10分 平面OAB 的法向量为(0,0,1)OC =设平面POA 的法向量为000(,,)n x y z = 则000020000x y z n OP x n OA ⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩取01,z = 则02y =- 所以(0,2,1)n =- …………………………11分cos 55OC n OC nθ⋅===⋅ …………………………12分 18．（文科 本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次．抽奖方法是：从装有标号为1,2,3,4的4个红球和标号为1,2的2个白球的箱中，随机摸出2个球，若摸出的两球号码相同，可获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可获二等奖，其余情况获三等奖．已知某顾客参与抽奖一次．（Ⅰ）求该顾客获一等奖的概率； （Ⅱ）求该顾客获三获奖的概率．解：标号为1,2,3,4的4个红球记为1234,,,A A A A ，标号为1,2的2个白球记为12,B B ． 从中随机摸出2个球的所有结果有：{}12,A A ，{}13,A A ， {}14,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}34,A A ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ，{}12,B B ，共15个．这些基本事件的出现是等可能的． ……………………5分（Ⅰ）摸出的两球号码相同的结果有：{}11,A B ，{}22,A B ，共2个． 所以“该顾客获一等奖”的概率215P =．…………………………………8分 （Ⅱ）摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有：{}12,A B ,{}21,A B ,{}32,A B ，共3个．则“该顾客获二等奖”的概率31155P ==． ………………………10分 所以“该顾客获三等奖”的概率21211553P =--=． ………………………12分18．（理科 本小题满分12分）在标有“甲”的袋中有4个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）若从袋中依次取出3个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率； （Ⅱ）现从甲袋中取出个2红球，1个白球，装入标有“乙”的空袋．若从甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，记取出的红球的个数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）记“第一次取到红球”为事件A ，“后两次均取到白球”为事件B ，则()47P A =，()432476535P AB ⨯⨯==⨯⨯．所以，“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率”()()()1|5P AB P B A P A ==………………………………4分（或()113211651|5C C P B A C C ==） ……………………………………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3． …………………………………………5分212121431(0)18C C P X C C ==⋅=11121221222121434361(1)+183C C C C C P X C C C C ==⋅⋅==21111212222121434391(2)=182C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=2122214321(3)=189C C P X C C ==⋅=． ………………………………………9分X 的分布列为：……………………………10分111150123183293EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………………12分 19．(文科 本小题满分12分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足1232()n bn a a a a n N *=∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且12a =，323b b =+（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设11n n nc a b =-，求数列{}n c 的前n 项和为n S ． 解：（Ⅰ）解：由题意1232()n bn a a a a n N *=∈，323b b =+知323322b b a -==又由12a =，得公比2q =（2q =-，舍去） ………………3分所以数列{}n a 的通项为*2()n n a n N =∈ ……………………………………4分所以(1)21232n n n a a a a +=故数列{}n b 的通项为*(1)()2n n n b n N +=∈ …………………………………6分（Ⅱ）*111112()()21n n n n c n N a b n n =-=--∈+……………………………8分所以21111111121222223111112122211111212n n n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-- ⎪++⎝⎭-………………12分19．（理科 本小题满分12分） 已知数列{}n a 和{}n b 满足1232()n bn a a a a n N *=∈．若{}n a 是各项为正数的等比数列，且14a =，326b b =+（Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）设1n nc b =-，记数列{}n c 的前n 项和为n S ． ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥．解：（Ⅰ）解：由题意1232()n bn a a a a n N *=∈，326b b =+知323264b b a -==又由14a =，得公比4q =（4q =-，舍去）所以数列{}n a 的通项为2*42()n n n a n N ==∈ ……………………………………3分所以(1)2(1)212322n n n n n a a a a +⨯+==故数列{}n b 的通项为*(1)()n b n n n N =+∈ …………………………………5分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知*1111()()21n n n c n N b n n =-=--∈+…………7分所以21111111112222231111111221111212n n n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--+-++-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=- ⎪++⎝⎭-………………9分②因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，1(1)[1](1)2n nn n c n n +=-+而11(1)(1)(2)(1)(2)0222n n n n n n n n n ++++++--=>得5(1)5(51)122n n n +⋅+≤<所以，当5n ≥时，0n c <；综上，对任意*n N ∈恒有4n S S ≥，故4k = ………………………12分20．（文科 本小题满分13分）已知椭圆1422=+y x C :，如图所示点)(),(),(332211y ,xP y ,x B y ,x A 为椭圆上任意三点． （Ⅰ）若0OA OB OP ++=，是否存在实数λ，使得代数式2121y y x x λ+为定值．若存在，求出实数λ和2121y y x x λ+的值；若不存在，说明理由． （Ⅱ）若0=⋅OB OA ，求三角形OAB 面积的最大值；（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB 面积取得最大值的前提下，若线段PB ,PA 与椭圆长轴和短轴交于点F ,E （F ,E 不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE 的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．解析：（Ⅰ）由于⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+141414232322222121y x y x y x ，且312312()()x x x y y y =-+⎧⎨=-+⎩； 得：2222312312222212121212()()442()1444x x x y y y x x x x y y y y ++=++=+++++=………………………2分所以2142121-=+y y x x ，即242121-=+y y x x ………………………3分 故，存在实数4λ=使得242121-=+y y x x ． （Ⅱ）当直线AB 斜率不存在时，可设为m x =；联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=1422y x mx ，得)(412m ,m B ,A -±； 由0=⋅，得04122=--)(m m ，即552±=m ，54=∆OAB S ； ………………………4分当直线AB 斜率存在时，可设为m kx y +=；联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y ，得044814222=-+++)()(m kmx x k ；14141482221221+-=+-=+k m x x ,k km x x )( ………………………6分 由0=⋅，得02121=+y y x x ，即01481414122222=++-⨯++-⨯+m k km km k m k )()()(，)(14522+=k m ……7分1414142222+-+⋅+=k m k k AB ，21km d h +==； 118169154181691541816117165421222422424≤+++=+++=++++=⨯=∆k k k k k k k k k d AB OAB S等号成立时，1614=k ，即21±=k ．所以OAB S ∆的最大值为1． …………………………………………9分 （Ⅲ）OAB S ∆取得最大值时，21±=k ，此时直线AB 与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点；不妨取)(02,A ，)(10,B ，若线段PB ,PA 与椭圆长轴和短轴交于点F ,E （F ,E 不是椭圆与坐标轴的交点）．此时点P 定在第三象限，即0<<330y ,x ； 直线PA 的方程为)(2233--=x x y y ，令0=x ，得)(22033--x y ,E …………10分 同理，得)(0133,y x F --………………………………………………11分 四边形ABEF 的面积为：333323333223333333333333333211212212(22)2(2)(1)444842(22)44882(22)2x y S AF BE y x x y x y x y x y x y x y y x y x y x y y =⨯=+⨯+--+-=--++--+=-+--+=-+=………………………………………………13分20．（理科 本小题满分13分）已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点B ,A ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点D ,E ． （Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PMPF 的取值范围．解：（Ⅰ）设直线l 的方程为)(1+=x k y ，设)()()()(44332211y ,x D ,y ,x E ,y ,x B ,y ,x A． 联立方程组⎩⎨⎧=+=xy x k y 412)(，得0422222=+-+k x k x k )(．显然0≠k ，且0>∆，即0442422>--k k )(，得1<k 且0≠k ．得222124k k x x -=+，121=x x ………………………………………………4分122221-=+=k x x x P ，k )kk y P 21122=+-=][(． 直线PF 的方程为：)(112--=x k ky ， 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=xy x k k y 41122)(，得0141212222222222=-++-+-)())(()(k k x k k x k k ， 得21422243+=+k k x x )-(，143=x x ……………………………………6分 若四边形AEBD 为平行四边形，当且仅当222124k k x x -=+43222214x x kk +=+=)-(，即0122=-)(k k ，得10±=,k ，与1<k 且0≠k 矛盾． …………………………8分 故不存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形 ………………………9分（Ⅱ）222422222222222213131122PF k k k k k k k PMk k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===++-++⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………11分由1<k 且0≠k ，得2112k <+<；当21k +=，22PM PF取得最小值3；当112=+k 时，22PMPF 取1；当212k +=时，22PMPF 取12；所以223,1)PF PM∈ ………………………………………13分21．（文科 本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln x e af x a x x-=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）函数()f x 是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由；（Ⅱ）设()1ln xe g x x x=+，证明对任意0x >，()1g x >．解：（Ⅰ）由已知得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()2211x x xe x e a af x x e a x x x--⎡⎤'=-=--⎣⎦ ……………………1分 （1）若1a ≤，则x e a >，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以当1x =时，()f x 取得极小值，函数无极大值； ……………………2分（2）若1a e <<，令xe a =，得()ln 0,1x a =∈，所以()f x '和()f x 在()0,+∞上的变化情况如下表所示所以当ln x a =时，函数f x 取得极大值；………………………………4分 （3）当a e =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， 此时不存在极值 …………………………………………5分 （4）当a e >时，令x e a =，得()ln 1,x a =∈+∞， 所以()f x '和()f x 在()0,+∞上的变化情况如下表所示所以当1x =时，函数f x 取得极大值； ……………………………………7分 综上所述，当1a e <<时，函数()f x 的极大值点是ln x a =； 当a e >时，函数()f x 的极大值点是1x =；当1a ≤或a e =时，函数无极大值点． ………………………8分（Ⅱ）要证()11ln x e g x x x =>+，只要证明101ln xe x x ->+成立， 即证()1ln 01ln x e x x x x-+>+成立， ………………………9分 令()1ln h x x x =+，则()1ln h x x '=+， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0h x '>，()h x 单调递增； 所以()11111ln 10h x h e e e e⎛⎫≥=+=-> ⎪⎝⎭， ………………………………10分 所以只需证明()1ln 0xe x x -+>即可，变形得11ln ln 0x x e e x x x x--<⇒->，由（Ⅰ）知，当1a =时，1()ln x e f x x x -=- ……………………………12分 ()1ln x e f x x x-=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()110f x f e ≥=->，即()1ln 0xe x x -+>，故对任意0x >，()1g x >． ………………………………………14分 21．（理科 本小题满分14分）已知λ∈R ，函数()ln xf x e x x λ=-（ 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）若()10f =，证明：曲线()y f x =没有经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线； （Ⅱ）若函数()f x 在其定义域上不单调，求λ的取值范围； （Ⅲ）是否存在正整数n ，当11,n n ne λ++⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，若存在求n 的值，若不存在，说明理由．解证：（Ⅰ）因为()10f =，所以0λ=，此时()ln f x x x =-， 证法一：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()00002ln 1ln 3x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭化简得：()0021ln 03x x -+= ………………………………2分 令()2()1ln 3h x x x =-+，则232()133x h x x x -'=-=， 所以当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当2,3x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以222222()1ln ln 0333333h x h ⎛⎫⎛⎫≥=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()0021ln 03x x -+=无解所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………4分 证法二：设曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线经过点()(),0 0M s s > 则曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线()000()()y f x f x x x '-=- 所以()()0000ln 1ln x x x s x =---化简得：()001ln 0x s x -+= ………………………………2分 令()()1ln h x x s x =-+，则()1s x sh x x x-'=-=， 所以当()0,x s ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数， 当(),x s ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数， 所以()()()1ln ln h x h s s s s s s ≥=-+=-，要使()h x 存在零点0x ，则须有ln 0s s -≤，所以ln 0s ≥，即1s ≥， 所以曲线()y f x =的切线都不经过点2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭………………………………4分 （Ⅱ）函数的定义域为()0,+∞，因为()()1ln xf x e x λ'=-+， 所以()f x 在定义域上不单调，等价于()f x '有变号零点， …………………………………………5分 令()0f x '=，得1ln x x e λ+=，令()1ln xxg x e +=（0x >）． 因为()11ln xg x ex x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，令()11ln h x x x =--，()2110h x x x '=--<，所以()h x 是()0,+∞上的减函数，又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，…………………………………………6分当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()11g e=， 所以1e λ<，即λ的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭………………………………………8分（Ⅲ）证法一：函数()f x 的图象在x 轴的上方，即对任意0x >，()0f x >恒成立．()0f x >⇔ln 0xe x xλ->．令()ln xe F x x xλ=-（0x >），所以()()()221111xxx e F x x e x x x xλλ-'⎡⎤=-=--⎣⎦…………………………9分 （1）当1n =时，22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，即22e λ≥ ①当01x <≤时，()0F x '<，()F x 是减函数，所以()()10F x F e λ≥=>； ②当1x >时，()()()211xx x F x e x x λλ⎡⎤-'=-⎢⎥-⎣⎦，令()()1xx G x e x λ=--，则()()2101xG x e x λ'=+>-，所以()G x 是增函数， 所以当2x ≥时， ()()222220e G x G e λλλ-≥=-=≥，即()0F x '≥ 所以()F x 在[)2,+∞上是增函数，所以()()22ln 21ln 202e F x F λ≥=-≥->，当()1,2x ∈时，取()1,2m ∈，且使()21m e m λ>-，即2211e m e λλ<<-，则()()2201mmG m e e e m λ=-<-=-，因为()()20G m G <，故()G x 存在唯一零点()1,2t ∈，即()F x 有唯一的极值点且为最小值点()1,2t ∈……………………10分 所以()()min ln te F x F t t tλ==-⎡⎤⎣⎦，又()()01t t G t e t λ=-=-，即()1t te t λ=-，故()()min1ln ,1,21F x t t t =-∈⎡⎤⎣⎦-，设()1()ln ,1,21r t t t t =-∈-， 因为()211()01r t t t '=--<-，所以()r t 是()1,2上的减函数， 所以()(2)1ln 20r t r >=->，即()min0F x >⎡⎤⎣⎦所以当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，对任意0x >，()0f x >恒成立………………12分 （2）当2n ≥时，11n n ne λ++≥，因为1312n n ne e ++<，取32eλ=，则()32ln ln xx e e F x x x x e x λ=-=-，()23212ln 2ln 202e F e e=-=-<， 所以()0f x >不恒成立，综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分 证法二：()0f x >恒成立，等价于λ>ln ()xx xP x e=的最大值； 当(]0,1x ∈，ln ()0x x x P x e =≤，所以ln xx xeλ>恒成立………………9分 当()1,x ∈+∞时，ln ()0xx xP x e=>， ()()1ln 11ln 1()1x xxx x x P x e x e ----'==-，设1()ln 1q x x x =--，()211()01q x xx '=--<-， 所以()q x 在()1,+∞上是减函数，因为(2)1ln 20q =->，1(3)ln 302q =-<， 所以()q x 有唯一零点()2,3t ∈ ……………………………10分 当()1,x t ∈时，()0q x >，即()0P x '>，()P x 是增函数， 当(),x t ∈+∞时，()0q x <，即()0P x '<，()P x 是减函数， 所以[]()max ln ()t t t P x P t e ==，且1()ln 01q t t t =-=-，所以1ln 1t t =- 所以[]max1()(1)t ttt t P x e t e-==- ……………………………12分 设()(1)tt M t t e =-，()2,3t ∈所以()221()01t t t M t t e-+-'=<-， 所以()M t 在()2,3上是减函数，所以(3)()(2)M M t M <<， 即3232()2M t e e <<……………………………13分 因为11n n ne λ++≥使()0f x >，所以22e λ≥，只有1n =符合要求，综上所述，存在正整数1n =满足要求，即当22,e λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 的图象在x 轴的上方 ……………………………14分。
2017届山东省淄博市高三复习阶段性诊断考试(二模)理科数学试题及答案 精品
山东省淄博市2017届高三复习阶段性诊断考试数学（理）试题本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={a ，b ，c ，d ，e ），M={a ，d ），N={a ，c ，e ），则()U M N ð为 A ．{a,c,d,e}B ．{a ，b,d ） c ．{b,d ）D ．{d}2．己知i 是虚数单位，则32ii-+等于 A ．－1+iB ．－1－iC ．1+iD ．1－i3，“a>b 且c>d ”是“ac >bd ”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如右图所示，若输出的S= 57，则判断框内填 A ．k>4B ．k>5C ．k>6D ．k>75．设,a b是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b ⊥ ，则a b a b +=-C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ= D ．若存在实数λ，使得a b λ= ，则a b a b +=-6．某几何体正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图 中的四边形都是边长为2的正方形，正视图中两条虚线互相垂直，则该 几何体的体积是 A ．203B ．6C ．4D ．437．下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是A ．cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ． 212cos 2y x =-C ．2y x =-D ．sin()y x π=+8．二项式24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有A ．3项B ．4项 -C ．5项D ．6项9．3名男生3名女生站成两排照相，要求每排3人且3名男生不在同一排，则不同的站法有A ．324种B ．360种C ．648神D ．684种10．如图，己知双曲22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，124FF =，P 是双曲线右支上的 一点，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1 上的切点为Q ，若|PQ| =1，则双曲线的离心率是 A ．3B ．2CD第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan α ．12．已知等比数列{}n a ，若a 3a 4a 8=8，则a l a 2 …a 9=____． 13．若log a 4b=－1，则a+b 的最小值为 。
2017届山东省淄博市高三复习阶段性诊断考试(二模)理科综合试题及答案
山东省淄博市2017届高三复习阶段性诊断考试理科综合能力试题本试卷分第I卷和第II卷两部分，共16页。
满分300分。
考试用时150分钟。
答题前务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（必做，共107分）注意事项：1．第I卷共20题。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。
以下数据可供答题时参考：相对原子质量：P 31 Se 79一、选择题（共13小题，每小题5分，共65分。
每小题只有一个选项符合题意。
）1．细胞的结构与功能是相适应的，下列叙述正确的是A．细胞功能上的差异是由膜上的蛋白质种类和数量决定的B．代谢旺盛细胞的核孔数目多，有利于DNA、RNA的进出C．核糖体是由RNA和蛋白质构成的，分布于所有的细胞中D．细胞膜和细胞器膜等生物膜结构是细菌代谢的结构基础2．下列说法正确的是A．细胞全能性的实现与细胞的分化无关B．细胞在凋亡过程中某些酶的活性升高C．人体各种组织细胞的衰老是同步进行的D．致癌因子导致原癌基因的产生而使细胞发生癌变3．某植物的花色受完全显性且独立遗传的基因A和a、B和b的控制，花色色素的生化合成如图所示。
将基因型为AaBb的幼苗用X射线处理，定植后发现少数植株开白花并能稳定遗传。
这部分白花植株的出现A．是环境因素影响基因表达的结果B．是X射线使酶A、酶B失活的结果C．是减数分裂过程中基因重组导致的D．使种群的基因频率和基因库发生变化4．果蝇是XY型性别决定的二倍体生物。
在基因型为AaX B Y果蝇产生的精子中，发现有基因组成为AaX B X B、AaX B、aX B X B的异常精子。
下列相关叙述错误的是A．细胞分裂与精子的形成过程受基因的控制B．AaX B X B精子的形成过程体现了生物膜的流动性C．AaX B精子的产生是基因突变或染色体变异的结果D．aX B X B精子的形成是减数第二次分裂异常导致的5．下图是植物体内赤霉素（GA）、乙烯对生长素（IAA）的影响示意图，该图不能说明A．生长素促进植物生长的原理是促进细胞的伸长生长B．植物体内赤霉素是通过生长素而促进细胞生长的C．植物体内赤霉素含量的改变会影响生长素含量的变化D．植物体内多种激素并存，共同调节植物的生长发育6．检测试剂或染色剂在生物学实验中具有重要作用，下列叙述中错误的是A．在脂肪的检测实验中，苏丹Ⅲ染液将脂肪染成橘黄色B．在观察线粒体的实验中，健那绿染液将线粒体染成蓝绿色C．在探究酵母菌细胞呼吸实验中，酸性重铬酸钾与酒精反应呈现灰绿色D．在观察植物细胞有丝分裂的实验中，碱性吡罗红可将染色体染成红色7．化学与生活、社会密切相关。
2017年山东省淄博市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
B．[7，15]
9． （5 分）已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱 锥顶端向锥内注水， 小球慢慢上浮． 当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时， 小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方） ，则小球的表 面积等于（ A． ） B． C． D．
10． （5 分）如图所示，由直线 x＝a，x＝a+1（a＞0） ，y＝x2 及 x 轴围成的曲边 梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间， 即 a2＜
5． （5 分）已知圆 C： （x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0） ，若倾斜角为 45°的直线 l 过抛物线 y2＝﹣12x 的焦点，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 （ A． ） +1 B． C．2± D． ﹣1 ） ，则 a 等于
6． （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数的为（ A．y＝log C．y＝ 7． （5 分）设向量 ＝（1，﹣2） ， |x| B．y＝x D．y＝lg ＝（a，﹣1） ，
⑤无论 m 为何实数，关于 x 的方程 f（x）﹣m＝0 都有实数根． 其中描述正确的是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分． 16． （12 分）已知函数 f（x）＝ 称轴之间的距离为 ． sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）相邻两条对
（Ⅰ）求 ω 的值及函数 f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）已知 a，b，c 分别为△ABC 中角 A，B，C 的对边，且满足 a＝ ＝1，求△ABC 面积 S 的最大值． 17． （12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD， △PAB 与△PAD 都是边长为 2 的等边三角形，E 是 BC 的中点． （Ⅰ）证明：平面 AE∥平面 PCD； （Ⅱ）求 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小． ，f（A）
山东省淄博市部分学校高三第二次模拟考试数学(理)试题
山东省淄博市部分学校高三第二次模拟考试理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共6页，满分150分．考试用时120分钟． 考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知{}{}()=12,3R M x x N x x C M N -≤≤=≤⋂=，则( )A ．[]2,3B ．(]2,3C ．(][],123-∞-⋃，D ．()(]12,3-∞-⋃，2．若复数1iz i=-(i 为虚数单位)，则z =( )A ．1B ．12 C ．2D ．2 3．公差为2的等差数列{}n a ，前5项和为25，则10a =( )A ．21B ．19C ．17D ．154．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为( )(已知：sin150.2588,sin7.50.1305,3 1.414≈≈≈≈)A ．12B ．20C ．24D ．485．某几何体的主(正)视图与俯视图如图所示，左(侧)视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A ．203 B ．43C ．6D ．4 6．己知函数()()log 1201a y x a a =-+>≠且恒过定点A ．若直线2mx ny +=过点A ，其中,m n 是正实数，则12m n+的最小值是( )A ．3B ．3+C ．92 D ．57．将函数()()2sin 08f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移8πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()04y g x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在，上为增函数，则ω的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．己知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =( )A ．9342或 B ．13312或 C ．94 D ．133122或 9．双曲线()22221,0y x C a b a b-=>：的上焦点为F ，存在直线x t =与双曲线C 交于A ，B 两点，使得ABF∆为等腰直角三角形，则该双曲线离心率e=( )AB ．2 C1 D1 10．函数()2cos 22f x x x ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上的图象大致是( )11．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，动点P 在其表面上运动，且与点AP 的集合是一条曲线，则这条曲线的长度是( )ABCD12．若存在两个正实数x ，y 使得等式()()22ln ln 0x a y ex y x +--=成立(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是( )A ．(),0-∞B ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()2,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为____________．14．向量,a b 满足()1,3,1,3,a b a b a b ==+=则与的夹角为____________．15．甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A ，B ，C ，D 四类课外书(每类课外书均有若干本)，己知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为____________．(用数字作答)16．椭圆2213620x y +=的左、右焦点分别为1212,F F AB F ABF ∆，弦过，若的内切圆周长为2π，A ，B 两点的坐标分别为()()1122,,x y x y 和，则21y y -=___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(本题满分12分)，在23ABC BAC π∆∠=中，，D 为边BC 上一点，DA AB AD ⊥=，且．(I)若2AC =，求BD ； (II)求DA DADB DC+的取值范围．18．(本题满分12分)如图，在三棱柱11111112,ABC A BC CA CB CC ACC CC B -===∠=∠中，，直线AC 与直线1BB 所成的角为60°．(I)求证：11AB CC ⊥；(II)若11AB M AB 是上的点，当平面1MCC 与平面1ABC 所成二面角的余弦值为15时，求1AM MB 的值．19．(本题满分12分)有一片产量很大的芒果种植园，在临近成熟时随机摘下100个芒果，其质量频数分布表如下(单位：克)：(I)(i)由种植经验认为，种植园内的芒果质量Z 服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似为样本平均数2x σ，近似为样本方差S 2≈65.72．请估算该种植园内芒果质量在(191.8，323.2)内的百分比；(ii)某顾客从该种植园随机购买100个芒果，记X 表示这100个芒果质量在区间(191.8，323.2)内的个数，利用上述结果，求E(X)．(II)以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商收购芒果10000个，并提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以每千克10元的价格收购；B ：对质量低于150克的芒果以每个0.5元的价格收购，质量不低于150克但低于300克的以每个2元的价格收购，高于或等于300克的以每个5元的价格收购．请你用学过的相关知识帮助种植园主选择哪种方案才能获利更多?附：Z 服从()()2=0.6826N P Z μσμσμσ-<<+，，则，()22P Z μσμσ-<<+0.9544=．20．(本题满分12分)已知抛物线()220C y px p =>：，其内接90.ABC A ∆∠=∆中当ABC 最短边所在直线方程为12y x BC ==时， (I)求抛物线C 的方程；(II)当点A 的纵坐标为常数()00t t R ∈时，判断BC 所在直线是否过定点?过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由．21．(本题满分12分)己知函数()310.71828xf x x e e =-+=⋅⋅⋅，其中，是自然对数的底数．(I)设曲线()y f x =与x 轴正半轴相交于点()0,0P x ，曲线在点P 处的切线为l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；(II)若关于x 的方程()f x m =(m 为正实数)有两个不等实根()1212,x x x x <，求证：21324x x m -<-.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本题满分10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为221128x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 1σρθ=+． (I)求曲线1C ，2C 的参数方程；(II)若点M ，N 分别在曲线1C ，2C 上，求MN 的最小值．23．(本题满分10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知,,a b c 为正数，函数()13f x x x =++-． (I)求不等式()6f x ≤的解集：(II)若()f x 的最小值为m ，且a b c m ++=，求证：222163a b c ++≥．。
山东省淄博市数学高三理数第二次模拟考试试卷
山东省淄博市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·黄冈期末) 已知x ，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分）(2017·长沙模拟) 复数（2+i）i的共轭复数的虚部是（）A . 2B . ﹣2C . 2iD . ﹣2i3. （2分）设，则“”是“直线与直线平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）设函数的最小正周期为T,最大值为A,则（）A . ,B . ,C . ,D . ,5. （2分）(2017·九江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（）A . ﹣ =1B . ﹣y2=1C . ﹣ =1D . x2﹣ =16. （2分）一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·辽源期中) 两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn ， Tn ，且，则等于（）A .B .C .D .8. （2分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红色骰子出现点数3”，事件B=“蓝色骰子出现偶数点”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .10. （2分）已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·黑龙江模拟) 定义在R上的可导函数f（x），其导函数记为f'（x），满足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2 ，且当x≤1时，恒有f'（x）+2＜x．若，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，1]B .C . [1，+∞）D .12. （2分）(2019高三上·衡水月考) 已知函数，若存在实数，满足，且，，，则的最小值为（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·天津模拟) 在的展开式中，常数项是________．14. （1分）(2018·河南模拟) 如图，已知点，点在曲线上移动，过点作垂直轴于，若图中阴影部分的面积是四边形面积的，则点的坐标为________15. （1分）(2013·江苏理) 如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1 ，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2 ，则V1：V2=________．16. （1分）(2018·荆州模拟) 设数列满足，，若使得，则正整数 ________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高二上·兰州月考) 中，角所对的边分别为 .已知，， .（1）求的值；（2）求的面积．18. （10分） (2018高二下·长春期末) 已知与之间的数据如下表：附：，，， .（1）求关于的线性回归方程；（2）完成下面的残差表：并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）.19. （5分）(2019·浙江模拟) 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.20. （10分）(2018·保定模拟) 椭圆的离心率为，且过点 . （1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，是椭圆的左、右顶点，点满足 .①证明：为定值；②设是直线上的任一点，直线分别另交椭圆于两点，求的最小值.21. （10分） (2019高三上·桂林月考) 已知函数．（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若，求证：．22. （5分）已知长为2的线段AB中点为C，当线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动时，C点的轨迹为曲线C1；（1）求曲线C1的方程；（2）直线ax+by=1与曲线C1相交于C、D两点（a，b是实数），且△COD是直角三角形（O是坐标原点），求点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值．23. （10分）设Pn=（1﹣x）2n﹣1 ， Qn=1﹣（2n﹣1）x+（n﹣1）（2n﹣1）x2 ，x∈R，n∈N*（1）当n≤2时，试指出Pn与Qn的大小关系；（2）当n≥3时，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22、答案：略23-1、23-2、。
山东省淄博市高三理综第二次模拟考试试题(扫描版,无答案)
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2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。